利用遗传算法构造QC-LDPC码

doi:10.3969/j.issn.1001-893x.2015.04.001引用格式:郑丹玲,穆攀,田凯,等.利用遗传算法构造QC-LDPC码[J].电讯技术,2015,55(4):355-359.[ZHENG Danling,MU Pan,TIAN Kai, et al.Construction of QC-LDPC Codes with Genetic Algorithm[J].Telecommunication Engineering,2015,55(4):355-359.]利用遗传算法构造QC-LDPC码*郑丹玲,穆　攀**,田　凯,袁建国(重庆邮电大学光通信与网络重点实验室,重庆400065)摘　要:考虑到围长(girth)对低密度奇偶校验(LDPC)码的影响,提出了一种利用遗传算法构造大girth的准循环LDPC(QC-LDPC)码的新方法㊂该方法借助于计算机搜索,多次运用遗传算法,分步提高girth,在得到大girth的同时,构造出具有准循环结构的LDPC码㊂分析发现,该构造方法的复杂度与码长成线性关系㊂仿真结果表明:在误码率(BER)为10-6时,新方法构造的QC-LDPC码比基于欧式几何构造方法㊁Gallager和Mackay构造法分别获得约0.15dB㊁0.5dB和0.2dB的净编码增益(NCG),且因具有准循环结构更易于存储和硬件实现㊂关键词:QC-LDPC;大围长;遗传算法;复杂度分析中图分类号:TN911.22 文献标志码:A 文章编号:1001-893X(2015)04-0355-05Construction of QC-LDPC Codes with Genetic AlgorithmZHENG Danling,MU Pan,TIAN Kai,YUAN Jianguo(Key Laboratory of Optical Communication and Network,Chongqing University of Postsand Telecommunications,Chongqing400065,China)Abstract:A new method is proposed to construct a large girth quasi-cyclic low density parity check(QC-LDPC)code with Genetic Algorithm(GA)by consideration of LDPC codes under the influence of girth. This method depends on computer search,uses GA repeatedly,improves girth step by step.A large girth is obtained,at the same time LDPC codes with a quasi-cyclic structure is constructed.Analysis shows its complexity has a linear relationship with code length.Simulation results illustrate that when the bit error rate(BER)is10-6QC-LDPC codes constructed with the new method has net coding gain(NCG)of0.15 dB,0.5dB,0.2dB over LDPC code based on Euclidean Geometry,Gallager random codes and Mackay random codes,respectively,and it is easy to restore and be implemented in hardware because of quasi-cy⁃clic structure.Key words:QC-LDPC;large girth;genetic algorithm;complexity analysis1　引　言低密度奇偶校验(Low Density Parity Check,LD⁃PC)码因逼近Shannon限的优秀性能㊁低的译码复杂度,近些年来成为了编码领域的研究热点,特别是准循环LDPC(Quasi-cyclic LDPC,QC-LDPC)码㊂QC-LDPC码的奇偶校验矩阵H由循环置换矩阵或零矩阵构成[1],同随机构造的LDPC码相比,QC-LDPC码有以下优点:首先,QC-LDPC码的编码可㊃553㊃第55卷第4期2015年4月电讯技术Telecommunication Engineering Vol.55,No.4 April,2015* **收稿日期:2014-11-11;修回日期:2015-02-10 Received date:2014-11-11;Revised date:2015-02-10基金项目:国家自然科学基金资助项目(61171158);重庆市自然科学基金资助项目(cstc2013jcyjA40052,cstc2012jjA40060);重庆市教委科学技术研究项目(KJ130515)Foundation Item:The National Natural Science Foundation of China(No.61171158);The Natural Science Foundation of Chongqing (cstc2013jcyjA40052,cstc2012jjA40060);Project Supported by Chongqing Committee of Science and Technology(KJ130515)通讯作者:mp_cqupt@ Corresponding author:mp_cqupt@以通过简单的㊁呈线性复杂度的移位寄存器来实现;其次,QC-LDPC码可以由基础矩阵表示,同H矩阵相比,基础矩阵具有更小的尺寸,并且基础矩阵利用循环置换矩阵可以很容易地扩展为H矩阵㊂所以,QC-LDPC码具有编译码复杂度更低㊁硬件实现更简单㊁存储空间更少等优点,如何构造性能优异的QC -LDPC码一直以来都是人们研究的重点[2-3]㊂研究中发现,当Tanner图中含有长度较小的环时,该码的纠错性能就会下降,环的数量和大小的分布同码的重量分布一样对LDPC码的性能有着重要影响㊂目前,已经有许多消除小环的LDPC码的构造方法被提出,这些方法主要分为代数构造[4-5]和随机构造[6-7]两类㊂本文结合这两类方法,借助于遗传算法(Genet⁃ic Algorithm,GA)提出了一种新的消除短环的码字构造方法,简称GA-QC-LDPC码㊂该方法先使用遗传算法消除基础矩阵的四环得到六环的矩阵,再在此矩阵基础上,消除六环得到八环,此种方法多次利用,即可得到符合要求环长的基础矩阵㊂然后通过使用循环置换矩阵对基础矩阵扩展,得到具有准循环结构特性的LDPC码,准循环特性决定了它比随机构造方法使用的存储空间更小㊁编译码复杂度更低㊂仿真进一步显示,GA-QC-LDPC比基于欧式几何构造方法㊁Gallager随机构造方法和Mackay随机构造方法构造的LDPC码在纠错性能上更加优异㊂2　采用遗传算法构造QC-LDPC码的方法构造LDPC码的校验矩阵最大问题是要防止出现短环,在Tanner图中如果出现短环,其迭代译码时的信息在交换过程中就会变为相关的,阻止译码收敛或者收敛变慢,造成译码性能的急剧下降㊂此外,由文献[8-9]看出,Tanner图的最小环还与码的最小距离有关,girth越大,最小距离也随之增大,要增加码间的最小距离可以反映到增加girth上来㊂所以,构造性能良好的LDPC码,可以集中反映到构造大girth的LDPC码上来㊂给定一个基础矩阵,我们可以用下面定理检测短环是否存在㊂定理1(短环存在定理):对于一个m×n的基础矩阵,存在短环的充分必要条件是∑s2k-s2k-1=0mod P㊂(1)式中,s2k和s2k-1为基础矩阵中的短环上两个相邻位置元素,P为循环置换矩阵的阶数[1]㊂一般情况下,基础矩阵的阶数都比较小,因此,检测矩阵中所有的元素相对容易㊂遗传算法作为一种优化搜索算法,从初始种群的产生开始,然后对个体进行选择复制㊁交叉和变异遗传操作以产生新的个体,选择可以将适应性好的个体复制到下一代作为种群迭代的父代,交叉操作将选中的两个个体的某段基因进行互换来产生新的个体,变异改变个体的某个基因产生新的个体㊂遗传算法可使种群朝着最优的方向发展㊂本文运用遗传算法可以不断增大Tanner图中的girth,具体方法是利用遗传算法消除基础矩阵中的四环得到girth=6的矩阵,在此基础上,消除六环得到girth=8的矩阵㊂总之,多次运用遗传算法可分步提高girth,如图1所示㊂图1　遗传算法提高girth示意图Fig.1Diagram of improving girth based on Genetic Algorithm2.1　消除四环得到girth为6的基础矩阵方法本小节运用遗传算法消四环得到girth为六环的基础矩阵,将基础矩阵进行扩展可得到H矩阵㊂(1)候选个体初始化随机产生N个个体,每个个体为一个m×n的候选个体矩阵,表示为s i,组成初始种群㊂(2)适应度函数基础矩阵s i中的girth尽可能地大,且矩阵s i中环长为girth的环尽可能地少㊂根据定理1,计算候选个体矩阵中四环的数目,环数越少的个体适应性越好㊂如果种群中个体不存在四环,则结束迭代;否则,继续下一步操作㊂对于某一个候选个体s,即m×n的矩阵,其四环搜索算法如下:步骤1:在矩阵s中的第i1(i1=1,2, ,m)行,对于第j1(j1=1,2, ,n)列,如果s(i1,j1)≠0,则跳至步骤2;否则,继续步骤1,直到j1>n时跳到第i1> m时结束;步骤2:对于第j2(j2>j1)列,如果s(i1,j1)≠0,则跳至跳至步骤3;否则,继续步骤2,直到j2>n时跳至步骤1;步骤3:对于第i2(i2>i1)行,如果s(i2,j2)≠0且s(i2,j1)≠0,则跳至步骤4;否则,继续步骤3,直到i2>m时跳至步骤2;步骤4:如果满足s(i2,j2)-s(i2,j1)+s(i1,j2)-㊃653㊃电讯技术 2015年s (i 1,j 1)=0(模P),则四环个数girth4_num =girth4_num+1;否则跳至步骤3㊂(3)选择选出一个含girth =4最少的个体矩阵直接遗传至下一代,并复制该个体一次㊂将girth =4含环数最多的个体直接淘汰,保持种群规模不变㊂(4)交叉对其余个体,随机选取一对个体s a 和s b ,进行单点交叉,产生两个新的个体s x 和s y ㊂本小节中的交叉方式主要分为行向量单点交叉和列向量单点交叉两种㊂1)行向量单点交叉将基础矩阵s a 和s b 表示为S a =[r a (0)　r a (1) r a (m -1)]T,S b =[r b (0)　r b (1) r b (m -1)]T ㊂(2)式中,r a (i )和r b (i )是长度为n 的行向量㊂矩阵s a 和s b 的行向量表示形式为A =(r a (0), ,r a (m -1))=(a 0, ,a l -1,a l , ,a mn -1),B =(r b (0), ,r b (m -1))=(b 0, ,b l -1,b l , ,b mn -1)㊂(3)矩阵A 和B 单点交叉后产生的新个体为X =a 0, ,a l -1,b l , ,b mn ()-1,Y =b 0, ,b l -1,a l , ,a mn ()-1㊂(4)式中,X ㊁Y 即为矩阵s x ㊁s y 的行向量表示形式㊂2)列向量单点交叉将基础矩阵s a 和s b 表示为S a =c a ()0 c a l ()-1c a ()l c a n ()[]-1,S b =c b ()0 c b l ()-1c b ()l c b n ()[]-1㊂(5)式中,c a (i )和c b (i )是长度为m 的列向量㊂矩阵s a 和s b 列向量单点交叉后产生的新个体为S x =c a ()0 c a l ()-1c b ()l c b n ()[]-1,S y =c b ()0 c b l ()-1c a ()l c a n ()[]-1㊂(6)行向量交叉会产生重量为0或1的列向量,导致误码率的增加㊂因此,本文采用列向量单点交叉方式,交叉概率设为0.9㊂(5)变异对种群中的所有候选个体,随机变异矩阵中某一四环上的任意元素,即将该元素变为随机生成的某个数,变异概率设为0.1㊂2.2　消除六环得到girth 为8的基础矩阵方法将2.1节最终产生的种群作为本节中候选的初始种群㊂消除六环的方法与消除四环的方法基本相同,不同点在于:一是交叉操作可能会产生新的四环,所以交叉操作被禁止;二是变异操作更改为:对所有候选个体,随机删除矩阵中某一六环上的元素,即将非零元素变为 0”㊂为了减小低重量码字对性能的影响,选择重量较大列的非零元素进行删除操作㊂消除八环得到girth 为10的基础矩阵的方法同以上方法㊂2.3　复杂度分析本文提出的基于girth 选择遗传算法构造LDPC 码方法的复杂度主要集中在适应度评价函数上,即搜索短环的过程中㊂本节主要介绍其时间复杂度,即搜索短环消耗的时间㊂假设一个种群中有N 个候选个体矩阵,每一个候选个体为m ×n 的矩阵,所有的候选个体矩阵在初始化时所有元素都为非零值㊂搜索四环的复杂度如式(7)所示:T 4()Nmn =∑N k =1∑m -1i =1∑n -1j =13∑nj 1=j +13∑mi 1=i +18=72∑N k =1∑m -1i =1∑n -1j =1(m -i )(n -j )=72∑N k =1∑m -1i =1(m -i )n (n -1)2=72∑Nk m (m -1)2n (n -1)2=18N (n 2-n )(m 2-m )=O (Nm 2n 2)㊂(7)在六环检测过程中,候选个体矩阵中元素已经不全是非零值㊂随着种群迭代次数的增加,非零元素会相应减少,故假设迭代一次后候选个体矩阵的行重和列重分别为ρ和γ,搜索六环的复杂度如式(8)所示:T 6(Nmn )=∑Nk =1∑mi =1∑nj =12∑γi 1=13∑ρj 1=13∑γi 2=13∑ρj 2=13∑γi 3=116=2592Nmnρ2γ3=O (Nmnρ2γ3)㊂(8)由式(8)可得,搜索六环的复杂度与种群大小N ㊁候选个体矩阵的行数m 和列数n ㊁行重ρ和列重γ有关㊂一般情况下,基础矩阵都是非常小的矩阵,所以搜索短环相对容易㊂3　仿真及性能分析本文所进行的仿真都采用二进制相移键控(Bi⁃nary Phase Shift Keying,BPSK)调制方式㊁置信传播(Belief-Propagation,BP)译码算法,在加性高斯白噪声(Additive White Gaussian Noise,AWGN)信道下进㊃753㊃第55卷郑丹玲,穆攀,田凯,等:利用遗传算法构造QC-LDPC 码第4期行性能仿真㊂首先,对(530,265)GA-QC-LDPC 码在不同译码迭代次数(Iteration 分别为1㊁5㊁10㊁20和50)下的纠错性能进行对比分析,仿真性能曲线如图2所示㊂由图2可知净编码增益(Net Code Gain,NCG)随着迭代次数的增大而提高,但当迭代次数增加到一定值时,NCG 的变化非常小㊂考虑到增加迭代次数会增加译码的时间,因此,本文选择最大译码迭代次数为20次㊂图2　不同迭代次数下GA-QC-LDPC 码性能对比Fig.2Performance comparison of GA-QC-LDPC codeswith different iterations图3是关于GA-QC-LDPC(610,305)码在girth 分别为4㊁6㊁8和10下的误码率(Bit Error Rate,BER)和误帧率(Frame Error Rate,FER)性能比较㊂从图中可以看出,girth 分别为4㊁6㊁8和10时,在E b /N 0=3dB 的情况下,所对应的BER 分别约为2.0×10-3㊁9.8×10-4㊁6.6×10-5和5.4×10-6,印证了随着girth 不断增加,码的纠错性能越来越好㊂图3　不同girth 的GA-QC-LDPC 码仿真性能对比Fig.3Performance comparison of GA-QC-LDPCcodes with different girth最后将GA-QC-LDPC 码与基于欧式几何构造方法[10]㊁Gallager 随机构造方法[11]和Mackay 随机构造方法[12]进行比较,如图4所示㊂从图4中我们可以看出,在BER 为10-6时,GA-QC-LDPC 码同其他构造方法相比有不同程度的性能提升,与基于欧式几何㊁Gallager 和Mackay 随机构造方法相比,净编码增益分别提升了0.15dB㊁0.5dB 和0.2dB㊂图4　GA-QC-LDPC 码与其他LDPC 码的纠错性能比较Fig.4Performance comparison between GA-QC-LDPC codeand other LDPC codes通过上述仿真可知,本文提出的算法具有优于随机构造方法的性能㊂此外,由于GA -QC -LDPC 码具有准循环性,因此其编码复杂度要低于随机构造方法㊂4摇结束语本文研究了基于Gallager 和Mackay 的随机构造方法,发现随机构造方法构造的校验矩阵不具有确定的数学结构,导致编译码复杂度高㊁存储困难㊁硬件难以实现等缺陷,为此,提出了一种使用遗传算法构造QC-LDPC 码的方法,通过分步㊁多次使用遗传算法设计出大girth㊁具有准循环特性的LDPC 码,克服了随机码因无数学结构造成的不足㊂仿真结果在验证了QC-LDPC 码的性能随着girth 的增加而提升的同时,也表明本文构造出的GA-QC -LDPC 码具有比RS 和两种典型随机方法构造的LDPC 码更好的纠错性能㊂在今后的研究工作中,可以在本文提出的算法基础上,考虑其他的方式来替代遗传算法中的变异操作㊂因为本文中是通过将环上的元素置零以此来实现消除短环的目的,这种方法会减小校验矩阵的行重和列重,导致出现低重量的码字,降低LDPC 码的纠错性能㊂参考文献:[1]　Fossorier M P C.Quasi -cyclic low-density parity-check㊃853㊃ 电讯技术 2015年codes from circulant permutation matrices[J].IEEE Trans⁃actions on Information Theory,2004,50(8):1788-1793.[2]　黄胜,庞晓磊.基于中国剩余定理和贪婪算法扩展的QC-LDPC码[J].电讯技术,2014,54(11):1528-1533.HUANG Sheng,PANG Xiaolei.QC-LDPC Codes Basedon Chinese Remainder Theorem and Greedy Algorithm[J].Telecommunication Engineering,2014,54(11):1528-1533.(in Chinese)[3]　Huang Qin,Diao Qinju.Cyclic and Quasi-Cyclic LDPCCodes on Constrained Parity-Check Matrices and TheirTrapping Sets[J].IEEE Transactions on InformationThrory,2012,59(1):2648-2671.[4]　Wang Lei,Zhang Xing.QC-LDPC Codes with GirthEight Based on Independent Row-Colunm Mapping Se⁃quence[J].IEEE Communications Letters,2013,17(11):2140-2143.[5]　刘原华,张美玲.一种可快速编码的QC-LDPC码构造新方法[J].电讯技术,2013,53(1):55-59.LIU Yuanhua,ZHANG Meiling.A New Design Method forQuasi-cyclic LDPC Codes with Fast Encoding Ability[J].Telecommunication Engineering,2013,53(1):55-59.(in Chinese)[6]　Jiang Xueqin,Xia Xianggen.Efficient Progressive Edge-Growth Algorithm 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Email:mp_cqupt@田　凯(1989 ),男,山东人,2014年于重庆邮电大学获工学硕士学位,主要从事信道编码的研究;TIAN Kai was born in Shandong Province,in1989.He re⁃ceived the M.S.degree from Chongqing University of Posts and Telecommunications in2014.His research concerns channel coding.袁建国(1968 ),男,重庆人,博士,副教授㊁硕士生导师,主要从事光通信技术与光电子技术等方面的研究㊂YUAN Jianguo was born in Chongqing,in1968.He is now an associate professor with the Ph.D.degree and also the in⁃structor of graduate students.His research concerns optical com⁃munication technology and optoelectronics technology.㊃953㊃第55卷郑丹玲,穆攀,田凯,等:利用遗传算法构造QC-LDPC码第4期。