高三第一轮复习力的合成与分解
高考物理一轮复习 第二章 第3节 力的合成与分解讲义(含解析)-人教版高三全册物理教案
力的合成与分解(1)合力及其分力均为作用于同一物体上的力。
(√)(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。
(×)(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。
(√)(4)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。
(√)(5)两个力的合力一定比其分力大。
(×)(6)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。
(√)(7)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。
(×)突破点(一) 力的合成问题1．共点力合成的常用方法(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类 型 作 图 合力的计算①互相垂直F ＝F 12＋F 22tan θ＝F 1F 2②两力等大，夹角为θF ＝2F 1cos θ2F 与F 1夹角为θ2③两力等大且夹角120°合力与分力等大(3)力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。
平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。
2．合力的大小X 围(1)两个共点力的合成|F 1－F 2|≤F 合≤F 1＋F 2即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F 1－F 2|，当两力同向时，合力最大，为F 1＋F 2。
(2)三个共点力的合成①三个力共线且同向时，其合力最大，为F 1＋F 2＋F 3。
②任取两个力，求出其合力的X 围，如果第三个力在这个X 围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个X 围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
[题点全练]1.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π)，下列说法中正确的是( )A．合力大小的变化X围是0≤F≤14 NB．合力大小的变化X围是2 N≤F≤10 NC．这两个分力的大小分别为6 N和8 ND．这两个分力的大小分别为2 N和8 N解析：选C 由题图可知：当两力夹角为180°时，两力的合力为2 N，而当两力夹角为90°时，两力的合力为10 N。
2020版高考物理一轮复习第二章第3节力的合成与分解讲义含解析
第3节力的合成与分解一、力的合成与分解1．合力与分力(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
[注1]2．共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。
如下图所示均是共点力。
3．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则[注2]①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。
如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法。
如图乙所示。
[注3] 4．力的分解(1)定义：求一个已知力的分力的过程。
(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。
(3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。
二、矢量和标量1．矢量：既有大小又有方向的量，运算时遵从平行四边形定则。
2．标量：只有大小没有方向的量，运算时按代数法则相加减。
[注4]【注解释疑】[注1] 合力不一定大于分力，二者是等效替代的关系。
[注2] 平行四边形定则(或三角形定则)是所有矢量的运算法则。
[注3] 首尾相连的三个力构成封闭三角形，则合力为零。
[注4] 有大小和方向的物理量不一定是矢量，还要看运算法则，如电流。
[深化理解]1．求几个力的合力时，可以先将各力进行正交分解，求出互相垂直方向的合力后合成，分解的目的是为了将矢量运算转化为代数运算，便于求合力。
2．力的分解的四种情况：(1)已知合力和两个分力的方向求两个分力的大小，有唯一解。
(2)已知合力和一个分力(大小、方向)求另一个分力(大小、方向)，有唯一解。
(3)已知合力和两分力的大小求两分力的方向：①F>F1＋F2，无解；②F＝F1＋F2，有唯一解，F1和F2跟F同向；③F＝F1－F2，有唯一解，F1与F同向，F2与F反向；④F1－F2<F<F1＋F2，有无数组解(若限定在某一平面内，有两组解)。
2022届高三物理一轮复习第二章__第2单元__力的合成与分解
(1)第一种情况是F≥F2>Fsinα，则有两解，如图1－2－11 所示．
(2)第二种情况是F2＝Fsinα时，则有唯一解，如图1－2－ 12所示．
合力和分力是一种等效替代关系．
1．小东在体育课上做单杠练习时，两臂伸直，双手平行握
住单杠，之后逐渐增加双手间距．此过程中手臂上的拉
力变化情况为
()A．逐渐变小源自B．逐渐变大C．先变大后变小
D．先变小后变大
解析：对小东受力分析可知，他受到重力和两臂的拉力而 处于平衡状态，所以两臂拉力的合力与重力等大反向，是 一定值．当两拉力间的夹角随两手间距的增大而增大时， 两拉力也一直增大，B项正确． 答案：B
解析：设 F1＝20 N，F2＝30 N，F3＝40 N 方法一：转化成求两个力的合力 把原来三个力看成(30 N－10 N)、30 N、(30 N＋10 N)，由 于原来三个方向上均为 30 N 的力的合力为 0.于是原题就转 化为一个沿 F1 方向 10 N 的力与一个沿 F3 方向 10 N 的力的 合力．则 F 合＝2Fcos30°＝2×10×cos30° N＝10 3 N，方向在 F2 与 F3 之间，且与 F3 的夹角为 30°.
方法二：正交分解法 如图建立直角坐标系，分解不在 坐标轴上的力 F1 和 F2.则对于 F2 有： F2x＝－F2sin30°＝－15 N； F2y＝F2cos30°＝15 3 N 对于 F1，有： F1x＝－F1sin30°＝－10 N；
F1y＝－F1cos30°＝－10 3 N 对于合力 F 合，有：Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N； Fy＝F1y＋F2y＝5 3 N 由图可知，所求合力大小为 F 合＝ Fx2＋Fy2＝10 3 N 合力方向与 F3的夹角为 α＝arctanFFxy＝arctan 33＝30°. 答案：10 3 N，方向与 F3 的夹角为 30°
高考物理一轮复习第2章物体间的相互作用第2讲力的合成和分解训练含解析
第2讲力的合成和分解知识巩固练习1．如图所示，一幼儿园小朋友在水平桌面上将a、b、c三个形状不规则的石块成功叠放在一起，受到了老师的表扬，则下列说法正确的是( )A．c受到水平桌面向左的摩擦力B．c对b的作用力方向一定竖直向上C．b对a的支持力大小一定等于a受到的重力D．b对a的支持力与a受到的重力一定是一对平衡力【答案】B【解析】以三个物体组成的整体为研究对象，整体只受到重力和桌面的支持力，水平方向不受摩擦力，故A错误；选取a、b作为整体研究，根据平衡条件，则石块c对b的作用力与整体的重力平衡，则石块c对b的作用力一定竖直向上，故B正确；石块b对a的支持力与其对a的静摩擦力的合力，跟a受到的重力是平衡力，则b对a的支持力和静摩擦力的合力方向竖直向上，支持力的方向不是竖直向上，也不等于a的重力，故C、D错误．2．如图所示，天鹅、大虾和梭鱼一起想把一辆大车在水平面上拖着跑，它们都给自己上了套，天鹅伸着脖子要往云里钻，大虾弓着腰儿使劲往前拉，梭鱼拼命地向水里跳，它们都在尽力地拉，结果大车却一动不动．则下列说法正确的是( )A．大虾和梭鱼对大车的拉力的合力一定比天鹅的拉力大B．它们三者拉力的合力与大车所受的重力一定平衡C．大车对地面的压力可能比重力大D．大车所受摩擦力大于其他所有力对大车的合力【答案】C【解析】车本身有重力的作用，大虾和梭鱼对大车的拉力的合力可以比天鹅的拉力小，A 错误；大车可能受到地面的支持力的作用，所以它们三者拉力的合力与大车所受的重力可以不平衡，B 错误；当梭鱼对大车的拉力在竖直方向上的分力大于天鹅对大车的拉力在竖直方向上的分力时，大车对地面的压力就会比重力大，C 正确；大车静止不动合力为零，所以大车所受摩擦力与其他所有力对大车的合力大小相等，方向相反，D 错误．3．(多选)(2021年德州质检)如图所示，形状和质量完全相同的两个小球a 、b 靠在一起，表面光滑，重力为G ，其中b 的下半部分刚好固定在水平面MN 的下方，上边露出另一半，a 静止在平面上．现过a 的轴心施加一水平作用力F ，可缓慢地将a 拉离平面一直滑到b 的顶端，对该过程分析，则应有( )A ．拉力F 先增大后减小，最大值是GB ．开始时拉力F 最大为3G ，以后逐渐减小为0C ．a 、b 间的压力开始最大为2G ，而后逐渐减小到GD ．a 、b 间的压力由0逐渐增大，最大为G【答案】BC【解析】据力的三角形定则可知，小球a 初状态时，受到的支持力N ＝G sin 30°＝2G ，拉力F ＝N cos 30°＝3G ．当小球a 缓慢滑动时，θ增大，拉力F ＝G cot θ，所以F 减小；当小球a 滑到小球b 的顶端时小球a 还是平衡状态，此时它受到的拉力必定为0，故A 错误，B 正确．小球a 受到的支持力由N ＝Gsin θ可知，θ增大而支持力减小，滑到b 球的顶端时由于小球处于平衡状态，支持力N ＝G ，故a 、b 间的压力开始最大为2G ，而后逐渐减小到G ，故C 正确，D 错误．4．如图，滑块A 置于水平地面上，滑块B 在一水平力作用下紧靠滑块A(A 、B 接触面竖直)，此时A 恰好不滑动，B 刚好不下滑．已知A 与B 间的动摩擦因数为μ1，A 与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则A 与B 的质量之比为( )A ．1μ1μ2 B ．1－μ1μ2μ1μ2C ．1＋μ1μ2μ1μ2D ．2＋μ1μ2μ1μ2【答案】B【解析】B 刚好不下滑，说明B 的重力等于最大静摩擦力，即m B g ＝μ1F ．A 恰好不滑动，视A 、B 为一个整体，水平力等于整体的最大静摩擦力，即F ＝μ2(m A ＋m B )g ．联立两式可解得m A m B ＝1－μ1μ2μ1μ2．故B 正确． 5．(2021届山东名校一模)如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F 的作用，F 平行于斜面向上，若物块质量为6 kg ，斜面倾角为37°，动摩擦因数为0.5，物块在斜面上保持静止，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，则F 的可能值为( )A ．10 NB ．20 NC ．0 ND ．62 N【答案】B【解析】当物体受到的摩擦力沿斜面向上时，由共点力平衡可知mg sin 37°－μmg cos 37°－F ＝0，解得F ＝mg sin 37°－μmg cos 37°＝12 N ．当物体受到的摩擦力沿斜面向下时，由共点力平衡可知mg sin 37°＋μmg cos 37°－F ′＝0，解得F ′＝mg sin 37°＋μmg cos 37°＝60 N ．故施加的外力F 范围为12 N≤F ≤60 N，B 正确．6．如图所示，橡皮筋一端固定，用力F 1和F 2共同作用于橡皮筋的另一端，使之伸长到点O ，这时力F 1和F 2与橡皮筋之间的夹角分别为α、β，现保持橡皮筋的位置不变，力F 2的大小保持不变，而使力F 2逆时针转过某一角度(小于β)则可能需要( )A ．增大F 1的同时，增大α角B ．增大F 1的同时，α角不变C ．增大F 1的同时，减小α角D ．减小F 1的同时，减小α角【答案】A【解析】以O 点为研究对象，F 1和F 2的合力不变，而力F 2的大小保持不变，使力F 2逆时针转过某一角度(小于β)，各力变化如图所示．由图可知，F 1的大小变大，夹角α增大，故A 正确，B 、C 、D 错误．7．(多选)如图所示，一个“房子”形状的铁制音乐盒静止在水平面上，一个塑料壳里面装有一个正方形强磁铁，吸附在“房子”的顶棚斜面上，保持静止状态．已知顶棚斜面与水平面的夹角为θ，塑料壳和磁铁的总质量为m ，塑料壳和顶棚斜面间的动摩擦因数为μ，则以下说法正确的是( )A ．塑料壳对顶棚斜面的压力大小为mg cos θB ．顶棚斜面对塑料壳的摩擦力大小一定为μmg cos θC ．将塑料壳与磁铁看作一个整体，顶棚斜面对它的支持力、吸引力和摩擦力的合力等于mgD ．磁铁的磁性若瞬间消失，塑料壳不一定会往下滑动【答案】CD【解析】将塑料壳和圆柱形磁铁当作整体进行受力分析，它受重力、支持力(垂直斜面向上)、沿斜面向上的摩擦力、顶棚对圆柱形磁铁的吸引力而处于平衡状态，则塑料壳对顶棚斜面的压力大于mg cos θ，A 错误；顶棚斜面对塑料壳的摩擦力大小等于mg sin θ，B 错误；将塑料壳和磁铁看作一个整体，顶棚斜面对它的支持力、吸引力和摩擦力三者的合力大小等于mg ，C 正确；当磁铁的磁性消失时，最大静摩擦力大小发生变化，但合力可能为零，可能保持静止状态，则塑料壳不一定会往下滑动，D 正确．综合提升练习8．(多选)(2021届南昌名校期末)两个中间有孔、质量为M 的小球A 、B 用一轻弹簧相连，套在水平光滑的横杆上．两个小球下面分别连一轻弹簧．两轻弹簧下端系在一质量为m 的小球C 上，如图所示．已知三根轻弹簧的劲度系数都为k ，三根轻弹簧刚好构成一等边三角形．下列说法正确的是( )A ．水平横杆对质量为M 的小球的支持力为Mg ＋mgB ．连接质量为m 的小球的轻弹簧的弹力为mg 3C ．连接质量为m 的小球的轻弹簧的伸长量为33k mg D ．套在水平光滑横杆上的轻弹簧的形变量为36k mg【答案】CD【解析】先将三个小球当作整体，在竖直方向，整体受到两个力作用：竖直向下的重力、竖直向上的支持力，其大小为F N ＝(2M ＋m )g ，则F N 2是水平横杆对质量为M 的小球的支持力，A 错误；以C 为研究对象，受到的弹力为F ，则有2F cos 30°＝mg ，F ＝mg 2cos 30°＝3mg 3，B 错误；连接质量为m 的小球的轻弹簧的伸长量为Δx ＝3mg 3k，C 正确；对M 进行受力分析，在水平方向，设连接M 的弹簧所受的弹力为F ′，有F ′＝F cos 60°，则kx ′＝12F ，得x ′＝3mg 6k，D 正确． 9．(多选)如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同，下列说法正确的有( )A ．三条绳中的张力都相等B ．杆对地面的压力大于自身重力C ．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零D ．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力【答案】BC【解析】由于三条绳子的长度不同，绳子与竖直方向的夹角不同，故绳中的张力也不相等，A 错误；三条绳子对杆的拉力都有竖直向下的分力，分别设为T 1y 、T 2y 、T 3y ，杆的重力设为G ，地面对杆的支持力设为N 支，由平衡条件知，N 支＝T 1y ＋T 2y ＋T 3y ＋G ＞G ，再根据牛顿第三定律，杆对地面的压力N 压＝N 支＞G ，故B 正确；杆受到三条绳子的拉力在水平方向的分力分别为T 1x 、T 2x 、T 3x ，三个力平衡，合力为零，C 正确；绳子对杆的拉力的合力即为拉力在竖直方向分力的合力，方向竖直向下，与重力的方向相同，故与重力不可能是一对平衡力，D 错误．10．(多选)(2021年成都质检)如图所示，两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连并放置在光滑的半球面内．已知细杆长度是球面半径的2倍，当两球处于静止状态时，细杆与水平面的夹角θ＝15°，则( )A ．杆对a 、b 球作用力大小相等且方向沿杆方向B ．小球a 和b 的质量之比为2∶1C ．小球a 和b 的质量之比为3∶2D ．半球面对a 、b 球的弹力之比为3∶1 【答案】AD【解析】对轻杆，受到两个球的弹力是一对平衡力，根据牛顿第三定律可得，杆对a 、b 两球的作用力大小相等，且方向沿杆方向，A 正确；a 、b 两球受力情况如图所示，过O 作竖直线交ab 于c 点，设球面半径为R ，则△Oac 与左侧力的三角形相似，△Obc 与右侧力的三角形相似，由几何关系可得m a g Oc ＝T ac ，m b g Oc ＝T bc ，即m a m b ＝bc ac，由题可知，细杆长度是球面半径的2倍，根据几何关系可得α＝45°，由于△acf ∽△bce ，则bc ac ＝be af ＝R sin 60°R sin 30°＝31，则m a m b ＝bcac ＝31，B 、C 错误；由几何关系可得N a Oa ＝T ac ，N b Ob ＝T bc ，解得N a N b ＝bc ac ＝31，D 正确．11．如图所示，AC 和BC 两轻绳共同悬挂一质量为m 的物体，若保持AC 绳的方向不变，AC 与竖直方向的夹角为60°，改变BC 绳的方向，求：(1)物体达到平衡时，θ角的取值范围．(2)θ在0°～90°的范围内，求BC 绳上拉力的最大值和最小值．【答案】(1)0°≤θ＜120° (2)3mg 32mg【解析】(1)改变BC 绳的方向时，AC 绳的拉力F T A 方向不变，两绳拉力的合力F 与物体的重力平衡，重力大小和方向保持不变，如图所示，经分析可知，θ最小为0°，此时F T A ＝0；且θ必须小于120°，否则两绳的合力不可能竖直向上，所以θ的取值范围是0°≤θ＜120°．(2)θ在0°～90°的范围内，当θ＝90°时，F T B最大，F max＝mg tan 60°＝3mg，当两绳垂直时，即θ＝30°时，F T B最小，F min＝mg sin 60°＝32 mg．。
高三物理一轮复习力的合成与分解(课堂PPT)
质量为 m2 的钩码，平衡后绳的 ac 段正好水平，则重物和钩码的
质量比mm12为
()
图 2-3-6
物理
第3节 力的合成与分解
A． 5
B．2
C．
5 2
D． 2
[审题指导]
(1)钩码的拉力产生了两个效果，即分别沿 ac 绳和 bc 绳方向
产生力的效果，可将拉力按力的效果分解。 (2)ac 绳与钩码拉力垂直，可考虑用正交分解法。 (3)钩码平衡时 bc 绳与竖直方向间的夹角 θ 可表示为 cos θ
物理
要点二 力的分解问题 1．按作用效果分解力的一般思路
第3节 力的合成与分解
2．正交分解法 (1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。 (2)建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在
静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐 标轴上)；在动力学中，习惯以加速度方向和垂直加速度方向为
第3节 力的合成与分解
|F1－F2|≤F 合≤F1＋F2 即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力
反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为
F1＋F2。 (2)三个共点力的合成 ①三个力共线且同向时，其合力最大，为 F1＋F2＋F3。 ②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范
物理
第3节 力的合成与分解
2．跳伞运动员打开伞后经过一段时间，将在空
中保持匀速降落。已知运动员和他身上装备
的总重力为 G1，圆顶形降落伞伞面的重力为
G2,8 条相同的拉线(拉线重量不计)均匀分布
在伞面边缘上，每根拉线和竖直方向都成 图 2-3-11 30°角。那么每根拉线上的张力大小为 ( )
第二章 第3讲 力的合成和分解-2024年高考物理一轮复习
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
2．[计算法求合力](2022·邯郸模拟)在平面内有作用于同一点的四个力，以力的
作用点为坐标原点O，四个力的方向如图所示，其中F1＝6 N，F2＝8 N，F3＝4 N，
F4＝2 N。这四个力的合力方向指向(
两大小一定的分力，夹角增大时，合力减小；
合力大小一定，夹角增大时，两等大分力增大．
3．几种特殊情况的共点力的合成
一、力的合成与分解
1.力的正交分解法
(1)定义：将已知量按相互垂直的两个方向进行分解的方法。(2)建轴原则：一般
选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽
量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向
则前后二次OA绳受到的拉力之比为（C
）
类型2 “动杆”和“定杆”问题
模型结构
模型解读
模型特点
动杆：轻杆用光滑的转轴或铰链连
当杆处于平衡时，杆所受的弹
接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转
力方向一定沿杆
动
定杆：轻杆被固定在接触面上，不 杆所受的弹力方向不一定沿杆
发生转动
，可沿任意方向
【例1】（2023秋·河北邢台·统考期末）如图所示，轻杆AB的左端用铰链与竖直
墙壁连接，轻杆CD的左端固定在竖直墙上，图甲中两轻绳分别挂着质量为m1、
m2的物体，另一端系于B点，图乙中两轻绳分别挂着质量为m3、m4的物体，另一
端系于D点。四个物体均处于静止状态，图中轻绳OB、O′D与竖直方向的夹角均
为θ=300，下列说法一定正确的是（ B ）
【例3】(多选)图甲中轻杆OA的A端固定在竖直墙壁上，另一端O光滑，一端固定在
2025届高考物理一轮复习课件： 第3讲 力的合成与分解
≤F1+F2+F3
3N、4N、9N
①排除最大的力 ②找剩下的力的范围
3N、7N、9N
③与最大的力比较
1.两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20 N，
另一个力是F，它们的合力是50 N。则F的大小可能是( C )
升降梯的力学模型简图，剪叉支架AB和CD支撑轿厢。完成任务后，升降梯
缓慢送该电工下降的过程中( B )
A.该电工处于失重状态
B.轿厢对剪叉支架AB的压力逐渐增大
C.剪叉支架AB对轿厢的支持力大小等于轿
厢的重力
D.液压升降梯对水平地面的压力逐渐减小
图9
5 3 N
三个力合力的大小为：
F
15 ( 5 3 )
2
10 3 N
2
N
2.如图1所示，一个重为G的吊椅用轻绳AO、BO固定，绳AO、BO相互垂直，
α>β，且两绳中的拉力分别为FA、FB，物体受到的重力为G，则( B )
A.FA一定大于G
B.FA一定大于FB
C.FA一定小于FB
D.FA与FB大小之和一定等于G
3.(2023·湖南长沙高三月考)如图2所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相
同的橡皮筋自由长度均为L，在两橡皮筋的末端用一块软羊皮(长度不计)做成
皮兜。若橡皮筋的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发
射弹丸时每根橡皮筋的最大长度为1.5L(弹性限度内)，则发射过程中皮兜对
②不同性质的力也可以合成
③合力与分力，是作用效果上的一种等效替代不能同时出现
列宾《伏尔加河上的纤夫》
高三一轮复习秘籍-第二章第2讲 力的合成与分解
第二章相互作用第2讲力的合成与分解过好双基关————回扣基础知识训练基础题目一、力的合成1．合力与分力(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力．(2)关系：合力与分力是等效替代关系．2．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程．(2)运算法则①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力．②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量．如图乙，F1、F2为分力，F为合力．二、力的分解1．遵循的原则(1)平行四边形定则．(2)三角形定则．2．分解方法(1)效果分解法．如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝G sinθ，G2＝G cosθ.(2)正交分解法．三、矢量和标量1．矢量：既有大小又有方向的物理量，叠加时遵循平行四边形定则，如速度、力等．2．标量：只有大小没有方向的物理量，求和时按代数法则相加，如路程、速率等．研透命题点————细研考纲和真题分析突破命题点1．两个共点力的合成|F 1－F 2|≤F 合≤F 1＋F 2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．2．三个共点力的合成(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F 1＋F 2＋F 3.(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．3．几种特殊情况的共点力的合成类型作图合力的计算互相垂直F ＝F 21＋F 22tan θ＝F 1F 2两力等大，夹角为θF ＝2F 1cos θ2F 与F 1夹角为θ2两力等大，夹角为120°合力与分力等大F ′与F 夹角为60°4.力合成的方法(1)作图法(2)计算法若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得到：F ＝F21＋F22＋2F1F2cosθtanα＝F2sinθF1＋F2cosθ【例1】如图所示，一物块在斜向下的推力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物体受到的地面的支持力F N与拉力F的合力方向是()A．水平向右B．向上偏右C．向下偏左D．竖直向下答案B解析对物体受力分析可知，其受重力、支持力、拉力．若拉力F与水平方向夹角为θ，在竖直方向，F N＝mg＋F sinθ，支持力F N与F在竖直方向的分力之和F y＝mg，方向向上，F在水平方向的分力F x＝F cosθ，故合力F合＝F2y＋F2x＝(mg)2＋(F cosθ)2，方向向上偏右，故B正确．【变式1】(多选)5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好构成一个正方形，F5是其对角线．下列说法正确的是()A．F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反B．这5个共点力能合成大小为2F、相互垂直的两个力C．除F5以外的4个力的合力的大小为2FD．这5个共点力的合力恰好为2F，方向与F1和F3的合力方向相同答案AD解析力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反，可得F1和F5的合力与F3大小相等，方向相反，A正确；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反；又F1、F2、F3、F4恰好构成一个正方形，所以F5为2F，可得除F5以外的4个力的合力的大小为22F，C错误；这5个共点力的合力大小等于2F，方向与F5相反，D正确，B错误．【例2】(多选)我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗，如图所示，质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上，OA比OB长，O为结点．重力加速度大小为g，设OA、OB对O点的拉力分别为F A、F B，轻绳能够承受足够大的拉力，则()A．F A小于F BB．F A、F B的合力大于mgC．调节悬点A的位置，可使F A、F B都大于mgD．换质量更大的灯笼，F B的增加量比F A的增加量大答案ACD解析对结点O受力分析，画出力的矢量图如图所示，由图可知，F A小于F B，F A、F B的合力等于mg，选项A正确，B错误；调节悬点A的位置，当∠AOB大于某一值时，则F A、F B都大于mg，选项C正确；换质量更大的灯笼，则重力mg增大，F B的增加量比F A的增加量大，选项D正确．【变式2】(2020·全国Ⅲ卷)如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连．甲、乙两物体质量相等．系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β.若α＝70°，则β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°答案B解析甲物体是拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则甲、乙绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上，如图所示根据几何关系有180°＝2β＋α，解得β＝55°.1．效果分解法按力的作用效果分解(思路图)2．正交分解法分解方法：物体受到多个力F1、F2、F3、…作用，求合力F时，可把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．x轴上的合力F x＝F x1＋F x2＋F x3＋…y轴上的合力F y＝F y1＋F y2＋F y3＋…合力大小F＝F2x＋F2y.合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝F yF x【例3】如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另的c点有一固一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物．在绳上距a端12定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重为()物和钩码的质量比m1m2A．5B．2C．5D．22答案C解析解法一(力的效果分解法)：钩码的拉力F 等于钩码重力m 2g ，将F 沿ac 和bc 方向分解，两个分力分别为F a 、F b ，如图甲所示，其中F b ＝m 1g ，由几何关系可得cos θ＝F F b ＝m 2g m 1g，又由几何关系得cos θ＝l l 2＋l22，联立解得m 1m 2＝52.解法二(正交分解法)：绳圈受到F a 、F b 、F 三个力作用，如图乙所示，将F b 沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m 1g cos θ＝m 2g ；由几何关系得cos θ＝ll 2＋l 22，联立解得m 1m 2＝52.【变式3】如图所示，力F 1、F 2、F 3、F 4是同一平面内的共点力，其中F 1＝20N ，F 2＝20N，F 3＝202N ，F 4＝203N ，各力之间的夹角如图所示．求这四个共点力的合力的大小和方向．答案202N 方向与F 3的方向一致解析以F2的方向为x轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系．将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得N＝10NF1x＝F1cos60°＝20×12N＝103NF1y＝F1sin60°＝20×32N＝20NF3x＝F3cos45°＝202×22N＝－20NF3y＝－F3sin45°＝－202×22N＝－30NF4x＝－F4sin60°＝－203×32N＝－103NF4y＝－F4cos60°＝－203×12则x轴上各分力的合力为F x＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20Ny轴上各分力的合力为F y＝F1y＋F3y＋F4y＝－20N故四个共点力的合力为F＝F2x＋F2y＝202N，合力的方向与F3的方向一致．【变式4】(2021·广东卷)唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，如图所示，忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是()A．耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大B．耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大C．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力D．直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力答案B解析以曲辕犁为例，把耕索的拉力F分解到水平和竖直两个方向：F x＝F sin θ，F y＝F cosθ.因α<β，故F曲x<F直x，F曲y>F直y，选项A错误，B正确；耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力与反作用力，由牛顿第三定律知两力大小相等，则选项C、D错误．故选B项．◆应用1斧头劈木柴类问题【例4】刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图是斧头劈木柴的示意图．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为()A ．d lF B ．l d F C ．l 2d F D ．d 2l F 答案B 解析斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F 1、F 2且F 1＝F 2，利用几何三角形与力的三角形相似有d F ＝l F 1，得推压木柴的力F 1＝F 2＝l dF ，所以B 正确，A 、C 、D 错误．◆应用2拖把拖地问题【例5】拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)．设拖把头的质量为m ，拖杆质量可忽略．拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g .某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ.(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小．(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ.已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力有多大，都不可能使拖把从静止开始运动．求这一临界角的正切tanθ0.答案(1)μsinθ－μcosθmg(2)λ解析(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把．将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，根据平衡条件有F cosθ＋mg＝F N①F sinθ＝F f②式中F N和F f分别为地板对拖把的支持力和摩擦力．所以F f＝μF N③联立①②③式得F＝μsinθ－μcosθmg④(2)若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有F sin θ≤λF N⑤这时，①式仍成立．联立①⑤式得sinθ－λcosθ≤λmgF⑥λmg F 大于零，且当F无限大时λmgF为零，有sinθ－λcosθ≤0⑦使⑦式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把．故临界角的正切为tanθ0＝λ.【变式5】如图所示，质量为m的物块静止于斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，逐渐增大斜面的倾角θ，直到θ等于某特定值φ时，物块达到“欲动未动”的临界状态，此时的摩擦力为最大静摩擦力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求θ角满足什么条件时物块总与斜面保持相对静止．答案tanθ≤μ解析θ等于某特定值φ时，物块受力平衡，则有F N－G cosφ＝0，F fm－G sin φ＝0.又F fm＝μF N，解得μ＝tanφ.显然，当θ≤φ即tanθ≤μ时，物块始终保持静止．。
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法二：力的合成法 结点 O 受到三个力作用 FA、FB、FC，如图乙所示，其中 FA、FB 的合力与 FC 等大反向，即 F 合＝FC＝G，则： FA FC ＝tanθ，F ＝cosθ FC B G 解得：FA＝Gtanθ，FB＝ ，故 A、C 正确。 cosθ
[答案] AC
例2、两个共点力的合力为F，如果它们之间的夹角θ 固定不变，使其中的一个力增大，则 （ B ） C
F1
F 注意：三角形的
三条边对应着三 个力的关系。
F2
三、力的合成 1.一条直线上的力的合成
F1 一个力作用 F合=F1 ，方向与F1相同 二力同向 F2 F1
F合=F1 + F2，方向与F1 和F2相同 二力反向 F2 F1
F合=F1 - F2，方向与F1 、F2大者相同
2.特殊角度的力的合成
F1 F2
2
·
F
O
按题目的要求分解 (2)已知合力和一个分力的大小与方向，力F的分解也 是 唯一的。 (3)已知一个分力F1的方向和另一个分
力F2的大小，对力F进行分解，则有
三种可能(F1与F的夹角为θ)。如图 2－2－7所示： ①F2<Fsinθ时无解。 ②F2＝Fsinθ或F2≥F时有一组解。 图2－2－7
使物体沿斜面下滑，或产生下滑的趋势
重力产生的效果
使物体紧压斜面，
G1 tan G G cos G2
G1
θ
θ
G2
G
使球紧压挡板，产生对挡板的挤压 重力产生的效果 使球紧压斜面,产生对斜面的挤压
能解决什么问题？
★为什么刀刃的夹角 越小越锋利？
斧 子
F1`
F
F2` F2 F
F1
F 2 sin
(
)
[思路点拨]
当重物G处于平衡状态时，结
点O也处于平衡状态，分析O点受力，利用 力的合成或分解找出各力间的关系。
[解析]
法一：力的作用效果分解法
绳子 OC 的拉力 FC 等于重物重力 G。将 FC 沿 AO 和 BO 方 向分解，两个分力分别为 FA、FB，如 图甲所示。可得： FA FC ＝tanθ，F ＝cosθ FC B G FA＝Gtanθ，FB＝ ，故 A、C 正确。 cosθ
∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋… （沿y轴负方向记为负值）；
⑤正交分解的实质是求合力．
合力大小：F＝ ，
合力的方向与x轴夹角：θ＝arctan
特别地，若物体处于平衡状态，合外力为零，
则有： ∑Fx=0 ； ∑Fy=0 也可表述为：沿x轴正方向的力等于沿x轴负方向的力； 沿y轴正方向的力等于沿y轴负方向的力；
解：小球受到三个力作用处于平衡， 由平衡条件
T
30°
θ
F与T的合力跟G等值反向
F
要使F最小，F应该绳垂直，如图示，
∴ θ= 60°
G
[拓展训练]
1.如图2－2－5所示是剪式千斤顶，当
摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤
顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。 当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的 图2－2－5
压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，
力的合成与分解
本节内容学习要注重下面几点要点
体现等效思想；
重视实验探究； 加强动手操作；
注意实际应用。
本节内容提要
1.合力与分力、合成与分解的概念。 2.力的运算法则 3.合力的范围及大小计算 4.力的分解方法 5.力的正交分解法
一、力的合成与分解的概念
1、力的等效替代：一个力产生的效果如果能跟几个力 共同作用在物体上时产生的效果相同，这一个力就叫 做那几个力的合力，这几个力叫做这一个力的分力。 2、求几个力的合力的过程或方法，叫做力的合成
答案：D
针对训练 1：如图所示，竖直绝缘墙壁上的 Q 处 有一固定的小球 A， Q 的正上方的 P 点用丝线悬挂 在 另一小球 B，A、B 两小球因为带电而相互排斥，致 使悬线与竖直方向成 θ 角，由于缓慢漏电使 A、B 两小球的带电荷量逐渐减小.在电荷漏完之前悬线 对悬点 P 的拉力大小（ ）
A.保持不变 B.先变大后变小 C.逐渐减小 D.逐渐增大
C. F tan θ D. F cotθ O F′
解: 合力沿OO′方向,另一个力F ′的最小值应该跟 OO′垂直,如图示, 选B.
例4、用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力拉小球使 轻绳偏离竖直方向 30°，小球处于静止状态，力F与 竖直方向成角θ，如图示，若要使拉力F取最小值，则 角θ应是 （ ） B A. 30° B. 60° C. 90° D. 0°
按力的实际效果分解
1.如图，质量为m物块在推力F的作用下水平面保持 静止状态，求其受到的摩擦力和对地面的压力。
θ
F θ F2
F1
F1 Fcos
F2 Fsin 可得：f F1 Fcos ; N Fsin mg
F
G1 θ G2 G
G1 Gsin G2 Gcos
C.2N 7N 10N
B.5N 2N 2N
D.9N 9N 9N
3.有两个互成角度的共点力，夹角为θ，它们的合力F
随θ 变化的关系如图2－2－20所示，那么这两个力的大
小分别是 ( ) C B．2 N和5 N
A．1 N和6 N
C．3 N和4 N
D．3 N和3.5 N
四、力 的 分 解
1．概念：求一个力的 分力 的过程．力的分解与力的合 成互为 逆运算 ．
5．如图2－2－15所示，水平地面上一重
60 N的物体，在与水平面成30°角斜向 上的大小为20 N的拉力F作 用下做匀速
运动，求地面对物体的支持力和地面对物体的摩擦
力大小．
解析：物体受力如图所示．
Fcos30°－Ff＝0
Fsin30°＋FN－mg＝0 解①②得：FN＝50 N 答案：支持力50 N Ff＝10 摩擦力10
B mg
[典题例析]
[例1] 如图2－2－4所示，用轻绳AO和OB 将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙 壁之间处于静止状态，AO绳水平，OB绳与 竖直方向的夹角为θ。则AO绳的拉力FA、OB 图2－2－4
绳的拉力FB的大小与G之间的关系为
A．FA＝Gtanθ G C．FB＝ cosθ G B．FA＝ tanθ D．FB＝Gcosθ
则下列判断正确的是 (
)
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压 力将增大 D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压 力将减小
解析：受力分析如图所示。 FN1＝1.0×105 N，β＝60° ， F＝1.0×105 N，A、B 项错误；若继续摇 FN1 动手把，β 角减小，F＝ ，F 减小，D 2cosβ 项正确。
平行四边形定则 三角形法则 2．矢量运算法则： __________________或____________
一条对角线，可以作出无
3．分解的方法 (1)按力产生的效果进行分解． (2)按题目给出的要求分解． (3)力的正交分解法．
数个不同的平行四边形.
F
如果没有条件限制,一个
力可以分解为无数对分力。 或者说有无数个解。
①
② N N
高考题 有一个直角支架 AOB，AO水平放置，表面 粗糙，OB竖直向下，表面光滑，AO上套有小环P， OB上套有小环 Q ，两环质量均为m，两环间由一根 质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平 衡（如图），现将P 环向左移一小段距离，两环再次 达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状 态比较，AO 杆对P 环的支持力N 和细绳上的拉力T 的变化情况是 （ B ） A．N不变，T变大 B．N不变，T变小 N C．N变大，T变大 D．N变大，T变小 P A O 【解】画出P、Q 的受力图如图示： f α 对 P 有： mg＋Tsinα=N T T mg 对Q 有： Tsinα=mg N1 Q 所以 N=2mg， T=mg/sinα P 环向左移，α角增大，T减小
3、求一个力的分力的过程或方法，叫做力的分解。
二、矢量的运算法则：平行四边形定则
用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平 行四边形，那么两邻边所夹的对角线即表示 合力 F 的大小和方向。
F1
F合
F2
三 角 形 法 则
两个分力首尾相接，从第一个分力的始端指 向第二个分力的末端的有向线段就表示合力 的大小和方向.
类型二：力的合成与分解中的临界问题 【例 2】 如图所示，用一个轻质三角支架悬挂 重物，已知 AB 杆所能承受的最大压力为 2 000 N.AC 绳所能承受的最大拉力为 1 000 N，α =30°.为不使 支架断裂，求悬挂的重物应满足的条件？
③Fsinθ<F2<F时有两组解。
力的正交分解法
(1)定义：把各个力沿相互垂直 的方向分解的方法． (2)运用正交分解法解题的步骤 ①正确地进行受力分析。
②建立合适的直角坐标系.
③把不在坐标轴上的力分解到坐标轴上，并表示出该力 的分力。 ④列出x轴的合力和y轴的合力表达式 ∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋… （沿x轴负方向记为负值）；
①两个共点力间相互垂直：
F1 F合
F合
2 F 12 F 2
②两个共点力大小相等，且互成 120度夹角：
F2
F合
F合 F1 F2
F1
F2
③两力夹角为任意角
F2
F合
F1
F合 F1 F2 2F1F2 cos
2 2
因此，合力大小范围为：
︱F1 - F2︱ ≤ F ≤ F1 + F2
A.合力F一定增大