9平面的基本性质及推理
十三 点、线、面的位置关系及判定与性质(逻辑推理)
点、线、面之间的位置关系及判定与性质（逻辑推理）一、空间的点、直线、平面之间的位置关系1 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.（三个推论）推理1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。
推理2：两条相交直线确定一个平面。
推理3：两条平行直线确定一个平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线.2 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行。
（3）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
（4）异面直线所成的角：例1有下列命题：①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别与α交于P 、Q 、R 三点，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 与A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间的五个点最多确定10个平面。
其中正确的命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例2 给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行。
其中正确的命题为（ ）A. ①B. ②C. ③D. ① ③例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点。
（1）求证：AC ⊥平面BDD 1;(2)求BD 1与CE 所成角的余弦值。
例4 如图所示，E 、F 在AD 上，G 、H 在BC 上，图中8条线段所在的直线，互为异面直线的有 对。
平面性质及空间直线.doc
平面性质及空间直线一知识要点：1、平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性.2、平面的基本性质公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.Aea] -\=>AB0a推理模式：B EQ J.如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.推理模式：，= 且/唯一•如图示：A即应用：①确定两相交平而的交线位置；②判定点在直线上.公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推理模式：A, B, C不共线=>存在唯一的平面使得应用：①确定平面；②证明两个平面重合.“有J1只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，乂保证了图形的唯-性.在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推理模式：存在唯一的平面。
，使得A^a f l(za o推论2经过两条相交直线有且只有一个平面.推理模式：aHb = P=>存在唯一的平面a,使得a<za,b(za o推论3经过两条平行直线有且只有一个平面・推理模式：a//b=>存在唯一的平面Q ,使得a(za,b(za-3、平面图形与空间图形的概念：如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形。
平面的基本性质教案(1)
课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。
2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。
3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。
（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。
（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】平面的基本性质。
因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。
所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。
【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
进行思考、交流，师生共同讨论等学法。
根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。
【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
《9(B)直线,平面,简单几何体》的教材分析与教学建议
《9(B)直线、平面、简单几何体》的教材分析和教学建议广州市育才中学―――张志红2004年3月5日一、新旧教材对比：（1）、新大纲给出了A、B两个方案。
方案A的内容包括原《立体几何》中《直线和平面》一章的内容，《多面体和旋转体》一章的棱柱、棱锥和球的内容。
方案B在方案A 的基础上，增加空间向量的初步知识。
教学中在A和B两个方案中只选一个执行。
我省统一选择方案B. 新教材高测试卷2000—2003四年中，立体几何题每年是用（甲）（乙）形式出的，其中甲是用空间向量求解的，乙是用传统方法求解的，都是12分，考生可以选择。
（2）、两个方案中均删去了棱台的概念、性质、画法及其表面积，圆柱、圆锥、圆台的概念、性质、画法及其表面积，旋转体，球冠及其面积，体积的概念和公理，球缺的体积等内容。
（3）、保留棱柱、棱锥的概念、性质和画法的教学要求，删去了柱、锥的表面积的教学要求。
圆柱、圆锥的体积移到理科的限定选修的“定积分在几何上的使用”(求旋转体的体积)内容中讲授，因高考提前，新测试说明已将此部分内容删去，但圆柱、圆锥、长方体的表面积和体积在小学和初中已学过，所以教学中，基本的棱柱、棱锥的体积公式是要求学生掌握的。
（4）、方案B是利用空间向量作为工具处理传统的综合几何的改革方案，空间向量的内容是将平面向量的有关知识推广到三维空间，学生容易接受，因而安排的课时较少。
从新大纲9(B)的内容和排列次序可以看出，新大纲编写整章教材的指导思想是，先使用综合推理方法学习空间中平面的一些基本性质。
其中包括直观图的画法，建立学生的空间观念，发展学生的空间想象力，接着学习空间的平行和垂直概念。
然后通过复习平面向量引入空间向量，用向量方法论证空间的平行、共线和垂直问题，用向量方法重点研究空间距离和夹角的计算。
这样可充分体现向量工具的威力和优越性，使学生初步掌握研究几何的向量代数方法，而且也不会削弱空间想象力的培养。
二、9(B)直线、平面、简单几何体(36课时)的教材分析和教学建议1、空间直线和平面（约11节）（1）、考纲要求：①掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．②掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面垂直的判定定理．了解三垂线定理及其逆定理．（2）、课时安排：9．1平面的基本性质约3课时9．2空间的平行直线和异面直线约2课时9．3直线和平面平行、平面和平面平行约2课时9．4直线和平面垂直约4课时（3）、教材分析和教学建议:第一大节“空间的直线和平面”中先使用综合推理方法学习空间图形的一些基本性质。
【新教材】11.2 平面的基本事实与推论 教学设计(1)-人教B版高中数学必修第四册
11.2 平面的基本事实与推论本节课是必修2《立体几何初步》的第二大节内容，主要内容是平面的三个基本性质和推论。
平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据，是进一步学习立体几何其他知识的基础和关键，也是学生已有的平面几何观念的拓展，可以对学生的知识结构进行顺应性的建构，通过这些内容的教学，使学生掌握从整体到局部的研究方法，初步了解从具体的直观想象到严格的数学表述形式，使学生的思维从直觉上升到分析思维，因此，掌握平面的三个基本性质至关重要.通过本节课的学习，要求学生理解和掌握平面的三个基本性质，并能用图形语言和符号语言表示，通过实物模型和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间形象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力，通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力.【教学重点】平面的基本事实和推理【教学难点】符号语言、文字语言、图形语言之间的转换引入：在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实： （1）连接两点的线中，线段最短；（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。
问题1：平面的基本事实基本事实1：文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面. 符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α 图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈ (4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面. 作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.符号表示：A∈α，B∈α⇒AB⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。
高二数学平面的基本性质9
能回忆我那美好的青春，这一年是2020年，这一年需要记住的依然很多很多……
在从前，写字是一件大事，在“念背打”教育体系当中占一个很重要的位置，从描红模子的横平竖直，到写墨卷的黑大圆光，中间不知有多大勤苦。记得小时候写字，老师冷不防的从你脑后把你的 毛笔抽走，弄得你一手掌的墨，这证明你执笔不坚，是要受惩罚的。这样恶作剧还不够，有的在笔管上套大铜钱，一个，两个，乃至三四个，摇动笔管只觉头重脚轻，这原理是和国术家腿上绑沙袋差不 多，一旦解开重负便会身轻似燕极尽飞檐走壁之能事，如果练字的时候笔管上驮着好几两重的金属，一旦握起不加附件的竹管，当然会龙飞蛇舞，得心应手了。写一寸径的大字，也有人主张用悬腕法， 甚至悬肘法，写字如站桩，挺起腰板，咬紧牙关，正襟危坐，道貌岸然，在这种姿态中写出来的字，据说是能力透纸背。现代的人无需受这种折磨。“科学”已经废除了，只会写几个“行”“阅”“如 拟”“照办”，便可为官。自来水笔代替了毛笔，横行左行也可以应酬问世，写字一道，渐渐的要变成“国粹”了。
高二数学平面的基本性质9
[单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于关节运动，错误的是（）A.关节组成骨相互靠近，角度减小称为"屈"B.关节骨向腹侧面靠近者为"内收"C.骨绕矢状轴做旋转运动，骨的前面向内旋转称为"旋内"D.内收与外展相对E.部分肢体摄影位置需要关节呈一定运动状态 [单选]Afterconductinganabandonmentdrill，theMasterorpersoninchargeofashipshalllog（）.A.thenamesofcrewmemberswhoparticipatedinthedrillB.thelengthoftimethateachmotorpropelledlifeboatwasoperatedinthedrillC.thelengthoftimethelifeboatwasinthewaterD.thetimeittookt [单选]客户与证券公司进行金融交易，通过银行账户划转款项的，由（）向中国反洗钱监测分析中心提交大额交易报告。A、证券公司B、证券公司和银行各自C、证券公司和客户各自D、银行 [单选]以下关于合同分析作用的说法，错误的是（）。A.分析合同漏洞，解释争议内容B.分析合同风险，制定风险对策C.分解合同工作并落实合同责任D.进行图纸交底，简化合同管理工作 [单选]治疗热痹首选方是（）A.三痹汤B.白虎加桂枝汤C.桂枝汤D.防风汤E.桂枝芍药知母汤 [填空题]分解住院包括（）、（）。 [单选]焊割场地周围（）范围内，各类可燃易炸物品应清理干净。A.3mB.5mC.10mD.15m [单选]朊毒体可以诱发机体产生()A．细胞免疫B．体液免疫C．补体D．细胞凋亡E．体液免疫和细胞免疫 [单选]葡萄胎清宫
高考数学专题突破学生版-空间中点线面的位置关系(考点讲析)
理
线垂直于另一个平面.
α⊥β
α∩β＝MN
ABβ AB⊥MN
AB
⊥α
【典例 16】（2019·江西临川一中高三月考（文））如图，四面体 ABCD 中， ABC 是边长为 1 的正三角形，
8
ACD 是直角三角形， ABD CBD ， AB BD .
(1)证明：平面 ACD 平面 ABC ； (2)若点 E 为 BD 的中点，求点 B 到平面 ACE 的距离. 【典例 17】（2017 课标 1，文 18）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 ．
根据题意，确定两异面直线各自的方向向量 a，b，则两异面直线所成角θ满足 cosθ＝ | a ·b | . | a || b |
热门考点 04 与线、面平行相关命题的判定
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
a α，b⊄α，a∥b a∥α
结论 a∥α
2. 面面平行的判定与性质
热门考点 03 异面直线所成的角
异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的锐角或 直角叫作异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
②范围： (0, ] . 2
异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
4
【典例 8】（2019·北京高考真题（文））已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
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2
平面的画法
我们画出平面的一部分表示平 面，通常画平行四边形来表示 平面。 a. 通常用字母α、β、γ等表示； b.用平行四边形对角线上的两 个大写字母表示。
3
平面的表示
平面
水平放置的平面
平面
竖直放置的平面
A
D
C
B
平面ABCD（或平面AC）
在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以 把遮住部分画成虚线，也可以不画。
请你回答：（1）
平面与平面的交线是l )
点A在交线l上
的含ห้องสมุดไป่ตู้是: ( 直线AB在平面 内 ) 的含义是: ( 直线AB在平面 内 )
B
)
请你用图形来表示上面的关系式：
l
A
C
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总结
• 本节课我们主要学了哪些内 容？
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作业
平面的概念：
（1）平面的直观认识 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉. 平面 象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以____的印象
数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
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平面有哪些特征？怎样画平面？如何表示？
1
平面的特征 a.平面在空间是无限延展的； b.平面不能讲大小和厚度。
基本性质2
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
B
图形语言： α
符号语言： A C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用: 确定平面的依据; 判定点或线的共面
应用：
1、确定平面 2、证明两个平面重合 举例：照相机支架只需三条 腿就够了
平面的基本性质
点和直线基本性质
（初中）
（1）连接两点的线中，线段最短。
（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线
（3）两条直线相交，有且只有一个公共点 构成空间几何体的基本元素有点、线、
面！其性质分别是？
平面的基本性质
广阔的平原 海平面 冰天雪地
平静的湖面 鼓浪屿
平面的基本性质
广阔的草原，平静的湖面， 光滑的桌子、黑板·· · 给你留下什么样的印象？
a
a
A
B
B A
α
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，
a
α
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。 记为：a∩α＝A
α A
问题
• 如果一支钢笔的两端都在桌面内， 会怎么样？
把钢笔抽象成为一条直线，把桌面抽 象成一个平面，有什么样的结论？
基本性质1
• 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这直线 上的所有点都在这个平面内。
此时说直线在平面内，或者说平面经过直线
图形语言：
l
α
A
B
Al 作用: 符号语言：B l l 判断直线或点是否 A 在平面内的依据 B
1、用手指头将一本书平衡地摆方在空间 某一位置，至少需要几个手指头？ 手指的位置需要满足什么条件？ 2、把这扇门的锁给锁上，门便 固定了，为什么？
Q AB I P
A
P AB，P 平面 点P在平面ABC与平面
C B
的交线上 P Q 同理可证： Q ，R也在平面ABC与平面 的交线上
P，Q，R三点共线.
R
练习
1、判断对错： （1）如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数多 个公共点， 并且这些公共点都在直线AB上。( 正确 ) （2）经过一条直线的平面有无数多个（ 正确 ） （3）线段AB在平面内，则直线AB在平面内。（ 正确） 2、若一直线a在平面α内，则正确的图形是（A ）
平面的基本性质
B
α A C
B α
A C
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
讨论：
一个三角形的顶点在 桌面上，能说这个三 角形所在平面与桌面 所在平面只有一个公 共点吗？
β
l
α
P
基本性质3
A
B
C
D1
D
C1
3、在长方体ABCD—A1B1C1D1中, 点D,A1,B是否在同一平面内？
Ａ1
B1
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
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练习
4、下面的集合语言描述的是一个空间图形.
l , A l , AB , AC
的含义是: ( 的含义是: ( (2) (3) (4)
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过这个点的公共直线
β
图形语言： α 符号语言： P
a
P l且P l P 作用：
判断两个平面是否相交 及确定交线的依据
【例1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中， 画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.
D1
O
A1
C1 B1
D
A
C
B
【例2】如图画出平面 与平面ADE的交线
画出DE与平面 的交点
A
B D
C
P E
练习
（1）一条直线与两条平行直线都相交， 求证：这三条直线共面
（2）证明：两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
变式：如图，已知△ABC三边所在的直线分别交平面 于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。 证明：
二.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
(1)点与直线的位置关系： 点A在直线a上： 记为：A∈a 点B不在直线a上： 记为：B∈a (2)点与平面的位置关系： 点A在平面α内： 记为：A∈α 点B不在平面α上： 记为：B∈α (3)直线与平面的位置关系：
或称平面α通过直线a. 记为：a .