第二讲 数 列 求 和

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第二讲 数 列 求 和
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．
题型1 已知数列前几项求通项公式
例1 （2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第
n 堆的乒乓球总数，则(3)_0_1f =；1(()___(6
_1)2)n n n f n ++= （答案用n 表示）.
题型2 由a n 与S n 的关系求通项公式
例2 已知数列{}n a 的前n 项和21
()2n S n n =+，则n a = ．
变式1 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = ．
变式2（04年浙江）设数列{a n }的前项的和S n =3
1
（a n -1） (n *∈N )．
(Ⅰ)求a 1；a 2；
(Ⅱ)求证数列{a n }为等比数列．
1111(2),,,.12233441
1)()5(1n
n a n n --⨯⨯⨯⨯=-+
题型3 已知数列递推公式求通项公式
例3 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = ． 变式1 已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a =． 变式2 已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = ． 变式3：已知数列{}n a 满足11=a ，
11
11
=-
+n
n a a ，求n a ． 变式2：数列{}n a 中，1111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式
变式4：数列{}n a 中，1121,2
n
n n a a a a +==
+，求{}n a 的通项公式 ． 变式1：已知数列{}n a 的首项11a =，且11
(2)n n n a a n n
--=
≥，则n a =
数列求和的常用方法有公式法求和、分组求和、错位相减、裂项求和等，求和时，应对通项的特征认真分析，辨别通项的特征。

(1) 公式法 例1（2010·山东高考理科·Ｔ18）已知等差数列{}n a 满足：37a =，
5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．
（1）求n a 及n S ； （2）令n b = 2
11
n a -(n ∈N *
)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
变式： 等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．
(2）裂项法 常
用
的裂项
1
1
1)1(1+-
=+n n n n ，
)
2
1
1(21)2(1+-=+n n n n ；
=])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
例2（09全国II 理19）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1
1a =，
142n n S a +=+。

○
1设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列； ○2求数列{}n a 的通项公式。

变式： 已知点（1，3
1
）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数
列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n
S －1-n S =n S +1+n S （2n ≥）. （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列{}1
1
+n n b b 前n 项和为n T
（3）错位相减法
例2（辽宁理17） 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I ）求数列{an}的通项公式；
（II ）求数列⎭⎬
⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．
变式1（全国新课标理17）
已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且
2
12326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1
{}
n b 的前n 项和．
变式2 2010 ·海南宁夏高考·理科T17）设数列{}n a 满足12a =， （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：
（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .
（4）分组求和 例3：（1）求1+1,41+a ,712+a ,…,231
1-+-n a
n ,…的前n 项和
变式： 已知数列{}n a 的通项公式为10(21)n n a n =+-，求数列{}n a 的
前n 项和n S 。