第5章《分式与分式方程》复习课件1
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北师大版数学八年级下册《第五章-分式与分式方程-1-认识分式-第1课时-分式的概念》PPT课件
x2
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B
可以表示成 A
B
的形式.如果B中含有字
母，那么称 A 为分式，其中A称为分式
B
的分子，B称为分式的分母.对于任意一
个分式，分母都不能为零.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
（1）分式是否有意义，与分子无关.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
x 3 0
②
由①得x=±3，
由②得x≠3.
所以当x=-3时，分式
x2 9 x3
的值为零.
随堂练习
1.无论x取什么值，下列分式中总有意义的
是（ A ）
2x
A. x 2 1
3x
C. x 3 1
x
B. 2 x 1
x5
D. x 2
2.若分式 x 2 4 的值为零，则x的值为（ C ）
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B
可以表示成 A
B
的形式.如果B中含有字
母，那么称 A 为分式，其中A称为分式
B
的分子，B称为分式的分母.对于任意一
个分式，分母都不能为零.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
（1）分式是否有意义，与分子无关.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
x 3 0
②
由①得x=±3，
由②得x≠3.
所以当x=-3时，分式
x2 9 x3
的值为零.
随堂练习
1.无论x取什么值，下列分式中总有意义的
是（ A ）
2x
A. x 2 1
3x
C. x 3 1
x
B. 2 x 1
x5
D. x 2
2.若分式 x 2 4 的值为零，则x的值为（ C ）
人教版八年级数学上册第五章分式与分式方程的复习课件(共22页)
变式3:设k法 （2分钟） 化简求值
若 x y z ， 求 2xy yz xz 的值
2 34
x2 y2 z2
解：设 x y z k(k 0) 2 34
则x 2k, y 3k, z 4k
代入得原式 12k2 -12k2 8k2 4k2 9k2 -16k2
8 3
变式4:双向变形整体代入 （3分钟）
a a
a
a21 2a1 1 2 (a 1)2(a
a 1)
1
a1 a2
(a2 a)(a 1) a(a 1)(a 1)
1 a2 (a 1)(a 1) a2 (a 1)(a 1)
a1
a≠±1和0，只能取 ±1和0以外的数。
变式1: （3分钟） 化简求值
先化简再求值： aa2
2 2a
A
A B 2 B A 1
即A 3，B 1
2
2
3.
A x2
B x
3
(x
5x 2)( x
3，) 求A、B的值
即x＞-2且x≠-1
变式2若分式 2x 1的值为正数, x2
求x的取值范围
变式3若分式 2x 1的值为负数, x2
求x的取值范围
分式的值
2、已知x为整数，且分式 2 的值为整数， x-2
则x的值为 _0_、__1_、__3_或__4__
变式、已知x为整数，且分式
2x x2
2 -1
的值为整数
则x的值有 __3__ 个 2x 2
学习目标(1分钟）
1.了解分式的定义，并会判断一个代 数式是否是分式
2.正确理解分式的值为0及有无意义 的条件
3. 掌握几种简单的分式化简求值
自学指导（一）（1分钟） 分式的概念
八年级数学下册 第5章 分式与分式方程复习课课件下册数学课件
母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
12/2/2021
第二十页，共三十六页。
解 ：
因为a + 1 a
5,所以a
+
12 a
25,
考点 讲 (kǎo diǎn) 练
即a2
1
a2
23,
所 以 a 4 a 2 1 a 2 1 1 2 3 1 2 4
a 2
a 2
所以 a2
1
a4 a2 1 24
2.方分程式方. 程(fēn shì fānɡ
chénɡ)的解法
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
(2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公
分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方
程的解，否则须舍去.
12/2/2021
第十页，共三十六页。
3.分式方程(fēn shì fānɡ chéunɡ列)的分应式用方程解应用题的一般(yībān)步骤
例1
如果分式
x 2 1 的值为0，那么x的值为
x1
1.
【解析】根据(gēnjù)分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的
分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=±1.
当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案(dá àn)】1
x4
解：∵x2－5x+1=0, 得 x 5 1 0,即 x 1 5 .
x
x
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)
第五章 分式与分式方程【复习课件】-(北师大版)
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再
与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
b ·d = bd
b÷ d = b ·c = bc
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
a bn
.
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不
√ 要把
a
n
b
an bn
写成
×
a b
n
an b
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为 b d bc ad bc ad . a c ac ac ac
分式的混合运算顺序
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
知识点 分式方程 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程 的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，
例 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：整式方程无解与解为分 式方程的增根．
与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
b ·d = bd
b÷ d = b ·c = bc
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
a bn
.
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不
√ 要把
a
n
b
an bn
写成
×
a b
n
an b
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为 b d bc ad bc ad . a c ac ac ac
分式的混合运算顺序
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
知识点 分式方程 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程 的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，
例 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：整式方程无解与解为分 式方程的增根．
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程单元复习课课件
x2 2x
方程两边都乘x-2,得1-x=-1-2(x-2), 解这个方程,得x=2. 你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.
第四页，共十七页。
解:不是(bù shi). 经检验x=2是原方程的增根,
∴x=2舍去,
∴原方程无解.
第五页，共十七页。
【中考这样(zhèyàng)考】 (2019·南京中考)解方程:
考的热点,形式多样,用到的数量关系有:
总价=单价×数量,售价=标价×
利润率= 利 润 ×100%等.
进价
折 扣利，润=售价-进价,
10
第十五页，共十七页。
2.专家支招:列分式方程解应用题的一般步骤:审、设、列、 解、验、答.必须严格按照步骤进行做题,规范解题步骤,另外 还要注意完整性:如设和答叙述要完整(wánzhěng),要写出单位等.
第十七页，共十七页。
第七页，共十七页。
【专家这样说】 1.类题说明:解分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)也是中考常考内容,多见 于解答题,难度不大,但得分率往往不理想,主要的原因是忘记 验根.
第八页，共十七页。
2.专家支招:熟记解分式方程的一般步骤:(1)乘以最简公分母, 转化为整式方程;(2)解整式方程,得到(dé dào)未知数的值;(3) 通过验根,最终确定出分式方程的解. 切记,一定要验根!
单元 复习课 (dānyuán) 第五章 分式与分式方程
第一页，共十七页。
第二页，共十七页。
考点1 解分式方程(考查方式(fāngshì):解可转化为一元一次方程 的分式方程)
第三页，共十七页。
【教材这样(zhèyàng)教】(P127议一议) 在解方程 1 x 1 -2时,小亮的解法如下:
方程两边都乘x-2,得1-x=-1-2(x-2), 解这个方程,得x=2. 你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.
第四页，共十七页。
解:不是(bù shi). 经检验x=2是原方程的增根,
∴x=2舍去,
∴原方程无解.
第五页，共十七页。
【中考这样(zhèyàng)考】 (2019·南京中考)解方程:
考的热点,形式多样,用到的数量关系有:
总价=单价×数量,售价=标价×
利润率= 利 润 ×100%等.
进价
折 扣利，润=售价-进价,
10
第十五页，共十七页。
2.专家支招:列分式方程解应用题的一般步骤:审、设、列、 解、验、答.必须严格按照步骤进行做题,规范解题步骤,另外 还要注意完整性:如设和答叙述要完整(wánzhěng),要写出单位等.
第十七页，共十七页。
第七页，共十七页。
【专家这样说】 1.类题说明:解分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)也是中考常考内容,多见 于解答题,难度不大,但得分率往往不理想,主要的原因是忘记 验根.
第八页，共十七页。
2.专家支招:熟记解分式方程的一般步骤:(1)乘以最简公分母, 转化为整式方程;(2)解整式方程,得到(dé dào)未知数的值;(3) 通过验根,最终确定出分式方程的解. 切记,一定要验根!
单元 复习课 (dānyuán) 第五章 分式与分式方程
第一页，共十七页。
第二页，共十七页。
考点1 解分式方程(考查方式(fāngshì):解可转化为一元一次方程 的分式方程)
第三页，共十七页。
【教材这样(zhèyàng)教】(P127议一议) 在解方程 1 x 1 -2时,小亮的解法如下:
北师大版数学八年级下册 第五章分式与分式方程总复习课件.ppt
x－1
x2－x
x2－4x＋4＝x（x－2）2.
复习要点
要点三：分式的化简求值 例3： 先化简再求值：(a＋1－4aa－－15)÷(a1－a21－a)，其中 a＝2＋ 3.
a2－1－4a＋5 a－1－1 解：原式＝ a－1 ÷a（a－1）
a2－4a＋4 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
（a－2）2 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
复习要点
要点一：分式的有关概念
x2 1
例1：当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
无意义？
x2 1
有意义？当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
解：由分母（x-1）（x-2）=0
x=1或2
∴x=1或2时，原分式无意义；
x≠1且x≠2时，原分式有意义.
易错提示:
(x
x2 1 1)(x
＝a(a－2) ＝a2－2a. 当 a＝2＋ 3时， 原式＝(2＋ 3)2－2(2＋ 3)＝3＋2 3.
举一反三
1．先化简，再求值：(a＋a＋1 2)÷(a－2＋a＋3 2)，其中，a 满足 a－2＝0. a（a＋2）＋1 a2－4＋3
解：原式＝ a＋2 ÷ a＋2
（a＋1）2
a＋2
＝ a＋2 ·（a＋1）（a－1）
解方程: x＋3 2＋x2－2 4＝x－1 2. 解：去分母，两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 3(x－2)＋2＝x＋2，解得x＝3. 经检验x＝3是原方程的根．
随堂检测
要点五：分式方程的应用 例5．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过， 部队工兵连接到抢修一段长3 600米道 路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了 让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务， 原计划每小时抢修道路多少米？ 解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意，得
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
解分式方程一定要 验根 。
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
北师大版初中数学八年级下册第五章分式与分式方程单元复习课件
a a2
1 1
a 1
1 a
的值.
解： a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 a2 3a 2 a 2
a2 1 1 a a2 1 a 1
a2 1
a2 1
a1
当a
1 5
时，原式=
1
5 1
2 1
11; 4
5
先化到最简，再代入求值.注意顺序！
四、分式方程
例8.下列关于x的方程是是分式方程的是（ D）.
x 2 2x 3 1 解这个方程得：
3 y1 y 4 解这个方程得：
x3
y3
当x 3时，x 3 0,所以x 3是原方程的增根. 经检验，y 3是原方程的解.
解分式方程的一般步骤：转化、求解、检验.
四、分式方程
例10.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任
务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单
(2) n 1 n 1 m1
x3
x3
n1 n1 m1
x3 x3 x3 x3
m1
m1
x3 x3
n1 n1 m1
x3 x3
m1
6 x2 9
m mn m1
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同
分母分式的加减法法则进行计算. b d bc ad bc ad .
a c ac ac ac
三、分式的运算
x2
同分母的分式相加减， 分母不变，把分子相加减．
(2) m 2n 4m n . mn mn
(2) m 2n 4m n mn mn
m 2n 4m n mn
3m 3n mn 3
b c b c. aa a
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x y x y2 ( 2) 2 x x y x xy x y x y2 2 解： x x y x xy ( x y)( x y) x2 y2 x( x y ) x( x y ) x( x y ) x2 y 2 x2 y 2 x 2 xy
4、分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变， 把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分， 化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减 法则进行计算。 5、分式方程是分母中含有未知数的方程：解分式方 程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其 一般步骤是：去分母，解整式方程，验根。
专题总结 一、分式的意义：
例、甲、乙两地相距19千米，王刚从甲地去乙地， 先步行了7千米，然后改骑自行车，共用了2小 时到达乙地，已知王刚骑自行车的速度是步行 速度的4倍，求他步行的速度和骑自行车的速 度。 解：设步行的速度是 x 千米/小时，则骑自行车的 速度为 4x 千米/小时。根据题意，得
7 19 7 2 x 4x
0 .6 0 .4 x 例2、不改变分式的值，使 的分子、分 4 2 x 5 15
母的最高次项的系数为正整数。
(0.4 x 0.6) 15 0.6 0.4 x 6x 9 解： 4 2 2 4 2 x 12 ( x ) 15 x 15 5 5 15
熟练地利用分式的基本性质，就系数、变符号即可。
例6、解方程：
2 3 4 (1) 2 2 2 0 x x x x x 1 1 x 6 7 ( 2) 2 1 x x 1 x 1 x
x8 k 8 有增根， 例7、若关于 x 的方程 x7 7 x
则 k 的值是多少？
例8、甲、乙两地相距150千米，一轮船从甲地逆流 航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知 水流的速度为3千米/时，回来时所用的时间
是去时的四分之三，求轮船在静水中的速度。
例9、把总价都为480元的甲、乙两种糖果混合成杂 拌糖，杂拌糖平均价每块比甲种糖少0.03元， 比乙种糖多0.02元，则原来甲种糖和乙种糖 的价格各是多少元？甲、乙两种糖各有多少 块？
解这个方程，得
x = 5
经检验 x = 5 是所列方程的根，这时 4x=20
答：他步行的速度是 5千米/时，骑自行车的速度 是20千米/时。
好题剖析
x5 例1、当 x 取什么值时，分式 ( x 2)( x 3)
（1）有意义？ （2）值为零？
当分式的分母不等于零时，分式有意义；当分式的 分子等于零，而分母不等于零时，分式的值为零。
第五章 分式与分式方程
基础知识
A 1、形如 的式子叫做分式，其中A、B是整式，B B
中必须含有字母。对于任意一个分式，分母都不 能为零。
2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或 除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 A A M A A M , ( M 0) B B M B B M 3、分式的乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积 作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后， 再与被除式相乘。结果要化为最简分式或整式。
0
x x6 1 例4、当 x = 200 时，求 2 的值. x 3 x 3x x x x6 1 解: 2 x 3 x 3x x
x2 x6 x 3 x( x 3) x( x 3) x( x 3) x2 9 x( x 3) 当 x = 200 时, ( x 3)( x 3) 200 3 203 x( x 3) 原式= x3 200 200 x
例3、计算：
9 6x x x 3 x 4x 4 (1) 2 2 x 16 4 x 4 x
2 2
9 6 x x2 x 3 x2 4 x 4 解： 2 2 x 16 4 x 4 x (3 x)2 4 x ( x 2)2 ( x 4)( x 4) x 3 (2 x)(2 x) ( x 3)( x 2) x2 x 6 2 ( x 4)( x 2) x 2x 8
m 9 例：当 m 取何值时，分式 有意义？ m3以当 m≠3 时， 分式有意义； 由 m2 – 9 =0，得 m=±3。而当 m=3 时，分母 m – 3 =0，分式没有意义，故应舍去， 所以当 m= - 3时，分式的值为零。
二、分式方程的应用：