第一章集合

第1讲集合的概念与运算考试要求 1.集合的含义，元素与集合的属于关系(A级要求)；2.集合之间包含与相等的含义，集合的子集(B级要求)；3.并集、交集、补集的含义，用韦恩(Venn)图表述集合关系(B级要求)；4.求两个简单集合的并集与交集及求给定子集的补集(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.(3)错误.当x＝1，不满足互异性.(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P9练习1改编)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是________个. 解析A＝{x|0≤x<3且x∈N}＝{0，1，2}，∴真子集有7个.答案73.(2017·江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a 的值为________.解析由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1.答案 14.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}，则∁U M＝________.解析M＝{x|x2－6x＋5≤0，x∈Z}＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，所以∁U M＝{6，7}.答案{6，7}5.(必修1P10练习6改编)设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}.若A⊆B，则m的取值范围是________.解析A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B在数轴上表示，可得m≥3. 答案[3，＋∞)知识梳理1.集合的概念(1)一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素.(2)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等.(4)集合按含有元素的个数可分为有限集、无限集、空集.(5)特别地，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R，复数集记作C.2.两类关系(1)元素与集合的关系，用∈或∉表示.(2)集合与集合的关系，用⊆、或＝表示.3.集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).考点一集合的基本概念【例1】(1)(2018·启东月考)若x2∈{0，1，x}，则实数x的值是________. (2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.解析(1)因为x2∈{1，0，x}，所以x2＝1或x2＝0或x2＝x.由x2＝1，得x＝±1；由x2＝0，得x＝0；由x2＝x，得x＝0或x＝1.当x＝0时，集合为{1，0，0}不成立.当x＝1时，集合为{1，0，1}不成立.当x＝－1时，集合为{1，0，－1}，满足条件，故x＝－1.(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝9 8，所以a的取值为0或9 8.答案(1)－1(2)0或9 8规律方法 (1)本题第(2)问，集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.(2)用描述法表示的集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再注意元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.(2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________.解析 (1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.(2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去；当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 (1)2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则A ________B (填A ，B 间的包含关系).(2)(2017·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4].答案(1) (2)(－∞，4]规律方法 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；如已知(1)B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2018·盐城模拟)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________.(2)(2018·南通调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为________.解析 (1)集合C ＝A ∩B ＝{1，3，5}，由子集定义可得集合C 的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共8个.(2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.答案 (1)8 (2)2考点三 集合的运算(典例迁移)【例3】 (经典母题)(1)(2016·江苏卷)已知集合A ＝{－1，2，3，6}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝________.(2)(2018·泰州模拟)设全集U ＝{x |x ∈N *，x <6}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则∁U (A ∪B )＝________.解析 (1)由于B ＝{x |－2＜x ＜3}，对集合A 中的4个元素逐一验证，－1∈B ，2∈B ，3∉B ，6∉B .故A ∩B ＝{－1，2}.(2)由题意得A ∪B ＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U ＝{1，2，3，4，5}，∴∁U (A ∪B )＝{2，4}.答案 (1){－1，2} (2){2，4}【迁移探究1】 (1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________.(2)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x <－2或x >2}，N ＝{x |1≤x ≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.解析 (1)集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素.(2)阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <1或x >3}＝{x |－2≤x <1}.答案 (1)2 (2){x |－2≤x <1}【迁移探究2】 (1)(2018·南通一模)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________.解析 (1)0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤1<2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞).答案 (1)1 (2)[－1，＋∞)规律方法 (1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图或数轴使抽象问题直观化.(2)一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】 (1)(2018·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x >5}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________.解析 (1)U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}.(2)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3， ∴a ≤2或a >3.答案(1){7，9}(2){a|a≤2或a>3}一、必做题1.(2017·江苏高考冲刺卷)若集合A＝{－1，0，3}，B＝{－1，1，2，3}，则A∩B ＝________.解析由集合交集的定义可得A∩B＝{－1，3}.答案{－1，3}2.(2018·无锡一模)设集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1<x≤2}，则A∩B＝________.解析因为A＝{x|x>0}，B＝{x|－1<x≤2}，所以A∩B＝{x|0<x≤2}.答案{x|0<x≤2}3.(2018·苏北四市调研)已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则A∪B 中元素的个数为________.解析由并集定义可得A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，有6个元素.答案 64.(2018·南京调研)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1>0}，则A∩B＝________.解析由题意得B＝{x|x<－1或x>1}，则A∩B＝{2}.答案{2}5.(2016·山东卷改编)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝________.解析∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.答案{2，6}6.(2017·苏州调研)设全集U＝{x|x≥2，x∈N}，集合A＝{x|x2≥5，x∈N}，则∁U A＝________.解析 由题知集合A ＝{x |x ≥5，x ∈N }，故由补集定义可得∁U A ＝{2}.答案 {2}7.(2016·浙江卷改编)设集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝________.解析 易知Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}.∴∁R Q ＝{x |－2<x <2}，又P ＝{x |1≤x ≤3}，故P ∪(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}.答案 {x |－2<x ≤3}8.(2017·苏州一模)已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________.解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合.由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去.故a ＝－1或2.答案 －1或29.(2018·苏州调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是________.解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 {x |1≤x <2}10.(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ，∴x＝0，1，2，3，4，即A＝{0，1，2，3，4}.又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素.答案 1二、选做题11.(2017·石家庄质检)已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________.解析由x2－2 016x－2 017≤0，得A＝[－1，2 017]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2 017，则m>2 016.答案(2 016，＋∞)12.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为________.解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故A⊕B中元素的个数为45.答案45。