椭圆的简单几何性质试题
椭圆的简单几何性质典型例题
25 x22
∴
y12
y22
9 25
x1
x2 x1
x2 ．
将此式代入①，并利用 x1 x2 8 的结论得
x0
4
36 25
∴
k BT
9 5
0
4 x0
5 4
．
典型例题五
例5
已知椭圆
x2 4
y2 3
1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M
典型例题七
例 7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
x2 a2
y2 b2
1求出 a2
148 ，
b2
37
x2
，在得方程
，∴ a2
4，
∴
x2 4
y2
1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例
4
椭圆
x2 25
y 9
2
1上不同三点
Ax1，y1
，
B
4，9 5
，
Cx2，y2
1．
②
由①、②，得 a2 148 ， b2 37 或 a2 52 ， b2 13 ．故所求的方程为
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
椭圆简单几何性质(作业)
椭圆的简单几何性质一、选择题x 2 y 21．已知点 (3,2)在椭圆 a 2＋ b 2 ＝1 上，则 ( )A ．点 ( －3，－ 2)不在椭圆上B ．点 (3 ，－ 2)不在椭圆上C ．点 ( －3,2)在椭圆上D ．没法判断点 (－ 3，－ 2)，(3，－ 2)，(－3,2)能否在椭圆上2．曲线 x 2 y 2x 2 ＋ y 2＝1(0<k<9)的关系是 () 25＋9＝1与－－9 k 25 kA ．有相等的焦距，同样的焦点B ．有相等的焦距，不一样的焦点C ．有不等的焦距，不一样的焦点D ．以上都不对3．焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为 ()x 2y 2x 2y 2 A.36＋ 16＝1B.16＋ 36＝1x 2 y 2y 2 x 2C.6＋ 4 ＝1D. 6＋4 ＝14．椭圆的短轴的一个极点与两焦点构成等边三角形，则它的离心率为()11 12A. 2B. 3C.4D. 25．我国于 2007 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运转的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地址到地心的距离为m，远地址到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n(近地址是指卫星距离地面近来的点，远地址是距离地面最远的点 )，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较()A．没变B．变小C．变大D．没法确立二、填空题6．椭圆 9x2＋y2＝36 的短轴长为 ________．7．(2013 ·吉林高二检测 ) 已知长方形 ABCD， AB＝4，BC＝3，则以 A，B 为焦点，且过 C、D 的椭圆的离心率为 ________．8．(2011 课·标全国卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，2焦点 F1，F 2在 x 轴上，离心率为2 .过 F1的直线 l 交 C 于 A， B 两点，且△ABF2的周长为 16，那么 C 的方程为 ________．三、解答题．求与椭圆x2＋y25(1)＝1 有同样的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；9945(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个极点坐标分别是(－ 6,0)，(6,0)，求焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程．10．椭圆以直线3x＋4y－12＝ 0 和两坐标轴的交点分别作极点和焦点，求椭圆的标准方程．x2y211．如图，已知椭圆a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)，F1， F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上极点，直线AF2交椭圆于另一点 B.(1)若∠ F1AB＝90°，求椭圆的离心率；→→(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝ 2F2B，求椭圆的方程．。
椭圆的几何性质练习题
椭圆的几何性质练习题1. 给定一个椭圆，其长轴长度为12cm，短轴长度为8cm。
求椭圆的离心率。
2. 已知一个椭圆的长轴AB长度为20cm，短轴CD长度为16cm。
求椭圆的焦点坐标。
3. 若一个椭圆的两个焦点之间的距离为10cm，离心率为0.6。
求椭圆的短轴长度。
4. 给定一个椭圆，其长轴AB长度为24cm，焦距为10cm。
求椭圆的离心率。
5. 椭圆的焦距为8cm，离心率为0.8。
求椭圆的长轴和短轴长度。
解答：1. 椭圆的离心率定义为焦距与长轴的比值。
已知长轴为12cm，短轴为8cm，根据椭圆的性质可知，焦距长度为c，满足c^2 = a^2 - b^2，其中a为长轴长度，b为短轴长度。
代入已知数据可得c^2 = 12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80，所以焦距长度为√80 = 8√5 cm。
离心率为e = c/a =(8√5)/12 = (2√5)/3 ≈ 1.13。
2. 已知长轴长度为20cm，短轴长度为16cm。
根据椭圆的性质可知，焦距长度为c，满足c^2 = a^2 - b^2，其中a为长轴长度，b为短轴长度。
代入已知数据可得c^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144，所以焦距长度为√144 = 12 cm。
由于椭圆的焦点在长轴上方和下方对称，所以焦点坐标为(0, ±6)。
3. 已知焦点之间的距离为10cm，离心率为0.6。
设焦距长度为c，长轴长度为2a，短轴长度为2b。
由于离心率e = c/a，可得c = ea。
又因为c^2 = a^2 - b^2，代入已知数据可得(ea)^2 = a^2 - b^2，即e^2a^2 = a^2 - b^2。
由离心率的定义可知e < 1，所以e^2 < 1，即a^2 - b^2 > 0。
将e^2a^2 = a^2 - b^2移项整理可得a^2 - e^2a^2 = b^2，即a^2(1 - e^2) = b^2。
(整理)椭圆及其简单几何性质
精品文档椭圆及其标准方程1。
平面内 ，叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。
2。
根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。
当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。
3。
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。
其中c b a ,,满足关系为 。
练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax精品文档例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。
轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.精品文档椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。
微专题09-椭圆的简单的几何性质
微专题09 椭圆的简单的几何性质例1. 在椭圆2214520x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式1-1 若椭圆2214520x y +=上的点P 与两焦点连线的夹角为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是_________.若夹角为锐角呢？变式1-2 在椭圆2214536x y +=上是否存在一点，使它与两焦点的连线互相垂直？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.变式1-3 已知12,F F 是椭圆2221(0)4x y b b +=>在x 轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则b 的取值范围是________.变式1-4 （2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞例2 设是12,F F 椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）(A)4(B)6 (C) (D)变式2-1 已知P 是椭圆22154x y +=上一点，12,F F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为( )(B)4(2 (C)4(2+ (D)4变式2-2 已知P 是椭圆221925x y +=上一点，12,F F 是焦点，当12||||PF PF ⋅取到最大值时点P 的坐标为________.变式2-3 设椭圆22143x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若12PF F ∆是直角三角形，则12PF F ∆的面积为( )A ．3B ．3或32 C.32D ．6或3例3 (2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )(A)1 (B)2 1变式3-1 点A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点，O 为椭圆的中心，若椭圆上存在点P ，使0OP AP ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-2 若12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12120F PF ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-3 若A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点，P 为椭圆上一点，且120APB ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.。
高二上学期数学练习题(7)(椭圆的简单几何性质)有详细答案
高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）班级 姓名 学号一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为 （ ）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( ) A.32 B.34 C.22 D.233. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12C ．2D ．4 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.136. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )． A.15 B.25 C.55 D.2557. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．88. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－139. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （ ） 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 12.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．13.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12， 则椭圆G 的方程为________．14.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________15.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．17.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝_______18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 则该椭圆的离心率为________． 三．解答题19.求椭圆x 24＋y 2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．20.已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A (2，－6)．求椭圆的标准方程．21.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，一个顶点为H (2，0)． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．22.已知直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M 、N 两点，且|MN |＝423.求直线l 的方程．23.已知过点A (－1，1)的直线与椭圆x 28＋y24＝1交于点B 、C ，当直线l 绕点A (－1，1)旋转时，求弦BC 中点M 的轨迹方程．24.如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．高二上学期数学练习题（7）（椭圆的简单几何性质）参考答案班级 姓名 学号 （5-12页）一．选择填空题1. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为 （ ）A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案 D 2. 椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为 ( )． A.32 B.34 C.22 D.23解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 14＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32.答案 A 3. 已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析 因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.答案 A4. 已知椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝ ( )．A.14B.12 C ．2 D ．4 解析 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m >1，∴0<m <1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 答案 A 5. 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( ) A.52 B.33 C.12 D.13解析：记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3， 则椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝2c 2c 3＋4c 3＝33，故选B.答案 B6. 如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B A.15 B.25 C.55 D.255解析：由条件知，F 1(－2，0)，B (0，1)，∴b ＝1，c ＝2，∴a ＝22＋12＝5，∴e ＝c a ＝25＝255.答案 D7. 已知椭圆x 23＋y 24＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A ，B 和C ，D ，则AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝ ( )． A ．2 3 B ．4 3 C ．4 D ．8 解析 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接 AF 1、FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1(其中F 1为椭 圆的下焦点)为平行四边形，∴AF 1＝FD ，同理BF 1＝CF ， ∴AF ＋BF ＋CF ＋DF ＝AF ＋BF ＋BF 1＋AF 1＝4a ＝8.答案 D8. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1²k 2的值为 ( )． A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析 设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 12＝b 2－b 2x 12a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 12x 2－x 12＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案 D 9. 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 （ ） 解析 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1，0)．∴由F A →＝3FB →得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0，∴x 0＝43，y 0＝13n ，将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12³(43)2＋(13n )2＝1.解得n 2＝1，∴|AF →|＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.所以选A.答案 A 10. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( D )A ．8,2B ．5,4C ．5,1D ．9,1二．填空题11.已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________． 解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4. 所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.答案 x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝112.已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为12，则k 的值为________．解析：①当k ＋8>9时，e 2＝c 2a 2＝k ＋8－9k ＋8＝14，k ＝4；②当k ＋8<9时，e 2＝c 2a 2＝9－k －89＝14，k ＝－54.答案4或－5413.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12， 则椭圆G 的方程为________．解析：依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.答案 x 236＋y 29＝114.已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝52，b ＝42.但焦点位置不确定．答案 x 250＋y 232＝1或x 232＋y 250＝115.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，若直线与椭圆有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝（4m ）2－4m （3＋m ）>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m <0或m >1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m >0且m ≠3. 综上可知，m 的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案 (1，3)∪(3，＋∞) 16.椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（12x 1－12x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54（4＋24）＝35，答案 35。
《椭圆的简单几何性质》练习题二
《椭圆的简单几何性质》练习题二1.设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若 △F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）22（B ）212- （C ）2—2 （D ）2—1 2．如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不．正确的是( ) A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2 B ．a 1－c 1＝a 2－c 2 C ．a 1c 2<a 2c 1 D ．a 1c 2>a 2c 13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且 BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ＝2PB ，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.124. 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴5．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8776．椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点距离为8，则点P 到右准线的距离是（ ） （A ） 25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425 7．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得 02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）（A ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 8．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（ ） （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）9109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A ．25B ．27C ．3D ．410. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122;a c a c +=+②1122;a c a c -=-③1212;c a a c >④1212.c c a a < 其中正确式子的序号是（ ）A.①③B.②③C.①④D.②④10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．若椭圆 上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____．11.椭圆1162522=+y x 上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ， M 到右焦点的距离为 .12.椭圆14922=+y x 的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝 角时，则点P 的横坐标的范围是13.直线062=+-y x 过椭圆12522=+my x 的左焦点，则椭圆的右准线方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上， 且B F x ⊥轴， 直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是15.已知， 是椭圆 内的点， 是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．16已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求（1）||35||1MF MA +的最小值 （2）||5||31MF MA +的最小值17.已知椭圆C 的方程为1121622=+y x ，F 1、F 2是它的左右两个焦点，点A 的坐标 为(3,1)，试在椭圆上求一点P ，(1)使得|PA|+|PF 2|最小；(2)使得|PA|+2|PF 2|最小，并求出相应的最小值。
高二数学椭圆的简单几何性质测试卷
典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ：其长轴长是短轴长的2倍 ：求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置 ：要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时 ：2=a ：1=b ：椭圆的标准方程为：11422=+y x ： （2）当()02，A 为短轴端点时 ：2=b ：4=a ：椭圆的标准方程为：116422=+y x ： 说明：椭圆的标准方程有两个 ：给出一个顶点的坐标和对称轴的位置 ：是不能确定椭圆的横竖的 ：因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分 ：求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c = ： ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题 ：通常有两种处理方法 ：一是求a ：求c ：再求比．二是列含a 和c 的齐次方程 ：再化含e 的方程 ：解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点 ：焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点 ：M 为AB 中点 ：OM 的斜率为0.25 ：椭圆的短轴长为2 ：求椭圆的方程．解：由题意 ：设椭圆方程为1222=+y ax ：由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ：得()021222=-+x a x a ： ∴222112aa x x x M +=+= ：2111a x y M M +=-= ： 4112===a x y k M M OM ：∴42=a ： ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法 ：（2）直线与曲线的综合问题 ：经常要借用根与系数的关系 ：来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ， ：⎪⎭⎫⎝⎛594，B ：()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ：（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ：求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ：3=b ：4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12： ∴ 11545x ex a AF -=-=． 同理 2545x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+ ：且59=BF ： ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ： 即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ， ：所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上 ：设其坐标为()00，x ：代入上式 ：得()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ， ：()22y x B ，都在椭圆上 ：∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-． 将此式代入① ：并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ：1F 、2F 为两焦点 ：问能否在椭圆上找一点M ：使M到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在 ：则求出点M 的坐标 ：若不存在 ：请说明理由．解：假设M 存在 ：设()11y x M ， ：由已知条件得2=a ：3=b ：∴1=c ：21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ： ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-= ： 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN⋅= ：∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾 ：所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题 ：解决存在性问题 ：一般用分析法 ：即假设存在 ：根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果 ：再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在 ：推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ：求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线 ：关键是求斜率 ：故设斜率为k ：利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ：则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程 ：并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122kkk x x +-=+． ∵P 是弦中点 ：∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ， ：列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组 ：从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ， ：则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ：即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题 ：主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦 ：平行弦的中点轨迹 ：过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法” ：解决有关弦中点问题的题较方便 ：要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍 ：且过点()62-，： （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直 ：且焦距为6．分析：当方程有两种形式时 ：应分别求解 ：如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ：372=b ：在得方程13714822=+y x 后 ：不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-， ：因此有()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、② ：得1482=a ：372=b 或522=a ：132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知 ：3=c ：3==c b ：所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准 ：定参数”．关键在于焦点的位置是否确定 ：若不能确定 ：应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ：过点()31，A ：点M 在椭圆上 ：当MF AM 2+为最小值时 ：求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ：把MF 2转化为M 到右准线的距离 ：从而得最小值．一般地 ：求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ：2=c ．所以21=e ：右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥ ：垂足为Q ：交椭圆于M ：故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ：即M 为所求点 ：因此3=M y ：且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上 ：如图 ：21=e ：即MF 是M 到右准线的距离的一半 ：即图中的MQ ：问题转化为求椭圆上一点M ：使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程 ：由点到直线的距离建立三角函数关系式 ：求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3， ：则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时 ：22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时 ：可建立曲线的参数方程．典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点 ：长轴在x 轴上 ：离心率23=e ：已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7 ：求这个椭圆的方程 ：并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力 ：在求d 的最大值时 ：要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程 ：也可用椭圆的参数方程 ：要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题 ：从而加强等价转换、形数结合的思想 ：提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ：其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ：即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ：则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ：则当b y -=时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ：由此得21237>-=b ：与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立 ：于是当21-=y 时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b ：可得1=b ：2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得 ：椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213， ：点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7． 解法二：根据题设条件 ：可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ：其中0>>b a ：待定 ：πθ20≤≤ ：θ为参数．由22222221⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ：即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 的距离为d ：则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ：即21<b ：则当1sin -=θ时 ：2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ：由此得21237>-=b ：与21<b 矛盾 ：因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b ：∴1=b ：2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ ：23cos ±=θ ：可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213， ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ：R ∈y ：x y x 63222=+ ：求x y x 222++的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合 ：观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222：显然它表示一个圆 ：由此可以画出图形 ：考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+ ：得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆 ：其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点 ：焦点在x 轴上 ：且过（0 ：0）点和（3 ：0）点．设m x y x =++222 ：则 ()1122+=++m y x它表示一个圆 ：其圆心为（－1 ：0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆 ：如图所示．观察图形可知 ：当圆过（0 ：0）点时 ：半径最小 ：即11=+m ：此时0=m ：当圆过（3 ：0）点时 ：半径最大 ：即41=+m ：∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0 ：最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ： ：A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P ' ：求证：不论a 、b 如何变化 ：120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ：使 120=∠AQB ：求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发 ：两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计 ：因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中 ：其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式 ：只能是椭圆的固有性质：a x ≤ ：b y ≤ ：根据 120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ：将22222y b a a x -=代入 ：消去x ：用a 、b 、c 表示y ：以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚 ：计算准确 ：一气呵成．解：（1）设()0，c F ：()0，a A - ：()0，a B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2 ：()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴120≠∠APB ． （2）设()y x Q ， ：则a x y k QA +=：ax y k QB -=． 由于对称性 ：不妨设0>y ：于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠∵120=∠AQB ： ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ： ∴2232c ab y = ∵b y ≤ ： ∴b cab ≤2232 232c ab ≤ ：()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ：044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍） ：∴136<≤e ． 典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ：求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时 ：82+=k a ：92=b ：得12-=k c ．由21=e ：得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时 ：92=a ：82+=k b ：得k c -=12．由21=e ：得4191=-k ：即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定 ：所以椭圆的焦点可能在x 轴上 ：也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ：求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义 ：或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ：得b a 2= ：b c 3= ：23=e ．由椭圆定义 ：b a PF PF 4221==+ ：得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义 ：e d PF =11 ：1d 为P 到左准线的距离 ：∴b ePF d 3211==：即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22 ：2d 为P 到右准线的距离 ：23==a c e ： ∴b ePF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时 ：要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义 ：是从不同的角度反映椭圆的特征 ：解题时要灵活选择 ：运用自如．一般地 ：如遇到动点到两个定点的问题 ：用椭圆第一定义 ：如果遇到动点到定直线的距离问题 ：则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ：求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ：由P 与x 轴正向所成角为3π：∴ααπcos 4sin 323tan=：即2tan =α．而0sin >α ：0cos >α ：由此得到55cos =α ：552sin =α ： ∴P 点坐标为)5154,554(． 典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点 ：P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ：求证：01ex a r += ：02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义 ：利用椭圆第二定义 ：可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离 ：ca x PQ 20+= ：由椭圆第二定义 ：e PQPF =1 ：∴01ex a PQ e r +== ：由椭圆第一定义 ：0122ex a ra r -=-=． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式 ：在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时 ：有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ：1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点 ：点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标 ： (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题 ：通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当 ：即代数方法．二是数形结合 ：即几何方法．本题若按先建立目标函数 ：再求最值 ：则不易解决 ：若抓住椭圆的定义 ：转化目标 ：运用数形结合 ：就能简捷求解．解：(1)如上图 ：62=a ：)0,2(2F ：22=AF ：设P 是椭圆上任一点 ：由6221==+a PF PF ：22AF PF PA -≥：∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ：等号仅当22AF PFPA -=时成立 ：此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤ ：∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ：等号仅当22AF PF PA +=时成立 ：此时P 、A 、2F 共线． 建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ：解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述 ：P 点与1P 重合时 ：1PF PA +取最小值26- ：P 点与2P 重合时 ：2PF PA +取最大值26+．(2)如下图 ：设P 是椭圆上任一点 ：作PQ 垂直椭圆右准线 ：Q 为垂足 ：由3=a ：2=c ：∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ：∴223PF PQ = ：∴PQ PA PF PA +=+223：要使其和最小需有A 、P 、Q 共线 ：即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1 ：代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值 ：就是用第二定义转化后 ：过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程 ： (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数 ：常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标 ：所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ：由对称性知 ：矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴 ：设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点 ：)20(π<θ< ：则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程 ：转化为三角函数的最值问题 ：一般地 ：与圆锥曲线有关的最值问题 ：用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ：2F 是椭圆的两个焦点 ：P 是椭圆上一点 ：且︒=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围 ：(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性 ：可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ） ：),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式 ：即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ：设),(11y x P ：)0,(1c F - ：)0,(2c F ：化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ：两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ：由],0(1b y ∈ ：可以确定离心率的取值范围 ：解出1y 可以求出21F PF ∆的面积 ：但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF += ：12ex a PF -= ：在21F PF ∆中运用余弦定理 ：求1x ：再利用],[1a a x -∈ ：可以确定离心率e 的取值范围 ：将1x 代入椭圆方程中求1y ：便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理 ：结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ） ：),(11y x P ：)0,(1c F - ：)0,(2c F ：0>c ：则11ex a PF += ：12ex a PF -=． 在21F PF ∆中 ：由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒ ： 解得2222134e a c x -=．(1)∵],0(221a x ∈ ：∴2222340a ea c <-≤ ：即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134e a c x -=代入12222=+by a x 得24213c b y = ：即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1 ：n PF =2 ：α=∠12F PF：β=∠21F PF ： 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中 ：由正弦定理得︒==60sin 2sin sin c n m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+ ： ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα ：∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中 ：由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+ ：∴mn a c 34422-= ：即22234)(34b c a mn =-=． ∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ：2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形 ：涉及有关焦点三角形问题 ：通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形 ：使之出现21PF PF +的结构 ：这样就可以应用椭圆的定义 ：从而可得到有关a ：c 的关系式 ：使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ：若这个椭圆上总存在点P ：使AP OP ⊥(O 为坐标原点) ：求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点 ：P 为动点 ：可以P 点坐标作为参数 ：把AP OP ⊥ ：转化为P 点坐标的一个等量关系 ：再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式 ：转化为关于e 的不等式．为减少参数 ：易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ： 则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ：)0,(a A ： ∵AP OP ⊥ ：∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ ：即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ ：解得1cos =θ或222cos b a b -=θ ：∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去） ：11222<-<-b a b ：又222c a b -= ∴2022<<ca ：∴22>e ：又10<<e ：∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22( ：求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
椭圆的简单几何性质练习题
1．椭圆63222=+y x 的焦距是〔 〕A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( )A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D.），），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 192522=+〔 〕 A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为14．以下说法错误的选项是．．．．．．( ) A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为：“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞 B ．22320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题.D ．假设命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥〞5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是〔 〕 A.22 B. 2 C.2D. 16．椭圆焦点在x 轴，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是〔 〕 A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、2218136x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>∀x x x 的否认_____________________________________8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，那么=n a ___________,7S =_________________9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，那么2468a a a a +++=__________10．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’那么y x z -=2的取值范围是______________11．在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为__________12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，那么椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 那么椭圆方程为______________ 13．〔思考〕椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且21PF F ∠＝60°，那么△21PF F 的面积为__________________14．动点P 〔x ，y 〕到定点()2,0F 的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．求动点P 的轨迹C 的方程； 〔参考教材P47 例6〕15．点()11,M 位于椭圆12422=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。
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椭圆的简单几何性质试题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
课时作业(八)
[学业水平层次]
一、选择题
1．(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为3
5的椭圆的标准方程是( )
A.x 2100＋y 2
36＝1 B.x 2100＋y 2
64＝1 C.x 225＋y 2
16＝1
D.x 225＋y 2
9＝1
【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b ＝8，得 b ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16，又e ＝c a ＝3
5，解得c ＝3，a ＝5，又焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 225＋y 2
16＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
A.12
B.13
C.14
D.22
【解析】 由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝1
2. 【答案】 A
3曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2
25－k
＝1(0<k <9)的关系是( )
A ．有相等的焦距，相同的焦点
B ．有相等的焦距，不同的焦点
C ．有不等的焦距，不同的焦点
D ．以上都不对
【解析】 曲线x 225＋y 29＝1的焦距为2c ＝8，而曲线x 29－k ＋y 2
25－k ＝
1(0＜k ＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B.
【答案】 B
4．已知O 是坐标原点，F 是椭圆x 24＋y 2
3＝1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为( )
A.5
13 B ．－513 C.21313
D ．－21313
【解析】 由题意，a 2＝4，b 2＝3， 故c ＝
a 2－
b 2＝
4－3＝1.
不妨设M (1，y 0)，N (1，－y 0)，所以124＋y 2
3＝1，
解得y 0＝±3
2，
所以|MN |＝3，|OM |＝|ON |＝12
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫322＝13
2. 由余弦定理知
cos ∠MON ＝|OM |2＋|ON |2－|MN |2
2|OM ||ON |
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1322＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1322－322×132×132＝－513.
【答案】 B 二、填空题
5．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝1
2.
【答案】 1
2
6．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则k AB ·k OM ＝________.
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点M ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，得k AB ＝y 2－y 1
x 2－x 1
，
k OM ＝y 2＋y 1x 2＋x 1，k AB ·k OM ＝y 2
2－y 21
x 22－x 21，
b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2
，
得b 2(x 22－x 21)＋a 2(y 22－y 2
1)＝0，即y 22－y 21x 22－x 2
1
＝－b 2a 2. 【答案】 －b 2
a 2
7．(2014·天津高二检测)已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y
22＝1上的一个
动点，则m 2＋n 2的取值范围是________．
【解析】 因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y
2
2＝1上的一个动点，所以m 2＋n
22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所
以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.
【答案】 [1,2] 三、解答题
8．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为5
5的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c ＝9－4＝5，
∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵e ＝
c a ＝5
5，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 2
20＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，
设它的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵2
c ＝8，∴c ＝4， 又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20. ∴椭圆的方程为x 236＋y 2
20＝1.
9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横
坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
a 2＋y 2
b 2＝1，y 2＝3
4b 2，即
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，32
b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝3
2b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝
a 2－
b 2a ＝(3b )2－b 23b
＝22
3. [能力提升层次]
1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.2
2 B.2－1 C ．2－ 2 D.2－1
2
【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 由题得|PF 2|＝b 2
a ＝2c ， 即a 2－c 2
a ＝2c ，
得离心率e ＝2－1，故选B. 【答案】 B
2．(2014·清远高二期末)“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2
m ＝1的离心率为1
2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 椭圆x 24＋y 2m ＝1离心率为1
2， 当0<m <4时，
4－m 2＝1
2，得m ＝3，
当m >4时，
m －4m
＝12，得m ＝16
3， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为1
2”的充分不必要条件．
【答案】 A
3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →
，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由AP →＝2PB →
，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，
则离心率e ＝1
2. 【答案】 1
2
4．(2014·青海省西宁)已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
20＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .
(1)求点P 的坐标；
(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
【解】 (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，
则AP →＝(x ＋6，y )，FP →
＝(x －4，y )．
由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 236＋y 220＝1，
(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，
则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝3
2或x ＝－6.
由于y >0，只能取x ＝32，于是y ＝5
2 3.
所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，523.
(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，
则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|
2，又B (6,0)， 于是|m ＋6|
2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2，
设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2
＝(x －2)2
＋y 2
＝x 2
－4x ＋4＋20－59x 2
＝49⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －922
＋15， 由于－6≤x ≤6，所以当x ＝9
2时，d 取最小值15.。