全国高中数学教师优秀教案-《比较大小》(江西黄良友)

课题：不等关系——比较大小教材：北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修5）授课教师：新余市第四中学黄良友教学目标：1．知识目标：①掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法②理解不等关系的传递性③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小2．能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力；3．情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与双边交流活动。

通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。

通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度，培养学生热爱家乡的优良品质．教学重、难点：教学重点：比较实数大小的方法．教学难点：1.比较实数大小方法中的代数变形；2.比较实数大小方法的实际应用教学方法：启导法、感性体验法、合作讨论法教学用具：多媒体、印好的习题纸教学过程：(一)创设情境（幻灯片给出几张庐山的优美图片，激发学生的兴趣）引入:庐山以自然景观为载体，以人文景观为内涵。

它那伟岸的山体、飞流湍泻的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城，以及宗教理趣的光华、千年书院的风采、冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符……无一不是中华民族乃至整个人类文明的古今融合、精神凝聚、文化升华。

它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒，被联合国教科文组织评为“世界文化景观”。

国庆放假期间，邀上几个朋友一起去了趟庐山，恰好碰到景区推出一套门票优惠方案，具体如下：庐山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案)优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠；优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元.为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？学生肯定会问有多少人，教师告诉他们在5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。

合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸）（学生思考演算并请学生回答结果）由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？若设人数为n，记采用方案A的费用为)(ng，(nf，采用方案B的费用为)则ng150f，n(=)144n)(+=n36接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考）对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系：n>n-g⇔n>gnfnf()⇒)6(<())(=nn-g⇔g=nnfnf()⇒)6()(=)(gn<nn⇔g-fnnf⇒()<)6(>)(()所以当6<n时，选择方案B;2<当6n时，选择两种方案都一样；=当6n时，选择方案A.>这样我们的问题就解决了。

归纳小结：任意两个实数a ，b 都能比较大小：如果a －b>0，则a>b;如果a －b<0，则a<b;如果a －b=0，则a=b.要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差a －b 与0的大小关系。

以上就是比较两个数（或式）的大小的方法——差值比较法.其实差值比较法我们很早就已经用过了，请同学们回忆一下哪里用过？（研究函数的单调性的时候，作差）下面我们再看几个比较大小的例题(二)范例启迪（例题由老师重点讲解，结合投影并简单板演示范）（出示例1）例1：试比较(1)(5)x x ++与2(3)x +的大小分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬解：(1)(1)(5)x x ++-2(3)x +=)56(2++x x -（962++x x ）=-4<0∴(1)(5)x x ++<2(3)x +（出示例2）例2：比较32+x 与3x 的大小分析：学生提出作差，但是对结果不容易判定正负，故引导学生向配方的方向走。

教师要捕捉学生的闪光点，若有同学说该式子恒大于0，则应追问原因，直到解决这个问题。

若用函数观点去看这个问题，顶点在x 轴上方，且开口向上，故函数值恒大于0解： 32+x -x 3=43)23(2+-x >0∴32+x >x 3（出示例3）例3.当1<x<2时,比较22+x 与x 3的大小分析：学生会发现例3与例2惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方但是学生会得到以下结果：41)23(3222--=-+x x x ，发现不能判定正负，教师正好提醒，既然配方法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在x 轴下方，图象开口向上，所以函数图象与x 轴有两个交点，故方程0232=+-x x 是有根的，可以将解析式改为两根式表示，即将其因式分解。

解： 22+x -x 3=(1-x )(2-x )1<x<2 ∴1-x >0, 2-x <0∴(1-x )(2-x )<0∴22+x <x 3例题小结：差值比较法的一般步骤：1.作差 2.变形 3.定号 4.下结论（配方法和因式分解为代数变形的常用方法）（三）课堂小练比较大小除了差值比较法之外，还有很多其他的方法。

例：如何比较3.02和23.0的大小？如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导：（1）3.02和1哪个大？ （2） 23.0与1哪个大？学生恍然大悟：2003.03.03.0122>==>练习1、比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小练习2、比较x x -2与2-x 的大小关系 练习3、当x>1时,x x 322+与6+-x 的大小不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）若a>b,b>c,则a>c.例4：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。

但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好。

试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由。

分析：例2以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难点.应该指导学生进行正确的审题。

解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a 和b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求b a <，且%10≥b a . 由于0)()(>+-=-++m b b a b m b a m b m a ， 于是 b a m b m a >++，又%10≥ba ， 因此 %10≥>++ba mb m a 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了！结论：一般地，设a ，b 为正实数，且0,><m b a ，则 ba mb m a >++ 这是一个非常重要的不等式，其意思为：一个正的真分数，当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。

例如<<<433221 这个不等式在生活中还有一个模型。

大家能否用这个不等式解释一下： 在一杯不太甜的糖水里加糖，糖水变甜了.设在b g 糖水里有a g 糖，此时糖水浓度为b a ，在加入m g 糖后，这杯糖水的浓度为m b m a ++，按照常识可知ba mb m a >++. （四）思考交流（放映芭蕾舞演员的表演视频）引言中的问题：为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受？你们知道黄金分割吗？黄金分割是一个值0.618，一本书的短边长与长边长之比接近0.618时，视觉上要优美一些，而对于人的身材也是一样的。

一个人的身材比例为0.618时是最优美的。

一般的人，下半身长x （肚脐眼以下部分）与全身长y 的比值y x在0.57-0.6之间，而芭蕾舞演员在演出时，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了m ，则下半身长与全身长之比由y x 变成m y mx++,这个比值更加接近黄金分割值0.618.实际的生活中，很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋，其目的就是在追求黄金分割值。

实践作业：请大家回去为自己和家人量一量身材，也许最美的东西就在你身边哦！如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度（是不是越高越好呢）。

但是我们作为学生应该追求内在美，不能穿高跟鞋。

（五）回顾与小结请同学们相互讨论：本节课你学到了哪些知识？（引导学生归纳本堂课的重要知识，重要方法）（1） 比较大小的方法：差值比较法；（2） 不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据）；（3） 比较大小在实际问题中的应用。

（六）布置作业课本74页 课后思考交流2以及练习2教学设计说明现代教育心理学的研究认为，有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：㈠在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区”．㈡引导学生通过同化，顺应掌握新知识。

㈢设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地。

我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯彻教师对本节内容的理解；体现“学思结合﹑学用结合﹑学习动机与意志品质相结合”的原则。

希望对学生的思维品质的培养﹑数学思想的建立﹑心理品质的优化起到良好的作用．。