高中数学-椭圆的几何性质练习
高中数学考点09-椭圆的标准方程与几何性质(1月)(期末复习热点题型)(人教A版2019)(原
考点09 椭圆的标准方程与几何性质一、单选题1．椭圆22154y x +=的长轴长为A ．2B ．4CD ．2．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>和椭圆2C ：22221(0)x y c d c d+=>>的离心率相同，则A ．ab cd =B ．ac bd =C ．ad bc =D ．2222a b c d -=-3．椭圆2212516x y +=的短轴长为A ．B ．10C ．8D ．64．椭圆223412x y +=的焦点坐标为 A ．()1,0±B ．()0,1±C ．()D ．(0,5．椭圆22259225x y +=的长轴长、短轴长分别为 A ．5，3 B ．3，5 C ．10．6D ．6，106．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆 B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．7．已知ABC 的周长是20，且顶点B 的坐标为(0,4)-，C 的坐标为(0,4)，则顶点A 的轨迹方程是A ．221(0)2036x y x -=≠B ．221(0)3620x y x +=≠C ．221(0)2036x y x +=≠D ．221(0)3620x y x -=≠8．若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是A ．(0)1，B ．()(011)+∞，，C ．(0)+∞，D ．(1)+∞， 9．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为A BC ．2D ．1210．已知椭圆22:196x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 椭圆C 上，且12=PF ，则2PF = A ．16 B ．7 C ．4D ．111．椭圆2214924x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为 A ．24 B ．28 C ．40D ．4812．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为2F ，O 为坐标原点，M 为y 轴上一点，点A 是直线2MF 与椭圆C 的一个交点，且2||||2||OA OF OM ==，则椭圆C 的离心率为 A ．13B ．25C D 13．若椭圆222125x y m+=的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．3±D ．914．椭圆22195x y +=上任一点P 到点()1,0Q 的距离的最小值为A BC ．2D15．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)9x y a a a +=>-的左、右两焦点，过点2F 的直线交椭圆于点A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则a 的值为A ．3B ．C ．D 16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，若12BF F 为等边三角形，则该椭圆的离心率为A ．12B ．3C ．2D1710=的化简结果是A ．2212521x y +=B ．2212521y x +=C ．221254x y +=D ．221254y x +=18．设M 是圆P ：()22236x y ++=上的一动点，定点()0,2Q ，线段MQ 的垂直平分线交线段PM 于N 点，则N 点的轨迹方程为A ．22195x y +=B ．22159x y +=C ．2213632x y +=D ．2213236x y +=19．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为A ．12BC ．15D20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，12||F F =P 是C 上一点，若12PF PF a -=，且121sin 3PF F ∠=，则椭圆C 的方程为 A ．22143x y +=B ．22163x y +=C ．22164x y +=D ．22142x y +=21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，倾斜角为45︒的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点是(4,1)M -则椭圆的离心率是A BC ．2D ．1222．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =23．椭圆22143x y +=的右焦点到直线0x y -=的距离是A ．12BC ．1D24．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 A ．9 B ．1C ．1或9D ．以上都不对25．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于A ．3B ．5C ．7D ．826．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，M 为椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线27．已知A 、B 是椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，若1211k k +的最小值为4，则椭圆的离心率为 A ．12B．3 CD28．已知1F ，2F 分别是椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 、Q 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为 A ．[)2,4B ．[)3,4C ．[)1,4D ．[)1.5,429．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为A ．12 B 1C ．12D 130．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．2D ．331．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，右顶点为A ，过原点与x 轴不重合的直线交C 于M ，N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x yD ．2213632x y +=32．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．2⎫⎪⎪⎣⎭33．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=34．焦点在x 轴上的椭圆的方程为222141x ya a +=+(0a >)，则它的离心率e 的取值范围为A ．104⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．⎛ ⎝⎦D ．1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35．若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．不确定二、多选题1．已知椭圆C ：221641x y +=，则下列结论正确的是A ．长轴长为12BC ．焦点坐标为04⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭， D ．离心率为22．椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为A ．2212516x y +=B ．22110064x y +=C ．22164100x y +=D ．2251162x y +=3．已知椭圆22221x y a b +=的焦距为6，直线l 与椭圆交于A ，B 两点，弦AB 的中点为(2,1)M ，则直线l 的方程为 A ．78220x y +-= B ．7860x y --= C ．3271030x y --=D ．327710x y +-=4．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，且轨道Ⅰ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅰ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e ，2e ，则下列结论正确的是A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．2112e e +=D ．椭圆Ⅰ比椭圆Ⅰ更扁5．已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是 A ．椭圆C 的长轴长为10B ．椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3) C ．椭圆C 的离心率等于35D ．若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ = 6．已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上 C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线7．关于x 、y 的方程22221232x y m m +=+-，（其中223m ≠）对应的曲线可能是 A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．圆8．为使椭圆2212x y m+=的离心率为12，正数m 的值可以是A ．1BC ．83D ．329．下列说法正确的有A ．方程2x xy x +=表示两条直线B ．椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则4m =C ．曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D ．椭圆C ：2215y x +=的焦距是210．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，P 是该椭圆在第一象限内的点，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，且满足24MF OM =，则该椭圆的离心率可能是 A ．18B ．14 C ．12D ．34三、填空题1．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．2．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是__________．3．已知椭圆C ：2214x y +=的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点M ，N ，则2MNF 的周长是__________．4．椭圆2216x y m+=的一个焦点是(0,2)，则m =__________．5．已知方程22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________． 6．椭圆221916x y +=的离心率为__________．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，左焦点(,0)F c -，右顶点(,0)A a ，上顶点(0,)B b ，满足0FB AB =，则椭圆的离心率为__________．8．已知椭圆2219x y m +=的离心率等于13，则实数m =__________． 9．已知1F 、2F 是椭圆22110064x y +=上的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为__________．10．若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为__________． 11．如图所示，椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率为12，点P 为第一象限内椭圆上的一点，若1122:1PF APF F S S=:，则直线1PF 的斜率为__________．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率,23e ∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是__________．13．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()A ，当点M 在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为__________．14．已知1F 、2F 为椭圆C ：222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且12MF F △内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有两个，则a =__________．15．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为3，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线2y x =+相切，则椭圆的标准方程为__________． 四、双空题1．已知1F ，2F 是椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 在C 上，则12PF PF ⋅的最大值为__________；若(0,A ，则2PA PF -的最小值为__________．2．椭圆22149x y +=的焦距是__________，离心率是__________．3．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()1,2-，且0OM ON +=，动点P 与,M N 连线的斜率之积为12-，则动点P 的轨迹方程为__________，PMN 面积的取值范围是__________．4．椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是线段AB 的中点，若AB =，OC 的斜率为2，则m n -=__________，离心率e =__________．5．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的长轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的短轴长为__________，标准方程为__________．6．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF F ∠=__________，12PF PF -=__________．7．椭圆:194C +=的离心率为__________，长轴长__________．8．椭圆22142x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，则2ABF 的周长为__________；若A ，B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，且212y y -=，则2ABF 的内切圆半径为__________．9．椭圆22194x y +=的长轴长是__________，离心率是__________．10．（1）方程2244kx y k +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是__________；（2）设点A ，B 的坐标为()20-，，()20，，点P 是曲线C 上任意一点，且直线P A 与PB 的斜率之积为14-，则曲线C 的方程是__________． 五、解答题1．已知圆2219:24E x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点12,F F ，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于两点M ，N ，且(0)MN OA λλ=≠． （1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b += （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点()0,2P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点?若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为，直线:(0)=+≠l y kx m k 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，证明：2212k m +=． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⋅＝0，求证：直线l 过定点．5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F ，离心率12e =，点P 是椭圆上一个动点，1PF F 面积的最大值是（1）求椭圆的方程； （2）A ，B ，C ，D 是椭圆上不同的四点，AC 与BD 相交于点1F ，0AC BD ⋅=，||||AC BD +的最小值．6．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． 当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2． （1）求a 、b 的值；（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 7．平面内动点M 到点()2,0F 的距离与M 到直线92x =的距离之比为23． （1）求动点M 的轨迹C 的方程； （2）过点F 的直线l 交轨迹C 于不同两点A ､B ，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，试问12λλ+是否等于定值，并说明理由．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 为椭圆C 上一点，使得1260F PF ∠=，12PF F △ （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线1l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线2l 与椭圆C 相交于D 、E 两点，且A 、B 、D 、E 四点的横坐标均不相同，若直线1l 与直线2l 的斜率互为相反数，求证：直线AD 和直线BE 的斜率互为相反数．9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长等于4．（1）求椭圆C 的方程；（2）1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ：y kx m =+与圆O相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若32OA OB ⋅=-，求k 的值．10．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点)F，且离心率2e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 且倾斜角为45︒的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，求OMN (O 为坐标原点)的面积．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭，且离心率2e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 且不过点P 的直线l 交C 于,A B 两点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且120k k +=，求直线l 的斜率k ．12．设椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点坐标为(2,0) （1）求这个椭圆的方程；（2）若这个椭圆左焦点为1F，右焦点为F，过1F且斜率为1的直线交椭圆于A、B 2两点，求AB的长及2ABF的面积．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学选修2-1课时作业16：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.2.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 3.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32 B. 3 C.72D.4 [答案] C[解析] 由x 24＋y 2＝1知，F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P 的横坐标为x P ＝－3，代入椭圆方程得|y P |＝12，∴|PF 1|＝12. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72. 4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 2＋4y 2＝1D.x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝16[答案] D[解析] 若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1， 即x 2＋4y 2＝4.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14， ∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1，即4x 2＋y 2＝16. 5.椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是( ) A.±34B.±32C.±22D.±34[答案] B[解析] 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴，因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以点P 和点F 2的横坐标都为3.故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.故选B. 6.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 [答案] A[解析] 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a，即1－e 2＝e . ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值). 7.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴长 B .有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点[答案] B[解析] ∵(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，∴焦距相等.二、填空题8.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________.[答案] 2[解析] 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20.又y 20＝1－x 202， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2.∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2.9.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.[答案] x 25＋y 24＝1 [解析] ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. [答案] 14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m<1，即m >1时，依题意有1－1m 1＝32， 解得m ＝4，满足m >1；当1m>1，即0<m <1时，依题意有1m －11m ＝32， 解得m ＝14，满足0<m <1. 综上，m ＝14或4. 三、解答题 11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0). 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率.解 由F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12， 从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝c a ＝33. 13.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得 t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。
2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1
课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。
34C 。
错误!D 。
错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。
］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。
错误!＋错误!＝1B 。
错误!＋y 2＝1C 。
错误!＋错误!＝1D 。
错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(一)-A基础练(学生版)
3.1.2椭圆的简单几何性质（1） -A 基础练一、选择题1．（2020·南京市天印高级中学月考）椭圆2219y x +=的短轴长为（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．22.（2020福建泰宁一中月考）点(,1)A a 在椭圆22142x y +=的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．(),-∞⋃+∞B ．(C ．⎡⎣D ．()2,2-3．（2020河北正定县弘文中学高二月考）椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．4. （2020·全国高二单元测试）若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为( )A ．2B ．12C ．2+D ．15．（多选题）（2020·湖南怀化高二月考）若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 6. （多选题）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与椭圆x 225+y 216=1有相同的长轴,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的短轴长与椭圆y 221+x 29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有( )A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9二、填空题7.（2020·四川阆中中学开学考试）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是圆22680x y x+-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为.8.（2020全国高二课时练）若椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,则k的值为.9.（2020山东泰安高二期中）阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.10.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()三、解答题11.（2020全国高二课时练）焦点在x轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.12.（2020山东菏泽三中高二期中）如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求椭圆的方程.。
人教版高中数学选修一3.1.2椭圆的几何性质(五)定值、最值问题 课件
又 AOB 为锐角 cos AOB 0 OAOB 0 ，∴ OAOB x1x2 y1y2 0
又 y1 y2 (kx1 2)(kx2 2) k 2 x1x2 2k (x1 x2 ) 4
∴
x1 x2
y1 y2
(1
k 2 ) x1x2
2k (x1
x2 )
4
(1
k
2
)
1
12 4k
当 m 2k 时， l : y k(x 2) ，直线过定点 (2 , 0). 综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为 (2 , 0).
7
7
7
7
3
方法总结
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数
为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何
时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况
(3k 2 1)2
3
12k 2 9k 4 6k 2
1
3
9k 2
12
1 k2
6
(k
0) ≤ 3
12 23 6
4．
当且仅当 9k 2
1 k2
，即
k
3 时等号成立．当 k 0 时， AB
3
3，
综上所述 AB 2 ．当 AB 最大时，△AOB 面积取最大值 S 1 AB 3 3 ．
11
max
当t＝0时，不符合题意，故t≠0.
要使上式为零，当且仅当 x20＝1，解得 x0＝±1.
所以T为定点,故动圆过x轴上的定点(－1,0)与(1,0),即椭圆的两个焦点.
6
例题讲评
例2 如图,椭圆有两顶点A(－1,0)，B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆 交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--第1课时椭圆的简单几何性质及其应用
2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质及其应用基础过关练题组一 椭圆的性质及应用1.焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A.x 24+y 23=1B.x 24+y 2=1 C.y 24+x 23=1 D.x 2+y24=1 2.过椭圆x 24+y 23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3 3.(2019陕西宝鸡高二上学期期末)把椭圆x 225+y 216=1的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P 1,P 2,…,P 7,F 是左焦点,则|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|等于( ) A.21 B.28 C.35 D.424.设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且∠CBA=π4,若AB=4,BC=√2,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .题组二 与椭圆离心率有关的问题5.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12C.√33D.√226.已知焦点在y 轴上的椭圆mx 2+y 2=1的离心率为√32,则m 的值为( )A.1B.2C.3D.4 7.已知焦点在x轴上的椭圆方程为x 2a2+y 2=1(a>0),过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A,B 两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( ) A.√32B.12C.√154D.√338.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点为F 1,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF 1⊥x 轴,直线AB 与y 轴交于点P,其中AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率为 .题组三 与椭圆有关的范围问题 9.若点O 和点F分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 10.已知F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点P,使得∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.[√22,1) B.(0,√22)C.[12,1) D.[12,√22) 11.已知点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一个动点,点A 的坐标为(0,5),则|PA|的最小值为 .12.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B 是直线l:x=2√2上的不同两点,若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求|AB|的最小值.能力提升练一、选择题1.(2019辽宁抚顺六校期末联考,★★☆)已知椭圆x 2+y 2b 2+1=1(b>0)的离心率为√1010,则b 等于( )A.3B.13C.910D.3√10102.(2019山西大同高三开学考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√22,过F 1的直线l交C 于A,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为( )A.x 236+y 218=1B.x 216+y 210=1 C.x 24+y 22=1 D.x 216+y 28=1 3.(2020重庆沙坪坝高二期末,★★☆)已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l 与椭圆E 交于P,Q 两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E 的离心率为( ) A.√33 B.12C.13D.√224.(2019黑龙江大庆四中高二上学期期中,★★★)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点,且F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为( ) A.[0,3) B.(0,2√2) C.[2√2,3) D.[0,4]二、填空题5.(2019皖西南联盟高二期末联考,★★☆)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为35,面积为20π,则椭圆C的标准方程为.6.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),点P是椭圆上且在第一象限的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为A,若|OA|=2b,则椭圆的离心率为.三、解答题7.(2019河北张家口高三开学考试,★★☆)设F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上且在第一象限内的一点,且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b的值.8.(★★★)如图,F1,F2分别是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,AF1=F1F2.(1)求椭圆C的离心率;(2)已知△AF1B的面积为40√3,求a,b的值.答案全解全析 基础过关练1.A 依题意得a=2,a+c=3,故c=1,b=√22-12=√3,故所求椭圆的标准方程是x 24+y 23=1.2.B 过椭圆焦点的最长弦为长轴,其长度为4,最短弦为垂直于长轴的弦.易知c=1,将x=1代入x 24+y 23=1,得124+y 23=1,解得y 2=94,即y=±32,所以最短弦的长为2×32=3.故选B.3.C 设椭圆的右焦点为F',则由椭圆的定义得|P 1F|+|P 1F'|=10,由椭圆的对称性,知|P 1F'|=|P 7F|,∴|P 1F|+|P 7F|=10.同理,|P 2F|+|P 6F|=10,|P 3F|+|P 5F|=10.又|P 4F|=5,∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P 7F|=35. 4.答案4√63解析 不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),由题意知2a=4,∴a=2. ∵∠CBA=π4,BC=√2,∴不妨设点C 的坐标为(-1,1). ∵点C 在椭圆上,∴14+1b 2=1,∴b 2=43,∴c 2=a 2-b 2=4-43=83,c=2√63,则椭圆的两个焦点之间的距离为4√63. 5.D 依题意得椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a 2-c 2=c 2,∴e=√22. 6.D 将椭圆的方程化为标准形式为y 2+x 21m=1,由题意得a 2=1,b 2=1m ,∴c 2=a 2-b 2=1-1m ,∴离心率e=ca =√1-1m =√32,∴m=4.7.A 易知椭圆的焦点坐标为(±√a 2-1,0),∵|AB|=1,∴当x=±√a 2-1时,y=±12.不妨设A (√a 2-1,12),则a 2-1a 2+14=1,解得a=2,∴椭圆的离心率为e=√a 2-1a=√32.故选A.8.答案 12解析 如图,易知△ABF 1∽△APO, 则|AP ||AB |=|AO ||AF 1|,即23=aa+c ,所以a=2c,所以e=c a =12.9.C 由题意得F(-1,0),设点P(x 0,y 0),则y 02=3(1-x 024)(-2≤x 0≤2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+y 02=x 02+x 0+3(1-x 024)=14(x 0+2)2+2,当x 0=2时,OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 10. C 在△PF 1F 2中,设|PF 1|=m,|PF 2|=n,则m+n=2a,根据余弦定理,得(2c)2=m 2+n 2-2mncos 60°,整理得(m+n)2-3mn=4c 2,所以3mn=4a 2-4c 2, 所以4a 2-4c 2=3mn≤3(m+n 2)2=3a 2(当且仅当m=n 时,等号成立),即a 2≤4c 2,故e 2=c 2a 2≥14,又0<e<1, 所以12≤e<1.11.答案 2解析 设P(x,y),则|PA|=√x 2+(y -5)2=√x 2+y 2-10y +25. 因为点P 为椭圆x 2+2y 2=98上的一点,所以x 2=98-2y 2,-7≤y≤7,则|PA|=√98-2y 2+y 2-10y +25 =√-(y +5)2+148, 因为-7≤y≤7,所以当y=7时,|PA|min =2. 12.解析 (1)由题意得{ e =c a =√22,a 2=b 2+c 2,12×2a ×2b =4√2,解得{a =2,b =√2,c =√2.所以椭圆的标准方程为x 24+y 22=1.(2)由(1)知,F 1(-√2,0),F 2(√2,0),设直线l:x=2√2上的不同两点A,B 的坐标分别为(2√2,y 1),(2√2,y 2),则AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,-y 1),BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-y 2),由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得y 1y 2+6=0, 即y 2=-6y 1,不妨设y 1>0,则|AB|=|y 1-y 2|=y 1+6y 1≥2√6,当且仅当y 1=√6,y 2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.能力提升练一、选择题1.B 易知b 2+1>1,由题意得(b 2+1)-1b 2+1=b 2b 2+1=110,解得b=13或b=-13(舍去),故选B.2.D 由△ABF 2的周长为16,得|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=16,根据椭圆的性质,得4a=16,即a=4.又椭圆的离心率为√22,即c a =√22,所以c=2√2,b 2=a 2-c 2=8,则椭圆C 的方程为x 216+y 28=1.3.A 如图,设椭圆的右焦点为F',连接PF',QF',根据椭圆的对称性知,线段FF'与线段PQ 在点O 处互相平分,所以四边形PFQF'为平行四边形,∴|FQ|=|PF'|,∠FPF'=60°.根据椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a,又|PF|=2|QF|,∴|PF'|=23a,|PF|=43a,而|FF'|=2c.在△F'PF 中,由余弦定理,得(2c)2=(23a)2+(43a)2-2×23a×43a×cos 60°,即c 2a2=13,∴椭圆的离心率e=c a =√33.4.B 如图,延长PF 2,F 1M 交于点N,则△PF 1N 为等腰三角形,M 为F 1N 的中点,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12(|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=12·||PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||.由图可知,当P 在短轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值,此时|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0,当P 在长轴端点时,|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值,此时|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,但点P 不能在坐标轴上,所以|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为(0,2√2).二、填空题 5.答案y 225+x 216=1解析 设椭圆C 的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),则椭圆C 的面积为S=πab=20π,又e=√1-b 2a 2=35,解得a 2=25,b 2=16.所以椭圆C 的标准方程为y 225+x 216=1.6.答案√32解析 如图,延长F 2A 交F 1P 的延长线于点M.由题意可知|PM|=|PF 2|,由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a, 则|PF 1|+|PM|=|MF 1|=2a. 易知OA 是△F 1F 2M 的中位线, ∴|OA|=12|MF 1|=a. 又|OA|=2b,∴2b=a,则a 2=4b 2=4(a 2-c 2), 即c 2=34a 2,∴e 2=34,又e∈(0,1),∴e=√32.三、解答题 7.解析 (1)根据c=√a 2-b 2及题设知M (c ,b 2a ),由k MN =k MF 1=34,得b 2a-0c -(-c )=34,即2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入,得2c 2+3ac-2a 2=0,即2e 2+3e-2=0,解得e=12或e=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴,设直线MF 1与y 轴的交点为D,则D(0,2)是线段MF 1的中点,故b 2a =4,即b 2=4a.①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|, 则F 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设N(x 1,y 1),由题意知y 1<0,则{2(-c -x 1)=c ,-2y 1=2,即{x 1=-32c ,y 1=-1, 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1.② 由①②及a 2=b 2+c 2得9(a 2-4a )4a 2+14a =1,解得a=7,则b=√4a =2√7. 8.解析 (1)∵AF 1=F 1F 2, ∴a=2c,∴e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a-m.∵AF 1=F 1F 2=AF 2,∴△AF 1F 2是等边三角形, ∴∠F 1F 2B=180°-∠F 1F 2A=180°-60°=120°.在△BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2-2|BF 2||F 1F 2|cos∠F 1F 2B,即(2a-m)2=m 2+a 2-2am×(-12), ∴m=35a. ∵△AF 1B 的面积S=12|BA||F 1A|sin 60° =12×(a +35a)×a×√32=40√3,∴a=10,∴c=5,b=5√3.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质应用案
第1课时 椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4， 所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________． 解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33， 所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ， 所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3， 从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上， 所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0， 因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 椭圆 椭圆的简单几何性质(1)
又 − < 成立,则有 < + ,∴ − < < .
2
5.已知椭圆: 2
2
+ 2
= 1( > > 0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形
的三个顶点,且椭圆上的点到椭圆的焦点的最短距离为 3,则椭圆的方程为
2
3
2
2
2
A.( ,1)B.( ,1)C.( ,1)D.(0, )
[解析]设(, )( < < ),又(, ),(, ),且 ⋅ = ,
则 + − = ,与椭圆方程联立得 − + = ,
即(
则 <
−
= 1( > > 0)满足 = 2,则该椭圆的离心率 =() B
[解析]因为 = ,所以 =
故选B.
=
−
=
− =
.
2
4.设1 ,2 为椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)的左、右焦点,椭圆上存在点,∠1 2 = ,
∠2 1 = ,使得离心率 =
∴ = + ≥ = ，
当且仅当 = = 时,等号成立.
∴ ≥ ，∴ ≥ ，即椭圆长轴长的最小值为4.
2
9.已知椭圆1 与椭圆2 :
30
2
+
5
= 1具有共同的焦点1 ,2 ,点在椭圆1 上,1 ⊥ 2 ,__
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高中数学-椭圆的几何性质练习一、知识储备:1、对称性(原点）:坐标关系、中点、长度、三角形、平行四边形2、离心率:构建a,b,c 的关系。
二、求值常用方法:1）一点到两焦点距离，考虑定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ；过原点直线的两端点到一焦点距离，利用对称性可得平行四边形，然后转化为一点到两焦点情况。
（例1、7、8、9） 2）可求点横坐标或者纵坐标的，考虑焦半径01||ex a PF +=，02||ex a PF -=；（例2） 3）涉及准线的，考虑第二定义--点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率 三、求范围常用方法:1）a x a ≤≤-，c a PF c a +≤≤-||2）三角形成立，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3、最值问题:利用图形解决（常见共线）或者参数方程求最值（例5、10） 四、常用结论:1、椭圆上过原点的线段端点与另外一点的斜率之积为22ab -（例4、12、13）2、椭圆上点与两焦点所成角的最大值是点在短轴顶点时。
一、选择题、1．设椭圆C :x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.332．(·衡水调研)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e 等于( )A. 5B.32C.33D.633．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.154．已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.32 B.34 C.12D.225．(·潍坊模拟)设F 是椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，椭圆上的点与点F 的最大距离为M ，最小距离是m ，则椭圆上与点F 的距离等于12(M ＋m )的点的坐标是( )A ．(0，±2)B ．(0，±1) C.⎝⎛⎭⎪⎫3，±12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，±22 6．(·济南模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )A ．9x －16y ＋7＝0B ．16x ＋9y －25＝0C ．9x ＋16y －25＝0D ．16x －9y －7＝07．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为( ) A ．±12 B ．±14 C ．±34D ．±388.已知F 是椭圆E :)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点，经过原点的直线L 与椭圆E 交于Q P ,两点，若︒=∠=120|,|2||PFQ PQ PF 且，则椭圆E 的离心率为（）A.31 B.21C.33D.22二、填空题9．已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.10．(·广州联考)已知点F 为椭圆C :x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．（|PQ |-|PF |取最大值或者|PQ |＋|PF |取最小值）11．(·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．12．椭圆C:x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是________.13.已知平行四边形ABCD内接于椭圆:x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，且ADAB,斜率之积的范围为)32,43(--，那么椭圆离心率的取值范围______答案精析1．D [根据椭圆的定义以及三角知识求解．由题意知sin 30°＝|PF2||PF1|＝12，∴|PF1|＝2|PF2|.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a3.∴tan 30°＝|PF2||F1F2|＝2a32c＝33.∴ca＝33，故选D.]2．D [不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由椭圆定义，得|MF1→|＋|MF2→|＝2a，再结合条件可知|MO→|＝|MF2→|＝2a3.如图，过M作MN⊥OF2于N，则|ON →|＝c 2，|MN →|2＝|MO →|2－c 24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x . 在Rt △MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63，故选D.] 3．D [不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )， 由条件可得－3c ＝－a ＋2c ，∴a ＝5c ，故e ＝15.]4．A [设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32，故选A.] 5．B [由题意可知椭圆上的点到右焦点F 的最大距离为椭圆长轴的左端点到F 的距离． 故M ＝a ＋c ＝2＋3，最小距离为椭圆长轴的右端点到F 的距离，即m ＝a －c ＝2－ 3. 故12(M ＋m )＝12·(2＋3＋2－3)＝2.易知点(0，±1)满足要求，故选B.] 6．C [设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916， 弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0，故选C.]7．C [由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为1MF k ＝±3a8c ＝±38×2＝±34，故选C.]8．B [由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1>a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2>b 1b 2不正确，即②不正确；又由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，即③正确；∵a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，∴a 1＋a 2>b 1＋b 2>0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2<b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①③④，故选B.] 9.57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.10．(0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋2a －|PE |＝|PQ |－|PE |＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ |＋|PF |取最大值， 此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)， 即点P 的坐标为(0，－1)． 11．(2－1,1)解析 由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝ca ，即|PF 1|＝c a|PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2aca ＋c ，因为|PF 2|是△PF 1F 2的一边， 所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2>0， 所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 12．[38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127， 此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。