5-4新田中学-线段的定比分点与平移
高三数学一轮复习课件——线段的定比分点和平移
是_________
函数图象和曲线的平移
练习：把函数y 2 x 2的图像按向量a=(2, -2)平 移，则平移后函数解析式是_________。
课堂例题讲解
例1、已知 P 1P 2 4cm, 根据条件写出点P分有向线 段P 1P 2所成的比 1) P在P 1P 2上，且 P 1 P 1cm, 则 ______ 2) P在P P2 P 1cm, 则 ______ 1P 2的延长线上， 3) P在P2 P PP 1的延长线上， 1 1cm, 则 ______
x1 x2 x 2 中点 y y1 y2 2
x1 x2 x3 x 3 重心 y y1 y2 y3向量a (h, k )平移到点P '( x ', y ')
x ' x h y ' y k 如：将A(3, 4)按a (1, 2)平移得到的对应点为___
课堂例题讲解
练习：已知点A(1, 6)和B(3, 0)同在直线AB上求一 1 点P, 使 AP AB 3
课堂例题讲解
例3、函数y 2 x 4 x 5的图像按向量a平移得 2 到y 2 x 的图像，又a b, c (1, 1), b c 4，求 b坐标。
线段的定比分点
3 练习：若点P分 AB所成的比为 , 则A分 BP的比为__ 4
练习：已知ABC的顶点A(2,3)和重心G(2, 1), 则 BC边上的中点坐标为________
函数图象和曲线的平移
函数y f ( x)的图象按a (h, k )平移后的函数 解析式是 _________ 曲线f ( x, y) 0按a (h, k )平移后的曲线方程
高三数学线段的定比分点与平移
（2）定比分点的向量表达式：
点PO分P有向1 线1 段OPP11P21所 成O的P2比是 ，则
（O为平面内任意点）
茄子般的腿里面流出！瞬间在巨木头鞭肚魔周身形成一片水蓝色的光塔！紧接着巨大的木头鞭肚魔把充满智慧的亮眼睛甩了甩只见三道浓重的活似天网般的墨烟，突然从阳光 灿烂的、永远不知疲倦危险的脸中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，暗黑色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的鳞片僵憨味在诡异的空气中摇曳……最后木头鞭肚魔晃动高
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
对应点P’(x’,y’’)，且 的PP坐' 标为(h,k)，则有 ，
这
个 x'
y
'
公 x 式h
yk
叫做点
的
平
移
公
式，
它
反
映了
图
形
中
的
每
一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
（3）直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数 不变。曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐 标点的相互位置关系与曲线方程的形式。某些曲线 方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便。
大的白杏仁色井盖模样的；https:/// laser marking machine with rotary ；鼻子一声怪吼！只见从天边涌来一片无垠无际的火海巨浪……只见无 垠无际的火海轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间数不清的大夫在一个个小木头鞭肚魔的指挥下，从轰鸣翻滚的火海中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着专政和火海的高 速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了 ，校霸们的队伍全军覆灭，垂死挣扎的床柜雀筋神如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！蘑菇王子 ：“哈哈！我找到太阳红钻石啦！”知知爵士：“咱们终于得到只颗太阳红钻石！”蘑菇王子：哈哈！真不错！！外力又长一层，现在咱们的外力已经是第四十二层啦！”知 知爵士：“嗯嗯！我感觉很舒服！看来咱们支票上的宇宙币也该增加了……”第五章第二天一早奇峦兀立、冬山如睡的神漏勺海滩好像一个勤劳的农夫。张目前望，在神漏勺 海滩的南方，闪映着若有若无的非常像珍珠模样的金橙色的闪烁争辉的圣殿，鸟瞰全景，那里的风光如同怪异的猪肺，那里的风貌真的很神妙，一定会有很多不为人知的秘密 。在神漏勺海滩的后边，跳跃着淡淡的非常像一片痰盂模样的天蓝色的闪耀的森林，细细观看，那里的景致如同心情愉快的猴子，那里的风光好有趣，只是路有些不好走。在 神漏勺海滩的左方，漫步着挥之不去的特别像一片狐妖模样的天青色的生机勃勃的公园，极目远瞧，那里的景象多少有点像羞羞答答的鱼苗，那里的景致有点怪怪的，真像一 个好去处。在神漏勺海滩的西北方向，曼舞着浅浅的极像一片黑豹模样的墨蓝色的闪烁争辉的海景，极目环视，那里的景象极似怪异的树根，那里的景观真像一个好去处，只 是路途有些遥远。在神漏勺海滩上面，横躺着浅浅的暗黑色奇云，那模样好像漂浮着很多雪豹，极目遥望，天空的景象极似怪异的耳塞，样子十分的傲慢。神漏勺海滩四周闪 烁着一种空气中优美的甜味，这种味道出奇的浓烈，不用鼻子也能用手摸到……忽然，神漏勺海滩靠近地平线之处荡来隐约的藓香，没多久，若有若无的芬芳渐渐远去，只
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破5-4 线段的定比分点与平移课件 新人教B版
考纲 掌握线段的定比分点和中点 要 公式，并且能熟练运用；要 求 求掌握平移公式． 高考对这部分考查比较简单： 求定比、求分点坐标、求平 考试 移向量、求平移后解析 热 式．也可能与解析几何结合 点 在一起，作为大题的一个步 骤求解.
• 1．线段的定比分点 • (1)P分有向线段 所成的比 • 设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任 意一点，则存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P分有 向线段 所成的比．
• 2．平移 • (1)图形的平移 • 将平面坐标系内的图形F上 所有点 按照 同一方向 ， 移动 ，得到图形F′，把这一过程叫做图 相同的长度 形的平移． • 按同一方向平移相同长度即各点按平移向量a平移． • (2)平移公式 • 平移前的点P(x，y)(原坐标)，平移后的点P′(x′，y′)(新坐 标)平移向量 ＝(h，k)，则
• 中点坐标公式： • 当λ＝1时，P为
的中点，
注意： (1)对定比分点中的定比 λ， 应分清 P 分P→ 1P2所 → 成的比具有方向性， P 分 P→ 1P2的定比与 P 分 P2P1的定比不 同． → |P 1P| (2)λ 的求法：λ＝± 中 “± ”的选择应明确． →2| |PP (3)注意定比分点公式的变形应用及变量互求，如 λ x－x1 y－y1 ＝ ＝ . x2－x y2－y → (4)λ 的记忆技巧：P→ 起P分 ＝λP分P终 .
• ∴D点坐标为(8－x,2－y)
图4
• 又向量 ，即 • (1,2)＝(－8＋2x，－2＋2y)
• (2)A、B、C、D按向量a平移后的坐标公式为
• ∴平移后四个顶点的坐标依次为A(－ ，－1)，B(－ 1)，C(0,0)，D(－1，－2)． ，
5.4 线段定比分点与平移
3、定比分点的坐标形 式
若P( x,y) ,A( x1,y1 ) ,B( x2 ,y2 ),P分 AB 的比为 x1 λx2 x 1 λ λ( 1)则 y1 λy2 y 1 λ
y P B
A
O x
OA OB OP 1
中点坐标公式： x1 x2 y1 y2 x ,y 2 2
线段的定比分点与平移
一、定比分点
1、 定 义 ：1 P ，P l上 的 两 点 ， P为 2为 直 线 l上 不 同 于1 P ，P λ， 2的 一 点 ， 则 有 实 数 使P1P λPP2， 称λ叫 P分 有 向 线 段 P1P2 所 成 的 定 比 ， P叫 P1P2的 定 比 分 点
2.关于λ的确定
a 平移后，得到函数 y f ( x 1) 2 的图象， 则向量 a （ D ）
A.(1,2) B.(1,2)
y cos(x )的图象 3
C.(1,2) D.(1,2)
(
2.(2007 山东)要得到函数y sin x的图象, 只需将函数
A
)
A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位 6 3 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位 3 6
移，求平移后对应的A 点 的坐标 π 2 求 函 数y sin 2 x按a ( ,1)平 移 6 后的函数解析式
'
3 量 a平 移 后 ，
2
得到的抛物线的解析为 式y x ， 求a
练习.
1.（2007年辽宁）若函数 y f ( x) 的图象按向量
Δ ABC的 三个顶点坐标分别为Ax1,y1 , Bx2 ,y2 , C x3,y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 则重心 P( x,y)为: x ,y 3 3
线段的定比分点公式及图象的平移
(
点P内分 1P2时，λ 0;点P外分 1P2时，λ 0 P P
)
二.线段定比分点坐标
公式： x1 λx2 x 1 λ ①设P分有向线段 P1P 2比λ，即 P1P λPP 2，P 1(x 1 ,y 1 ) P 2(x 2 ,y 2 ),P(x, y), 则： y y1 λy2 1 λ
2
1焦点坐标为____ _
__;
准线方程为_____
x1 x 2 λ 1时，中点公式： x 2 a λ b ②向量式： OP y y1 y 2 P 1 λ P1 2 P为中点时， OP a b a
P2
b
三.平移公式
/
2
/
O
●
设A(x, y), B(x ,y )
a
B
OB OA a / x x h / y y k
/ /
设 a (h,k)
/
x x h / y y k / / x 1 y 2 x h 1 yk 2
即：y 2
x h 1
k 1且h 1 0 k 1且h 1
法2：图象变换
y), 平移后对应点(x
,y )
y 2 1 y 2
_________
反思：平移公式解决三
类问题：
已知原解析式
a (h, k)
？
a (h, k) ? 新解析式 a ？ 新解析式 已知原解析式
例2：(定比分点公式
应用) P1(3, y),
①如果P 1，P 2，P 3 三点在同一直线上，且 | P1P 3 |
P 2(x, 1), P 3(0, 3), 3,求P 2 坐标 | P 3 P 2 | ( 1, 1)及(1, 1) ②点A( 1,6)和B(3,0 )在直线AB上，求一 使 | AP | 1 3 | AB | ( 点P，
第38课时 线段的定比分点及平移
西安市昆仑中学2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第38课时 席成 课题：线段的定比分点及平移教学目标：1.掌握线段的定比分点公式，并能灵活应用于解题.2.理解将一个点按定向量平移的平移公式，会将一个曲线按定向量进行平移.3.掌握函数的平移法则与按向量平移之间的联系.教学重点：定比分点公式，按向量平移曲线．（一） 主要知识： 1.P 点位置与点P 分12PP 所成的比λ的关系：2.设12PP PP λ= ，且12,,P P P 的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y x y ，则有121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪+⎨+⎪=+⎩ 3.将点(),P x y 按向量(),a h k = 平移后所得的点为()'','P x y ，则{''x x h y y k =+=+ 4.把函数()y f x =的图像按(),a h k = 平移，就相当于把函数的图像左右平移h 个单位，再上下平移k 个单位.（二）主要方法： 1.会用坐标变换法，求一条曲线(),0f x y =按向量(),a h k = 平移后所得的曲线方程 2.会把函数图像的平移问题转化为按向量平移的问题 .3.数学思想方法：化归思想、方程思想、待定系数法.（三）典例分析： 问题1．已知两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且2APBP = ，求点A 和点B 的坐标．00111λλλλ><<=> 0λ= 10λ-<< 1P 2P P 中点 λ不存在 1λ<-西安市昆仑中学2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第38课时 席成 问题2．已知(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且23AMNC ABC S S =△，求点N 的坐标．问题3．已知函数 22(2)1y x =---的图象经过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．问题4．定点()3,0A 为圆221x y +=外一点,P 为圆上的动点,POA ∠的平分线交PA 于Q ， 求Q 点的轨迹方程西安市昆仑中学2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第38课时 席成（四）课后作业：1.若直线2y x =按向量a 平移得到直线26y x =+，那么a （ ）.A 只能是()3,0- .B 只能是()0,6 .C 只能是()3,0-或()0,6 .D 有无数个2.若点P 分AB 的比为34，则点A 分BP 的比是3.已知向量AB mCB = ()0m ≠，则A 分BC 的定分比的值为.A 11m - .B 11m - .C 1m m - .D 1m m-4.把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =- 平移后，图象的解析式是 .A 12124y x =- .B 11324y x =- .C 11924y x =+ .D 12124y x =--5.函数()f x 1a x x a -=--的反函数()1f x -的图象的对称中心是(1,3)-,则实数a = .A 2 .B 3 .C 2- .D 4-6.曲线22220x y mx +-=按a ()2,0=-平移后，得到曲线2224x y +=，则m =.A 2.B 2- .C 4 .D 4-西安市昆仑中学2008届高三理科数学第一轮复习讲义 第38课时 席成7.将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，则a =8.ABC △中三边中点分别是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，则ABC △的重心是（五）走向高考：9.（07湖北）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平移，则平移后所得图象的解析式为 .A π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.B π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭10.（05全国Ⅱ）已知点)A，()0,0B，)C ，设BAC ∠的平分线AE 与BC相交于E ，那么有BC CE λ= ，其中λ等于 .A 2 .B 12 .C 3- .D 13-11.（06湖北）设函数()()f x a b c =+，其中向量(s i n ,c o s a x x =- ，(sin ,3cos )b x x =- ，(cos ,sin )c x x =- ，x R ∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .。
最新高三教案-4线段的定比分点与平移 推荐
练习三：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2 平移后与圆C：
x2 y 2 2x 4 y 0 相切。 求实数m的值。
P209考例3变式
y 例3．是否存在这样的平移，使抛物线： x2 平移后 x 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 轴的两个
交点构成的三角形面积为1，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。
顶点B、C的坐标。
P208考例1变式
练习二: 在 ABC中， A(4,1)，B(7,5)，C(-4,7)，
求∠CAB平分线AT的长。 P208考例2变式
例2、
（1）把点A(3,5)按 a 4,5 向量平移，求平移后
对应点A’ 的坐标。
（2）把函数y 2x2的图象按向量
a 2,2平移得F’，求F’的函数解析式。
线段的定比分点与平移 高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点 P起P分
（1）定义
P分 P终
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同
于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ，
使 p1 p pp2 , 叫做点P分有向线段
P1P2 所成的比。
当点P在线段 P1P2 上时， 0 ；当点P在线
例4．设函数
f
(x)
x 1试根据函数 x2
y
1 x
的图象
（1）作出 f (x) 的图象，并写出变换过程；
（2） f (x) 的图象是中心对称图形吗？ （3）写出 f (x) 的单调区间。
三．课堂小结： （1） 定比分点坐标公式时，一定要分清起点、 终点和分点，在学习中不仅学会利用结论解决问题， 也要注意该公式的推导过程，从中可得到一些启迪， 为今后的学习打下思想方法的基础。
高考数学复习 第42课时 第五章 平面向量-线段的定比分点及平移名师精品教案
第42课时：第五章 平面向量——线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移 一．复习目标：1．掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称问题；2．掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是 ；线段的中点坐标公式是 ；3．平移公式是 ． 三．课前预习：1．若点P 分AB 的比为34，则点A 分BP 的比是 ． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是（ ） ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，则a = ．4．ABC ∆中三边中点分别是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，则ABC ∆的重心是 ．四．例题分析：例1．已知两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =， 求点A 和点B 的坐标．例2．已知(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．已知函数 22(2)1y x =---的图象经过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．已知,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．已知点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，则点(2,1)按向量a 平移后的坐标是（ ） ()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，则E 点的坐标为（ ） ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为（ ）()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，则原来函数图象的解析式为 ．5．已知函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a = ，化简后的函数式为 ．6．已知(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，若1OA OB OP λλ+=+，则P 点的轨迹方程为 ．7．已知三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，（1）求三边的长；（2）求AB 边上的中线CM 的长；（3）求重心G 的坐标；（4）求A ∠的平分线AD 的长；（5）在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行怎样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。
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π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．
启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P
→ → 设 P 分P→ 2所成的比为 λ，∴P1P＝λPP2， 1P → 3 P1P → 与PP2反向，∴λ＝－3. → λ＝ ∴ ＝ ，又∵P1P 2 → PP2 2 3 答案：－2 失分警示：概念混淆，定比分点概念不清致误．
解析：设平移向量为 a＝(h，k)，
x′＝x＋h， 则由平移公式 y′＝y＋k，
π π ＝ ＋h， 得4 6 1＝2＋k.
π h＝ ， 12 ∴ k＝－1.
π ∴a＝( ，－1)． 12
设(x，y)为图象 C 上任一点，(x′，y′)为图象 C′上相 π x′＝x＋ ， 12 应的点，则 y′＝y－1. π x＝x′－ ， 12 ∴ y＝y′＋1.
后与之对应的点为 P′(x′，y′)，则有 π π x′－x＝ ， x′＝ ＋x， 3 3 即 y′－y＝2， y′＝y＋2， ∵点 P′(x′，y′)在函数 y＝2sinx 的图象上， ∴y′＝2sinx′.
π ∴y＋2＝2sin(x＋ ) 3 π ∴y＝2sin(x＋ )－2. 3 π 答案：y＝2sin(x＋ )－2 3
1 －1＋ ×3 2 1 x＝ 1 ＝3， 1＋ 2 1 当 λ＝2时， 6＋1×0 2 ＝4， y＝ 1 1＋2
1 －1－ ×3 4 7 x＝ 1 ＝－3， 1－ 4 1 当 λ＝－4时， 6－1×0 4 y＝ 1 ＝8， 1－4 1 7 ∴P 点坐标为(3，4)或(－3，8).
)
1 B．－ 5 1 D.3
答案：A
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a ＝(5，－2)平移后的坐标是 ( ) A．(9，－5) B．(－9,5) C．(1,1) D．(－8,1) 解析：按向量平移公式计算得知应选C. 答案：C
π 5．把函数的图象 F 按向量 a＝(3，2)平移后得函数 y＝ 2sinx 的图象 F′，则平移前的图象 F 的函数解析式为 ________． 解析：设平移前的图象 F 上的任一点为 P(x，y)，平移
2．已知 P1(－1，－6)、P2(3,0)，在直线 P1P2 上取一点 P， → |＝1|P→ 2|，则点 P 的坐标为________． 使|P1P 3 1P
7 1 答案：(－3，8)或(3，－4)
二、平移公式应用失误 3．已知A(4,2)，B(1,2)，则向量沿向量(－ 1,3)平移后得到的向量坐标是________． 答案：(3,0) 4．把一个函数的图象按向量a＝(3，－2)平 移后得到的图象的解析式为y＝log2(x＋3)＋ 2，则原函数的解析式为________． 答案：y＝log2(x＋6)＋4
二、图形的平移 1．平移 设F为坐标平面内一个图形，将F上所有点 按同一个方向移动同样的长度，得到图形F′， 这个过程叫图形的 ．将一个图形平移，图 平移 形的形状、大小不变，只是在坐标平面内的 位置发生变化．
2．平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移 后的图形 F′上对应点为
本题型要注意分清楚是平移前的坐标、平移 后的坐标还是平移向量的坐标，最后利用平 移公式解决问题．
【例 2】 5π (1)将函数 y＝2sin(2x＋ 6 )＋3 的图象 C 进行
π π 平移后得到图象 C′， C 上一点 P(6， 使 2)移至点 P′(4， 1)， 求图象 C′对应的函数解析式．
解析：因为点 P 是线段P→ 2上异于 P1、P2 的点，λ∈R 1P 且 λ≠0，－1，故 A、B 错； 当 λ＜－1 时，点 P 在线段P→ 2的延长线上； 1P 当－1＜λ＜0 时，点 P 在线段P→ 1的延长线上； 2P 当 λ＞0 时，点 P 在线段P→ 2上． 1P
答案：C
→ 2． (教材 P1261 题改编)若点 P 分有向线段AB所成的比为－ 1 → ，则点 B 分有向线段PA所成的比是( 3 3 A．－2 1 B．－2 1 C.2 ) D．3
→ ＝－1PB，则AP＋PB＝－1PB＋PB， → → → → → 解析：由条件得AP 3 3 → ＝2PB，PB＝3AB＝－3BA，故 B 分有向线段PA所成的比 → → → → → 即AB 3 2 2 3 为－ ，故选 A. 2
答案：A
3．(2008· 重庆)若过两点 P1(－1,2)，P2(5,6)的直线与 x 轴相交于点 P，则点 P 分有向线段P→ 2所成的比 λ 的值为 1P ( 1 A．－ 3 1 C.5
答案：C
失分警示：误区1：不等式整理成t2－2a·et ＋2a·e－1≥0后，不能把a·e看作一个整体、 一个参数，而忽视了该不等式对任意实数t 恒成立的充要条件是△≤0，致使进入误区． 误区2：a·e＝1而答案中没有这一选项，学 生不会变通，把“1”看做e2，而总以为自 己做错而选不出正确选项．
x′＝x＋h P′(x′， y′)， 则有 y′＝y＋k
，
在 P(x，y)，P′(x′，y′)以及 a＝(h，k)中，已知其中两个， 可求另外一个，但要注意顺序性． 3．函数图象的平移，实质上是点的平移，可由平移公 式化简方程．
●易错知识 一、定比分点公式应用失误
→ → 2＝1，点 P 在P→ 2的延长线上，且PP2＝2， 1．已知 P1P 1P
→ ＝－1AB，则由(x＋1，y－6)＝－1(4，－6)， → 若AP 3 3 4 7 x＋1＝－ x＝－ 3 解得 3 ， 得 y－6＝2 y＝8 7 ∴P 点坐标为(－3，8)． 1 7 综上所述，P 点坐标为(3，4)或(－3，8)．
→ |＝1|AB|， → 方法二：∵|AP 3 ∴画出图形，如图． → 所成的比 λ＝1或－1. 由图可得，点 P 分AB 2 4 又 A(－1,6)，B(3,0)， 设 P(x，y)，则由定比分点坐标公式得
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．6，1) π π 解析：由 y＝2sin(2x＋ )＋1＝2sin2(x＋ )＋1 得 3 6
该类问题要正确地选取线段的起点与终点， 应用定比分点坐标公式求点的坐标或求定比 λ.这类问题也可由共线向量定理来解决．
【例 1】 已知点 P(x,1)，P1(－1，－5)，P2(2,4)
(1)求点 P 分P→ 2的比 λ1 及 x 的值； 1P → (2)求点 P1 分P2P的比 λ2 的值； → → → → (3)若P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|，求 Q 点的坐标．
已知点 A(－1,6)和 B(3,0)，在直线 AB 上求一点 P，使 → |＝1|AB|. → |AP 3
→ ＝1AB， → 解析：方法一：设 P 的坐标为(x，y)，若AP 3 4 x＋1＝ 1 3 则由(x＋1，y－6)＝ (4，－6)得 ， 3 y－6＝－2 1 x＝ 3 ，∴P 点坐标为(1，4)． 解得 3 y＝4
●基础知识 一、线段的定比分点 1．定比分点：设 P1，P2 是直线 l 上的两点，点 P 是 → l 上不同于 P1，P2 的任意一点，则存在一个实数 λ，使P1P → ＝λPP2，λ 叫点 P 分有向线段P→ 2所成的比，P 叫做定比 1P 分点．
2．定比λ与分点之间的一一对应关系如下表：
解题思路： a－te≥a－e， 2＋t2e2－2a· ∵ et≥a2－2ae ∴a ＋e2. ∵ e ＝1，∴t2 －2a· et＋2a· e－1≥0 对任意 t∈R 恒成 立．∴△＝4(a· 2－4(2a· e) e－1)≤0， 即(a· 2 －2a· e) e＋1≤0，(a· e－1)2≤0，∴a· e＝1，即 a· e ＝e2，∴(a－e)· e＝0，∴e⊥(a－e)．故选 C.
π x′＋ ＝x π 6 ，∴a＝(－6，1)，故选 B. y′－1＝y 答案：B