高二数学(理)《双曲线及其标准方程》(课件)
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高二数学上册课件《双曲线及其标准方程》
x2 y2
1 a 0 ，b 0
．
a2 b2
②
双曲线上任意一点的坐标（x，y）都是方程②的解；以方程②的解为坐标
的点（x，y）与双曲线的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之差的绝 对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
x2 y2 1 a 0 ，b 0 ．
O
x
F1
双曲线标准方程的推导
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy． 设 M ( x ，y )是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为 2c（ c > 0)， 则有F1（ -c，0），F2 ( c，0). 又设||MF1|-|MF2||= 2a( a 为大于 0 的常数)． 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
20 16
2 焦点为 0 ，- 6 ，0 ，6 ，且经过点 2 ，- 5 ．
解法二：因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 x2 1 a 0 ，b 0 ．
a2 b2
由 2 ， 5 在双曲线上，得 25 4 1， a2 b2 与 a2 b2 36 联立，消去 a2， 得 b4 7b2 144 0 ，解得 b2 16 ， 故 a2 20 . 所以，所求双曲线的标准方程为 y2 x2 1．
y2 x2 = 1 a 0，b 0 .
a2
b2
焦点在 x 轴上的双曲线标准方程：ax22
y2 b2
1a
0 ，b
0 ．
焦点在
y
轴上的双曲线标准方程：y2
a2
x2 b2
1a
0 ，b
0 ．
观察双曲线标准方程的特点：
1．两个焦点位置（在 x 轴还是在 y 轴）与负号的关系；
2．方程中 x， y 与 a，b 的对应位置．
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
高二数学人选修课件时双曲线及其标准方程
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{9} - frac{y^2}{16} = 1$，求其焦点坐标和渐近线 方程。
根据标准方程可知$a=3, b=4$，由$c^2 = a^2 + b^2$可得$c=5$，所以焦点 坐标为$(-5,0)$和$(5,0)$；渐 近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$。
双曲线在几何中有广泛应用，如用于解决最值问题、轨迹问题等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
双曲线的定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之差等于常数（且小于两 定点间距离）的所有点”组成的集合。F1和F2被称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程
双曲线有两种标准方程，分别是水平轴和垂直轴的双曲线。水平轴双曲线的标准方程为 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，垂直轴双曲线的标准方程为(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1 ，其中a和b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
焦点
双曲线的两个定点F1、F2称为焦点。 在标准方程中，焦点的坐标可以由方 程直接读出。
离心率
离心率e是双曲线的一个重要参数， 它等于焦距与实轴长之比，即e=c/a 。离心率决定了双曲线的形状和开口 大小。
对于双曲线上的准任线意一点P，过点P作
x轴的垂线，垂足为M。线段PM的长
度叫做点P到x轴的距离，记作|PM|。
案。为了减少计算错误，需要仔细检查计算过程，并使用不同的方法验
证答案。
拓展延伸：其他类型曲线简介
椭圆
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数的 所有点组成的集合。椭圆具有两个焦点和两个长轴、短 轴。
高中数学课件-《双曲线及其标准方程》PPT课件...
y2 a2
-
x2 b2
=1
(a 0，b 0)
y F2
ox F1
双曲线的标准方程:
y
y
焦
M
M
焦
点 在
点
F2
x在
y x
轴 上
F OF
1
2
x
O
轴
F1
上
x2
a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
c2 a2 b2 a 0,b 0
3.两种标准方程的比较
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点 a.b.c
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
2c 2a c a c2 a2 0
令c2 a2 b2 (b 0) 代入得
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 x轴上 F1(c,0), F2 (c,0) c2 a2 b2.
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
3.2.1双曲线及其标准方程课件(PPT)——高二数学人教A版选择性必修第一册
C 3.对于常数 a，b，“ ab 0 ”是“方程 ax2 by2 1 对应的曲线是双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：
ax2
by2
1 可整理成
x2 1
y2 1
1，
a b
x2
y2
当 ab 0 ，则 a 0 且 b 0 或 a 0 且 b 0 ，此时方程 1 1 1 即 ax2 by2 1 表示的
因为 | PA | | PB | 680 0 ，
所以点 P 的轨迹是双曲线的右支，因此 x 340 .
所以炮弹爆炸点的轨迹方程为
x2 115600
y2 44400
1(
x
340)
.
双曲线的焦点三角形
（1）如图，P
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1上任意一点，当点 P，F1，F2 不在同一条直
线上时，它们构成△PF1F2 ，该三角形叫做双曲线的焦点三角形.
例题来了
例 1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(5,0) ， F2 (5,0) ，双曲线上一点 P 与 F1 ， F2 的
距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.
解：
因为双曲线的焦点在
x
轴上，所以设它的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
.
由 2c 10 ， 2a 6，得 c 5 ，
a b
曲线为双曲线，则充分性成立；
若方程
x2 1
y2 1
1
表示的曲线为双曲线，则
1
1
0
即
ab
双曲线及其标准方程(带动画)PPT课件
16
小结 ----双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点 a.b.c 的关
系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
17
18
12/30/2019
19
2019/12/30
20
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
y2 x2 1(ab0) a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a0,b0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
判断：x 2
16
y2 9
1与 y2
9
x2
16
1 的焦点位置？
结论：看 x 2 , y 2前的系数，哪一个为正，则
焦点在哪一个轴上。
13
例题分析
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的 绝对值等于6，则
3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
图象
M
F1 o F2 x
双曲线及其标准方程第一课时公开课教学PPT课件
b>0)
y2 x2
2 1
2
a b
① 方程用“－”号连接。
,b0但 a , b 大小不定。
② 分母是 a2,b2,a0
2
2
2如果 x 的系数是正的,则焦点在 x轴上;
7/16/2024 12:512 AM
如果 y 的系数是正的,则焦点在 y
轴上.
由方程定焦点:
椭圆看大小;
双曲线看正负.
学习目标
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程
的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单
的问题.
作业
必做:课本第 41 页 练习第 1 题
课本第 44 页 A 组第 1 题
选做:课本第 44 页 A 组第 4 题
课后思考
思考 1 若方程
2
2+
−
围为
2
+1
= 1 为双曲线标准方程,则 m 的取值范
;
思考 2 若方程
2
2+
−
2
+1
值范围为
7/16/2024
AM
思考
3 12:51
若 1 − 2 = 12呢?
轨迹不存在
题后反思：
求标准方程要做到先定型,后定量.
7/16/2024 12:51 AM
应用探究
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
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制作 09
2009年下学期 2009年下学期
复习与
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 的距离的和 平面内与两定点 1、F2的距离的和等 于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹 的点的轨迹. 于常数 的点的轨迹
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复习与
1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 的距离的和 平面内与两定点 1、F2的距离的和等 于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹 的点的轨迹. 于常数 的点的轨迹 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)
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复习与
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a －
|MF1|+|MF2|=2a
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 的距离的和 平面内与两定点 1、F2的距离的和等 于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹 的点的轨迹. 于常数 的点的轨迹 |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0) 2. 引入问题： 引入问题： 平面内与两定点F 的距离的差 平面内与两定点 1、F2的距离的差等 于常数的点的轨迹是什么呢？ 于常数的点的轨迹是什么呢？
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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双曲线
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
F(±c，0) ± ， F(0，±c) ，
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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1. 椭圆的定义
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1. 椭圆的定义 平面内与两定点F 的距离的和 平面内与两定点 1、F2的距离的和等 于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹 的点的轨迹. 于常数 的点的轨迹
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a －
x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b y2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
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***问题 问题*** 问题 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个 轴上？ 轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标 准方程有何区别与联系? 准方程有何区别与联系
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双曲线与椭圆之间的区别与联系
F(±c，0) ± ， F(0，±c) ，
F(±c，0) ± ， F(0，±c) ，
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系 |MF1|+|MF2|=2a
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思考： 思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么 两条射线 (2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么 不表示任何轨迹 (3) 若2a=0,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么 线段F 线段 1F2的垂直平分线
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①如图(A)， 如图 ， |MF1|－|MF2|=|F2F|=2a － ②如图(B)， 如图 ， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
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①如图(A)， 如图 ， |MF1|－|MF2|=|F2F|=2a － ②如图(B)， 如图 ， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得： ①②可得： 可得 ||MF1|-|MF2||=2a (差的绝对值 差的绝对值) 差的绝对值 上面两条合起来叫做双 曲线
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思考： 思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么
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思考： 思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么 两条射线
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a －
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭 圆 定义 方程 焦点 a.b.c的 的 关系
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双曲线定义
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2009年下学期 2009年下学期
双曲线定义 平面内与两个定点 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 与两个定点 的绝对值等于常数 小于 的绝对值等于常数(小于 1F2|)的点的轨迹 等于常数 小于|F 的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线
x
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2009年下学期 2009年下学期
双曲线的标准方程 y 求曲线方程的步骤： 求曲线方程的步骤： 1. 建系 建系. 以F1,F2所在的直线 为x轴，线段 1F2的中点 轴 线段F 为原点建立直角坐标系 2. 设点. 设点 设M(x,y),则F1(－c,0),F2(c,0) 则 － 3. 列式 列式.|MF1|－|MF2|=±2a － ±
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双曲线定义 平面内与两个定点 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 与两个定点 的绝对值等于常数 小于 的绝对值等于常数(小于 1F2|)的点的轨迹 等于常数 小于|F 的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a － 两个定点F ① 两个定点 1、F2 ——双曲线的焦点 双曲线的焦点; 双曲线的焦点 焦距. ② |F1F2|=2c——焦距 焦距 说明： 说明：(1) 2a<2c；(2) 2a>0； ； ；
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思考： 思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么 两条射线 (2) 若2a>2c,则轨迹是什么？ 则轨迹是什么？ 则轨迹是什么
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制作 09
2009年下学期 2009年下学期
思考： 思考：
双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a －
x2 y2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b y2 x2 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b y2 x2 + 2 = 1(a > b > 0) 2 a b
y x
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2009年下学期 2009年下学期
双曲线的标准方程 y 求曲线方程的步骤： 求曲线方程的步骤： 1. 建系 建系. 以F1,F2所在的直线 为x轴，线段 1F2的中点 轴 线段F 为原点建立直角坐标系 2. 设点. 设点 设M(x,y),则F1(－c,0),F2(c,0) 则 －
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双曲线定义 平面内与两个定点 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 与两个定点 的绝对值等于常数 小于 的绝对值等于常数(小于 1F2|)的点的轨迹 等于常数 小于|F 的点的轨迹 叫做双曲线. 叫做双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a －
2 2 2 2
x
即 ( x + c) + y ( x c) + y = ±2a
湖南长郡卫星远程学校 制作 09 2009年下学期 2009年下学期
双曲线的标准方程 y 求曲线方程的步骤： 求曲线方程的步骤： 1. 建系 建系. 以F1,F2所在的直线 为x轴，线段 1F2的中点 轴 线段F 为原点建立直角坐标系 2. 设点. 设点 设M(x,y),则F1(－c,0),F2(c,0) 则 － 3. 列式 列式.|MF1|－|MF2|=±2a － ±