数学问题解答0503

( 陕西省绥德中学 王守文 718000)
2
问题出处 : 在 △ABC 中 , 若内角平分线 BD = CE. 则 AB = AC ( 斯旦纳定理) 设 ∠AB C = 2α, ∠ACB = 2β 则 ∠ADB = 2β + α, ∠A EC = 2α + β 因为 BD = CE 在 △ABD 与 △ACE 中 , 由正弦定理可得
2 2 2
※成立 Ζ ( sin A - sin B ) ( sin A - sin B - sin B sin C)
= sin B sin C ( sin B + sin C)
2
Ζ sin ( A + B ) sin ( A - B ) [ sin ( A + B ) sin ( A - B ) sin B sin ( A + B ) ]
和 013 x + 011 y = 118 的交点 .
若 0°< x < 20° , 则 0 < sin
x
2
< sin10° ,0 <
1 x ) < sin ( x + 10° ; 所以 2sin ・sin ( 10°+ x ) < 2 2 sin10° .
若 20° < x < 90° , 则 sin
x + y ≤10
由题意知
013 x + 011 y ≤118
x ≥0Βιβλιοθήκη , 图3y ≥0 目标函数为 : z = x + 015 y .
上述不等式组表示的平面区域如图 3 所示 , 阴 影部分 ( 含边界) 即为可行域 . 作直线 l 0 : x + 015 y = 0 , 并作平行于直线 l0 的 一组直线 z = x + 015 y , ( z ∈ R) 与可行域相交 , 其 中有一条直线经过可行域上的 M 点 , 且与直线 x +
( 2) - ( 3) 得 ) - sin2α ) sin2β sin ( 2α + β sin ( 2β + α
( 1)
1)
( 2)
( 3)
) + 4cosβ = sin2β sin2α( cosβ - cosα cosα( cosα ) + 2 ( cos3β - cos3α ) + 4cos2α cosβ cos2β( cosα ) + 2 ( cosα - cosβ ) cosβ ) [ 2sinα = 2 ( cosβ - cosα sinβ cosα cosβ - 2cosα cosβ +
= sin B sin ( A + B ) [ sin B + sin ( A + B ) ]
2
cos α sin β - cosα cosβ - 1 ]
) [ ( sinα ) - cosα = 2 ( cosβ- cosα cosβ+ cosα sinβ cosβ - 1] ) [ sin2 (α + β ) - cosα = 2 ( cosβ - cosα cosβ - 1 ] ) [ - cos2 (α + β ) - cosα = 2 ( cosβ - cosα cosβ] ) [ cos2 (α + β ) + cosα = 2 ( cosα - cosβ cosβ] = 0 ( 4)
2
・ cos
x
2
sin ( 10° + x ) = cos
) , 所以 cos x
2
・ sin10° ,
因为 x ∈ ( 0 , 所以 2sin
x
π
2
2
≠0 ,
( 3)
・ sin ( 10° + x) = sin10° . 2 显然 , x = 20° 时 , ( 3 ) 成立 . 但
可能的最大亏损率分别为 30 % 和 10 %. 投资人计划 投资金额不超过 10 万元 , 要求确保可能的资金亏损 不超过 118 万元 , 问投资人对甲 、 乙两个项目各投资 多少万元 , 才能使可能的赢利最大 ? 解 设投资人分别用 x 万元 , y 万元投资甲 、 乙 两个项目 .
2
2
2
Ζ sin2 ( A + B ) [ sin2 ( A - B ) - sin B sin ( A - B ) ]
2 2 = sin ( A + B ) [ sin B + sin B sin ( A + B ) ]
Ζ sin ( A - B ) - sin B = sin B [ sin ( A + B ) + sin ( A
1537 锐角 x 满足方程 sin x ・ cos x + sin2 xcot10°= cos
x
2
.
求 : x.
( 湖南省武冈市十中 邓集春 422400) ( 江西省宜丰县二中 龚浩生 简爱平 336300)
证明 题设方程可转化为
sin x ・ sin ( 10° + x ) = cos 2sin
x x
证明 记半圆的圆心为 O , 连结 OC , OD , AD ,
BD.
2
・ sin10° ,
x
因为 C 是半圆弧的中点 , PD 是切线 . 所以 OC ⊥ AB , PD ⊥ OD. 所以 ∠DPB = ∠COD. 因为 PF 平分 ∠DPB ,
1 1 所以 ∠DPF = ∠DPB = ∠COD 2 2
2 2
- B) ]
Ζ sin A sin ( A - 2 B ) = sin B ・ 2sin A cos B Ζ sin ( A - 2 B ) = sin2 B Ζ sin ( A - 2 B ) - sin2 B = 0 Ζ 2cos Ζ sin Ζ
A
又 α,β为锐角 ) + cosα 所以 cos2 (α + β cosβ
3 2+ 3 3 = 4 1 S . 2 △ABC
所以 S 正方形DEFG <
> sin30°=
x
2
> sin10° , sin ( 10° + x)
综上 , 知满足方程 ( 3 ) 的锐角 x 的值只能为 20° , 又方程 ( 3 ) 与原方程同解 , 故 x = 20° . 1538 设 a , b , c 分别是 △ABC 中三内角 A , B , C 的 对边长 , 求证 ( a2 - b2) ( a2 - b2 - bc) = bc2 ( b + c) ※ π 成立的充要条件是 A = 4 B 或 A = 4 B - 2 ( 四川省达县县委党校 王善鑫 635000) π π < A - 4B < 证明 因为 - 2 ,
长线上 一 点 , 过 P 作 半 圆 的 切 线 PD , D 为 切 点 , ∠B PD 的 平 分 线 分 别 交 AC , BC 于 点 E , F. 求 证 ∠EDF = 90° .
所以 ∠CED = ∠DPA = ∠CFD 所以 C , D , E , F 四点共圆 所以 ∠EDF = ∠ECF = 90° .
cos
2
≠0 , sin2 x - sin2 y = sin ( x + y ) sin ( x - y ) ,
2 2 2 2
sin C = sin ( A + B ) ≠0 . 所以
cos2β + cosβ cosα + cos2α - 2cos2α cos2β - 1 ]
) [ 2sinα = 2 ( cosβ - cosα sinβ cosα cosβ + cos β( 1 ) + cos2α( 1 - cos2β ) - cosα cos2α cosβ - 1 ] ) [ 2sinα = 2 ( cosβ - cosα sinβ cosα cosβ + cos β sin α +
2 2
a = 2 R sin A , b = 2 R sin B , c = 2 R sin C , sin A ≠0 , A
1 x , 所以 2sin ・ sin ( 10° + x ) > sin10° . 2 2
证明由已知得 : β ) - sin2α ) = 0 sin2 sin ( 2α + β sin ( 2β + α ) sin2β sin ( 2α + β ) = sin2β( sin2α cosβ + cos2α sinβ β α β β α = sin2 sin2 cos + sin2 cos2 sinβ = sin2β sin2α cosβ + 2sin2β cosβ( 2cos2α - 1) ) ( 2cos2α = sin2β sin2α cosβ + 2cosβ( 1 - cos2β 2 = sin2β sin2α cosβ + 4cosβ cos α + 2cos3β 2 - 4cos α cos3β - 2cosβ ) 同理 sin2α sin ( 2β + α 2 3 β α α α = sin2 sin2 cos + 4cos cos β + 2cos α 2 - 4cos β cos3α - 2cosα
>0
2
sin
A - 4B
2
= 0
= 0
A - 4B
所以 cosα - cosβ = 0 , 故α = β .
=-π
2 2
A - 4B
= 0或
A - 4B
π. Ζ A = 4B 或A = 4B - 2 故 ※成立的充要条件是 A = 4 B 或 A = 4 B π. 2 sin2α 1539 已 知 :α,β 为 锐 角 . 且 = ) sin ( 2α + β sin2β ) sin ( 2β + α 求证 :α = β .