《2.4函数的奇偶性与周期性》 教案
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案 第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一 函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________． 题型三 函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是 ．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引 判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2， 现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析 由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析 因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析 由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析 设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。
高中数学函数的性质教案
高中数学函数的性质教案
课题：函数的性质
教学内容：介绍函数的奇偶性、周期性和单调性等性质
教学目标：
1. 了解函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的定义；
2. 能够通过图像或公式判断函数的奇偶性、周期性和单调性；
3. 能够应用函数的性质解决实际问题。
教学重点和难点：
重点：函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的理解和判断；
难点：如何灵活运用函数的性质解决实际问题。
教学准备：
1. 教师准备课件和相关教学资料；
2. 学生准备笔记本和书写工具。
教学步骤：
1. 导入：通过展示一些函数的图像或公式，让学生观察并讨论函数的特点；
2. 引入：介绍函数的奇偶性、周期性和单调性等性质的定义；
3. 探究：通过几个例题，引导学生判断函数的奇偶性、周期性和单调性；
4. 强化：让学生自主解决一些函数的性质问题，并分享解题思路；
5. 运用：设计一些实际问题，让学生运用函数的性质解决问题；
6. 总结：总结本节课学习的重点和难点，强化函数的性质的掌握。
教学延伸：
1. 让学生在课后练习更多的函数性质题目，巩固所学知识；
2. 鼓励学生到生活中寻找函数的应用，培养实际解决问题的能力。
教学反馈：
通过课堂练习和作业检查，评估学生对函数性质的掌握情况，及时纠正错误。
高考数学一轮复习 第二章 函数2.3函数的奇偶性与周期性教学案 理
2.3 函数的奇偶性与周期性考纲要求1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是偶函数关于____对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有________，那么函数f (x )是奇函数 关于______对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝______，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中____________的正数，那么这个____正数就叫做f (x )的最小正周期．3．对称性若函数f (x )满足f (a －x )＝f (a ＋x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )关于直线__________对称．1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．若函数f (x )＝x 2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )．A.12B.23C.34D ．1 3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( )．A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．25．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是__________．一、函数奇偶性的判定【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；(2)f(x)＝(x＋1)1－x 1＋x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：1．定义法2．图象法3．性质法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程．请做演练巩固提升1二、函数奇偶性的应用【例2－1】设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x －2)＞0}＝( )．A．{x|x＜－2，或x＞0} B．{x|x＜0，或x＞4} C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}【例2－2】设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a＋b的取值范围为__________．【例2－3】设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值．方法提炼函数奇偶性的应用：1．已知函数的奇偶性求函数的解析式，往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．3．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．4．若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f (x )是偶函数且在x ＝0处有定义，就不一定有f (0)＝0，如f (x )＝x 2＋1是偶函数，而f (0)＝1.请做演练巩固提升3,4三、函数的周期性及其应用【例3－1】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝3，则f (2 014)＝__________.【例3－2】已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝1＋f x 1－f x，若f (1)＝2 014，则f (103)＝__________.方法提炼抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；(2)若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(3)若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1f x ＋a＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期；(4)若函数满足f(x＋a)＝－1f x，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数y＝f(x)的周期，则①kT(k∈Z且k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；②若已知区间[m，n](m＜n)的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．请做演练巩固提升5没有等价变形而致误【典例】函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．错解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，得f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64)．又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴(3x＋1)(2x－6)≤64.∴－73≤x≤5.分析：(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)，f(－x)的关系，从而想到赋值x1＝－1，x2＝x.即f(－x)＝f(－1)＋f(x)．(3)就是要出现f(M)＜f(N)的形式，再结合单调性转化为M＜N或M＞N的形式求解．正解：(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．(3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3.由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64)．(*)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x ＜－13或－13＜x ＜3或3＜x ≤5. ∴x 的取值范围是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5. 答题指导：等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示．如“M ”等价于“N ”、“M ”变形为“N ”．(2)要写明转化的条件．如本例中：∵f (x )为偶函数，∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)．(3)转化的结果要等价．如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64) ⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了．1．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )．A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg 1x ＋12．已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则f (x )为( )．A ．偶函数B ．奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( )．A．－9 B．9 C．－3 D．04．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－2，或x＞4} B．{x|x＜0，或x＞4}C．{x|x＜0，或x＞6} D．{x|x＜－2，或x＞2}5．已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝1，则f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．f (－x )＝f (x ) y 轴 f (－x )＝－f (x ) 原点2．(1)f (x ) (2)存在一个最小 最小3．x ＝a基础自测1．C 解析：判断f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故选C.2．A 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，即：x(2x ＋1)(x －a )＝x(－2x ＋1)(－x －a )恒成立，整理得：a＝12.故选A. 3．D 解析：当m ＝1时，f (x )＝2x ＋3不是偶函数，当m ≠1时，f (x )为二次函数，要使其为偶函数，则其对称轴应为y 轴，故需m ＝0，此时f (x )＝－x 2＋3，其图象的开口向下，所以函数f (x )在(－5，－3)上单调递增．4．A 解析：∵f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.5．单调递增 解析：∵T ＝4，且在[－6，－4]上单调递减， ∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f (x )为偶函数，故f (x )的图象关于y 轴对称，由对称性知f (x )在[0,2]上单调递增．考点探究突破【例1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．(2)要使f (x )有意义，则1－x 1＋x≥0， 解得－1＜x ≤1，显然f (x )的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3， ∴－2≤x ≤2且x ≠0. ∴函数f (x )的定义域关于原点对称． 又f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．【例2－1】 B 解析：当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8.又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0.∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2.由f (x －2)＞0得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <2，－(x －2)3－8>0.解得x ＞4或x ＜0，故选B.【例2－2】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－32 解析：∵f (x )在(－b ，b )上是奇函数，∴f (－x )＝lg 1－ax 1－2x ＝－f (x )＝－lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1＋2x 1＋ax ， ∴1＋2x 1＋ax ＝1－ax 1－2x对x ∈(－b ，b )成立，可得a ＝－2(a ＝2舍去)． ∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x ＞0，得－12＜x ＜12. 又f (x )定义区间为(－b ，b )，∴0＜b ≤12，－2＜a ＋b ≤－32. 【例2－3】 解：(1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴g (x )＝f (x )－f ′(x )＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c .∵g (x )是一个奇函数，∴g (0)＝0，得c ＝0，由奇函数定义g (－x )＝－g (x )得b ＝3.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2，2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42；g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.【例3－1】 3 解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3.【例3－2】 －12 014 解析：∵f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )， ∴f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x ). ∴f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4.∵f (1)＝2 014，∴f (103)＝f (25×4＋3)＝f (3)＝－1f (1)＝－12 014.演练巩固提升1．D 解析：对于D，y＝lg 1x＋1的定义域为{x|x＞－1}，不关于原点对称，是非奇非偶函数．2．B 解析：显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又∵f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数，故选B.3．B 解析：由题可知，f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)．又f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)．令t＝x＋1，可得f(t)＝－f(t－2)，所以f(t－2)＝－f(t－4)．所以可得f(x)＝f(x－4)，所以f(8.5)＝f(4.5)＝f(0.5)＝9，故选B.4．B 解析：当x≥0时，令f(x)＝2x－4＞0，所以x＞2.又因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞2}．将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位即得函数y＝f(x－2)的图象，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0，或x＞4}．5．－1 解析：由已知得f(0)＝0，f(1)＝－1.又f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)且T＝4，∴f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝1，f(2 008)＝f(0)＝0，f(2 009)＝f(1)＝－1，f(2 010)＝f(2)＝0，f(2 011)＝f(3)＝1，f(2 012)＝f(0)＝0，f(2 013)＝f(1)＝－1.∴f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＝－1.。
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
《函数的奇偶性与周期性》教案
《函数的奇偶性与周期性》教案教案：函数的奇偶性与周期性一、教学内容本节课主要内容为函数的奇偶性与周期性。
1.函数的奇偶性概念及判断方法；2.函数的周期性概念及判断方法；3.综合应用题。
二、教学目标1.理解函数的奇偶性的定义；2.掌握函数奇偶性的判断方法；3.了解函数周期的概念，掌握函数周期的判断方法；4.能够应用函数的奇偶性与周期性解决综合问题。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问与学生交流，引出函数的奇偶性与周期性的概念，比如“大家了解什么是函数的奇偶性吗？可以举几个例子来说明一下。
”“函数的周期性是什么意思呢？”等等。
2.讲解（25分钟）通过投影仪展示PPT，讲解函数的奇偶性与周期性的概念。
1)函数的奇偶性概念及判断方法：函数f(x)为奇函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=-f(x)；函数f(x)为偶函数，当且仅当对于任意x∈D，f(-x)=f(x)；判断奇偶性的方法为将函数代入定义进行验证。
2)函数的周期性概念及判断方法：函数f(x)的周期为T，当且仅当对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)；判断函数周期的方法为找出函数的一次性表达式，并将其化简为f(x+T)=f(x)。
3)综合应用题解析：通过一些例题的解析，让学生能够运用奇偶性和周期性的知识解决问题。
3.锻炼与拓展（20分钟）举一些例题进行训练，可以分小组进行讨论与比赛，以增加学生的参与度。
1)设f(x)是定义域为R的周期函数，且f(0)=3，f(1)=2，f(2)=4，f(3)=-1，f(4)=-2，f(5)=-4，求f(2005)的值。
2)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2)=3，f(4)=-1，求f(x)的表达式。
3)设f(x)=x^3-3x，则f(x)是奇函数还是偶函数?。
4.巩固与评价（10分钟）布置一些练习题，要求学生自主完成，并互相批改答案，提升学生的综合应用能力。
1)设f(x)为周期函数，且f(x)=2x^2-x+1，周期为T，求T的值。
《2.4函数的奇偶性与周期性》 学案
1.奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 2．若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，是否有 f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果 f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则 f(0)＝0；如果 f(x)是偶函数时，f(0)不一定为 0，如 f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？
函数的奇偶性与周期性
适用学科 适用区域 数学 新课标 1. 2. 3. 4. 5. 6. 学习目标 学习重点 学习难点 奇偶性的概念 奇偶性的判断 奇偶性的应用 周期性的概念 确定函数周期的方法 函数周期性的应用 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
知 识 点
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 函数奇偶性概念和函数奇偶性的判断 函数的奇偶性与函数的概念、单调性、周期性、对称性等的综合应用
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课程小结
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， 则 a 的取值范围是________．
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【拔高】 6．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A．6 C ．8 ) B．7 D．9
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a 7．已知函数 f(x)＝x2＋ x (x≠0，常数 a∈R)． (1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数 a 的取值范围．
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【答案】(1)选 C 【解析】(1)选 C
函数的奇偶性教案
函数的奇偶性教案【教案】一、教学目标：1. 理解函数的奇偶性的概念及其性质；2. 能够判断一个函数的奇偶性；3. 掌握判断奇偶性的常见方法和技巧；4. 运用奇偶性的性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数的奇偶性的概念；2. 奇函数和偶函数的定义；3. 判断奇偶性的常见方法；4. 奇偶函数的性质与图像特点；5. 应用题。
三、教学过程：步骤一：概念解释和引入（15分钟）1. 教师解释函数的奇偶性的概念：函数的奇偶性是指函数的性质，即定义域内的数值对应的函数值关于y轴对称时称为偶函数，关于原点对称时称为奇函数。
2. 通过讲解实例引入奇函数和偶函数的定义：- 如果对于函数中的任意实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数；- 如果对于函数中的任意实数x，都有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
3. 通过图示例子，引导学生观察奇函数和偶函数的图像特点。
步骤二：判断奇偶性的方法（20分钟）1. 简单函数的奇偶性判断：- 偶函数的性质：如果函数的所有偶次幂（如x^2, x^4等）项的系数都是偶数，那么这个函数就是偶函数；- 奇函数的性质：如果函数的所有奇次幂（如x^1, x^3等）项的系数都是奇数，那么这个函数就是奇函数。
2. 通过实例练习，让学生理解并熟练运用判断奇偶性的方法。
步骤三：性质与图像特点（25分钟）1. 奇函数的性质和图像特点：- 奇函数的图像关于原点对称；- 在原点处，奇函数的导数为0；- 奇函数在关于原点对称的两个点上的导数相等。
2. 偶函数的性质和图像特点：- 偶函数的图像关于y轴对称；- 在关于y轴对称的两个点上，偶函数的导数相等。
步骤四：应用题解析（20分钟）1. 练习题选取与实际生活相关的问题，如温度变化规律、物体运动轨迹等；2. 通过奇偶性的性质，解答相关问题。
步骤五：小结和拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行小结和总结；2. 拓展：进一步学习函数的周期性和对称性的概念。
函数奇偶性的教案
函数奇偶性的教案第一章：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的基本概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 理解奇偶性在数学中的应用。
教学内容：1. 引入函数的概念；2. 介绍奇偶性的定义；3. 举例说明奇偶性的判断方法。
教学活动：1. 引导学生回顾函数的定义，强调函数的输入输出关系；2. 引入奇偶性的概念，解释奇偶性的含义；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 练习判断一些简单函数的奇偶性；5. 引导学生思考奇偶性在数学中的应用，如物理中的对称性等。
教学评价：1. 检查学生对函数奇偶性概念的理解；2. 评估学生判断函数奇偶性的能力；3. 考察学生对奇偶性应用的理解。
第二章：偶函数的性质教学目标：1. 理解偶函数的定义及其性质；2. 学会运用偶函数的性质解决问题；3. 掌握偶函数图像的特点。
教学内容：1. 偶函数的定义及其性质；2. 偶函数图像的特点；3. 偶函数在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生回顾上一章所学的内容，强调奇偶性的概念；2. 引入偶函数的定义，解释偶函数的含义；3. 通过具体例子，让学生学会运用偶函数的性质解决问题；4. 练习运用偶函数性质解决一些实际问题；5. 引导学生思考偶函数图像的特点，分析偶函数在实际问题中的应用。
教学评价：1. 检查学生对偶函数定义及其性质的理解；2. 评估学生运用偶函数性质解决问题的能力；3. 考察学生对偶函数图像特点的认识。
第三章：奇函数的性质教学目标：1. 理解奇函数的定义及其性质；2. 学会运用奇函数的性质解决问题；3. 掌握奇函数图像的特点。
教学内容：1. 奇函数的定义及其性质；2. 奇函数图像的特点；3. 奇函数在实际问题中的应用。
教学活动：1. 引导学生回顾前两章所学的内容，强调奇偶性的概念；2. 引入奇函数的定义，解释奇函数的含义；3. 通过具体例子，让学生学会运用奇函数的性质解决问题；4. 练习运用奇函数性质解决一些实际问题；5. 引导学生思考奇函数图像的特点，分析奇函数在实际问题中的应用。
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教学过程一、课堂导入我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数二、复习预习1、复习单调性的概念2、复习初中的轴对称和中心对称3、预习奇偶性的概念4、预习奇偶性的应用三、知识讲解考点1 函数的奇偶性[探究] 1.提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件．2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．考点2 周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．四、例题精析【例题1】【题干】判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝lg 1－x1＋x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧x2＋x(x>0)，x2－x(x<0)；(3)f(x)＝lg(1－x2)|x2－2|－2.【解析】(1)由1－x 1＋x>0⇒－1<x <1， 定义域关于原点对称．又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )， 故原函数是奇函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(3)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x 2－2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称，∴f (x )＝lg (1－x 2)－(x 2－2)－2＝－lg (1－x 2)x 2. ∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2](－x )2＝－lg (1－x 2)x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．【例题2】【题干】(1)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝() A．－3B．－1C．1D．3(2)已知函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则()A．f(－1)<f(－3) B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)【答案】A、A【解析】(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.(2)选A函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)．选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)．同理选项C中f(－1)>f(1)，选项D中f(－3)<f(－5).【例题3】【题干】(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫log 126的值为( )A ．－52B ．－5C ．－12D ．－6(2)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是() A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数【答案】(1)选C (2)选D【解析】(1)选C∵－3<log126<－2，∴－1<log126＋2<0，即－1<log1232<0.∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(log126)＝f⎝⎛⎭⎪⎫log1232＝－f⎝⎛⎭⎪⎫－log1232＝－f⎝⎛⎭⎪⎫log232＝－⎝⎛⎭⎫223log2－1＝－12.(2)选D由f(x)在[－1,0]上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数．由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，故2是函数f(x)的一个周期．结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图．由图象可以观察出，f(x)在[1,2]上为减函数，在[2,3]上为增函数．五、课堂运用【基础】1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为() A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1x D．y＝x|x|解析：选D由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x≥0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．则f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，f(8)＝f(4＋4)＝f(4)＝0.2．设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式f(x)＋f(－x)x>0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)解析：选B 选B ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＋f (－x )x ＝2f (x )x>0， ∴xf (x )>0，∴⎩⎨⎧ x >0，f (x )>0，或⎩⎨⎧x <0，f (x )<0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则() A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)<f(80)<f(11)．【巩固】4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝1 3.又函数f(x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.答案：1302a－1 a＋1，则a的取值范围是________．5．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝解析：∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝2a－1a＋1>－1.即3aa＋1>0，解得a>0或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)【拔高】6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B∵f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x－1)(x＋1)，∴当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x＜6时，f(x)＝0有两个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6也是f(x)＝0的根．故函数f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴交点的个数为7.7．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．故f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，∴x1x2(x1＋x2)－a>0，即x1x2(x1＋x2)>a恒成立．又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．课程小结1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．。