例析数学思想在函数问题中的渗透

例析数学思想在函数问题中的渗透
函数中蕴含着丰富的数学思想方法，解题时若能充分运用，常可使许多问题简捷巧妙的获解．在解决函数问题时经常会用到下列几种常用的解题思想：构造的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、方程思想、化归转化思想、整体思想、“极端”思想、赋值思想等等。

下面举例说明。

1.构造思想
在平时解题中经常运用构造思想解决问题，这类题目要求学生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。

常用的构造方法有：构造函数，构造方程，构造不等式，构造整体，构造图形，构造数学模型等等。

如果运用巧妙，可以收到事半功倍的效果。

例1．已知f （x ）=2
44+x x ，求)10011000()10012()10011(f f f +++ . 分析：将待求式看作一个整体，其数字特征提示我们研究f （x ）与f （1-x ）之间的关系，进而发现隐含条件f （x ）+f （1-x ）=1.再用倒序相加法求得结果。

解:∵f （x ）+f （1-x ）=244+x x +24411+--x x =244+x x +24244
244++=⨯+x x x =1.∴可以考虑构造整体 S=)10011000()10012()10011(
f f f +++ ，则亦有S=)1001
1()1001999()10011000(f f f +++ . 把上面两个式子对应项相加得2S=1000，∴)10011000()10012()10011(f f f +++ =500. 点评：本题解法的关键在于要有整体意识，能结合题目的结构特征和数量关系构造整体，有助于挖掘题目的隐含条件，利于寻找题目的切入点，使问题得以快速解决。

2.数形结合的思想
函数的图象直观地显示了函数的性质．借助图象来研究、解决有关函数的问题是数形结合思想应用的的一个重要方面．在解不等式、判断方程是否有解、解的个数及二次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．
例2 方程log (01)x a a x a a -=>≠，且的根的个数为 ．
解析：当1a >时，在同一坐标系中画出1log a y x =和 21x
x y a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭的图象如图所示．
由图象知两个函数的图象只有一个交点．同理当01a <<时，可观察出两个
函数的图象也只有一个交点，所以不论何种情况方程只有一个实数根．
3.化归与转化的思想
在解决恒成立及复合函数等问题时，往往可以把问题转化为指数函数、对数函数、幂函数等我们熟悉的函数去研究，将复杂的问题分解、归结为简单问题．
例3.已知函数[)22()1x x a f x x x
++=∈+，，∞，若对任意[)1x ∈+，∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．
解：在区间[)1+，∞上，22()0x x a f x x
++=>恒成立220x x a ⇒++>恒成立． 设[)221y x x a x =++∈+，∞，
222(1)1y x x a x a =++=++-∵递增，
∴当1x =时，min 3y a =+，当且仅当min 30y a =+>时，函数()0f x >恒成立．
故3a >-．
4.函数与方程的思想
本模块中学习了指数函数、对数函数，研究了分段函数，函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性．因此，用函数和方程的观点指导解题，是一种重要的思想方法．
例4.设a b c ∈R ，，，且它们的绝对值都不大于1，求证：10ab bc ca +++≥．
解析：构造函数()1f a ab bc ca =+++，()f a 是关于a 的一次函数，
[]11a b c ∈-，，，∵，
(1)1(1)(1)(1)(1)0f b c bc b c c b c ∴=+++=+++=++≥，
(1)1(1)(1)(1)(1)0f b c bc b c c b c -=--++=-+-=--≥．
()f a ∴在[]11-，上恒不为负．
10ab bc ca ∴+++≥．
点评：解本题的关键在于要具有函数意识，能结合式子的特征构造出一次函数()f a ，从而由一次函数的性质，使问题得以解决．
5.整体思想
整体思想（整体代换、整体换元等）是一种常用的数学方法，利用整体思想可以简化运算，避开不必要的未知量求解。

简化了运算。

同时也开阔了学生的视野，考查了考生灵活运用所学知识解决问题的能力。

例5.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),求实数m 的取值范围. 分析：根据函数的定义域, 1-m,m ∈[-2,2].但是1-m,m 在[-2,0] [0,2]的哪一个区间内?如果就此讨论,将十分复杂.如果注意到性质：是f(x)是偶函数，那么f(-x)= f(x)= f(|x|)，将有如下解法.
解：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)= f(x)= f(|x|)，∴f(1-m)<f(m)⇔ f(|1-m|)<f(|m|)，又当x ∈[0,2]
时，f(x)是减函数，∴⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-≤-≤->-22,212|||1|m m m m 解之，得-121<≤m . 点评：根据题目的条件，从整体上考虑，往往能给出简便的解法。

6.分类讨论的思想
在函数这一部分经常涉及到分类讨论的情形，特别是含参数的二次函数在部分区间上的最值问题，含参数的函数单调性的研究及应用等问题，一般都需用到分类讨论的思想．
例6.求函数f(x)=x 2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
分析：本函数是开口向上的二次函数,判断区间[0,2]在二次函数上的增区间还是减区间,或是跨着对称轴. 解: 二次函数f(x)=x 2
-2ax-1,开口向上,且对称轴方程x=a,当x ∈),[+∞a 时为增函数, 当x ∈],(a -∞时为减函数.
若a<0时, x ∈[0,2]在二次函数的增区间上.当x=2时,f(x)有最大值f(2)=3-4a. 当x=0时,f(x)有最小值f(0)=-1.
若a>2时, x ∈[0,2]在二次函数的减区间上.当x=0时,f(x)有最大值f(0)=-1.当x=2时,f(x)有最小值f(2)=3-4a.
若0≤a<1时, f(x)在[0,a]上为减函数, 在[a,2]上为增函数. 当x=2时,f(x)有最大值f(2)=3-4a. 当x=a
时,f(x)有最小值f(a)=-1-a 2.
若1≤a ≤2时, f(x)在[0,a]上为减函数, 在[a,2]上为增函数. 当x=0时,f(x)有最大值f(0)=-1. 当x=a
时,f(x)有最小值f(a)=-1-a 2.
点评：本题考查二次函数的单调性,掌握对称轴方程,判断其单调区间求其最大(小)值,当对称轴在区间
[0,2]时,需要利用0和2与对称轴“距离”远近来判断其最小值。

本题按a 的取值进行分类，可以看出分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题进行分类、求解，要特别注意分类必须标准统一、不重、不漏、最简等原
则.
七、“极端”思想
“极端”思想是解决数学问题的一个重要方法，从极端情形（最大值、最小值、边界情形、极端位置等）入手分析，往往能发现解决问题的突破口，能找到更清晰的解题思路，更简捷的运算方法。

例7. 已知函数f(x)=4
1(x+1)2,若存在t ∈R,只要x ∈[1,m](m>1)，就有f(x+t)≤x,则m 的最大值是 . 解析:作函数y=x 的图像,平移函数y=f(x) 的图像使之与 直线y=x 交于点(1,1)和(m,m)(其中m>1),此时所得的图像是
y= f(x+t)图像的极端位置,如图,于是,
解方程组⎩⎨⎧=+=+.)(,1)1(m t m f t f 结合m>1得
⎩⎨⎧=-=.9,4m t 所以m
八、赋值思想在抽象函数中的应用
例8.设函数上满足在),()(+∞-∞x f ：)2()2(x f x f +=-只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
解:（Ⅰ）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩
)10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T ,又(3)(1)0,(7)0f f f ==≠而,(3)(310)(7)0f f f -=-+=≠，所以(3)(3)f f -≠±,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;
(II) 又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ====-=-=,故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在
[-2005,2005]上有802个解.
重视数学思想思想以及能力的考查,是高考命题的指导思想.高考正是通过对基础知识和基本技能的考查，来考查考生对数学思想方法的理解和掌握的程度，考查考生灵活运用数学思想解决实际应用问题的能力.在此仅以此文抛砖引玉，望同学们在以后的学习中细心揣摩领会。