直线与圆案例分析
冀教版九年级下册数学名师培训课例29.2直线与圆的位置关系优秀教学案例
3.问题导向与小组合作：设计一系列由பைடு நூலகம்入深的问题，引导学生通过观察、操作、思考等方式，自主探究直线与圆的位置关系。同时，将学生分成若干小组，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队合作精神，提高了学生的实际操作能力和问题解决能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解直线与圆的位置关系的判定方法，能够准确判断直线与圆的位置关系。
2.掌握直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，能够运用所学知识解决实际问题。
3.了解直线与圆的位置关系与几何图形变换的关系，提高学生的图形变换能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、思考、动手操作等方式，引导学生发现直线与圆的位置关系，培养学生的问题解决能力和创新思维能力。
2.采用多媒体教学、自主探究、合作交流等教学方法，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
3.注重学生个体差异，给予不同的学生以个性化的指导，使他们在原有基础上得到提高。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的热爱，激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学的乐趣。
2.培养学生团队合作精神，使学生明白合作交流的重要性，提高学生的团队协作能力。
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，培养学生自我评价和自我调整的能力。采用多元化的评价方式，关注学生的知识掌握程度、过程与方法、情感态度与价值观等方面的全面发展，使学生在评价中不断进步。
5.作业小结与针对性辅导：布置课后作业，巩固本节课所学知识，提高学生的知识掌握程度。鼓励学生积极参与作业完成过程，培养学生的自主学习能力。教师对作业进行批改，了解学生掌握情况，为下一节课的教学提供参考。同时，对作业中出现的问题进行总结，为学生提供针对性的辅导，帮助他们提高学习效果。
直线与圆的方程的应用
课堂小结： 1、熟悉直线、圆的方程； 2、用坐标系解决实际、几何问题，以及它的解题步骤
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标，方程表 示问题中的量；
（2）通过代数运算，解决代数问题；
（3）把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。
课后作业：课本144页 练习：2、4
例2:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直, 求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
分析:
如图，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。 本题关键是求出圆心O1的坐标.过O1作AC、BD、AD的垂线, 垂足为M , N, E,则它们分别是AC、BD、AD的中点,垂足M 的横坐标与O1的横坐标一致.同法可求出O1的纵坐标.
练习1:某圆拱桥的水面跨度是20m,拱高4m.现有一 船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过? (精确到0.1;其中 741 27.22 ) 分析:如图所示,要判断船能否通过拱桥,只需判断
A1P1或A2 P2的高度是否超过 3m
解：
以ห้องสมุดไป่ตู้示水面跨度的AB所在直线作为x轴，以表示拱高的OP所在的直线
证明：
如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA, BD所在 直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.设
A(a,0), B(0,b),C(c,0), D(0, d ).
分别作O1M ,O1N ,O1E垂直于AC, BD, AD,垂足分别为M , N , E ,则它们分别是弦AC, BD, AD的中点,则由中点坐标公式可得
0
2
(4 b)2
.............解得b r2
10.5, r 2
14.52
直线与圆的方程例题及解析
直线与圆的方程例题及解析1. 直线方程的求解例题一已知直线上两点坐标分别为 A（2，3）和 B（-1，4），求直线 AB 的方程。
解析：设直线的方程为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为 y 轴截距。
首先，求解斜率 m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)根据题意，A（2，3），B（-1，4），带入公式计算斜率：m = (4 - 3) / (-1 - 2) = 1 / (-3) = -1/3将斜率 m 替换到直线方程中：y = -1/3x + c接下来，我们需要求解截距 c。
将点 A（2，3）代入上式，得到：3 = -1/3 * 2 + c解得 c = 4/3。
将 c 替换到直线方程中，得到直线 AB 的方程：y = -1/3x + 4/32. 圆的方程的求解例题二已知圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3 的圆，求圆的方程。
解析：圆的方程一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，（h，k）为圆心坐标，r 为半径。
根据题意，圆心坐标为 O（2，-1），半径为 r = 3。
代入上式，得到圆的方程：(x - 2)² + (y + 1)² = 3²化简得：(x - 2)² + (y + 1)² = 9总结本文介绍了直线与圆的方程的求解方法，并给出了两个例题的解析过程。
在求解直线方程时，通过已知的两个点的坐标计算斜率，然后带入截距公式得到直线方程。
在求解圆的方程时，根据圆的一般形式，将圆心坐标和半径代入方程中得到圆的方程。
希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解直线与圆的方程。
初中数学九年级上册苏科版2.5直线与圆的位置关系优秀教学案例
4.在学生解答问题过程中，给予适当的提示和引导，帮助学生克服思维障碍，提高他们的逻辑思维能力。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励他们进行合作交流，共同探讨直线与圆的位置关系。
2.设计小组讨论的任务，引导学生在讨论中思考、表达和交流，培养他们的团队协作能力和沟通能力。
初中数学九年级上册苏科版2.5直线与圆的位置关系优秀教学案例
一、案例背景
本教学案例围绕初中数学九年级上册苏科版2.5直线与圆的位置关系展开，旨在通过深入浅出的教学方法，帮助学生掌握直线与圆的位置关系，并能够运用这一知识解决实际问题。在教学过程中，我以生活实例为导入，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、探究的方式，自主发现直线与圆的位置关系，并在这一过程中培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。在课程的深化阶段，我设计了一系列具有挑战性的练习题，鼓励学生运用所学知识解决实际问题，从而巩固和提高他们的数学素养。同时，我还注重对学生的个性化关怀，针对不同学生的学习特点进行因材施教，使他们在数学学习中找到自信，培养他们持之以恒的学习态度。
3.讲解直线与圆相切、相交和相离三种情况的特点和性质。
4.利用数学符号和语言，描述直线与圆的位置关系。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，提出小组讨论的任务，如“探讨直线与圆相切时，切点、圆心、半径之间的关系”。
2.引导学生进行合作交流，分享自己的思考和观点，培养团队协作能力和沟通能力。
3.鼓励学生利用几何画板或实物模型，验证自己的结论，提高实践操作能力。
4.引导学生认识到数学与实际生活的紧密联系，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
京改版九年级数学上册《22.1直线和圆的位置关系》优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握直线与圆的位置关系的概念，能够判断直线与圆相交、相切、相离的情况。
（二）讲授新知
1.介绍直线与圆的位置关系的概念，讲解相交、相切、相离的定义和判定方法。
2.通过示例和动画演示，让学生直观地感受直线与圆的位置关系的变化。
3.引导学生理解直线与圆的位置关系与实际问题的联系，如电线杆和路灯的布置。
4.进行课堂提问，检查学生对知识点的理解和掌握程度。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组学生共同探究直线与圆的位置关系问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示公园里的电线杆和路灯的图片，引导学生观察直线与圆的位置关系。
2.提出问题：“你们在生活中还见过哪些直线与圆的位置关系？它们有什么特点？”激发学生的思考和兴趣。
3.回顾已学过的直线、圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
4.宣布本节课的学习目标，让学生明确学习任务。
4.组织学生进行交流分享，让学生展示自己的研究成果，互相学习和借鉴。
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组学生共同探究直线与圆的位置关系问题。
2.鼓励小组成员之间积极交流、讨论，共同解决问题，提高团队协作能力。
3.设计小组合作任务，如让学生共同设计一个公园的布局，合理布置直线和圆的位置。
4.组织小组汇报，让学生展示自己的研究成果，培养学生的表达能力和逻辑思维能力。
2.问题导向：教师引导学生提出问题，激发学生的思考和探究欲望，培养学生的自主学习能力，提高学生的思维品质。
教学案例及教学反思.5 直线与圆的位置关系》公开课教案及反思
2.5直线和圆的位置关系教学目标：1．知道直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．2．会利用直线与圆的位置关系来进行计算和说理．3. 用类比的方法探索直线与圆的位置关系，体会数形结合、分类讨论的数学思想．在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．.教学重点：直线与圆的位置关系与对应数量关系的运用.教学难点：直线与圆的位置关系与对应数量关系的探索.教学过程：一、创设情境1．我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆一下它们的位置关系有哪些？板书(设计意图：通过类比掌握新知，这是一种重要的数学学习方法)2．如果把点看成一条直线，想象一下直线与圆有哪几种位置关系？二、活动探索活动一．操作、思考1.联系生活中的具体情境，师生共同举例：如（1）自行车在平坦的地面上骑行，把自行车轮胎看成一个圆，平坦的地面看成一条直线（师生共同画出图形）（2）自行车在泥泞的道路上骑行，把自行车轮胎看成一个圆，泥泞的地面看成一条直线（师生共同画出图形）（3）一个圆形的风车在平坦的地面上转动（师生共同画出图形）（设计意图:联系生活，体会数学问题从生活中来，用所学知识解决生活中的问题）2．观察--操作—猜想，得出直线与圆的三种位置关系：(揭示课题)3．在选取其中一个圆，上、下移动直尺．在移动过程中直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？你能描述这种变化吗？（公共点个数、圆心到直线的距离）（设计意图：让学生通过观察、操作、猜想等活动，积累基本的数学活动经验）4．板书相关定义a．直线和圆有两个公共点,叫做直线与圆相交b．直线和圆有唯一个公共点,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点c．直线和圆没有公共点时,叫做直线与圆相离活动二．探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系前面复习知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离,这一数量关系来刻画他们的位置关系;那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画他们三种位置关系呢?下面我们一起来研究一下!（在自己所画的图形中观察）如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1、直线与圆相交<=> d<r2、直线与圆相切<=> d=r3、直线与圆相离<=> d>r你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?（设计意图：类比点与圆的位置关系得出直线与圆的位置关系与某些数量之间的联系）三、概念辨析1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距离为d(1)若a与⊙O相切，则d=_____(2)若d=3cm，则直线a与⊙O有____个交点(3)若d=7cm，则直线a与⊙O的位置关系是______2．⊙O的半径为5cm，A是⊙O上的点，直线a⊥OA，垂足为O，则直线a沿射线OA方向平移_____cm时与⊙O相切．3．直线a上的一点到圆心的距离等于的半径，则直线a与⊙O的位置关系是( )(A) 相离(B) 相交(C) 相切(D)相切或相交（设计意图：通过辨析题，加深学生对概念的理解，能运用新知识解决问题）四、例题尝试例1．在△ABC中，∠A=45°，AC=4，C为圆心，r为半径1.以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2 cm ；(3)r=3cm．2.当r分别满足什么条件时⊙C与直线AB相离、相切、相交．(设计意图：巩固由形的关系决定数量关系，由数量关系判断形的关系，体会数形结合的思想)巩固练习．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3cm, BC=4cm, C为圆心，r为半径1．以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4 cm ；(3)r=3cm．2.试求r满足什么条件时，⊙C与直线AB(1)没有公共点；（2）只有一个公共点；（3）有两个公共点．3.试求r满足什么条件时，⊙C与线段AB(1)没有公共点；（2）只有一个公共点；（3）有两个公共点．(设计意图：从一般到特殊，体会直线与圆的位置关系和线段与圆的位置关系的联系和区别)五、系统归纳1．直线与圆的位置关系：2．判定直线与圆的位置关系的方法有____种（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断．在实际应用中，常采用第二种方法判定．六、课后作业班级：________ 姓名：_______1．在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,（1）若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值．（3）若直线AB与半径为r的⊙C相交，试求r的取值范围．2. 圆O的直径4，圆心O到直线l的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（）（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交3. 直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交4. 直角三角形ABC中，∠C=900，AB=10，AC=6，以C为圆心作圆C，与AB相切，则圆C的半径为（）（A）8 （B）4 （C）9.6 (D)4.85.已知⊙O的直径是10厘米，点O到直线l的距离为d.(1)若直线l与圆Ｏ相切，则d ＝_________厘米(2)若d ＝４厘米，则直线l与⊙O的位置关系是_________________(3)若d ＝６厘米，则直线l与⊙O有___________个公共点.6.已知⊙O的半径为r，点Ｏ到直线l的距离为５厘米。
典例精析1(直线和圆的位置关系)
《直线与圆的位置关系》典例精析1【例1】如图，a、b是两条公路相交于点O，∠POB=30°，P为公路旁的一所学校且PO= 250米，一拖拉机从A出发沿AB方向行驶，距离拖拉机 150米的范围内会受到噪声的影响，请问在拖拉机行驶过程中，学校是否会受到拖拉机噪声的影响．【分析】距离拖拉机 150米的范围内会受到噪声的影响，即在学校周围 150米的范围是否有拖拉机经过，也就是判断直线AB与以P为圆心 150米为半径的圆的位置关系是什么．【解】如图，过P作PC⊥AB于点C，在Rt△POC中，∵∠POB=30°，∴PC= PO= 125米，又125＜150，即d＜r，直线与圆相交，学校会受到噪声的影响．【例2】如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．【分析】这个问题中CD与圆没有确定的公共点，要证明CD是圆的切线，需要过O 作CD的垂线段，再证明直线与圆心O的距离等于圆的半径．另外此题中用到了一个重要的辅助线：过切点的半径．【证明】连结OE、过O作OF⊥CD，垂足为F．∵AB是⊙O的切线，∴OE⊥AB．又AB=CD，∴OE=OF．∴CD是小圆的切线．【例3】如图，PA、PB是⊙的两条切线，A、B为切点，CD切⊙O于E，交PA、PB 于C、D，若PA= 6cm，求△PCD的周长．【分析】此题中有三个切线长定理的基本图形，即由P、C、D各引出了圆的两条切线，只要我们用切线长定的性质，就能得出PA=PB=6，CA=CE，DE=DB．【解】∵PA、PB是⊙的两条切线∴PA=PB=6 同理CA=CE，DE=DB∴△PCD的周长= PC+CE+DE+PD = PA+PB= 12cm．【例4】如图，已知Rt△ABC的三边长为6、8、10，求这个三角形的内切圆半径．【分析】由切线的性质可得四边形CFOD是正方形，由切线长定理可得AD=AE，BF=BE，CF=CD，可列出方程解题．【解】∵OF⊥BC、OD⊥AC、AC⊥BC，∴四边形CFOD是矩形．∵OD=OF∴四边形CFOD是正方形．∴设OF=OD=CD=CF=x∵AD=AE，BF=BE，∴BF+AD=BE+AE=AB．则有（6-x）+ (8-x) = 10∴x = 2．。
直线与圆方程的应用举例
思考3: 取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？ 思考2:你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
港口
如图所示以台风中心为原点，轮船所在的方向为X轴的正方向，取10km为长度单位，建立直角坐标系。
思考2:你有什么办法判断轮船航线是否 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
思考1: 你能用几何法求支柱EP的高度吗？
y P
思考2: 如图所示建立直角坐标系，那么求支 柱EP的高度，化归为求一个什么问题？
x
B C DO E F G
思考3: 取1m为长度单位，如何求圆 拱所在圆的方程？
思考4: 利用这个圆的方程可求得点P的纵坐标是
O’
多少？问题Ⅱ的答案如何？
解： 以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，
直线与圆方程的应用举例
我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图）：
创
设
（1）相离：无交点；
情
境
（2）相切：仅有一个交点；
兴
（3）相交：有两个交点．
趣
导
入
直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系
来判别（如图）：
创
设
（1） d r ：直线与圆相离；
情
境
（2） d r ：直线与圆相切；
建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）, 圆心 O’ 在y轴．
设半径为r，则| O’O|2+| OG|2=| O’G|2
即
r2 (r1)2 32，
解得 r 5．
A
y P x
B C DO E F G
所以圆心为（0，−4），圆的方程为 x2(y4)2 25．
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高考考点：《直线和圆》案例分析
一、考纲分析：
(一)直线与方程
1理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
3探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.
4能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
5探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
(二)圆与方程
1．了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程. 2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。
二、考情分析：
三、规律分析：
1、从近五年的试题看，本专题在高考中以选择题.填空题为主,分值 为4-5分,属于中档题目;有时也会与圆锥曲线结合命题,在解答题中出现,考查学生的综合能力,分值为12-14分,属于中高档题目.
2、在内容上直线的倾斜角与斜率.直线的方程.两直线的位置关系以及距离公式的应用是高考的热点,常与圆.圆锥曲线等知识相结合进行考察.圆的方程,直线与圆的位置关系在高考中出现的频率较高,常以综合题的形式出现,同时兼顾数形结合、分类讨论等数学思想方法的应用.
四、真题再现：
1、（2010文16） 已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该
圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .
(2010理16)已知圆C 过点（1，0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 。
2、（2012文9）圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
（2012文16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P 的位置在（0,0），圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于（2,1）时，的坐标为______________。
（2012理16）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆
心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，
圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿＿.
3、（2013文13）过点(3，1)作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，
其中最短的弦长为__________
(2013理9)过点（3，1）作圆1)1(22=+-y x 作圆的两条切线切点为A ，B ，则直线AB 的方程
（A ）032=-+y x （B ）032=--y x
（C ）034=--y x （D ）034=-+y x
4(2014文14) 圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C
截x 轴所得弦的长为，则圆C 的标准方程为 。