第三章 集中量
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第三章集中量数,趋中量数(MeasuresofCentralTendency)
第三章集中量數（或趨中量數）(Measures of Central Tendency)壹、本單元的目標1、解釋集中量數的目的，並說明此量數所傳達的訊息2、計算，說明，及比較眾數（mode）、中位數（median）、以及平均數（mean）的差異3、說明平均數的數學特性4、依照測量尺度及偏態（skew）來選擇適當的集中量數貳、各種集中量數上個單元所介紹的次數分配及圖表等是用來描述資料的整體分配情況。
本單元及下個單元則介紹兩類的描述統計，以進一步瞭解資料整體分配的細節。
這兩類統計能告訴我們以下的資訊是：1、代表此分配之典型或平均狀況的個案為何。
與此有關的描述統計就是各種「集中量數」。
2、此分配之變異或異質性的狀況。
與此有關的描述統計就是各種「離散量數」。
所以，集中量數就是以一個數值來描述樣本資料中，那一個分數或數值是最常見的、站在中間的位置、或最具代表性。
最常見的集中量數有三種，即眾數(Mode)、中位數(Median)、和算術平均數(Mean)。
這三種量數雖有共同的目的，但它們測量資料之集中趨勢（central tendency）的作法卻不同，也傳達不同的訊息。
因此，只有在特定的條件下，這三種量數的數值才會相同。
到底用那一個集中量數和the level of measurement（測量尺度）以及研究之目的有關。
集中量數之使用和測量尺度之關係：Nominal －ModeOrdinal －Mode、Median （也可用Mean，但解釋時要小心）Interval-Ratio －Mode、Median、Mean一、眾數(Mode)：是指資料中出現最多的數值。
眾數適用於各種測量尺度。
但當變項為名目尺度時，這是唯一可用的集中量數。
在名目尺度變項，或次數分配表中，眾數是指含件數或次數最多的類別。
眾數雖是最簡單之集中量數，但有缺點：1、有些分配不一定有眾數，換言之，分配很平均時或眾數很多時，眾數即失去意義和功能。
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
第三章集中量数和差异量数
从以上计算可知，两班平均数都是73分，说
明两班的平均水平相同。但它们的标准差不同，
说明两班成绩的差异程度很不相同。一班的差异
程度较小，平均分数73的代表性就较大；二班的 差异程度较大，平均分数73的代表性就小些。 2、原始数据法 为了减少计算量，可将公式3.1进行转换， 使公式中参与运算的变量皆为原始数据。公式 为
xnxnx表示次数为原始数据总和的平方为原始数据的平方之和式中2222???????????????32例2用原始数据法计算表1的标准差09149657949747222?????????????????????nxnx?解
第三章 集中量数 和差异量数
• 1、对某校学生的思想品德用五级记分法记分， 其人数统计可以用（ ）表示： • a、直条图 b、直方图 c、多边图 d、线形图 2、从总体中抽取出作为观察对象的一部分个 体，称为： （ ） a、样本 b、总体 c、有限总体 d、无限总体 3、在制作有纵横轴的统计图时，一般来说， 纵轴与横轴比为： （ ） a、1：1 b、3：5 c、5：3 d、6：3
82
77230
616 360 201
60-64
55-59 ∑
62
57
4
2 50
248
114 3915
解：将表中数据代入公式，得
fXc 3915 X 78.3 N 50
说明：利用次数分布求得的算术平均数是 一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均
匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，
X
fXc
N
式中Xc为组中值；f为各组次数，即权数；N 为总次数=∑f。
例 某班50人外语期末考试成绩的次数 分布如下，求全班学生的平均成绩。
3.集中量
教 育 统 计 学
中位数的性质
各变量值对中位数之差的绝对值总和，小于它们对
任何其他数的绝对值总和。
中位数不受极端值的影响。
分组资料有不确定组距时，仍可求得中位数。 中位数受抽样变动的影响较算术平均数略大。
中位数适用范围：定序变量、定距变量。
教 育 统 计 学
四分位数（quartile）：上下四分位数（或分别
3. 众数的性质
（1）众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不
受极端值影响，对开口组仍可计算众数；
（2）受抽样变动影响大；
（3）众数不唯一确定。
（4）众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容
易区分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋势
的频数分布，用众数最合适。
教 育 统 计 学
二、集中趋势的测定—中位数
Lo为众数组下限； Δ１为众数组前一组频数； Δ２为众数组后一组频数； ho为众数组组距。
教 育 统 计 学
求下表中的众数
人口数（X） 2 3 4 5 6 7 8 合计 户数(f) 5 8 16 10 6 4 1 50 频率(P) 0.10 0.16 0.32 0.20 0.12 0.08 0.02 1.00
t
教 育 统 计 学
算术平均数的优缺点及应用
• 优点：反应灵敏﹑严密确定﹑简明易懂﹑计算简单﹑受抽样 变动影响较小﹑适合代数运算等。是运用最广的一种集中量 指标。
x x 最小
2
x x 0
• 不足：易受极端数值的影响；当一组数据中某些数据不清楚 或不准确时，不能计算其算术平均数。在偏斜分布中，不具 有代表性。 • 适用条件：一组数据中每个数据都比较准确﹑可靠；无极端 数值的影响。
教育统计学_第三章 集中量
现要确定他们月经济收入的一般水平。
解 ： 因 为 n=25 为 奇 数 ， n+1/2=26/2=13， 所以中位数为位于第13号的那个，数值即 3587（元）。
答：这25名大学教师的月经济收入一般为 3587元。
又如：某某研究者对实验班用计算机辅助教学， 而对照班仍用传统的讲授方式进行教学，期末进行 统一测试，两班学生的成绩如下，试比较两种授课 方式产生的效果有何不同？
一、中位数的概念
中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用
Md表示。
二、中位数的计算方法
1．原始数据计算法 •总频数为奇数 举例说明：
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元）：
2275，3300，3326，3358，3363，3394，3402， 3455，3467，3485，3500，3565，3587，3592， 3618，3633，3646，3674，3720，3734，3756， 3775，3820，5695，7100
1
2
2．频数分布表计算法
Md L ( N n ) i
md
2
f 1
md
首先，要确定中位数究竟在那一组里，即中 位数所在组。
然后，确定中位数在这个组的什么位置上。 最后，计算中位数的值。
又如：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据 经过整理，结果如下，现要计算这100名学生智商的中位 数。
然后，根据定义公式计算平均数：
X X1 X 2 X N N
97 93 95 37
87.68
又如：某某研究者对实验班用计算机辅助教学， 而对照班仍用传统的讲授方式进行教学，期末进行统 一测试，两班学生的成绩如下，试比较两种授课方式 产生的效果有何不同？
解 ： 因 为 n=25 为 奇 数 ， n+1/2=26/2=13， 所以中位数为位于第13号的那个，数值即 3587（元）。
答：这25名大学教师的月经济收入一般为 3587元。
又如：某某研究者对实验班用计算机辅助教学， 而对照班仍用传统的讲授方式进行教学，期末进行 统一测试，两班学生的成绩如下，试比较两种授课 方式产生的效果有何不同？
一、中位数的概念
中位数是位于以一定顺序（从小到大或 从大到小）排列的一组数据中央位置的数值， 在这一数值上、下各有一半频数分布着。用
Md表示。
二、中位数的计算方法
1．原始数据计算法 •总频数为奇数 举例说明：
某项研究调查了 25 名大学教师的月经济收入， 结果如下（单位：元）：
2275，3300，3326，3358，3363，3394，3402， 3455，3467，3485，3500，3565，3587，3592， 3618，3633，3646，3674，3720，3734，3756， 3775，3820，5695，7100
1
2
2．频数分布表计算法
Md L ( N n ) i
md
2
f 1
md
首先，要确定中位数究竟在那一组里，即中 位数所在组。
然后，确定中位数在这个组的什么位置上。 最后，计算中位数的值。
又如：某研究者对100名小学生进行智商测试，数据 经过整理，结果如下，现要计算这100名学生智商的中位 数。
然后，根据定义公式计算平均数：
X X1 X 2 X N N
97 93 95 37
87.68
又如：某某研究者对实验班用计算机辅助教学， 而对照班仍用传统的讲授方式进行教学，期末进行统 一测试，两班学生的成绩如下，试比较两种授课方式 产生的效果有何不同？
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
第三章 集中量数
可能不止一个单峰分布 双峰分布
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
计算
未分组数据-次数最多的数据
次数分布表-次数最多一组的组中值
皮尔逊经验公式Mo=3Md-2X拔
平均数。中数、众数三者之间的关系
1.正态分布Md=Mo=X拔
2.偏态分布 Mo=3Md-2X拔
3.负偏态中 分数分布在高端X拔＜Md＜Mo
4.正偏态中 分数分布在低端X拔＞Md＞Mo
缺点：容易受极端数据影响；如果出现模糊不清的数据无法使用
中数与众数
中数
概念
中位数又称中点数，简称中数，用符号Md表示，是位于按一定顺序排列的一组数中央位置的数据
中数是一种位置量数
计算
无重复数据时中间那个数（奇数）或中间位置两个数的平均数（偶数）
有重复数据时
众数（Mode）
概念
是指一群数据中出现次数最多的那个数，用符号Mo表示
其他集中量数
加权平均数
W是权重
几何平均数
求银行利பைடு நூலகம்时
调和平均数
MH
主要用于描述速度方面的集中趋势
不同性质代表单位不同，ABD都带单位
第三章 集中量数
算数平均数
概念及计算公式
用X拔或M表示概念 算数平均数是所有观测值（或变量值）的总和除以总数所得的商
每个数据对总体的贡献是等权的
计算公式
定义公式 估算公式 （AM为估计平均数）
平均数的特点
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的成绩
一组变量值的离均差之和等于零（说明平均数是一组数据的重心）
在一组变量值中，每个变量值加上或减去、乘以或除以常数C，所得的平均数等于原平均数减去或加上，除以或乘以常数C（平均数反应灵敏）
平均数的意义
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思考题：请判断以下各组数据的众数
3、5、8、10、12、 15、16 2、3、3、3、4、4、 4、5 2、3、4、4、4、5、 5、7、7、7、9
四、平均数、中位数与众数的比较1. Fra bibliotek
从对各种测量数据的适用性来看 名义数据： 顺序数据： 等距数据： 比率数据：
2.
从对数据次数分布形态的适用性来看 对称分布：平均数 非对称分布：中位数、众数 从计算的精确性看 平均数最精确、中位数次之、众数最差
3.
从对统计分析的适用性看 平均数既可作描述统计量，又可作推论 统计量。中位数与众数常用作描述统计 量。
4.
总之，三者的选择顺序应是平均数、中 位数与众数。
五、特殊平均数 有三个班级参加言语能力测试，A班30人， 平均分数为82.6，B班40人，平均分数为 90人， C班35人，平均分数为85人，问 总平均分是多少？ 在学校里，学生整个学期的总平均成绩 往往是平时成绩和考试成绩按照一定的 比例折算而成的。假定这个比例是4:6， 现有一个学生的平时成绩为80分，考试 成绩为90分，问该生总评成绩应该是多 少？
二、中位数（median）
1. 2.
定义：一组按大小顺序排列的数据中位 置居中的数值。 计算方法 未分组数据 分组数据
未分组数据
N 1 当数据个数为奇数时： 2 N 当数据个数为偶数时： N 、 1 2 2
17、15、14、12、11、10、9、6 3、4、4、5、5、6、6、 9、10、11、11、13、13、13、13、18、
18、18、19、19、20
•当中间的数值为重复数时：可将重复数看
作一个连续区间，然后根据中间数在区间 内的位置来确定中位数。
4.5
5
5.5
12.5
13
13.5
分组数据
N i Md Lb ( Fb ) 2 f Md
La
Fa
N 2
P58
Lb
Fb
三、众数（mode）
1. 2.
定义：一组数据中出现次数最多的那个 数的数值。M0 计算： 观察法： 公式法：p67 M0=3Md-2M
第三章 集中量
集中量：描述数据集中程度的统计量。 算术平均数 中位数 众数 特殊平均数
一、算术平均数（mean) 1、定义：所有观测值的总和除以总次数所 得的商。M、 、Y X 2、计算方法： x X 未分组数据： N 分组数据： fxc X N
表3-3 某校五年级一班语文成绩
N
i 1
( X i . A) N
n i 1
X .A
2
( X i X 0 )
( X i X )2
i 1
n
是否任何情况下都可 以使用平均数作为集
中量的代表值？
4、应用算术平均数时应注意的问题 当数据中有极端值时，不宜使用算术平 均数。（截尾平均数） 当数据中有些数据缺失或模糊不清时， 不宜使用平均数。 当数据不同质时，不宜使用算术平均数。
（一）加权平均数（weighted mean）
1. 2.
定义：具有不同权重的数据的平均数。 计算：P69
（二）几何平均数(geometric mean)
1. 定义：N个数值连乘积的N次方根。 2. 计算：
M g N X 1. X 2 . X 3 . X 4 ... X N
3. 应用：数据呈不对称分布或倍数关系（后
一个数据是以前一个数据为基础成比率增 长）时
例：2，2， 4， 4， 8， 8， 8， 16， 32， 64。 （答案8） P72 平均增长率=Mg-1 M N 1 X N
g
X1
（三）调和平均数（harmonic mean） 定义：一组数据倒数的算术平均数。 2. 公式：P75 3. 应用：求平均学习速度问题 平均速度的概念：单位时间内的工作量
1.
1 Xi
表示单位工作量所用的时间
第三节 思考与练习 P79-80
求数列16 、 15、 12、13、15、 13、 14、 15、15、15的中位数。 （答案14.7）
分数 组中值 55606570-
f
1 3 4 6
cf
统计量
1 4 8 14
X
Md= M0=
758085-
19
7 5
33
40 45
9095-
3
2
48
50
3、平均数的特性
X i N . X
i 1 n n
( X i X ) 0
i 1 n
(X
i 1 n
i
C) X C