高一数学-二次函数在闭区间上的最值问题[原创] 精品
函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题-【题型分类归纳】
函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题一、二次函数的三种形式1、一般式：()()20=++≠f x ax bx c a2、顶点式：若二次函数的顶点为(),h k ，则其解析式为()()()20=-+≠f x a x h k a 3、两根式：若相应一元二次方程20++=ax bx c 的两个根为1x ，2x ，则其解析式为()()()()120=--≠f x a x x x x a二、二次函数在闭区间上的最值二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论， 一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.设()()20=++≠f x ax bx c a ，求()f x 在[],∈x m n 上的最大值与最小值。
将()f x 配方，得顶点为24,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭b ac b a a ，对称轴为2=-b x a （1）当[],2-∈bm n a时， ()f x 的最小值为2424-⎛⎫-=⎪⎝⎭b ac bf a a ， ()f x 的最大值为()f m 与()f n 中的较大值； （2）[],2-∉bm n a时， 若2-<bm a，由()f x 在[],m n 上是增函数，则()f x 的最小值为()f m ，最大值为()f n ；若2->bn a，由()f x 在[],m n 上是减函数，则()f x 的最小值为()f n ，最大值为()f m ；三、二次函数在闭区间上的最值类型1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
k
2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
6
8
4
x=1
2
k
10
k+2
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4 当f(k)>f(k+2)时，
5 10 15
8 2
2 2
10 8
解：由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增 函数 故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3
10 5
6
4
2
x=1 2 4
5
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
4
10
8
6
4
当k ≥1
x=1 k k+2
5
时
2
f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
4
6
8
10
例2:
6
6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6
6
4
4
4
4
x=1
2
x=1 k+2
5
2
x=1
2
2
x=1
15
k
10
高一数学二次函数在闭区间上的最值
3 4
x
评注：例1属于“轴 定区间变”的问题， 看作动区间沿x轴移 动的过程中，函数最 值的变化，即动区间 在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化， 要注意开口方向及端 点情况。
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
y
–1 0 1
2
x
例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间 [–1，2]上的最值.
函数f(x)的最值；
（5）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最值.
t t +2 –1 0 1 2
3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
1 5 （3）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2 y 1 3 （4）若x∈[ , ]，求 2 2
二次函数在闭区间上的最值
复习：求给定区间x∈[m，n]的二次函数 y=f(x)=ax2+bx+c （a≠0）最值步骤 （1）配方。 （2）确定对称轴； （3）画图象。 （4）讨论对称轴与区间的位置关 系。 （5）根据图象确定函数最值。 （看所给区间内的最高点和最低点）
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–1
0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
y
–1
0
1
2
x
例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]， 试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].
二次函数在闭区间上的最值问题
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0 ，200]上的最大值100；
当 200<t≤300时，配方整理得
1 t 3502 100 ht 200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5 综上，由100>87.5可知， h(t)在区间[0，300]上可以取最大值 100，此时，t=50 ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西 红柿纯收益最大。
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6 ∴ 当a≦-1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(a)=a2-2a+3
3 2 1 -2
1 2 3
1 2 1 175 t t , 0 t 200 , 200 2 2 ht 1 t 2 7 t 1025 , 200 t 300 . 2 2 200
当0≤t≤200时，配方整理得
1 t 502 100 ht 200
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（ II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
b 2a
（2）二次函数y=ax² +bx+c (a<0)
b 4ac b 2 顶点坐标 , 2 a 4 a 在（-∞， 2ba )上，单调递增；在（ 2ba ，+ ∞）上，单调递减。
二次函数在闭区间上的最值
“轴动区间定”的二次函数最值问题也要讨 论，讨论也分动区间在定轴的左、右两侧及 包含定轴（区间中点在轴的左右两侧两种情 况）．能合并的情况要合并.
三类题型
分类讨论要注意 “一线三点”
两种数思想方法
思考：二次函数的图象开口 向下，此时又怎样解决？
谢谢！
再见
4--1
（2）若对称轴x=1在区间[t,t+1]上时， 即t≤1≤t+1 0≤t≤1 时。
如图所示
当x=1时， 函数取得最 小值，
即f(x)min=f(1)=1
y
O t
t+1
x
x=1
3--1
（3）若区间[t,t+1] 在对称轴x=1右侧时， 即 t>1时, 如图所示：
当x=t时， f(x)min=f(t) =(t-1)2+1
y 1 x t t+1 O x=1 x y
1 O t t+1 x=1
5--1
t 12 1, t 1 1, 0 t 1 t 2 1, t 0
f x max
5--2
1 2 t 1, t 2 t 12 1, t 1 2
y
y
-1 o
2
x
-1 o
2
x
X=a
X=a
7--1
7--2
2)最大值 (1)当
1 a 2
时，如图8--1所示:
1 a (2)当 2
时，如图8--2所示:
当x=2 时，函数取得最大值, 即f(x)max=f(2)=5-4a
当 x=-1 时，函数取得最大值, 即f(x)max=f(-1)=2+2a
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
3.5.2 二次函数在闭区间上的最值问题-(人教A版2019必修第一册) (学生版)
二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f(x)在x∈[m,n]上的最大值与最小值．分析：将f(x)配方，得顶点为 (−b2a ,4ac−b24a)、对称轴为x=−b2a；当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m,n]上f(x)的最值：(1)当−b2a∈[m,n]时，f(x)的最小值是f(−b2a )=4ac−b24a, f(x)的最大值是f(m),f(n)中的较大者．(2)当−b2a<m时，由f(x)在[m,n]上是增函数，则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)．(3)当−b2a>n时，由f(x)在[m,n]上是减函数，则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)．当a<0时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0 ,5)，且f(x)在区间[−2 ,4]上的最大值是28．(1)求f(x)的解析式；(2)设函数f(x)在x∈[t ,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．【题型二】动轴定区间求f(x)=x2−2ax−1在区间[0 ,2]上的最大值和最小值．【题型三】逆向题型,2]上最大值为1，求实数a的值．已知函数f(x)=ax2+(2a−1) x−3在区间[−32巩固练习1 (★★) 已知函数f(x)=x2+2ax+2．(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[−2 ,3)上的值域；(2)当a=−1时，求函数f(x)在区间[t ,t+1]上的最大值；(3)求f(x)在[−5 ,5]上的最大值与最小值．2(★★) 已知函数f(x)=x2+2mx+1．(1)若m=1，求f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值；(2)若f(x)在[−2,2]为单调函数，求m的值；(3)在区间[−1,2]上的最大值为4，求实数m的值．,b]上恒大于或等于0，其中实数a∈[3,+∞) , 求实3(★★) 已知函数f(x)=9x2−6ax+a2−10a−6在[−13数b的范围.+x在区间[m,n]上的最小值是3m,最大值是3n，求m,n的值. 4(★★★)已知函数f(x)=−x22挑战学霸设a为实数，记函数f(x)=a√1−x2+√1+x+√1−x的最大值为g(a)．(1)设t=√1+x+√1−x，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)，求m(t)和表达式及t的取值范围．(2)求g(a).。
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二次函数在闭区间上的最值问题(教案)
教学目标:
⑴知识目标:使学生掌握二次函数在闭区间上求最值及简单的含参的二次函数在闭区间
上求最值的方法.
⑵能力目标:提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生分类讨论及数形结合等数
学思想.
⑶德育目标:培养学生认真、严谨的科学态度和学风及合作、交流的能力.
教学重点：二次函数在闭区间上的最值问题.
教学难点：简单的含参的二次函数在闭区间上的最值问题.
学科思想：分类讨论及数形结合等数学思想.
教学方法：启发式及讨论探究式.
教学手段：计算机辅助教学.
教学过程:
㈠复习引入:
㈡新课讲解:
例1、求二次函数()3x 2x x f 2--=在下列区间上的最值：
(1) x ∈[－2, 0]
(2) x ∈[－0.5，1.5]
(3)x ∈[0.5, 2.5]
(4)x ∈[1.5, 3.5]
例2、求二次函数()3x 4x x f 2
+-=在[t ,t ＋2]上的最值。
例3、求二次函数()1a ax 2x x f 2
2-+-=在[－1,2]上的最值。
㈢课堂练习:
1、求二次函数()3x 4x x f 2
++-=在下列区间上的最值： （1）x ∈[－1,3] (2) x ∈[3,4]
2、求二次函数()b 1bx 2x x f 2-++-=在区间[0，1]上的最大值。
㈣思考题:
(1)已知函数()[]10x n mx x x f 2
，，∈++=，试确定m, n,使这个函数的值域为[0，1]. (2)已知函数()x x 2
1x f 2+-=,问是否存在实数a ,b ,使得当x ∈[a ,b]时， f(x)的取值范围恰是[2a,2b].
㈤小结：
（1）解决此类问题的关键是“按对称轴和给定区间的位置关系”进行分类讨论; （2）分类讨论要全面，应做到“不重不漏”;
（3）特别注意体会分类讨论及数形结合等思想.
㈥作业：
(1)函数y=x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）
A. [0,2]
B. (1,2)
C.[1,2]
D.[1,3]
(2)已知函数f(x)=-x2+2x＋3,若x∈[t ,t＋1],求f(x)的最值。
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