河北省邢台一中2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析

2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．经过点（14，10），且平行于直线4x﹣2y+7=0的直线方程是( )A．x﹣2y+6=0 B．4x﹣2y+9=0 C．x+2y﹣34=0 D．2x﹣y﹣18=02．若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为( )A．0或﹣B．0或﹣C．0或D．0或3．以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程是( )A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．（x+1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=44．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为( )A．B．C．D．5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( ) A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6．两直线ax+y﹣4=0与x﹣y﹣2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )A．﹣1＜a＜2 B．a＞﹣1 C．a＜2 D．a＜﹣1或a＞27．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条8．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为( )A．18πB．36πC．9πD．9．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A．B．C．D．10．如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为( )A．B．C．D．11．若直线经过点P（1，1）和点Q（2，t+），其中t＞0，则该直线的倾斜角的取值范围是( )A．（0，]B．[，）C．（，]D．[，π）12．圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是( )A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是__________．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是__________．15．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为__________．16．过点P（2，3）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax+y+1=0垂直，则a=__________．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．18．已知点P（1，2）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．若直线l过点P且被圆C截得的线段长为2，求l的方程．19．如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB=2，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）求证：BE⊥CD；（3）求三棱锥P﹣ACD的体积V．21．圆经过P（﹣1，1）、Q（3，﹣1）两点，并且在x轴上截得的弦长等于6，求圆的方程．22．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切（1）求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长．（2）若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l纵截距的取值范围．（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N求直线MN的方程．2015-2016学年河北省邢台一中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．经过点（14，10），且平行于直线4x﹣2y+7=0的直线方程是( )A．x﹣2y+6=0 B．4x﹣2y+9=0 C．x+2y﹣34=0 D．2x﹣y﹣18=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】设出所求的直线方程为4x﹣2y+t=0，把（14，10）代入求出参数t，可得直线方程．【解答】解：设经过点（14，10），且平行于直线4x﹣2y+7=0直线方程为4x﹣2y+t=0，把（14，10）代入直线方程得：56﹣20+t=0，∴t=﹣36，∴所求的直线方程为4x﹣2y﹣36=0，即2x﹣y﹣18=0，故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求直线的方程．2．若直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，则a的值为( )A．0或﹣B．0或﹣C．0或D．0或【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由直线与直线垂直的条件得a+2a（a+1）=0，由此能求出a的值．【解答】解：∵直线ax+2y+6=0和直线x+a（a+1）y+（a2﹣1）=0垂直，∴a+2a（a+1）=0，解得a=0或a=﹣．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线的位置关系的合理运用．3．以圆x2+2x+y2=0的圆心为圆心，半径为2的圆的方程是( )A．（x﹣1）2+y2=4 B．（x﹣1）2+y2=2 C．（x+1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=4【考点】圆的一般方程．【专题】直线与圆．【分析】首先把圆的一般式转化为标准式，进一步求出结果．【解答】解：把圆x2+2x+y2=0的方程转化为标准式：（x+1）2+y2=1圆心坐标为：（﹣1，0）所以以（﹣1，0）为圆心，半径为2的圆的方程为：（x+1）2+y2=4故选：D【点评】本题考查的知识要点：圆的标准方程的应用及相关的运算问题．4．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】画出其直观图，结合图形判断相关几何量的数据，判定PB最长，利用勾股定理计算可得答案．【解答】解：由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为1，如图：SA⊥平面ABCD，AD=CD=SA=1，AB=2，∴最长的侧棱为SB==．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求四棱锥的最长侧棱长，由三视图判断四棱锥的几何特征及相关几何量的数据是解答本题的关键．5．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( ) A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题．【分析】对于A，由线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知B正确；对于C，根据线面平行的性质，可知m平行于经过m的平面与平面α的交线，但不一定平行于n（α∩β=n，故C不正确；对于D，根据面面垂直的判定，可得D正确故可得结论【解答】解：对于A，由线面垂直的性质定理可得：若m∥n，m⊥α，则n⊥α是正确的，所以A正确；对于B，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可知B正确；对于C，根据线面平行的性质，可知m平行于经过m的平面与平面α的交线，但不一定平行于n（α∩β=n），故C不正确；对于D，根据面面垂直的判定，可得D正确故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、线、面的位置关系，以及有关的判定定理与性质定理，并且结合有关公理与定义进行判断即可．6．两直线ax+y﹣4=0与x﹣y﹣2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是( )A．﹣1＜a＜2 B．a＞﹣1 C．a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】两条直线的交点坐标．【专题】方程思想．【分析】联立方程组解出交点坐标，解不等式即可解决．【解答】解：由得∵两直线ax+y﹣4=0与x﹣y﹣2=0相交于第一象限∴解得：﹣1＜a＜2故选A【点评】本题主要考查直线交点坐标的求解，和不等式的应用．属于基础题．7．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】圆的切线方程．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．8．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为( )A．18πB．36πC．9πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，因此以三条侧棱为长、宽、高构造正方体如图所示，该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，利用长方体的对角线长公式算出球的直径，再根据球的表面积公式加以计算，可得答案．【解答】解：设三棱锥A﹣BCD中，面ABC、面ABD、面ACD两两互相垂直，AB=AC=AD=，则AB、AC、AD两两互相垂直，以AB、AD、AC为长、宽、高，构造正方体如图所示，可得该正方体的外接球就是三棱锥A﹣BCD的外接球，设球半径为R，可得正方体的对角线长等于球直径2R，即2R=3，解得R=，∴外接球的表面积是S=4πR2=4π×（）2=9π．故选：C．【点评】本题给出特殊的三棱锥，求它的外接球的表面积．着重考查了多面体的外接球、长方体的对角线长公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．9．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】画出图形，建立空间直角坐标系，从而求出向量，的坐标，从而BM与AN所成角的余弦值为||=．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，能求出空间点的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，弄清向量夹角和异面直线所成角的关系．10．如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO⊥底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为( )A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】SO⊥底面ABC，∠SAO即侧棱SA与底面ABC所成角，在Rt△SAO中计算即可得答案．【解答】解：SO⊥底面ABC，O为垂足，∠SAO即侧棱SA与底面ABC所成角，底面是边长为1的等边三角形，AO=，在Rt△SAO中，cos∠SAO===故选D．【点评】本题考查线面角，先作后求的原则，属基础题．11．若直线经过点P（1，1）和点Q（2，t+），其中t＞0，则该直线的倾斜角的取值范围是( )A．（0，]B．[，）C．（，]D．[，π）【考点】基本不等式；直线的斜率．【专题】直线与圆．【分析】利用直线的斜率公式和均值定理求解．【解答】解：∵直线经过点P（1，1）和点Q（2，t+），其中t＞0，∴直线的斜率k==t+﹣1≥2﹣1=1．∴该直线的倾斜角的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．12．圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是( )A．2 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，则所求距离最大为，故选B．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13．直线l：ax+y﹣2﹣a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是﹣2或1．【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题；分类讨论．【分析】当a=0时，直线l为y=2，显然不符合题目要求，所以当a≠0时，令y=0和x=0分别求出直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出关于a的方程，解方程即可求出a值．【解答】解：根据题意a≠0，由直线l：ax+y﹣2﹣a=0，令y=0，得到直线在x轴上的截距是，令x=0得到直线在y轴上的截距是2+a，根据题意得：，即a2+a﹣2=0，分解因式得：（a+2）（a﹣1）=0解得：a=﹣2或a=1．故答案为：﹣2或1【点评】此题考查学生理解直线截距式方程应用的条件是截距存在，并会根据直线的方程求出与坐标轴的截距，是一道基础题．14．PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是①②③．【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊂⊙O所在的平面∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A∴BC⊥面PAC，又∵AF⊂面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C∴AF⊥面PCB，而BC⊂面PCB，∴AF⊥BC，故③正确；而PB⊂面PCB，∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A∴PB⊥面AEF，而EF⊂面AEF，AF⊂面AEF∴EF⊥PB，AF⊥PB，故①②正确，∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．15．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．【点评】本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1上．16．过点P（2，3）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax+y+1=0垂直，则a=2或﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】方程思想；转化思想；数学模型法；直线与圆．【分析】根据相互垂直的直线斜率之间的关系可设：要求的直线为：x﹣ay+m=0，再利用直线与圆相切的充要条件可得：，解出即可．【解答】解：设要求的直线为：x﹣ay+m=0，则，化为：2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或﹣．故答案为：2或﹣．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．18．已知点P（1，2）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．若直线l过点P且被圆C截得的线段长为2，求l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；分类讨论；综合法；直线与圆．【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，根据题意画出相应的图形，取AB的中点为D，连接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|与|AC|的长，利用勾股定理求出|CD|的长，然后分两种情况考虑：（i）直线l斜率存在时，设斜率为k，表示出l方程，由C到l的距离为3，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时l的方程；（ii）当直线l 的斜率不存在时，直线x=0满足题意，综上，得到所求的直线方程．【解答】解：圆的方程可化为：（x+2）2+（y﹣6）2=16，∴圆心C坐标为（﹣2，6），半径r=4，如图所示，|AB|=2，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|=，又∵|AC|=4．故在Rt△ACD中，可得|CD|=3…∴当直线l的斜率不存在时，满足题意，此时方程为x=1．当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1），由点C到直线AB的距离公式：=3，得k=﹣．此时，直线l的方程为7x+24y﹣41=0…∴所求直线l的方程为x=1或37x+24y﹣41=0…【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题．19．如图，矩形OABC的顶点O为原点，AB边所在直线的方程为3x+4y﹣25=0，顶点B的纵坐标为10．（Ⅰ）求OA，OC边所在直线的方程；（Ⅱ）求矩形OABC的面积．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）可知，由直线的平行和垂直关系可得相关直线的斜率，可得方程；（Ⅱ）易得B（﹣5，10），由距离公式可得|OA|和|AB|，可得面积．【解答】解：（Ⅰ）∵OABC是矩形，∴OA⊥AB，OC∥AB．由直线AB的方程3x+4y﹣25=0可知，∴，∴OA 边所在直线的方程为，即4x ﹣3y=0，OC 边所在直线的方程为，即3x+4y=0． （Ⅱ）∵点B 在直线AB 上，且纵坐标为10，∴点B 的横坐标由3x+4×10﹣25=0解得x 为﹣5，即B （﹣5，10）． ∴， ∴，∴矩形OABC 的面积S=|OA||AB|=50【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，侧面PAD 是等边三角形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AD=2AB=2，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． （1）求证：BE ∥平面PAD ；（2）求证：BE ⊥CD ；（3）求三棱锥P ﹣ACD 的体积V ．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）证BE ∥平面PAD ，可先构建平面EBM ，证明平面EBM ∥平面APD ，由面面平行，得到线面平行；（2）取PD 的中点F ，连接FE ，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF ⊥平面PDC ，又由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面PDC ；（3）利用V P ﹣ACD =V C ﹣PAD ，即可求三棱锥P ﹣ACD 的体积V ．【解答】（1）证明：取CD 的中点M ，连接EM 、BM ，则四边形ABMD 为矩形∴EM ∥PD ，BM ∥AD ；又∵BM ∩EM=M ，∴平面EBM ∥平面APD ；而BE ⊂平面EBM ，∴BE ∥平面PAD ；…（2）证明：取PD 的中点F ，连接FE ，则FE ∥DC ，BE ∥AF ，又∵DC ⊥AD ，DC ⊥PA ，∴DC ⊥平面PAD ，∴DC ⊥AF ，DC ⊥PD ，∴EF ⊥AF ，在Rt △PAD 中，∵AD=AP ，F 为PD 的中点，∴AF ⊥PD ，又AF ⊥EF 且PD ∩EF=F ，∴AF ⊥平面PDC ，又BE ∥AF ，∴BE ⊥平面PDC ，∴CD ⊥BE ；…（3）解：由（2）知∴CD ⊥平面PAD ，∵△PAD 是边长为1的等边三角形，∴V P ﹣ACD =V C ﹣PAD ==∴三棱锥P ﹣ACD 的体积为…（14分）【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查三棱锥P ﹣ACD 的体积，熟练掌握线面平行及线面垂直的判定定理是解答的关键．21．圆经过P （﹣1，1）、Q （3，﹣1）两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6，求圆的方程．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；直线与圆．【分析】设所求圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由圆经过点P （﹣1，1）、Q （3，﹣1），可得系数的方程组，再令y=0，利用在x 轴上截得的弦长，由此求得D ，E ，F 的值，从而求得圆的一般方程．【解答】解：设所求圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由圆过点P （﹣1，1）、Q （3，﹣1），得：﹣D+E+F=﹣2，3D ﹣E+F=﹣10，令y=0，x 2+Dx+F=0，|x 1﹣x 2|==6，解得：D=2，E=8，F=﹣8或D=﹣6，E=﹣8，F=0，故所求圆C 的方程为x 2+y 2+2x+8y ﹣8=0或x 2+y 2﹣6x ﹣8y=0．【点评】本题主要考查求圆的一般方程的方法，直线和圆相交的性质，弦长公式的应用，属于中档题．22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线l 1：x ﹣y ﹣2=0相切（1）求直线l 2：4x ﹣3y+5=0被圆C 所截得的弦AB 的长．（2）若与直线l 1垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，若∠POQ 为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．（3）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N求直线MN的方程．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）先求出圆C的标准方程，再求直线l2：4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长；（2）设直线l的方程为：y=﹣x+b，联立圆C方程，运用判别式大于0，韦达定理以及向量的数量积的坐标表示，化简解不等式，即可得到所求范围；（3）求出以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G方程，与圆C的标准方程相减，即可求直线MN的方程．【解答】解：（1）由题得：原点到直线l1：x﹣y﹣2=0的距离为圆的半径2，故圆C的方程为x2+y2=4又圆心到直线l2：4x﹣3y+5=0的距离d==1∴|AB|=2=2…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线L的方程为：y=﹣x+b，联立x2+y2=4得：2x2﹣2bx+b2﹣4=0，由△=（﹣2b）2﹣8（b2﹣4）＞0，得b2＜8，且x1+x2=b，x1x2=∵∠POQ是钝角，∴•＜0即x1x2+y1y2＜0，且与不是反向向量，而y1y2=（﹣x1+b）（﹣x2+b）∴x1x2+y1y2=2x1x2﹣b（x1+x2）+b2＜0代入韦达定理，解之得﹣2＜b＜2，而当与反向时，b=0，故所求直线纵截距的范围是（﹣2，0）∪（0，2）…（3）|OG|=，|GM|=故以G为圆心，GM的长为半径的圆G方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=6又圆C方程为：x2+y2=4（2）由（1）﹣（2）得直线MN方程为x+3y﹣4=0…【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．。