第3节 函数的奇偶性与周期性

理数
【即时训练】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= x 2 + 2 x ; (2)f(x)=x1 ; 3 x
解:(1)函数f(x)的定义域是{2},它不关于原点对称,因此函数f(x)既
不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数 f(x)=x-
1 的定义域是(-≦,0)∪(0,+≦).关于原点对称. 3 x
1 x2 1 x2 故 f(x)= = . x2 2 x
2
1 ( x) 2 1 x2 因为 f(-x)= ==-f(x), x x
1 x2 所以函数 f(x)= 是奇函数. x2 2
理数
3 2 x 3 x 1, x 0, (4)f(x)= 3 2 x 3 x 1, x 0.
因为 f(-x)=(-x)-
1 1 1 =-x+ =-(x)=-f(x), 3 3 3 x x ( x)
1 是奇函数. 3 x
所以函数 f(x)=x-
理数
1 x2 (3)f(x)= ; x2 2
解:(3)由 1-x ≥0 时,得-1≤x≤1. 由|x+2|-2≠0,得 x≠0,且 x≠-4. 故函数 f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,1], 它关于原点对称. 显然,当 x∈[-1,0)∪(0,1]时,x+2>0,
1 1 1 时,f(x+ )=f(x- )即周期为 1, 2 2 2
3
则 f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1) -1]=2. 故选 D.
答案:(1)D
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(2)(2017· 山西四校高三第一次联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且
对任意的x∈R,f(x+2)= f(2 015)= .
理数
第3节 函数的奇偶性与周期性
理数
最新考纲
1.结合具体函数,了解函数奇 偶性的含义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数 的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期含义, 会判断、应用简单函数的周期性.
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知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
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知识 2
对称,后者函数是周期函数.
理数
知识梳理
1.奇函数、偶函数的概念及图象特征 奇函数 定义域 x 定 偶函数
函数f(x)的定义域关于 原点 对称 对于定义域内 任意 都有f(-x)= -f(x) 函数f(x)为奇函数 的一个x 都有f(-x)= f(x) 函数f(x) 为偶函数
义
f(x)与f(-x) 的关系
1 f ( x)
,当x∈[-2,0)时,f(x)=log2(x+3),则f(2 017)-
解析:(2)因为 f(x+2)= 所以 f(x+4)=
1 , f ( x)
1 =f(x), f ( x 2)
所以函数 y=f(x)以 4 为周期. 又 f(2 017)=f(4×504+1)=f(1)=-f(-1)=-log22=-1. f(2 015)=f(4×504-1)=f(-1)=log22=1. 故 f(2 017)-f(2 015)=-2.
结论 图象特征 关于 原点 对称 关于 y轴 对称
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2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任 何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的 周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那 么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 【拓展提升】 1.奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是 关于原点对称的非空数集. (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具 有相反的单调性. (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为 相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量 也互为相反数.
理数
2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a; (3)若f(x+a)=
1 f ( x) 1 f ( x)
,则函数的周期为2a;
(4)若f(x+a)=-
,则函数的周期为2a.
解析:因为f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期是4, 故f(9)=f(4×2+1)=f(1)=3×1+2=5.
答案:5
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考点专项突破
考点一 函数奇偶性的判定
在讲练中理解知识
【例 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9 x 2 + x 2 9 ;
2 9 x 0, 解:(1)由 2 x 9 0,
又 f(2)=f(2-4)=-f(2),所以 f(2)=0,
9 故 f(- )+f(2)=-2. 2
答案:(2)-2
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反思归纳
(1)求解与函数的周期性有关的问题,应根据题目特征
及周期定义,求出函数的周期.
(2)根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,
函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (3)在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且 k≠0)也是函数的周期”的应用.
所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
4 x2 4 x2 所以 f(x)= = . ( x 3) 3 x
所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)是奇函数.
理数
2 x x, x 0, (3)f(x)= 2 x x, x 0;
解析:(1)因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 所以函数f(x)的周期为2,
所以f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5))=f(-1).
因为f(-1)=-f(-1+1)=-f(0), 所以f(f(2.5))=f(-1)=-1,f(1.5)=-f(0.5)=1,
解:(4)f(x)的定义域是(-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称. 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x). 当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x). 因此f(x)是奇函数.
(4)f(x)= x 1 - 1 x .
解:(3)易知函数的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),关于原点对称. 当x<0时,-x>0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x>0时,-x<0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. (4)f(x)的定义域为{1},且f(x)=0, 故f(x)既不是奇函数,又不是偶函数.
理数
【即时训练】 (1)(2016·山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x);当 x> f(6)等于( (A)-2 ) (B)-1 (C)0 (D)2
1 1 1 时,f(x+ )=f(x- ),则 2 2 2
解析:(1)当 x>
所以f(x)=x(2-x). 故选A.
理数
4.若函数f(x)=x2+ax+1在区间[2b-1,3b]上是偶函数,则a+b=
.
解析:由 f(x)=x2+ax+1 是偶函数知 a=0. 又 2b-1+3b=0,
1 故 b= . 5 1 因此 a+b= . 5 1 答案: 5
理数
5.导学号 18702038 若函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(0,2)时, f(x)=3x+2,则f(9)= .
得 x=±3. 所以 f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称且 f(x)=0, 即 f(x)=±f(-x). 所以 f(x)既是奇函数,又是偶函数.
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4 x2 (2)f(x)= ; x3 3
2 4 x 0, 解:(2)由 得-2≤x≤2 且 x≠0. x 3 3 0,
1.函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数、偶函数 吗?反之,成立吗?
提示:一定是.反之,也成立.
2.如果函数f(x)是奇函数,那么是否一定有f(0)=0? 提示:只有在x=0处有定义的奇函数,才有f(0)=0. 3.函数y=f(x)(x∈R)是周期函数,则其周期唯一吗?是否有最小正周期? 提示:不唯一.若T是y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z)也是函数的 周期.若函数y=f(x)是常数函数,则y=f(x)无最小正周期. 4.若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(-x)与f(x+a)=f(x)有什么区别? 提示:前者函数y=f(x)关于直线x=
理数
3.若f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=x(2+x),则x<0时,f(x)等于( A (A)x(2-x) (C)-x(x-2) (B)-x(2+x) (D)x(x-2)