二次函数习题课
二次函数【复习题】(4课时)
二次函数【复习题】(4课时）一、例题：【例1】二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）【例2】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）【例3】在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb 的图象大致是图中的（ ）【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）【例6】抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．【例7】已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．【例9】已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？ （2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶 点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能 ，请说明理由．【例10】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？【例11】已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．【例12】如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？【例13】如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【例16】阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==． ④， ③12m y m x当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化． 把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题：（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．二、课后练习：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到 的抛物线表达式为．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
习题课4 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用
> 0,
> 0,
<
-2,
则有①Δ≤0 或② 2
或③ - 2 > 2,
7 + ≥ 0,
7-3 ≥ 0
课前预学
课堂导学
解①得-6≤a≤2,解②得 a 无解,解③得-7≤a<-6.综上可知,实数 a 的取值范围为-7≤a≤2.
(3)令关于 a 的函数 s=xa+x2+3.当 4≤a≤6 时,s≥0 恒成立,
2
<<2 ;
2
当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x<2};当 0<a<1 时,原不等式的解集为 > 或 x < 2 ;
当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当 a>1 时,原不等式的解集为 > 2 或 <
2
.
课前预学
方法总结
课堂导学
解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑对应函数图象的开
课堂导学
1.不等式 6x2+x-2≤0 的解集为( A ).
2
1
3
2
A. - ≤ ≤
解析
2
1
3
2
B. ≤ - 或 ≥
C. ≥
1
D. ≤ -
2
2
1
3
2
由 6x +x-2≤0,得(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 - ≤ ≤
2
2
3
.
2.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax 2+bx+c≥0 的解集为( D ).
二次函数习题课
数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直觉，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休"
直线x=1 B
o
A
x
本节课你主要学到了什么？
数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直觉，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休"
（2011湖北黄石）已知二次函数y=x2－2mx+4m－8 (1)当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， 求m的取值范围。 （2）以抛物线y=x2－2mx+4m－8的顶点A为一个顶点 作该抛物线的内接正三角形AMN（M、N两点在 抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的 定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说 明理由。 （3）若抛物线y=x2－2mx+4m－8与x轴交点的横坐标 均为整数，求整数m的值。
o
直线x=1 B
A
x
练习:如图，一条抛物线与x轴的两个交点 分别是O、A，顶点是B,对称轴是直线 x=1，并且∠BOA=60 °. 求此抛物线的解析：
如图，一条抛物线 y=ax2+bx+c 与x 轴的两个交点分别是O、A， 顶点是B,对称轴是直线x=1， 当a为何值时，△OAB是等边三角 y 形？
（广东株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y = ax 2 (a < 0) 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的 原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得 OA = OB = 2 2 （如图1），求 的值；
a
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时， 过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现， 交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
九年级(下)第六章 二次函数 第7课时 二次函数的图象和性质(习题课)
第7课时 二次函数的图象和性质(习题课) （附答案）1．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ( )A ．开口向上，对称轴是y 轴B ．开口向下，对称轴是y 轴C ．开口向下，对称轴平行于y 轴D ．开口向上，对称轴平行于y 轴 2．如果抛物线y ＝x 2－6x ＋c －2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于 ( )A ．8B ．14C ．8或14D ．－8或－14 3．(2012．菏泽)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋e 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝a x在同一平面直角坐标系中的图象大致是 ( )4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则其图象可能是图所示的 ( )5．若把抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到抛物线y ＝x 2－2x ＋1，则 ( )A ．b ＝2，c ＝－2B ．b ＝－6，c ＝6C ．b ＝－8，c ＝14D ．b ＝－8，c ＝186．（2012．常州）已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x ，3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是 ( ) A . 321y y y << B . 123y y y << C . 213y y y << D . 312y y y <<7．已知抛物线y ＝a(x ＋1)2＋2经过点(1，6)，则a 的值为_______，该抛物线的函数解析式为_______．8．二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1图象与x轴只有一个交点，则a＝_______．9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋e的对称轴是直线x＝－1，若抛物线与x轴其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为_______．10．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（－1，0）、（1，－2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_______．11．某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如上表，经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_______．12．某二次函数图象的顶点坐标是C(1，－4)，与y轴的交点是D(0，－3)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图像与x轴的交点坐标．13．（2012．株洲）如图，一次函数y＝－12x＋2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c过A、B两点．(1)求这个抛物线的解析式；(2)作垂直于x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．参考答案1．A 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B7．1 y＝x2＋2x＋3 8．2 9．－3 10．x>1211．y＝x2－4x＋312．(1) y＝x2－2x－3 (2)(3，0) （－1，0）13．(1)y＝－x2＋72x＋2 (2)当t＝2时，MN有最大值为4 (3)D为(0，6)，（0，－2）或(4，4)．。
二次函数6(顶点式习题课)
二次函数k h x a y +-=)(2（顶点式）习题课 班级______ 姓名___________ 学号___________ 成绩_________一、复习1、二次函数4)1(-22++=x y 的图象的开口方向________，顶点坐标是________，对称轴是_________. 当x ______时,y 随着x 的增大而增大, 当x ______时, y 随着x 的增大而减少.当x =_____时，函数有最_______值是_________.2、二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到.二、求函数表达式例1、已知一个二次函数的图像的顶点在原点，且经过点（1，3），求这个二次函数的表达式.例2、已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2)，且经过点（0，1），求这个二次函数的表达式.例3、已知二次函数当x=3时有最大值4，并且图象经过点（4，－3），求这个二次函数的表达式.例4、已知抛物线的对称轴为直线1=x ,且经过（1，2）和（-2，5），求这个二次函数的表达式.三、实际应用例5、一名男生掷实心球，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时实心球被掷得最高，此时实心球离地面3.6米，设实心球行进的路线是如图所示的一段抛物线． ⑴求实心球行进的高度y (米)与行进的水平距离x (米)之间的函数关系式；⑵如果实心球考试优秀成绩为9.6米，那么这名男生在这次考试中成绩是否能达到优秀？请说明理由．四、课堂练习1、抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是________，顶点坐标是____________.2、二次函数2(1)2y x =++的最小值是________.3、将二次函数22x y =图象向左移动3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的表达式为______4、已知二次函数当x=2时y 有最大值是１.且过（３，０）点,求该函数的表达式.5、将抛物线k h x a y +-=2)(的图像先向左移动2个单位，再向上移动3个单位得到二次函数1)3(-22++=x y 的图像.（1）确定k h a ,,的值；（2）指出二次函数k h x a y +-=2)(的开口方向、对称轴和顶点坐标.6、足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y (m)关于飞行时间x (s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出1s 时，足球的飞行高度是2.44m ，足球从飞出到落地共用3s ．⑴求y 关于x 的函数表达式；⑵足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；。
第1课时：二次函数练习
二 次 函 数第1课时：二次函数学习目标：1、经历探索和表示两个变量之间的函数关系的过程，从中体会二次函数是描述现实世界数量关系的重要数学模型。
2、理解二次函数的概念，会表示简单变量之间的二次函数关系。
问题探索：问题1：（1）一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 的函数关系式是__________________________.（2）用16m 长的篱笆围成长方形的生物园养小兔，长方形的面积y （cm 2）与长方形的长x （cm ）之间的关系式是__________________.（3）要给边长为x m 的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y （元）与x （米）之间的函数关系式是____________________. 问题2：(1)下列函数：①1232++=x x y ；②5612+=x y ；③()223x x y --=；④221x x y -+=，属于二次函数的有__________________。
(2) 若函数()6222--+=k kx k y 是关于x 的二次函数，则k 的值为多少？(3)m 取哪些值时，函数()()122+++-=m mx x m m y①是以x 为自变量的二次函数；②是以x 为自变量的一次函数。
练一练：1、函数()b ax x b a y ++-=2是二次函数的条件是（ ） A ． 0≠a b a 是常数，且、 B ．b a b a ≠是常数，且、C ．0≠b b a 是常数，且、 D ．0不同时为、常数b a 2、下列函数中是二次函数的是（ ）、A ．122+-=x yB ．13-=x yC ．xx y +=21 D ．212-+=x x y 3、若函数()1321--=ax a y 是二次函数，求a 的值。
问题3：写出下列各函数关系式，并判断该函数是不是二次函数。
第二章 二次函数习题PPT：第3课时 利用二次函数解决利润问题
解：（1）根据题意，得y＝－21x＋50. （2）根据题意，得（40＋x）（－12x＋50）＝2 250， 解得x1＝50，x2＝10. ∵每件利润不能超过60元，∴x＝10. 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2 250元.
（3）根据题意，得w＝（40＋x）（－
1 2
x＋50）＝－
3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元 （20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30－x）件.若使利润最大，每 件的售价应为 25 元.
4.（2018·榆林期末）幸福村为了维护村民的利益，限定村内所有商店 的商品的利润率不得超过50%，村内一家商店以每件8元的价格购进一批 商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出（100－4x）件，每天销售该 商品所获得的利润为y元.
②（ⅰ）当0＜x≤30时，令－2（x－25）2＋2 450＝2 400，解得x1＝ 20，x2＝30.
∵抛物线w＝－2（x－25）2＋2 450的开口向下， ∴当20≤x≤30时，w≥2 400. 此时，当天利润不低于2 400元的天数为30－20＋1＝11（天）. （ⅱ）当30＜x≤50时， 由①可知当天利润均低于2 400元. 综上所述，当天利润不低于2 400元的共有11天.
类型2 每……每……问题
6.喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件， 每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出 10件.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售该商品的利润 为y元，则y与x的函数表达式为（A ）
A.y＝－10x2＋100x＋2 000 B.y＝10x2＋100x＋2 000 C.y＝－10x2＋200x D.y＝－10x2－100x＋2 000
二次函数习题课2011
二次函数习题课班别 姓名 学号一、基础练习1、二次函数22y x x =--的顶点是 ，对称轴是2、抛物线2235y x x =--与y 轴的交点是 ，与x 轴的交点是3、一元二次方程23100x x +-=的两根是1252,3x x =-=，则二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是4、已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线是1x =-，则关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根分别是121,x x == 二、例题选讲例1 已知抛物线234y x x =--（1）求顶点坐标，对称轴 （2）求出图像与x 轴的交点（3）x 取何值时，函数值大于0？x 取何值时，函数值小于0？例2 已知二次函数2y ax bx c =++图像顶点坐标是C ()1,4-，与y 轴的交点是D ()0,3- （1）求这个二次函数的解析式（2）若这个二次函数图像与x 轴的交点是A,B （A 在B 的左边）求四边形ABCD 的面积例 3 已知二次函数2y x bx c =-++图像对称轴是直线是1x =-，图像与x 轴的交点是12(,0),(,0)x x ，且221210x x +=求这个二次函数的解析式三、课后作业1. 抛物线2(1)21y a x x =-++与x 轴只有一个交点，则a 2. 已知抛物线2(23)5y ax a x a =+-++与x 0实数根的情况是3. 二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，则一元二次方程2ax 个实数根为 ，当 时，0y > 4.顶点坐标是C ()1,4-，与y 轴的交点是D ()0,3- （1）求这个二次函数的解析式（2）若这个二次函数图像与x 轴的交点是练习1：已知抛物线经过点()()()2,5,0,5,3,10--，求抛物线的函数解析式 经过点，求抛物线的函数解析式例2 已知二次函数的图像经过点()()()1,10,1,4,2,7-，求这个二次函数的解析式练习2：已知二次函数的图像经过点()()()3,2,1,0,2,12---，求这个二次函数的解析式三、课堂检测1、已知抛物线经过点()()()1,6,0,4,1,2---，求抛物线的函数解析式2、已知抛物线经过点()()()1,3,2,8,1,1--，求抛物线的函数解析式四、课后作业1. 已知抛物线经过点()()()2,4,0,1,3,10，求抛物线的函数解析式练习1：已知抛物线2y x bx c =++经过点()()2,11,1,2-，求抛物线的函数解析式练习3：如图,求抛物线的函数解析式第9课时：用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式） 陈汉禄班别 姓名 学号一、复习练习1、已知抛物线经过点()()()1,5,0,2,1,3-，求抛物线的函数解析式2、抛物线()221y x =-+，它的顶点是（ ） A ()2,1- B ()2,1 C ()2,1- D ()1,23、已知抛物线()25y x h k =-+的顶点是()1,3-，则（ ）A 1,3h k ==B 1,3h k =-=C 1,3h k ==-D 1,3h k =-=-4、已知抛物线()212y a x =+-经过点()1,4-，则a= ，该抛物线的函数解析式为 二、新课讲授例1 已知抛物线的顶点是()1,5-，图像经过点()2,1，求抛物线的函数解析式练习1：已知抛物线的顶点是()2,3-，图像经过点()5,2-，求抛物线的函数解析式例2 已知抛物线2y ax bx c =++的部分对应值如下，求该抛物线的函数解析式三、课堂检测1、已知抛物线的顶点是()5,9--，经过点()0,41，求抛物线的函数解析式x5y12、如图,求抛物线的函数解析式四、课后作业1. 已知抛物线的顶点是()4,2-，且与抛物线2123y x =-+2. 已知抛物线的顶点是()4,5，经过点()3,6，求抛物线的函数解析式3. 已知抛物线的顶点是()2,3-，经过原点，求抛物线的函数解析式4. 如图,求抛物线的函数解析式5. 已知二次函数的图像经过点()()()0,5,1,4,2,7，求这个二次函数的解析式。
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练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2
解 (3)
①画对称轴 ②确定顶点 ③确定与坐标轴的交点 ④连线 A
x=-1
y
•
(-3,0) 0
(1,0) x
3 • • •(0,-–) 2 (-1,-2) M
•B
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1 2 3 已知二次函数y=—x +x-— 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随x的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x在什么范围时，y<0？x在什么范围时，y>0？
0
•
•
• • •
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
9 二次函数y=4x2－mx+5当x<-2时，函数y随x的增大而减 小,当x>-2时， y 随x的增大而增大，则x=1时y= 25 。
10 请选择一组你喜欢的a,b,c的值，使二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象同时 满足下列条件：开口向下， 当x<-3时，y随 x的增大而减小,当x>-3时，y随x的增大而 增大，这样的二次函数的解析式可以是——
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2
解:
3 (2)由x=0，得y= - -— 2
3 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 2 1 3 由y=0，得—x2+x- —=0 2 2 x1=-3 x2=1 与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
y
o
x
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0. [2000中考]
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想） x
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2
解 :(5)
当x≤-1时，y随x的增大 而减小; 当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
x=-1
y
•
(-3,0)
(1,0) x
0 3 (0,-–) 2
• • • (-1,-2)
•
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随x的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x在什么范围时，y<0？x在什么范围时，y>0？
1 3 已知二次函数y=—x2+x-— 2 2
1 解:（1）∵a= —>0 2 ∴抛物线的开口向上 1 1 ∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2 2 2 ∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。 （2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
• 解:（1）∵a= —>0
(5)由图象可知
∴抛物线的开口向上 当-3 < x < 1时，y < 0 ∵y= — (x2+2x+1)-2= —(x+1)2∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2） 当x< -3或x>1时，y > (2)由x=0，得y= - -— 抛物线与y轴的交点C（0，- -—） 由y=0，得—x2+x- —=0 x1=-3 x2=1 y 与x轴交点A（-3，0）B（1，0） (3)当x＜-1时，y随x的增大而减少; 当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2 (1,0) x (-3,0) （4）由对称性可知 0 MA=MB=√22+22=2√2 AB=|x1-x2|=4 3 (0,-–) ∴ ΔMAB的周长=2MA+AB 2 =2 √2×2+4=4 √2+4 (-1,-2) ΔMAB的面积= —AB×MD = —×4×2=4
y
4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况： a < 0,b < 0,c = 0. [1999中考]
y
o
x
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点, 且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足 的条件是：a > 0,b > 0,c = 0. [2000中考]
试一试
1 y=x2-2x+9的抛物线上有两点（2，y1）（4，y2）则 的y1 ,y2大小关系（ ）。 A) y1= y2 B) y1> y2 C) y1< y2 D) 不确定 2 若A（-4.5,y1),B(-1 ,y2),C(1.3,y3)为y=-x2-4x+5的图 象上的三点，则y1, y 2, y3的大小关系 A) y1> y2 >y3 C) y1< y2 <y3
11 二次函数的图象开口向下，经过点（2，0）且与y轴的 正半轴相交，请写出一个满足条件的二次函数解析式——。
根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
•
• • •
•
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C， A，B的坐标。 （3）画出函数图象的示意图。 （4）求ΔMAB的周长及面积。 （5） x在什么范围时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？ （6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0， 那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限 y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想） x
做一做
1） 抛物线y=x2-2x-5的对称轴方程是____，顶点坐标是 。 x=1 (1，-6) 2） 二次函数y=x2-2x+m的最小值为3，则m=___. 4 2+(m-1)x-7的顶点的横坐标为2，则m=___. 3） 抛物线y=x -3 4） 二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点的横坐标是 。 -3,2 2-2) x2+2mx+1的对称轴经过点 5） 开口向下的抛物线 y=(m （-1，2）则m=___. -1 6） 抛物线经过点（4，0), （8，0）有最大值为4，则抛物线的顶 点坐标 。 (6,4) 7） 二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点为（-1，-3）则 b=___,c=___. -2 6 8） 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)其中 a,b,c满足 a+b+c=0 和 9a-3b+c=0，则二次函数图象的对称轴方程是 X=-1 。