6.4 探索三角形相似的条件(5)
学生独立完成．
布置课后作业的主要 目的是巩固本节课所学知 识．
- 3 -
回顾思考 1．如何判定两个三角形是否相似？ 2．什么叫黄金分割？ 探索新知 1．在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝36° ，BD 是△ ABC 的角平分线． （1）△ ABC 与△ BDC 相似吗？为什么？ （2）判断点 D 是否是 AC 的黄金分割点，并说明理由．
题 2 也可以用面积法 证． 假设中线 CF 与 BE 相 交于 G，延长 AG 与 BC 相 交于 D，可证△ AFG、 先独立思考，再讨论交流． △ BFG、△ AGE、△ CGE 面积都相等，再证△ BDG 与△ DCG 面积相等（同底 等高三角形），推出 BD＝ DC，即 D 是 BC 的中点．
2．如何证明三角形的三条中线相交于一点？
- 1 -
得出结论 1．我们把顶角为 36° 的三角形称为黄金三角形．黄金△ ABC 它具 有如下的性质： （1）
师生互动，锻炼学生 的口头表达能力，培养学 生勇于发表自己看法的能 力． 讨论后共同小结．
BC 0.618 ； AB
（2） 设 BD 是△ ABC 的底角的平分线，则△ BCD 也是黄金三角形， 且点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （3）如再作∠C 的平分线，交 BD 于点 E，则△ CDE 也是黄金三 角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书· 数学（九年级下册） 6.4 教学目标 教学重点 教学难点 探索三角形相似的条件（5）
1．理解黄金三角形、三角形重心的概念； 2．运用黄金三角形、三角形重心的结论解决实际问题． 对黄金三角形、三角形重心的理解． 三角形三条中线相交于一点的证明． 教学过程（教师） 学生活动 学生回顾旧知识． 设计思路 通过回顾相关概念， 自然导入本节课的教学．
设计尝试交流的目的 是为了加深学生对黄金三 角形、三角形重心性质的 理解，同时为后续学习作 1．学生尝试完成 1、2 两题． 2．利用展台学生代表讲评．
E
好铺垫．学生利用展台讲 评有利于培养学生严谨的 数学思维．
B
2．已知：△ ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC，AD 与中线 BE 相 交于点 G，AD＝18，GE＝5，求 BC 的长．
2． 三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心； 三角形的重 心与顶点的距离等于它与对边如图，正五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角也相等． （1）找找看，图中是否有黄金三角形？ （2）点 F 分别是哪些线段的黄金分割点？
A M N F C D H G
课堂小结 通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还 有什么疑问？
学生讨论小结本节课内容．
培养学生反思自己学 习过程的意识，充分发挥 学生的主体作用，从而培 养归纳、整理、表达的能 力．
课后作业 1．必做题：课本 64 页练习第 2 题； 课本习题 6.4 第 10、12 题． 2．选做题：课本习题 6.4 第 16 题．
三角形的相似条件
三角形的相似条件在我们的数学世界中，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的相似，则是三角形研究中的一个关键概念。
那么，到底什么情况下两个三角形会相似呢？这就涉及到三角形的相似条件。
首先，我们来了解一下什么是三角形的相似。
简单来说，如果两个三角形的形状完全相同，但大小不一定相同，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
三角形相似的第一个条件是“两角分别相等的两个三角形相似”。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF，如果角 A 等于角 D，角 B 等于角 E，那么这两个三角形就是相似的。
为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，当两个角分别相等时，第三个角也必然相等。
而三个角都相等的三角形，形状就是相同的，所以它们相似。
接下来是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
假设在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB/DE ＝ AC/DF ，并且角 A 等于角 D，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件其实很好理解，因为夹角相等，两边成比例，就意味着三角形的形状被固定下来了，所以它们相似。
再看“三边成比例的两个三角形相似”。
比如三角形 ABC 的三条边分别为 a、b、c，三角形 DEF 的三条边分别为 d、e、f，如果 a/d ＝ b/e ＝ c/f ，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件就像是用尺子去衡量三角形的边，如果比例都一样，那形状肯定相同，只是大小可能不同。
为了更好地理解三角形的相似条件，我们来看几个实际的例子。
假设在一个三角形中，三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。
在另一个三角形中，也有三个角分别为 30 度、60 度和 90 度。
那么很明显，这两个三角形的对应角相等，所以它们是相似的。
再比如，有一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度。
另一个三角形对应的两条边分别是 8 和 12，夹角也是 60 度。
通过计算可以发现，这两条对应边的比例是 1:2 ，夹角相等，所以这两个三角形相似。
探索相似三角形相似的条件(基础)知识讲解
探索相似三角形相似的条件(基础)【学习目标】1. 相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点诠释：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC 两段,如果AC BC AB AC=,那么线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.要点诠释：512AC AB -=≈0.618AB (0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值). 2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21A B. （2）连接AD ，在DA 上截取DE =D B.（3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.。
《探索三角形相似的条件》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (5)
完成课本15页：随堂练习
延伸拓展：
一家住房的结构如图
y
2y
示，房子的主人打算把 卧室以外的部分全都铺
卫生间
卧室
上地砖，至少需要多少
x
厨房
4x
平方米的地砖？如果某
种地砖的价格是a元/平 2x
客厅
方米，那么购买所需地
砖至少需要多少
E
DN DE
(相似三角形对应边成比例).
F N
小结 拓展
回味无穷
• 判定三角形相似的常用方法: • 两角对应相等的两个三角形
• 如图:
相似.
• 在△ ABC和△ DEF中
• 三边对应成比例的两个三角 形相似.
• 如果∠A=∠D, ∠B=∠E,
• 两边对应成比例,且夹角相等 的两个三角形相似.
相似与全等
思 考
类比—新化旧
分
• 三角形全等的判定方法：
析
• 边角边(SAS);角边角 • 由边角边(SAS)可猜想:
(ASA);角角边(AAS);边• 两边对应成比例,且夹角
边边(SSS);斜边直角边 相等的两个三角形相似;
•
(HL). 由角边角(ASA);角角边• (AAS);可知,有两个角对
• 斜边直角边对应成比例的两
• 那么△ ABC∽ △DEF.
如果 AB BC AC .
个直角三角形相似.
DE EF DF
• 相似三角形的各对应角相等, 那么△ ABC∽ △DEF.
各对应边对应成比例. • 相似三角形对应高的比,对应
角平分线的比,对应中线的比,
如果
AB DE
AC DF
. 且∠A=∠D
初中数学《探索三角形相似的条件》教案
初中数学《探索三角形相似的条件》教案案例名称«探索三角形相似的条件»课时 1课时【一】教材内容分析«探索三角形相似的条件»是北师大版试验教科书八年级下册第四章第九节的内容，1课时，它是在学生学习了相似三角形的概念基础上，进一步研究三角形相似的条件，是今后进一步研究其他图形的基础。
【二】教学目标〔知识，技能，情感态度、价值观〕1、知识目标：〔1〕使使学生能通过三角形全等的判定来发现三角形相似的判定．〔2〕学生掌握相似三角形判定定理1，并了解它的证明．〔3〕使学生初步掌握相似三角形的判定定理1的应用．2、能力目标：〔1〕通过尺规作图使学生得到技能的训练；〔2〕通过公理的初步应用，初步培养学生的逻辑推理能力. 3、情感目标：〔1〕在公理的形成过程中渗透：实验、观察、类比、归纳；〔2〕通过知识的纵横迁移感受数学的系统特征。
【三】教学重难点：重点：掌握相似三角形判定定理1及其应用．难点：定理1的证明方法．【四】教学环境及资源准备1.投影片2.观看相关视频【五】教学过程教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备〔一〕、导入新课 1、多媒体展示问题，什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？2、到目前为止判定三角形相似的方法有几个？3、什么叫相似三角形？相似三角形与全等三角形有何联系？学生回答证明三角形的两种方法通过提问既起到复习旧知识又起到引出新问题的作用〔二〕、探究新知1新课讲解〔1〕、做一做，做出两个三角形来试验是否相似。
〔2〕、师生共同总结：两角对应相等的两个三角形相似。
2应用新知教学例1：：△ABC和△DEF中A=40，B=80，E=80，F=60求证：△ABC∽△DEF例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似3、例题小结 1、学生亲手实践2、学生理解3、边听讲边思考让学生通过亲手实践来体验知识的准确性，理解，消化主要知识例1，例2的练习加强学生，以达对定理的更深一步的理解与掌握。
求三角形相似的条件
求三角形相似的条件三角形相似是几何学中一个重要的概念，它指的是两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等。
在实际问题中，我们经常会用到三角形相似的性质来求解各种问题。
本文将从三角形相似的条件入手，详细介绍三角形相似的相关内容。
一、三角形相似的条件要判断两个三角形是否相似，需要满足以下条件：1. AA相似条件：两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
这意味着两个三角形的对应边的比值相等。
2. SSS相似条件：两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
这意味着两个三角形的对应角相等。
3. SAS相似条件：两个三角形中，一对对应边的比值相等，并且这对边夹角的大小相等，则这两个三角形相似。
二、三角形相似的应用1. 比例求解：通过三角形相似的条件，我们可以利用已知三角形的一些边长关系，求解其他未知边长的比例关系。
例如，已知两个相似三角形的一对对应边的比值，可以求解其他对应边的比值。
2. 测量计算：在实际测量中，我们可以利用三角形相似的性质，通过测量一个三角形的一些边长和角度，推导出其他三角形的边长和角度。
3. 图形放缩：利用三角形相似的性质，我们可以将一个三角形放大或缩小成为另一个相似的三角形。
这在地图绘制、模型制作等领域中有很多应用。
4. 几何证明：三角形相似的性质在几何证明中也经常被使用。
通过运用三角形相似的条件，我们可以证明一些几何定理和性质。
三、三角形相似的例题下面通过几个例题来进一步理解三角形相似的应用。
例题1：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且AB=12cm，BC=9cm，DE=8cm，求EF的长度。
解：根据题意可知，三角形ABC和三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF，代入已知数据，得到12/8=9/EF，通过交叉乘法得到EF=6cm。
例题2：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且∠B=45°，∠C=60°，EF=5cm，求三角形DEF的角度。
6.4 探索三角形相似的条件(5)
6.4 探索三角形相似的条件（5）
如何证明三角形的三条中线相交于一点？
知识点 三角形重心的定义：
重心 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的
．
三角形重心的性质：
三角形的重心到对边中点的距离与重心到顶点的
距离之比为1：2
A
F
符号语言：∵点G是△ABC的重心
6.4 探索三角形相似的条件（5）
例题讲解
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，AD的 延长线交△ABC的外接圆于点E．
△ABE与△CDE相似吗？为什么？
6.4 探索三角形相似的条件（5）
练一练
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AC的中 点，BD交AC于点E.△CDE与△BDC相似吗?为什么?
E
B
G
∴ GD GE GF 1 GA GB GC 2
D
C
注意：①本质上来说，重心就是把中线分成1：2两部
分，不过要注意谁是1，谁是2
6.4 探索三角形相似的条件（5）
练习
（1）如图，△ABC中，BD为△ABC的中线，E为重 心，若BD＝3，则DE＝＿＿＿
（2）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重 心，如果AG=6，那么线段DG＝＿＿＿
边上的一个动点，则当△A数学 九年级(下册)
6.4 探索三角形相似的条件（5）
学习目标
1、了解三角形的重心的概念，掌握三角 形重心的性质；
2、能够运用三角形重心的性质解决问题.
6.4 探索三角形相似的条件（5）
知识回顾 我们知道三角形三条垂直平分线交于一
点，这个点是外心；三角形三条角平分线交 于一点，这个点是内心.
《6.4探索三角形相似的条件》作业设计方案-初中数学苏科版12九年级下册
《探索三角形相似的条件》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在帮助学生掌握三角形相似的概念和基本条件，加深对相似三角形相关知识的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过本课时的学习，学生应能够理解并掌握三角形相似的判定定理，并能够正确运用这些定理进行解题。
二、作业内容作业内容主要围绕《探索三角形相似的条件》这一主题展开，具体包括以下几个方面：1. 理解相似三角形的定义和基本性质，了解三角形相似的概念及其在实际生活中的应用。
2. 掌握并能够熟练运用三角形的全等条件和相似条件进行问题解决。
3. 探究不同条件下三角形相似的判定方法，如角角边法、角边边法等。
4. 结合具体问题，运用所学知识分析并解决实际问题，如利用相似三角形求解距离、面积等问题。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案或利用网络等外部资源。
2. 学生在完成作业过程中，应注重理解和掌握相关概念和定理，并能够灵活运用。
3. 对于遇到的疑难问题，学生应主动思考、尝试解决，并记录下自己的解题思路和过程。
4. 学生在完成作业后，应进行自我检查和反思，确保答案的准确性和完整性。
5. 作业应按时提交，并按照教师要求进行格式排版和书写。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对相似三角形概念的理解程度及对相关定理的掌握情况。
2. 学生运用所学知识解决问题的能力及解题思路的准确性。
3. 学生的解题过程是否规范、完整，是否符合数学学科的要求。
4. 学生的作业是否按时提交，格式排版和书写是否规范。
五、作业反馈教师将根据学生的作业情况进行反馈和指导：1. 对于掌握较好的学生，教师应给予肯定和鼓励，同时提出更高的要求和挑战。
2. 对于存在问题的学生，教师应指出其错误之处并给予指导，帮助学生理解并掌握相关知识。
3. 教师将根据学生的整体表现，对全班同学进行总结性评价和建议，以便学生更好地进行后续学习。
六、结语通过本课时的学习与作业实践，期望同学们能够进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力，为后续的学习打下坚实的基础。
《探索三角形相似的条件》 讲义
《探索三角形相似的条件》讲义一、三角形相似的概念在数学的世界里，三角形相似是一个非常重要的概念。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就被称为相似三角形。
相似三角形具有很多有趣的性质。
比如说，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比值都等于相似比；它们的周长比也等于相似比，面积比等于相似比的平方。
那如何判断两个三角形是否相似呢？这就需要我们来探索三角形相似的条件。
二、相似三角形的判定条件1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
为什么呢？因为三角形的内角和是 180 度，如果两个角对应相等，那么第三个角也必然相等。
这样，三个角都相等的两个三角形，它们的形状就是一样的，只是大小可能不同，所以是相似的。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，那么三角形 ABC 就相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。
比如说，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么这两个三角形就是相似的。
这个条件的原理在于，当夹角相等，对应边成比例时，三角形的形状就被确定下来了。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比都相等，那么这两个三角形相似。
这就好像是用三根长度固定的棍子拼成三角形，只要这三组棍子的长度比例相同，拼出来的三角形形状就是相似的。
比如三角形 ABC 的三边分别为 a、b、c，三角形 A'B'C'的三边分别为 a'、b'、c'，如果 a/a' ＝ b/b' ＝ c/c'，那么这两个三角形相似。
《探索三角形相似的条件》相似图形6精品 课件
•
三、从晨昏到日暮，从清贫到富足，从 少年到 老迈， 从相遇 到余生 ，只想 和你十 指相扣 ，从此 再不分 开。
•
四、你的名字，是我读过最短的情诗。 我很喜 欢你， 像春去 秋来， 海棠花 开。
•
五、秒回的人应该很温柔吧，因为一直 在等喜 欢的人 ，也舍 不得让 喜欢的 人等。
•
六、多想和你有一个长久的未来，陪你 走完这 一生。 让所有 人祝福 我们， 彼此温 暖，互 不辜负 。
小明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你 能画出这3个三角形吗？
C''
C
C'
思考：
A A（ (11)）BB AA′ ' （(2) 2B）' B′ AA''″ (3) （ 3 B）'' B″
123、如 若 设A∠图″A，B＝″若＝∠∠Ak″AA，B＝，∠∠改BA＝′变，∠k∠B值B″，＝的∠A大″BB小′，″＝，A2再BA=试BA，′一B那′，试。
•
九、没有人不想和你同坐一辆豪华轿车 ，但你 需要的 ，却是 轿车坏 了还会 和你一 起搭巴 士的人 。
•
十、我喜欢你的意思就是：从现在起， 你已经 具备伤 害我的 能力， 以及不 好意思 我看谁 都像情 敌。
•
十一、不相信下辈子，只想善待你今生 。因为 我不知 道，下 一辈子 是否还 能遇见 你，所 以我今 生才会 那么努 力把最 好的给 你。
毕业八年的她被迫重返人才市场，但 彼时的 她与毕 业时相 比毫无 长进， 面试屡 屡碰壁 。
李尚龙曾说：
真正的安稳是历经世事后的淡薄，你 还没有 见过世 界，就 想隐退 山林， 到头来 只会是 井底之 蛙。”
人生如逆水行舟，不进则退。
探索三角形相似的条件
探索三角形相似的条件一周强化一、一周知识概述相似三角形的判定方法(1)定义法：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形相似．(2)判定方法1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．(3）判定方法2：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(4)判定方法3：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．(5)判定方法4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．二、重难点知识归纳1、相似的传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．2、“平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基本图形有三种情况，如图，其符号语言：因为DE∥BC，所以△ABC∽△ADE；这个判定方法有着广泛的应用，要做到“见平行想相似，见平行想比例”．3、相似三角形判定方法的选择（1）已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定方法1或判定方法3；（2）已有两边对应成比例时，可考虑利用判定方法3或判定方法4．但是，在选择利用判定方法3时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．4、有关三角形的相似的基本图形．（1）平行线型(如图)（2）双直角三角形中的相似三角形(如图)△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CADAB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC三、典型例题讲解例1、如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添加一个适当条件，使△ADC∽△ACB，那么要添加的条件是__________(只需填写满足要求的一个条件即可)．解析：由于要判定的两个相似三角形隐含着一个公共角∠A，因此根据判定方法1或判定方法3，只要再找一个角对应相等，或找夹∠A的两边对应成比例，即可填∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB，或AC2=AD·AB．例2、如图，在□ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC 于点F，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对解：由AE∥DC，可得△AEG∽△CDG，△DFC∽△EFB；由BC∥AD，可得△BFE∽△ADE，△FCG∽△DAG，△DCF∽△EAD.故选B.点评:本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况．可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定方法来找相似三角形，但要注意不要漏找．例3、(1)如图，O是△ABC内任一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC；(2)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，DF=3CF，写出图中所有相似三角形，并证明．分析：(1)根据题设，观察图形易见，DE、EF、FD分别是△AOB、△BOC、△COA的中位线，利用三角形的中位线性质可证△DEF与△ABC的三边对应成比例；(2)由于正方形的四条边相等，且BE=CE，DF=3CF，设出正方形边长后，图中所有线段都能求出，故可从三边是否成比例判定哪些三角形相似．点评：①第(1)题，若点O在△ABC外，其他条件不变，结论仍成立；②第(2)题也可用判定方法3，先证△ABE∽△ECF，得出∠AEF=90°后，再证其中任意三角形与△AEF相似，显然，以上证法较简便．例4、已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于F，连接DC，BE．若∠BDE＋∠BCE=180°．(1)写出图中三对相似三角形(注意：不得添加其他字母和线)；(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相似的理由．分析：先由角的关系入手，由∠BDE＋∠BCE=180°和图形中∠BDE＋∠ADE=∠BCE＋∠ECF=180°，可得∠BDE=∠ECF，∠ADE=∠BCE，易得△ADE∽△ACB(∠A为公共角)、△ECF∽△BDF(∠F为公共角)，其次，由△ECF∽△BDF得，可得△FDC∽△FBE(∠F为公共角)．解：(1)△ADE∽△ACB，△ECF∽△BDF，△FDC∽△FBE．(2)①△ADE∽△ACB．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BDE＋∠ADE=180°，所以∠ADE=∠BCE．因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACB．②△ECF∽△BDF．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．③△FDC∽△FBE．证明如下：因为∠BDE＋∠BCE=180°，又因为∠BCE＋∠ECF=180°，所以∠BDE=∠ECF．因为∠F=∠F，所以△ECF∽△BDF．所以．因为∠F=∠F，所以△FDC∽△FBE．点评：这是一道结论开放型试题，这种题型要求根据题意去探求，往往结论不唯一，具有开放性，解题时，要充分利用已知条件进行大胆而合理地猜想，发现结论，这就要求平时要注意发散性思维和所学基本知识的应用能力的培养．例5、如图（1）在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，试证明：BP2=PE·PF．分析:证明型的一般方法是把等积式写成比例式,然后再观察所在的两个三角形是否相似.如本题BP、PE、PF在一条直线上，就要看能否通过等量代换，自然要连结PC ，用BP的等量PC代入，再找出两个三角形相似，即可得解．证明：连结PC．因为AB=AC，AD是中线，所以AD⊥BC (三线合一性质)．所以AD是BC的垂直平分线．所以BP=PC．又∠PBC=∠PCB，∠ABC=∠ACB，所以∠ABP=∠ACP．而AB∥CF，所以∠ABC=∠F．所以∠F=∠ACP．又∠EPC=∠CPF，所以△EPC∽△CPF，所以．即PC2=PE·PF．故BP2=PE·PF．点评:①证形如时，还要注意两个基本图形如图⑵、⑶所示．如图⑵．因为△CDB∽△ADC∽△ACB，易得BC2=BD·AB ，AC2=AD·AB，CD2=AD·DB．如图⑶，当∠A=∠1时，∠C是公共角．所以△ABC∽△BDC，易得BC2=DC·AC．②在图⑵中，△ACB是直角三角形，CD是斜边上的高，还要注意面积的应用，易得AC·CB=AB·CD的结论．例6、如图，在正方形ABCD中，M、N分别是AB、BC上的点，BM=BN，BP⊥MC 于点P．求证：(1)△PBN∽△PCD；(2)PN⊥PD．分析：要证PN⊥PD，即证∠DPN=90°，由已知∠BPC=90°，而∠BPC与∠DPN有公共部分∠CPN，因此只要证明∠4=∠5即可．这就必须先证明出结论(1)．在△PBN与△PCD 中，易证∠1=∠3，以下只要证明夹∠1、∠3的两边对应成比例．证明：(1)在正方形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°．因为BP⊥MC，所以△PBM∽△PCB．点评：要注意观察出图中存在的“母子相似三角形”基本图形，从而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要结论．。