湖北省四地七校考试联盟高二数学(文)下学期期中试题及答案
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
的极大值点为 ，选项B判断错误；
函数 在（a，b）上的极值点为 ， 共2个.选项D判断正确；故选：D.
3.某铁球在 时，半径为 ．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为 时铁球的半径为 ，其中a为常数，则在 时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
10.已知数列 中， ， ， ，则下列说法正确的是（）．
A. B. 是等比数列
C. D.
12.已知函数 （ ， 且 ），则（）
A.当 时， 恒成立
B.若 有且仅有一个零点，则
C.当 时， 有两个零点
D.存 ，使得 有三个极值点
〖答案〗AC
〖解析〗对于A， 即 ，两边取对数， ，
令 ， ，
单调递增； 单调递减；
的最大值为 ， ，A正确；
对于B，若 有且仅有一个零点，则 ，两边取对数，有： ，
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年
高二下学期期中联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离 ,所以直线m与圆C相离，不合题意.
湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二数学下学期期中试题文(2021年整
湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文1 / 91湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 / 92湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项)1。
复数z 满足12i z i ⋅=+，则z =（ ）A.2i -- B 。
2i - C.12i - D.12i + 2.下列命题为真命题的是（ ）A. 若p q ∨为真命题，则 p q ∧为真命题B 。
2"450"x x --≠是"5"x ≠的充分不必要条件C. 命题“若 1x <，则2230x x -->”的否命题为：“若 1x <，则2230x x --≤”D 。
已知命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<,则¬:p x R ∀∈，使得210x x +->．3。
下列说法中正确的是（ ）A 。
先把高二年级的2000名学生编号:1到2000,再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为m +50,m +100，m +150…的学生，这种抽样方法是分层抽样法B. 线性回归直线ˆˆˆybx a =+不一定过样本中心(),x y C 。
湖北省高二下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（ ）22y x =A ．B ．C ．D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 22y x =212x y =y 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，解得，所以焦点坐标为.122p =14p =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选:D.2．已知函数f （x ）在处的导数为12，则（ ）0x x =000()()lim 3x f x x f x x∆→+∆-=∆A ．-4 B ．4C ．-36D ．36【答案】B【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.【详解】根据题意，函数在处的导数， ()f x 0x x =()12f x '=则，()()()()()00000Δ0Δ0ΔΔ11limlim 43Δ3Δ3x x f x x f x f x x f x f x x x →→+-+-='==故选：B3．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（ ） A ．24 B ．48 C ．18 D ．36【答案】C【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解.【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则，13C 3=23A 326=⨯=根据分步计数原理可得种， 1863=⨯故选：C.4．已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集R ()f x ()f x '()f x ()0xf x '>为（ ）A ．B ． ()(),22,∞∞--⋃+()()212-∞-,,UC ．D ．()()1,01,-⋃+∞()()1,02,-⋃+∞【答案】C【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． ()0f x '>()0f x '<【详解】由图象知的解集为，的解集为，()0f x '>(,1)-∞-(1,)⋃+∞()0f x '<(1,1)-或，()0xf x '>0()0x f x ⇔'>⎧⎨>⎩()0x f x '<⎧⎨<⎩所以或，解集即为． 1x >10x -<<()()1,01,-⋃+∞故选：C5．在数列中，已知，则的前10项的和为（ ）{}n a 132nn n a a ++=⋅{}n a A ．1023 B ．1024 C ．2046 D ．2047【答案】C【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n 项和公式求解即可.132nn n a a ++=⋅{}n a 【详解】132nn n a a ++=⋅ ，，，，， 2132a a ∴+=⨯34332a a +=⨯56532a a +=⨯78732a a +=⨯910932a a +=⨯则的前10项的和为.{}n a ()935792243222223204614-⨯⨯++++=⨯=-故选：C.6．已知函数，下列说法中错误的是（ ）()33f x x x =-A ．函数在原点处的切线方程是 ()f x ()0,030x y +=B ．是函数的极大值点1-()f x C ．函数在上有个极值点 ()cos y x f x =+R 2D ．函数在上有个零点 ()cos y x f x =-R 2【答案】D【分析】通过导数的几何意义判断选项A ，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B ，进()f x 一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D ，构造函数，通()y f x =cos y x =()cos y x f x =+过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.()cos y x f x =+【详解】∵，∴定义域为，()33f x x x =-()f x R ∴，()233f x x ¢=-对于A ，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率， ()f x ()0,0()03k f '==-∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A 说法正确；()f x ()0,0()030y x -=--30x y +=对于B ，令，解得或，()2330f x x '=-==1x -1x =当时，，在区间和单调递增； ()(),11,x ∈-∞-⋃+∞()0f x ¢>()f x (),1-∞-()1,+∞当时，，在区间单调递减， ()1,1x ∈-()0f x '<()f x ()1,1-∴在时取得极大值，在时取得极小值， ()f x =1x -1x =∴是函数的极大值点，故选项B 说法正确；1-()f x 对于C ，∵，∴，()cos y x f x =+()2sin sin 33y x f x x x ''=-+=-+-令，则，()2sin 33g x y x x '==-+-()cos 6g x x x '=-+令，则当时，， ()()cos 6h x g x x x '==-+x ∈R ()sin 60h x x '=+>∴在上单调递增，()()cos 6h x g x x x '==-+R且，， ()()0010h g '==-<πππ066h g ⎛⎫⎛⎫'==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，使，0π0,6x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()()000h x g x '==当时，，在区间单调递减， ()0,x x ∈-∞()0g x '<()y g x '=()0,x -∞当时，，在区间单调递增，()0,x x ∈+∞()0g x '>()y g x '=()0,x +∞∴在上的最小值为， ()y g x '=R ()()22min00000sin 33sin 31y g x x x x x '==-+-=-+-∵，∴，，∴， 0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0sin 0x >2010x -<()()2min000sin 310y g x x x '==-+-<又∵，()()()2ππ3π10g g -==->∴，使，，使，()10π,x x ∃∈-()110x x y g x ==='()20,πx x ∃∈()220x x y g x ==='∴当时，，在区间和上单调递()()12,,x x x ∈-∞⋃+∞()0y g x '=>()cos y x f x =+()1,x -∞()2,x +∞增，当时，，在区间上单调递减， ()12,x x x ∈()0y g x '=<()cos y x f x =+()12,x x ∴函数的极大值点为，极小值点为， ()cos y x f x =+1x 2x ∴函数在上有个极值点，故选项C 说法正确；()cos y x f x =+R 2对于D ，由选项B 的判断知，的极大值为，极小值为， ()f x ()12f -=()12f =-又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：()(00f f f===cos y x =()y f x=如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点， cos y x =()y f x =3即方程有三个实数解，()cos x f x =即函数有个零点，故选项D 说法错误. ()cos y x f x =-3综上所述，说法错误的选项为D. 故选：D.7．已知，为椭圆与双曲线的公共焦1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小M 12π3F MF ∠=1e 2e 1C 2C 12e e 值为（ ） ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得，在中，由余弦定理得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩12MF F △，结合基本不等式得，即可解决.2221212122cos3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅222121243c a a a =+≥【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>()222222222:10,0x y C a b a b -=>>公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，M 123F MF π∠=1e 2e 1C 2C 假设，12MF MF >所以由椭圆，双曲线定义得，解得，12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩所以在中，，由余弦定理得 12MF F △122F F c =，即 222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅， ()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-化简得， 2221243=+c a a 因为，222121243c a a a =+≥所以，即，212c a a ≥=12≥e e 当且仅当时，取等号，12a =故选：A8．已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（ ） ()f x ()f x '()()2e xf x f x x '-=()e13f =A ．B ．()()e 01f f <()()e 12f f <C ．没有极小值 D ．当有两个根时， ()f x ()0f x b -=390e b -<<【答案】C【分析】根据条件判断函数的单调性，即可判断AB ；求函数，利用导数求函数()e xf x ()31e 3xf x x =的极值，判断C ；将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断的取值范围.b 【详解】因为，所以函数单调递增， ()()()20e e x xf x f x f x x ''-⎡⎤==≥⎢⎥⎣⎦()e x f x ，即，故A 正确； ()()011e f f <()()e 01f f <，即，故B 正确； ()()212e e f f <()()e 12f f <设，()31e 3x f x x c =+即，，得，()31e 3x f x x c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1e1e=33f c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0c =所以，，得，()31e 3x f x x =()23211e e e 1033x x x f x x x x x ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭3x =-在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，()3∞--，()0f x '<()f x ()3∞-+，()0f x ¢>()f x 所以当函数取得极小值，故C 错误；3x =-有2个根，即函数的图象与有2个交点，由以上可知当函数()31e 3xf x x b ==()y f x =y b =3x =-取得极小值，， ()393e f -=-并且时，，并且时，，时，，并且时，0x >()0f x >x →+∞y →+∞0x <()0f x <x →-∞0y →，所以当直线与的图象有2个交点时，，故D 正确. y b =()y f x =390e b -<<故选：C.二、多选题9．记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a n 132n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ．数列是递减数列 D ．当时，取得最大值{}n a 6n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；由等差数列的单调性可判断C ；根据的表达式结合二次函n S 数的性质可判断BD.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1132(1)(132)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ，， 21()(11132)1222n n n a a n n S n n ++-===-+*N n ∈∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B 错误； 6n ≤n S {}n S 由得，所以数列是递减数列，故C 正确；132n a n =-2d =-{}n a ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2212(6)36n S n n n =-+=--+*N n ∈6n =n S 故选：ACD.10．现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ） A ．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法54B ．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法2254C A ⋅C ．将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 4541C C ⋅D ．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 2454C A ⋅【答案】ACD【分析】对于A ，利用分步乘法计数原理计算可判断A 正确；对于B ，先将5个球分为2组，再全排，计算可判断B 不正确；对于C ，利用分步乘法计数原理计算可判断C 正确；对于D ，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D 正确；【详解】对于A ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A 正确；5444444⨯⨯⨯⨯=对于B ，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有24C 种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为15C 2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故25C 22A ()21224552C C C A 180+=B 不正确；对于C ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C 45C 14C 4541C C ⋅正确；对于D ，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有25C 44A 2454C A ⋅240=种放法，故D 正确； 故选：ACD.11．已知函数，下列说法正确的有（ ） ()ln f x x x =A ．曲线在处的切线方程为 ()y f x =1x =1y x =-B ．的单调递减区间为()f x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．的极大值为 ()f x 1e-D ．方程有两个不同的解 ()1f x =【答案】AB【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案. 【详解】的定义域为，. ()f x ()0,∞+()ln 1f x x '=+A 选项，，()()10,11f f '==所以曲线在处的切线方程为，A 选项正确. ()y f x =1x =1y x =-B 选项，令解得，()ln 10f x x '=+=1ex =所以在区间，单调递减，B 选项正确.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭()()0,f x f x '<C 选项，在区间，单调递增，()f x ()1,,0e f x ⎛⎫'+∞> ⎪⎝⎭()f x 所以有极小值，无极大值，C 选项错误. ()f x D 选项，的极小值为，()f x 1111ln e e ee f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭当时，；当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >方程有一个解，D 选项错误. ()1f x =故选：AB12．阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C 在抛物线AB ABC 上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线AB 4332y x p =-+与抛物线交于A ，B 两点，且A 为第一象限的点，E 在A 处的切线为l ，线段2:2(0)E y px p =>AB 的中点为D ，直线轴所在的直线交E 于点C ，下列说法正确的是（ ） //DC x A ．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6 B ．切线l 的方程为 220x y p -+=C ．若，则弦对应的抛物线弓形面积大于 ()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈AB ()121423n n A A A A n -++++≥ D ．若分别取的中点，，过，且垂直y 轴的直线分别交E 于，，则AC BC ，1V 2V 1V 2V 1C 2C 1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=【答案】ABD【分析】A 选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B 选项联立直线抛物线求出A 点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C 选项令，进行判断； 2n =D 选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A 选项：内接三角形的面积，正确； 3864⨯=B 选项：，解得，又A 为第一象限的点，， 2232y px y x p ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩12129,223p p x x y p y p ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，故切线方程为，即，正确； y y '=21px y ='=2py p x -=-220x y p -+=C 选项：由，得，令，，弓形面积为()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈124A A =2n =24ABC S A ∆⋅=， 222214164433334ABC S A A A A A ∆==++=所以不等式不成立，错误；D 选项：由知，轴，，又的中点9,,,322p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5,22p D p ⎛⎫- ⎪⎝⎭//DC x ,2p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭AC BC ，1V ，，易求，， 2V ()()12125,0,,2,0,0,2,222p p V V p C C p p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111222ACC p S C V p =⨯⨯=A ，，因此成立，正确. 22221222BCC p S C V p =⨯⨯=A 21442ABC S CD p p =⨯⨯=A 1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A 选项直接利用定义判断，B 选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C 选项通过特殊值进行排除即可， D 选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.三、填空题13．已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.1y kx =-224x y -=k【答案】 ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.()221250kxkx -+-=210k -=210k -≠【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：, 2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩()221250k x kx -+-=当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去； 210k -=1k =±当时，<0，即，无公共点. 210k -≠222420(1)2016k k k ∆=+-=->k k <综上所述：. >k k <故答案为： ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭14．七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.【答案】72【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下的部分即可. 【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色. A 又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.,,B C D ,,,A B C D①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况； E C ,F G ,B D ,D B ②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.E BF DG C又板块颜色可排列，故共种.,,,A B C D ()4421A 72+⨯=故答案为：7215．已知函数，函数，若函数恰有三个()()1e ,0ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()()()222g x f x a f x a =-++()g x 零点，则的取值范围是______. a 【答案】211,00,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零()f x ()g x 点为方程和方程的解，结合函数的图象即可得出答案. ()2f x =()f x a =()f x 【详解】当时，，0x ≤()()1e xf x x =+所以，()()()e 1e 2e x x xf x x x '=++=+当时，，函数在上单调递减， <2x -()0f x '<()f x (),2-∞-当时，，函数在上单调递增，20x -<≤()0f x ¢>()f x (]2,0-且，，，()01f =()22e f --=-()10f -=当时，，当时，，1x <-()0f x <10-<≤x ()0f x >当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长， x →-∞1y x =+e x y -=从而，，当时，， ()10e xx f x -+=→()0f x '→0x >()ln x f x x =所以， ()21ln xf x x -'=当时，，函数在上单调递增， 0e x <<()0f x ¢>()f x ()0,e 当时，，函数在上单调递减，e x <<+∞()0f x '<()f x ()e,+∞且，，()1e ef =()10f =当时，，当时，，1x >()0f x >01x <<()0f x <当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长， x →+∞ln y x =y x =从而，， ()ln 0xf x x=→()0f x '→当，且时，， 0x >0x →()ln xf x x=→+∞根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：()f x函数的零点个数与方程的解的个数一()()()()222g x f x a f x a =-++()()()2220f x a f x a -++=致，方程，可化为，()()()2220f x a f x a -++=()()()()20f x f x a --=所以或， ()f x a =()2f x =由图象可得没有解，()2f x =所以方程的解的个数与方程解的个数相等，()()()2220f x a f x a -++=()f x a =而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， ()f x a =()y f x =y a =由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.211,00,e e a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =y a =故答案为：.211,00,e e a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别()2222:10x y C a b a b +=>>为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接()1,0F c -()()2,00F c c >P C M 12PF F △并延长交于点，则______.PM 12F F N PM PNMN+=/22【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，1MF 2MF P x P d M x M d 则 1212MF F M P PF F S MN d PN d S ==△△设△内切圆的半径为，则， 12PF F r 121211222MF F S F F r c r cr ==⋅⋅=△121212PF F MF F MPF MPF S S S S =++△△△△ 1212111222F F r PF r PF r =++ 121211()22F F r r PF PF =++ 112222c r r a =⋅⋅+⋅()c a r =+∴ 1212()MF F M P PF F S MN d cr cPN d S c a r c a ====++△△不妨设，则， MN cm =()PN c a m =+(0)m >∴，PM PN MN am =-=(0)m >∴， ()221112PM PN am c a m a c MN cm ca+++==+=+==.2+【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.四、解答题17．某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课 (1)如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？(2)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种 360(2)种 504【分析】（1）根据数学必须比语文先上，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解. （2）根据九科中六科的顺序一定，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.【详解】（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种. 6622A 654321360A 2⨯⨯⨯⨯⨯==（2）若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.9966A 987504A =⨯⨯=18．已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解{}n a n n S 答下列问题.(1)求数列的通项公式； {}n a (2)设，记的前项和为，若对任意正整数，都有()2212231*log log n n n b n N a a -+=∈⋅{}n b n n T n 恒成立，求实数的取值范围.223n T λλ<+λ条件①，且；条件②为等比数列，且满足.212a a =+12n n a a S =+{}n a ()12N *n n S k n +=+∈注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)条件选择见解析，2n n a =(2)(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）选①：由与的关系求；选②：求得后得到公比，写出通项公式即n S n a n a 23a a ，q 可.（2）由裂项求和法求得，并求得的取值范围，由不等式恒成立求的取值范围. n T n T λ【详解】（1）选①：且，则， 212a a =+12n n a a S =+1112n n a a S ++=+两式相减，得， 11122n n n n n a a S S a +++-=-=()12,1n n a a n +=≥所以为公比的等比数列，{}n a 2q =又，，解得，所以；212a a =+1122a a =+12a =2n n a =选②：因为为等比数列，且满足，{}n a 12n n S k +=+所以，， ()()221844a S S k k =-=+-+=()()3321688a S S k k =-=+-+=所以，所以. 322a q a ==222n n n a a q -==（2）因为，所以，2n n a =()()22122311111log log 212342123n n n b a a n n n n -+⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭111111111111145375971123212123n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111111432123342123n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭显然数列是关于的增函数，∵，∴， {}n T n *n ∈N 1102123n n +>++∴111113421233n T n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭由恒成立得，，解得或223n T λλ<+22133λλ+≥1λ≤-13λ≥故的取值范围为.λ(]1,1,3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭19．已知是函数的极值点，则：1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-(1)求实数的值．a (2)讨论方程的解的个数 ()()R f x m m =∈【答案】(1) 3a =(2)答案见解析【分析】（1）求导，由题意可得，即可得解，要注意检验；()10f '=（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此作出函数的大致图象，结合函数图象即可得()f x 解.【详解】（1）,()()()22213f x x a x a a '=++-+-因为是函数的极值点， 1x =()()()3221133x a x f a x a x =++-+-所以，即，()10f '=()()212130a a a ++-+-=解得或，3a =2-当时，，3a =()()()28991f x x x x x '=+-=+-令，则或，令，则， ()0f x ¢>1x >9x <-()0f x '<91x -<<所以函数在上递增，在上递增， ()f x ()()1,,,9+∞-∞-()9,1-所以的极小值点为，极大值点为，符合题意， ()f x 19-当时，，2a =-()()222110f x x x x '=-+=-≥所以在上递增，所以无极值点， ()f x R ()f x 综上所述； 3a =（2）由（1）可得， ()321493x f x x x =+-函数在上递增，在上递增， ()f x ()()1,,,9+∞-∞-()9,1-则， ()()()()149162,13f x f f x f =-===-极大值极小值又当时，，当时，， x →-∞()f x →-∞x →+∞()f x →+∞作出函数的大致图象，如图所示， ()f x 当或时，方程有个解， 162m >143m <-()f x m =1当或时，方程有个解， 162m =143m =-()f x m =2当时，方程有个解. 141623m -<<()f x m =320．某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开n a 园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200()N n n +∈24520,(116)2250,(1724)nn n n a n n -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍. (1)取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？ n (2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？【答案】(1) ()618N n n +≤≤∈(2)1327公斤，不能完成销售计划【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等54n a ⨯⨯2005⨯式求解即可；（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列116n ≤≤{520}n +1724n ≤≤的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否24250}{2n n --+超过6500公斤.【详解】（1）由条件，当时，，解得 116n ≤≤()520542005n +⨯⨯≥⨯616.n ≤≤当时，，解得，1724n ≤≤()242250542005nn --+⨯⨯≥⨯1718n ≤≤所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.()618n n N +≤≤∈（2）不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，116n ≤≤{}n a 16116,25,100S a a ==.()116161610002a a S +==当时，记数列这些项的和为，1724n ≤≤{}n a 8T ()()()7608221750221850222450T =-⨯++-⨯++⋯⋯-⨯+()()760822221718.24508T =++⋯⋯+-⨯++⋯⋯++⨯()8712128172424001212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⨯+-255328400=-+327=，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.1681327S T +=批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销200244800⨯=132748006127+=售计划.21．以椭圆的中心O“伴随”．已2222:10y x C ab a b +=（＞＞）．12⎛ ⎝（1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；（2）过点作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记为坐标原点）的面积为()0,P m (AOB O ∆，将表示为m 的函数，并求的最大值．AOB S ∆AOB S ∆AOB S ∆【答案】（1）,；（2），的最大值为1．2214y x +=221x y +=AOB S ∆=AOB S ∆【分析】（1）由椭圆C 的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点,,a b c 2a b =，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程； 12⎛ ⎝（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y 得到x 的二次方程，运用韦达定理和弦长l y kx m =+公式，即可得到AB 的长，由l 与圆相切，得到的关系式，求出 的面积，运221x y +=,k m ABC ∆用基本不等式，即可得到最大值．【详解】（1）椭圆2222:10y x C a b a b +=（＞＞）c a =c 又由，可得，222c a b =-2a b =设椭圆C 的方程为，222214y x b b+=因为椭圆C 过点，代入可得，12⎛ ⎝2231144b b +=解得，所以椭圆C 的标准方程为， 1,2b a ==2214y x +=，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆， 1=所以椭圆C 的“伴随”方程为． 221x y +=（2）由题意知，，1m ≥易知切线的斜率存在，设切线的方程为， l l y kx m =+由得， 2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224240k x k mx m +++-=设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，．12224km x x k +=-+212244m x x k -=+又由l 与圆x 2+y2=1，k 2=m 2-1．1==则， 12AOB S AB ==A可得（当且仅当时取等号），1AOB SA m =所以当时，S △AOB 的最大值为1．m =【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．22．已知函数． ()ln e 1xxf x x=--(1)求曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求()()a g x f x x=-12,x x 12x x <1212e 2e x xx x m +>实数的取值范围． m 【答案】(1) ()e 10x y --=(2) (],3-∞【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有()e ln 0xx x x a -+-=12,x x e x t x =ln 0t t a --=两个正根，换元令，整理分析可得在时恒成121122e ,e x xt x t x ==21t u t =()()21ln 10u u m u -->+1u >立，故而令，继而转化为利用导数求解函数的最值问题，结合分类讨()()()21ln 1h u u u m u =--+论，即可求得答案.【详解】（1）∵，则， ()ln e 1xx f x x=--()1ln 1ln e e x x x xx x f x x x⋅--'==--可得，()()1e 1,1e 1f f '=-=-即切点坐标为，切线斜率， ()1,e 1-()1e 1k f '==-故切线方程为，即.()()()e 1e 11y x --=--()e 10x y --=（2）∵， ()ln ln e 1e 1xx a x a g x x xx x+--=---=令，可得，()0g x =e ln 0x x x x a ---=故函数有两个零点等价于有两个正根， ()()a g x f x x=-12,x x ()e ln 0xx x x a -+-=1212,0,x x x x <<令，则，e x t x =ln ln t x x =+等价于有两个正根，ln 0t t a --=121122e ,e x xt x t x ==∵当时恒成立，()1e 0xt x '=+>0x >故在上单调递增，e x t x =()0,∞+对于，由，可得，121122e ,e x xt x t x ==120x x <<120t t <<可得，可得， 1122ln 0ln 0t t a t t a --=⎧⎨--=⎩2211ln t t t t =-令，由，可得， 21t u t =120t t <<211t u t =>由，整理可得，212211ln t u t t t t t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩12ln 1ln 1u t u u u t u ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩由于恒成立，()12211221ln 221e e x x u u t t x x m u +=+=-+>等价于当时恒成立，()21ln 1u u u m +->1u >等价于当时恒成立， ()()21ln 10u u m u -->+1u >令，则， ()()()21ln 1h u u u m u =--+()12ln 2h u u m u'=++-令，则， 1()22ln ,(1)p u u m u u =++->221()u p u u '-=当时，，所以在上单调递增， 1u >()0p u '>()p u (1,)+∞则有当时，．1u >()()13p u p m >=-（i ）当时，当时，， 3m ≤1u >()()()130h u p u p m '=>=-≥所以在上单调递增，则有，符合题意。
湖北省高二下学期期中数学试卷(文科)
湖北省高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 设集合，A.，则（）B. C.D.2. （2 分） 己知命题 “使A.B . (−1,3)C.D . (−3,1)”是假命题，则实数 的取值范围是（ ）3. （2 分） 关于 x 的不等式＜0 （其中 a＜﹣1）的解集为（ ）A . （ ，﹣1）B . （﹣1， ）C . （﹣∞， ）∪（﹣1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）4. （2 分） 设点 的直角坐标为，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标为（ ）第 1 页 共 16 页A. B. C. D.5. （2 分） 若圆的方程为 线与圆的位置关系是（ ）A . 相交过圆心 B . 相交但不过圆心 C . 相切 D . 相离( 为参数)，直线的方程为( 为参数)，则直6. （2 分） (2018 高二上·抚顺期末) 函数点 在直线上，其中，则（且）的图像恒过定点 ，若的最小值为（ ）A . 16B . 24C . 25D . 507. （2 分） (2016 高一下·大庆开学考) 集合 M={x|x=3k﹣2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z} 之间的关系是（ ）A . S⊊P⊊MB . S=P⊊MC . S⊊P=M第 2 页 共 16 页D . P=M⊊S8. （2 分） (2019 高一上·上饶月考) 函数定义域为 R，且对任意，恒成立.则下列选项中不恒成立的是（ ）A.B. C. D. 9. （2 分） 已知平面向量 ， 的夹角为 ， 且 A. B. C. D.1，则的最小值为（ ）10. （2 分） (2020 高一上·南充月考) 若函数 则实数 的取值范围是（ ）A.的定义域为，值域为，B. C.D.11. （2 分） (2019 高二上·应县月考) 已知椭圆 C 的中心为原点，焦点 ， 在 y 轴上，离心率为 ，过点 的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且的周长为 8，则椭圆 C 的焦距为（ ）第 3 页 共 16 页A.4 B.2 C. D.12. （2 分） (2019 高二下·吉林期末) 若直线 ： 是（ ）( 为参数)经过坐标原点，则直线 l 的斜率A . -2B . -1C.1D.2二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高三下·平谷模拟) 在极坐标系中，设曲线两点，则________．和直线交于 、14. （1 分） 不等式≥0 的解集为________．15. （1 分） 直线 l1：y=kx﹣1 与直线 l2：x+y﹣1=0 的交点位于第一象限则 k 的范围为________．16. （1 分） (2019 高二上·齐齐哈尔月考) 给出下列结论：①若为真命题，则 、 均为真命题;②命题“若，则”的逆否命题是“若，则”;③若命题，，则，；④“”是“”的充分不必要条件.其中正确的结论有________.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)第 4 页 共 16 页17. （5 分） 设连续函数 f（x）的定义域为 R，已知，若函数 f（x）无零点，则 f（x）＞0 或 f（x）＜0 恒 成立．（1）用反证法证明：“若存在实数 x0 ， 使得 f（f（x0））=x0 ， 则至少存在一个实数 a，使得 f（a）=a”；（2）若 f（x）=ex﹣ +x2﹣2cosx﹣mx﹣2，有且仅有一个实数 x0 ， 使得 f（f（x0））=x0 ， 求实数 m 的 取值范围．18. （10 分） (2019 高一上·兴庆期中) 已知函数.（1） 求函数的定义域；（2） 若求的值.19. （5 分） (2017 高二下·雅安期末) 已知 p：﹣x2+4x+12≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（Ⅰ）若 p 是 q 充分不必要条件，求实数 m 的取值范围；（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数 m 的取值范围．20. （10 分） 已知圆锥曲线 右焦点．（θ 是参数）和定点 A（0， ），F1 ， F2 是圆锥曲线的左、（1） 求经过点 F2 且垂直于直线 AF1 的直线 l 的参数方程；（2） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AF1 的极坐标方程．21. （10 分） 已知函数 f（x）=|2x﹣m|，若不等式 f（x）≤1 的解集为{x|1≤x≤2}．（1） 求 m 的值；（2） 已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c=1，证明：f（x）﹣2|x+3|≤ + + ．22. （10 分） (2016 高一上·辽宁期中) “城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其 原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物 一起进入下水道，据统计，在不考虑其它因素的条件下，某段下水道的排水量 V（单位：立方米/小时）是杂物垃圾第 5 页 共 16 页密度 x（单位：千克/立方米）的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到 2 千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量 为 0；当垃圾杂物密度不超过 0.2 千克/立方米时，排水量是 90 立方米/小时；研究表明，0.2≤x≤2 时，排水量 V 是垃圾杂物密度 x 的一次函数．（1） 当 0≤x≤2 时，求函数 V（x）的表达式； （2） 当垃圾杂物密度 x 为多大时，垃圾杂物量（单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小 时）f（x）=x•V（x）可以达到最大，求出这个最大值．第 6 页 共 16 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析： 答案：2-1、 考点： 解析：参考答案答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、第 7 页 共 16 页考点： 解析：答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点：第 8 页 共 16 页解析：答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点：第 9 页 共 16 页解析： 答案：11-1、 考点： 解析：答案：12-1、第 10 页 共 16 页考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校”考试联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷含答案
2024年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题（答案在最后）命题学校：审题学校：考试时间：2024年4月22日考试用时：120分钟试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()()1,2,,0A B m -，若直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，则实数m =（）A.3-B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为：12k =-，因为直线AB 与直线:210l x y +-=垂直，所以()0221AB k m --==-，解得：2m =.故选：B.2.现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（）A.47种B.74种C.7654⨯⨯⨯种D.432⨯⨯种【答案】A 【解析】【分析】根据分步乘法原理求解即可.【详解】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有47种，经检验只有A 选项符合.故选：A.3.若直线y kx =与曲线3log y x =相切，则实数k =（）A.eln 3B.3elog eC.1e D.31log e e【答案】D 【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可.【详解】设切点为()030,log x x ，由3log y x =可得1ln3y x '=，则001ln3x x y k x ='==，所以00301ln3log k x kx x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e 1eln3x k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即31log e e k =..故选：D.4.已知向量a b c、、，其中在同一平面的是（）A.()()()1,1,0,0,1,1,1,4,1a b c ===B.()()()3,0,0,1,1,2,4,1,2a b c ===C.()()()1,2,4,1,4,2,2,3,1a b c ===D.()()()1,0,0,0,0,2,0,3,0a b c ===【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量定理，结合方程思想逐项分析判断即可.【详解】对于A ，假定,,a b c共面，设()()()1,1,00,1,11,4,1m n =+，则1410n m n m n =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，A 不是；对于B ，由()()()4,1,213,0,011,1,2=⋅+⋅，得,,a b c共面，B 是；对于C ，假定,,a b c共面，设()()()1,2,41,4,22,3,1x y =+，则2143224x y x y x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，无解，C 不是；对于D ，假定,,a b c共面，设()()()1,0,00,0,20,3,0a b =+，则013020b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，矛盾，D 不是.故选：B5.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn r =++（p q r 、、为常数），则“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式函数性质、n S 与n a 的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，类比表达式2n S pn qn r =++，有1,,022d dp q a r ==-=.当{}n a 为递增等差数列时，有0p >；反之，当0,0p r >≠时，例如221n S n n =-+，可得10a =；()1232n n n a S S n n -=-=-≥，则()2111,23n n a a a a n --=-=≥，此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；所以“{}n a 为递增的等差数列”是“0p >”的充分不必要条件.故选：A.6.如图，111ABC A B C -是一个由棱长为2a 的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线1AC 与1BB 夹角的余弦值为（）A.3B.12C.3D.36【答案】D 【解析】【分析】补形成正四面体，记,,PA a PB b PC c ===，利用基底求出111CA CA B B ⋅ ，，代入夹角公式即可求解.【详解】补形成正四面体，如图.记,,PA a PB b PC c ===，则112CA a c =- ，由正四面体的性质和题意可知，π,,,,23a b a c b c a b c a ====== ，所以1CA ==== ，22211111111224222CA B B a c b a b c b a a a ⎛⎫⋅=-⋅=⋅-⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，所以21112cos ,6a CA B B -==-，所以，异面直线1AC 与1BB 的夹角的余弦值为36.故选：D.7.已知点()()1122,,,A x y B x y是曲线y =121222x x y y =++，则直线AB 的斜率的取值范围是（）A.4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.41,3⎡⎤⎢⎣⎦D.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】将原条件等价转换为过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点，从而结合点到直线的距离公式可判断直线与圆的位置关系即可得解.【详解】由y =()22(4)40x y y -+=≥，所以曲线为以()4,0C 为圆心，2为半径的上半圆弧.由()()1122,,,A x y B x y 为不同两点，且121222x x y y =++可转化为121222y y x x ++=，则过点()0,2P -的直线与半圆弧有两个不同的交点.如图，当直线AB 位于直线PE 的位置时，(20)E ,，PE 斜率为()102120k --==-.当过点P 的直线与圆相切于点T 时，设直线方程为2y kx =-，即：20kx y --=，由圆心()4,0C到直线的距离2d ==，解得0k =（舍），或43k =，即直线PT 的斜率为243k =.如图可知，要使直线与半圆弧有两个不同的交点，则直线AB 斜率k 的取值范围为413k ≤<，即41,3k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.8.已知对存在的()0,m n ∈+∞、，不等式()222e e 4e eln 4e 2m n m n +≤+恒成立，则（）A.294m n +>B.21m n -<C.222m n -<D.221m n >【答案】C 【解析】【分析】把不等式变形为()21221e41ln402m m n n --+--≤，构造函数证明不等式11ln ,e x x x x --≥≥，根据保值性即可列式求解2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，逐项判断即可.【详解】()()22211222222e 11e4e eln4e e 4ln 4e e 41ln40222m mmn m n n m n m n n --+≤+⇔+≤+⇔-+--≤（1）由()1ln (0)f x x x x =-->，则()111(0)x f x x x x-=->'=，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10f x f ≥=，即1ln x x -≥.由()1ex g x x -=-，则()1e 1x g x -='-，所以当()1,x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增，当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，所以()()10g x g ≥=，即1e x x -≥.故()21221e,41ln 42m m n n ≥-≥，所以()21221e 41ln402m m n n --+--≥.由（1）式得，当且仅当21241m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以294m n +=，2714m n -=>，2231216m n -=<，22118m n =<.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到2214m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后逐项求解，即可判断.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()34f x x x =-，则下列结论正确的有（）A.函数()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-B.233x =是函数()f x 的极大值点C.函数()sin y x f x =+在R 上有3个极值点D.函数()sin y x f x =-在R 上有3个零点【答案】AD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A ，求出函数的单调区间，即可判断B ，分析sin y x =的单调性，结合函数图象判断D ，设()()sin g x x f x =+，利用导数说明函数的单调性，即可判断C.【详解】因为()34f x x x =-，则()234f x x ='-，所以()04f '=-，又()00f =，所以()f x 在原点()0,0处的切线方程是4y x =-，故A 正确；因为()234333f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎪，所以当3x <-或3x >时()0f x '>，当33x -<<时()0f x '<，所以()f x在,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和,3∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，因此233是极小值点，故B 错误；因为[]sin 1,1y x =∈-，且在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3ππ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，画出()y f x =与sin y x =的图象如下所示：因此()y f x =与sin y x =的图象有3个交点，即()sin y x f x =-有3个零点，故D 正确；设()()3sin sin 4g x x f x x x x =+=+-，则()2cos 34g x x x +'=-，令()()2cos 34h x g x x x +'==-，则()6sin h x x x -'=，设()()6sin x h x x x ϕ=-'=，则()6cos 0x x ϕ'=->恒成立，即()h x '是增函数，而()00h '=，所以当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()g x '（即()h x ）在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()0g '=-30<，()()220g g ''-=>，所以()g x '存在两个零点，由()g x '的单调性知这两个零点就是()g x 的两个极值点，故C 错误.故选：AD.10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为,A B ，右焦点F ,P 为双曲线C 在第一象限上的点，则下列结论正确的有（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.双曲线C 的离心率为C.设直线AP 的倾斜角为α，直线BP 的倾斜角为β，则tan tan αβ⋅为定值D.若直线PF 与双曲线的两条渐近线分别交于M N 、两点，且2FM FN =，则2MOF NOF S S =△△【答案】ACD 【解析】【分析】求出右焦点F 到渐近线的距离，进而求得b =，再逐项分析计算即可得解.【详解】依题意，设(c,0)F ，而双曲线2222:1x yC a b-=的渐近线为0bx ay ±=，则点Fb =，因此b =，2c a =，对于A ，双曲线C 的渐近线方程为y =，A 正确；对于B ，双曲线C 的离心率为2ca=，B 错误；对于C ，显然(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，即2222002()b y x a a=-，所以22000222000tan tan 3y y y b x a x a x a a αβ⋅=⋅===+--为定值，C 正确；对于D ，由2FM FN =，得N 是FM 的中点，则2MOF NOF S S =△△，D 正确.故选：ACD11.如图，已知二面角l αβ--的平面角为π3，棱l 上有不同的两点,,A B AC α⊂，BD β⊂，AC l ⊥，BD l ⊥.若2AC AB BD ===，则下列结论正确的是（）A.点D 到平面α的距离是2B.直线AB 与直线CD 的夹角为π4C.四面体ABCD 的体积为3D.过,,,A B C D 四点的球的表面积为28π3【答案】BCD 【解析】【分析】补成正三棱柱，根据正三棱柱的性质即可求点面距离判断A ，根据异面直线夹角定义求解判断B ，根据等体积法求解判断C ，利用球的性质确定外接球的球心，根据勾股定理求出R ,由表面积公式即可求解判断D.【详解】在平面α内过B 作与AC 平行且相等的线段BE ，连接EC ，在平面β内过A 作与BD 平行且相等的线段AF ，连接,,FD FC ED ，补成一个正三棱柱,AFC BDE BDE -△是边长为2的正三角形，所以D 到平面α的距离为点D 到BE的距离22⨯=，所以A 错误；因为AB FD ∥，直线AB 与直线CD 的夹角即直线FD 与直线CD 的夹角，又FDEC 是正方形，所以夹角为π4，B正确；111223323A BCD D ABC ABC V V S --===⨯⨯⨯=，所以C 正确；如图，取AD 的中点1O ，BC 的中点2O ，1O ，2O 为ABD △，ABC 的外心，取AB 的中点M ，连接1MO ，2MO ，则2O M AB ⊥，1O M AB ⊥，所以21O MO ∠是二面角l αβ--的一个平面角，则21π3O MO ∠=，过2O 作平面ABC 的垂线和过1O 作平面ABD 的垂线，交于点O ，O 即为外接球球心，所以2OO ⊥平面CAB ，1OO ⊥平面DAB ，连接OM ，12112O M O M BD ===，所以易证得：1O MO 与2O MO 全等，所以12π6OMO OMO ∠=∠=，所以在直角三角形1111,tan 3013OO OO O MO MO ︒===，所以133OO =，3OD R=====，则过,,,A B C D四点的球的表面积为228π4πR3S==球，所以D正确.故选：BCD【点睛】方法总结：解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；3、求半径：根据作出截面中的几何元素，利用球的截面的性质，运用公式222R r d=+（r为底面多边形的外接圆的半径，R为几何体的外接球的半径，d表示球心到底面的距离）求得球的半径，建立关于球半径的方程，进行求解，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线()120k x y k++--=恒过定点P，则点P到直线20x y--=的距离为______.【答案】【解析】【分析】先求出直线恒过定点P的坐标，然后代入点到直线距离公式求解即可.【详解】由直线()120k x y k++--=化为()()120k x x y-++-=，令1020xx y-=⎧⎨+-=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，于是此直线恒过点()1,1P.由点到直线的距离公式得P到直线20x y--=的距离d==.13.若251121111C C Cx x x--=+，则正整数x的值为______.【答案】5【解析】【分析】利用组合数性质化简方程，根据组合数性质解方程即可.【详解】由组合数性质：11C C C m m m n nn -+=+，可得1111112C C C x x x -+=，则251212C C x x-=，所以25x x -=或2512x x -+=，解得5x =或173x =（舍）.故答案为：514.如图，已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线交于第一象限的,A B 两点，若AFB CFB ∠=∠，则直线AF的斜率k =_________．【解析】【分析】设直线l 的方程为2,0x my m =->，与抛物线方程联立表示出,AB BC ，再结合正弦定理，抛物线焦半径公式及韦达定理即可求解．【详解】由题意得，()()2,0,2,0F C -，当直线l 的斜率为0时，直线l 与抛物线只有1个交点，不合要求，故设直线l 的方程为2,0x my m =->，联立28y x =，可得28160y my -+=，易得()2Δ641m =-，即210m >>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212120,8,16y y y y m y y >>+==，则1222,AB y y BC y y =-==，由正弦定理得,CF BCAFAB ==∠∠∠∠，因为,πAFB CFB CBF ABF ∠=∠∠+∠=，所以CF BCAF AB =，即2124y AF y y ==-，又由焦半径公式可知111222AF x my my =+=-+=，则21124y my y y =-，即121244my y y y =-=即16m =，解得3m =，满足21m >，于是1212,163y y y y +==，解得(16,y A =，所以43062k ==-，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()e sin 2xf x a x =+-，且()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线210x y +-=垂直.（1）求a 的值；（2）当0x ≥时，求()f x 的导函数()f x '的最小值.【答案】（1）1（2）2【解析】【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义及直线垂直的斜率关系列方程求解即可；（2）利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求解函数的最小值.【小问1详解】因为()cos e xf x x a =+'，所以()10f a '=+，因为直线210x y +-=的斜率为12-，所以()1112a ⎛⎫+⋅-=- ⎪⎝⎭，解得1a =；【小问2详解】令()()()cos e 0xg x f x x x +'==≥.()sin e 0x g x x =+'-> ，()f x '∴在[)0,∞+上单调递增.()f x '∴的最小值是()00cos0e 2f ='+=.16.已知数列{}n a 中，122,4a a ==，且2132n n n a a a ++=-.（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n n n b a a S =为数列{}n b 的前n 项和，求使1262n n n S +⋅-≤成立的正整数n 的最大值.【答案】（1）证明见解析，2n n a =；（2）5.【解析】【分析】（1）将已知变形为()2112n n n n a a a a +++-=-，即可得证，然后利用累加法可得通项；（2）根据错位相减法求出n S ，代入不等式求解即可.【小问1详解】由已知得()2112n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}1n n a a +-是以212a a -=为首项，公比为2的等比数列.所以11222n n n n a a -+-=⨯=.当2n ≥时，12112212,2,,2n n n n n n a a a a a a ------=-=-= .累加得12122222n n n n a a ---=+++=- ，()22n n a n ∴=≥，当1n =时满足上式，2nn a ∴=.【小问2详解】由（1）知22log 22nnnn b n ==⋅.()231122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ①，()23412122232122n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②，①-②得()231122222122nn n n S n n ++-=++++-⋅=-⋅- ，()1122n n S n +∴=-⋅+.由1262n n n S +⋅-≤得162642n +≤=，16n ∴+≤，即5n ≤.所以，所求正整数n 的最大值为5.17.在ABC 中，,242B AB BC π===，点D E 、分别为边AC AB 、的中点，将AED △沿DE 折起，使得平面AED ⊥平面BCDE .（1）求证：DC AE ⊥；（2）在平面ACD 内是否存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD ？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点M ，M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上【解析】【分析】（1）利用已知可得AE ED ⊥，结合面面垂直可得⊥AE 平面BCDE ，可证结论.（2）以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -，求得平面ABD 的一个法向量，若AM DC ∥，求得平面AEM 的一个法向量，可判断此情况不成立，若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN ，利用0EN BD ⋅=，可求得结论.【小问1详解】在ABC 中， 点D 、E 分别为边AC 、AB 的中点，DE BC ∴∥且,2B AE ED π=∴⊥.又 平面AED ⊥平面BCDE ，平面AED 平面,BCDE ED =AE ⊂平面AED ，AE ∴⊥平面BCDE .又DC ⊂ 平面,BCDE DC AE ∴⊥.【小问2详解】由（1）知，,,AE ED AE EB EB ED ⊥⊥⊥.以点E 为原点，以EB ED EA 、、所在直线为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系E xyz -.则()()()()()0,0,02,0,02,2,00,1,00,0,2E B C D A 、、、、.()()()0,0,22,0,20,1,2EA AB AD ==-=- 、、，设(),,m x y z =为平面ABD 的一个法向量，则0220200m AB x z y z m AD ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ ，取1z =，则()1,2,1m = .假设在平面ACD 内存在点M ，使得平面AEM ⊥平面ABD .连接AM .若AM DC ∥，则设()2,,0AM DC μμμ== .设平面AEM 的一个法向量为(),,n a b c =.由020200n EA a b c n AM μμ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ ，取1a =，则()1,2,0n =- . 平面ABD 的法向量()1,2,1m =.由0m n ⋅≠知，此情况不成立.若AM 与DC不共线，设AM CD N = ，连接EN.设()()2,1,02,,0DN DC λλλλ=== ，则()2,1,0EN ED DN λλ=+=+.当()()2,1,02,1,00EN BD λλ⋅=+⋅-= ，即13λ=时，BD EN ⊥.又,AE BD BD ⊥∴⊥ 平面AEN ，即平面ABD ⊥平面AEN ，也即平面AEM ⊥平面ABD .所以在平面ACD 内存在点M ，当M 点在直线AN （N 点在直线CD 上且13DN DC =）上时，平面AEM ⊥平面ABD .18.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，且满足：()()()()00,00,f R f R =''=()()()()()()00,,00m n m n f R f R ++=⋅⋅⋅=''''.（注：()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦，()(),f x f x ''''⎡'⎤⎣⎦'=()()()()()()()()()454,,,n f x f x fx fx fx ''⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦''为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1mxg x nx=+.（1）求实数,m n 的值；（2）证明：当0x ≥时，()()f x g x ≥；（3）设a 为实数，讨论方程()()02af xg x -=的解的个数.【答案】（1）11,2m n ==；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据()()()()00,00f g f g '''='''=列方程组求解可得；（2）构造函数()()()x f x g x ϕ=-，利用导数求单调性，由()()0x ϕϕ≥即可得证；（3）构造函数()()()2ah x f x g x =-，分2a ≤，2a >利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当2a >时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.【小问1详解】由()()()ln 1,1mxf x xg x nx=+=+，有()()00f g =，可知()()()()223112,,,1(1)(1)(1)m mnf x f xg x g x x x nx nx -==-=''''=+++''+，由题意，()()()()00,00f g f g '''='''=，所以121m mn =⎧⎨-=-⎩，解得11,2m n ==.【小问2详解】由（1）知，()22xg x x =+，令()()()()()2ln 102xx f x g x x x x ϕ=-=+-≥+，则()()2221401(2)1(2)x x x x x x ϕ=-=++'≥++，所以()x ϕ在其定义域()1,∞-+内为增函数，又()()()0000f g ϕ=-=，0x ∴≥时，()()()()00x f x g x ϕϕ=-≥=，得证.【小问3详解】()()()()ln 122a ax h x f x g x x x =-=+-+的定义域是()1,∞-+，()()()()222421121(2)1(2)x a x ah x x x x x +-+=-=++++'.①当2a ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在()1,∞-+上单调递增，且()00h =，所以()h x 在()1,∞-+上存在1个零点；②当2a >时，令()()()()()224214242t x x a x x a x a =+-+=+-+-，由()0t x =，得()()1222x a x a =--=-.又因为()()110,0420t t a -=>=-<，所以()()121,0,0,x x ∞∈-∈+.x()11,x -1x ()12,x x 2x ()2,x ∞+()h x '+-0+()h x 单调递增极大值()1h x 单调递减极小值()2h x 单调递增当()12,x x x ∈时，因为()00h =，所以()h x 在()12,x x 上存在1个零点，且()()()()1200,00h x h h x h >=<=；当()11,x x ∈-时，因为()()e 12ee1lne 0e 1e 1a aaaaaa a h ---------=-=<++，1<e 10a ---<，而()h x 在()11,x -单调递增，且()10h x '=，而()e10ah --<，故11e 1a x --<-<，所以()h x 在()11,x -上存在1个零点；当()2,x x ∞∈+时，因为()()e 12e 1lne 0e 1e 1a a a a aa ah --=-=>++，e 10a ->，而()h x 在()2,x ∞+单调递增，且()20h x '=，而()e 10ah ->，所以2e 1ax ->，所以()h x 在()2,x ∞+上存在1个零点.从而()h x 在()1,∞-+上存在3个零点.综上所述，当2a ≤时，方程()()02af xg x -=有1个解；当2a >时，方程()()02af xg x -=有3个解.【点睛】思路点睛：关于零点个数问题，一般从以下方面入手：（1）转化为两个函数图象相交问题进行讨论；（2）利用导数求极值，根据极值符号，结合单调性以及变化趋势进行判断；（3）利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理进行判断.19.已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线2x =与x 轴交于点,P A C 、为粗圆Γ上的两个动点、且均位于第一象限（不在直线2x =上），直线AP 、CP 分别交椭圆于B D 、两点，直线AD BC 、分别交直线2x =于E F 、两点.①设()11,A x y ，试用11,x y 表示()22,B x y 的坐标；②求证：P 为线段EF 的中点.【答案】（1）22184x y +=（2）①11113833x y x x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程即可求解椭圆方程；（2）①设直线AB 的方程，与椭圆方程联立，韦达定理，表示出12,y y ，代入即可求解；②先求出直线AD 的方程，令2x =得E y 311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，进而0E F y y +=，即可证明.【小问1详解】已知2c e a ===，可得222a b =，所以椭圆方程为222212x y b b +=，由直线2x =截椭圆Γ所得的弦长为(在椭圆上，故22222(2)12b b+=，解得24b =，则2b =，故椭圆Γ的标准方程22184x y +=；【小问2详解】①设直线AB 的方程为2x my =+（由题意可知，其斜率不为0），与椭圆22184x y +=联立得()222440m y my ++-=，0∆>，可得12242y y m =-+，由112x my =+，有112x m y -=，于是有()1222221111111444244222y y x y x my x y y ---===+-+⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而221128x y +=，所以1213y y x =--.又222x my =+，所以111121111223822333x y x x x y x x x ⎛⎫---=⋅-+=+= ⎪---⎝⎭.②设()()3344,,,C x y D x y ，同理由①，可知33443338,33x y x y x x -==--直线AD 的方程为()411141y y y x x y x x -=-+-，令2x =得：33311141144133334113382222333383E x y yy x y x y x y y y x x x y x x x x x -⋅-⋅+--+----==----311331311322338x y x y y y x x x x -+-=+--，同理，F 的坐标只需要将上式中的()11,x y 和()33,x y 作一个交换即可，E y 的表达式中分母是对称的，分子刚好是一个逆序的即311331311322338F x y x y y y y x x x x -+-=-+--，从而0E F y y +=，故P 为EF 的中点.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；第21页/共21页（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018-2019学年高二数学下学期期中联考试题 文(含解析)
令 ，
则 ，
∴当 时, 单调递增；当 时, 单调递减．
∴ ．
又当 时， ；当 时, ．
要使方程 有解,则需满足 ，
∴实数 的取值范围是 ．
故选D．
【点睛】解答本题的关键是把方程有解的问题转化为两函数图象有公共点的问题，解题时需要根据函数的单调性得到函数图象的大体形状，然后再根据数形结合求解，属于中档题．
19.某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 （单位:万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 (单位：毫米）有关据统计，当 时, ; 每增加10， 增加5．已知近20年 的值为：140，110,160，70，200，160，140,160，220,200，110，160，160，200,140，110，160，220，140，160．
8.设函数f(x）= +lnx 则 （ )
A. x= 为f(x)的极大值点 B. x= 为f(x)的极小值点
C。 x=2为 f(x)的极大值点 D. x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
【解析】
试题分析： ,由 得 ，又函数定义域为 ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，因此 是函数 的极小值点．故选D．
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
【答案】01
【解析】
试题分析:选取的数据依次为08，02，14，07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01
考点：随机数表
14.已知向量 ．若 ，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
由向量共线可得向量坐标间的关系 ,进而可得所求．
2019-2020学年湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省四地七校考试联盟高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．84．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）67．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣808．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．210．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣二、填空题（共4小题）.13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为．（参考数据：X，X，P）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g（x）．参考答案一、选择题（共12小题）.1．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，则p等于（）A．B．0C．1D．【分析】利用二项分布的期望与方差公式，转化求解即可．解：随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且Eξ＝300，Dξ＝100，可得np＝300，np（1﹣p）＝100，故选：A．2．已知函数f（x）＝sin（2x﹣），则f'（）＝（）A．B．1C．D．【分析】先由复合函数的求导公式求出f′（x），再把x＝代入计算．解：函数f（x）＝sin（2x﹣），f′（x）＝[sin（2x﹣）]′•（2x﹣）′＝2cos （2x﹣），则f′（）＝2cos（2×﹣）＝2cos＝，故选：D．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a6+a7＝24，S8＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．3C．4D．8【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解得答案．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6+a7＝24，S8＝48，∴{a n}的公差为3．故选：B．4．“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）A．105种B．210种C．630种D．1260种【分析】根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，由分步计算原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①先将7人按照3人、2人、2人分成三个小组，有＝105种分组方法，②将分好的三组全排列，对应三个不同病房，有A33＝6种情况，则有105×6＝630种安排方案；故选：C．5．若椭圆和双曲线＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为（）A．B．C．D．【分析】由题可知，焦距F1F2＝6，设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可列出关于线段PF1和PF2的长的方程组，解之可得PF1和PF2的长，然后在△PF1F2中，结合余弦定理即可得解．解：由题可知，焦距F1F2＝6，不妨设点P是双曲线右支上的一点，由椭圆和双曲线的定义可知，在△PF1F2中，由余弦定理可知，cos∠F1PF4＝．故选：A．6．位于坐标原点的一个支点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位：移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是0.5，质点P移动6次后位于点（2，4）的概率为（）A．（）6B．C（）6C．C（）2D．C C（）6【分析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，由此能求出质点P移动6次后位于点（2，4）的概率．解：质点在移动过程中向右移动2次向上移动4次，因此质点P移动6次后位于点（2，2）的概率为：故选：B．7．（2x﹣1）5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a2＝（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】将原式化为[1+2（x﹣1）]5，然后利用通项求出含（x﹣1）2的系数即可．解：原式＝[1+2（x﹣1）]5，故展开式中（x﹣1）3项为．故选：A．8．已知直线y＝a分别与函数y＝e x+2和y＝交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，a），B（x2，a），依题意，可得|AB|＝a2+3﹣lna，设f（a）＝a2+3﹣lna，利用导数求其最小值即可得解．解：依题意，设A（x1，a），B（x2，a），则，即，由指数函数及根式函数的图象及性质可知，x6＜x2，设f（a）＝a2+3﹣lna，则，∴，即A，B之间的最短距离是．故选：C．9．如图，F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q，若＝3，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】设PF2＝m，PF1＝n，由于＝3，M为PQ的中点，且，∴M为QF1的三等分点，且△F2PQ为等腰三角形，于是可得QF1＝3PF1＝3n，QF2＝PF2＝m，由双曲线的定义可知，，即，可解得m和n．在Rt△MPF2和Rt△MF1F2中，通过中间量MF2，利用勾股定理可建立关于a和c的等量关系，即16a2+3×4a2＝4c2，化简得，故而可求得离心率．解：设PF2＝m，PF1＝n，∵＝3，且M为PQ的中点，∴M为QF1的三等分点，QF1＝3PF1＝3n，由双曲线的定义可知，，即，解得．在Rt△MF1F2中，，∴，故选：B．10．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有3f（x）+xf'（x）＜0，则不等式（x+2020）3f（x+2020）+8f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2020，+∞）B．（﹣∞，2022）C．（﹣2022，﹣2020）D．（﹣2020，﹣2018）【分析】根据条件，构造函数g（x）＝x3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（﹣∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．解：构造函数g（x）＝x3f（x），g′（x）＝x2（3f（x）+xf′（x））；当x＜0时，∴g′（x）＜0；g（x+2020）＝（x+2020）3f（x+2020），g（﹣2）＝﹣7f（﹣2）；（x+2020）3f（x+2020）＜﹣8f（﹣2）∴x+2020＞﹣2，且x+2020＜3；∴原不等式的解集为（﹣2022，﹣2020）．故选：C．11．如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a＝a2b，所以a2b＝4；所以a2＝，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．12．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】求出x1＝，即x2＝lnx1，＝＝k，得到e k＝k3e k，令h（k）＝k3e k，k＜0，根据函数的单调性求出h（k）的最小值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又f（4）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f（x）＞4，则0＜x1＜6且f（x1）＝g（x2）＝f（），故e k＝k3e k，令h（k）＝k5e k，k＜0，令h′（k）＜0，解得k＜﹣3，令h′（k）＞5，解得：﹣3＜k＜0，∴h（k）min＝h（﹣3）＝﹣，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．顶点在原点，且过点P（﹣2，3）的抛物线的标准方程是或．【分析】由题意设出抛物线的标准方程，分类代入P点坐标求解p，则答案可求．解：由抛物线过点P（﹣2，3），可设抛物线方程为y2＝﹣7px（p＞0）或x2＝2py（p ＞0）．若抛物线方程为y2＝﹣2px（p＞0），则32＝﹣2p×（﹣7），得p＝，若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则（﹣2）2＝2p×3，得p＝，故答案为：或．14．若函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．【分析】求出函数的定义域，函数的导数，利用导数值求解a的范围．解：函数f（x）＝x+alnx的定义域为：x＞0．函数f（x）＝x+alnx的导数为：f′（x）＝1+，当a＜0时，函数f（x）＝x+alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．15．某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为．【分析】学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n ＝＝384，其中学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，由此能求出在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率．解：某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场包含的基本事件个数n＝＝384，学生丙第一个出场包含的基本事件个数m＝＝96，学生丙第一个出场的概率为p＝＝．故答案为：．16．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前119项的和为131022．（参考数据：X，X，P）【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，例如（x+1）2＝x2+2x+1，系数分别为2，2，1，对应杨辉三角形的第3行，第1行为23，第2行为21，第3行为27，以此类推则杨辉三角形的前n项和为S n＝＝2n﹣6，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n＝，由于最右侧为2，3，4，5，……，为个首项是2公差为1的等差数列，则杨辉三角形的前17项的和为S17＝417﹣1，且前17行中有15×2+3＝33个4，故答案为：131022．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），且a2，a3+2，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．【分析】（1）利用数列是等比数列，结合等差数列，求出数列的首项，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）数列{a n}满足a n+1﹣a n＝0（n∈N*），可得数列{a n}是公比为2的等比数列，又知a2，a8+2，a4成等差数列，可得8（a3+2）＝a7+a4，（2）由（1）知a n＝2n，所以b n＝＝＝（），则T n＝．18．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，其中a为常数．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在区间（0，e]上的最大值为﹣2，求a的值．【分析】（1）当a＝1时，对f（x）求导，由函数的单调性可得函数的最大值；（2）对f（x）求导，分类讨论求得函数在（0，e]的单调性，求出函数的最大值为﹣2，求得a的值．解：（1）a＝1时f（x）＝lnx﹣x，则f'（x）＝﹣1＝（x＞8），令f'（x）＝0，x＝1，x∈（0，1），f'（x）＞6，所以函数f（x）单调递增，所以x∈（0，+∞）时，f（x）≤f（1），即f（1）为最大值且为﹣1，（2）f'（x）＝﹣a，x∈（0，e]，∈[，+∞），①当a≤0时f'（x）＞0，可得函数f（x）在（0，e]上单调递增；所以f（e）最大为lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；②当a＞0时f'（x）＝0，则x＝，x∈（0，），f'（x）＞0，函数f（x）单调递增x∈（，+∞），f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以x∈（0，e]，f（e）为最大值且lne﹣ae＝﹣2，解得a＝，不符合题意；所以x∈（0，e]，当x＝时，即f（）最大，且为ln﹣•a＝﹣2，解得a＝e，满足条件，综上所述满足条件，a的值为e．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，∠ABC＝60°，点M为棱PC的中点，点E，F分别为棱AB，BC上的动点（E，F与所在棱的端点不重合），且满足BE＝BF．（1）证明：平面PEF⊥平面MBD；（2）当三棱锥F﹣PEC的体积最大时，求二面角C﹣ME﹣F的余弦值．【分析】（1）连接AC交BD于N，连接MN，证明MN∥PA，可得MN⊥底面ABCD，得到AC⊥MN，由直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面MBD，再证明即EF∥AC．可得EF⊥平面MBD，从而得到平面PEF⊥平面MBD；（2）设BE＝BF＝x，由题意，，写出三棱锥F ﹣PEC的体积，由基本不等式求最值，可得E，F分别为AB，BC的中点，以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面MEF的一个法向量与平面MEC的一个法向量，由两向量所成角的余弦值可得二面角C ﹣ME﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC交BD于N，连接MN，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AN＝NC，由PA⊥底面ABCD，知MN⊥底面ABCD，又BD∩MN＝N，BD，MN⊂平面MBD，∴AC⊥平面MBD，∴EF⊥平面MBD，（2）解：设BE＝BF＝x，由题意，，当x＝2时，三棱锥F﹣PEC的体积最大．以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．，，．由，取x6＝1，得；由，取z2＝1，得．由图可知，所求二面角为锐二面角，则二面角C﹣ME﹣F的余弦值为．20．某种工业机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金700元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费200元；方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．某工厂准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得如表：维修次数0123台数5201015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？【分析】（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应概率，由此能求出X的分布列．（2）选择延保方案一，求出所需要费用Y1元的分布列，从而EY1＝1000元，选择延保方案二，求出所需要费用Y2元的分布列，EY2＝1030元，因此能求该工厂选择延保方案一较合算．解：（1）由题意X的可能取值为0，1，2，3，6，5，6，P（X＝0）＝，P（X＝7）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝6）＝，Y1700900110013001500PEY1＝+（元），Y2100011001200PEY2＝＝1030（元），∵EY1＜EY6，∴该工厂选择延保方案一较合算．21．已知点A为圆C：x2+y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P为线段AB的中点，设点P的轨迹为Γ．（1）求点P的轨迹Γ的方程；（2）已知直线l与Γ交于M，N两点，Q（0，1），若直线QM，QN的斜率之和为3，直线l是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），把点A的坐标代入圆的方程有，x2+（2y）2＝4，即，此即为点P的轨迹Γ的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），然后分两类讨论：①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），将其与椭圆的方程联立，写出韦达定理，再用M、N和Q的坐标表示出直线QM，QN的斜率，利用斜率之和为3，得，结合之前得出的韦达定理，化简整理后有，所以直线l：恒过定点；②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，仍然利用直线QM，QN的斜率之和为3，可求得直线l：，也恒过定点，故而得解．解：（1）设点P（x，y），则B（x，0），A（x，2y），∵A在圆C上，∴x2+（5y）2＝4，即．（2）设M（x8，y1），N（x2，y2），①当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m（m≠1），联立，得（4k3+1）x2+7kmx+4m2﹣4＝0，∵直线QM，QN的斜率之和为3，∴，即，∵4k7﹣m2+1＞0，∴8k2+3k＞0，即，②当直线l的斜率不存在时，有x1＝x2，y1＝﹣y2，∴，此时直线l：，也恒过定点．综上所述，直线l恒过定点，定点的坐标为．22．已知函数f（x）＝e2x﹣alnx，函数的图象在点（1，g（1））处的切线方程为y﹣3＝0．（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；（Ⅱ）若a≤0，且f（x）在[e，+∞）上的最小值为e2x，证明：当x＞0时，f（x）≥g （x）．【分析】（Ⅰ）求出导函数，再分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）先依题意容易求得m＝1，n＝2，再将问题等价于证明x（e2x﹣2）﹣lnx≥1，构造函数h（x）＝x（e2x﹣2）﹣lnx，利用导数求出函数h（x）的最小值即可得出结论．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．显然当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f'（x）无零点．则，即f'（x）单调递增，所以导函数f'（x）存在唯一零点．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）单调递增，所以，所以a＝0．所以，所以m＝1．根据题意，要证f（x）≥g（x），即证，只需证x（e2x﹣2）﹣lnx≥1．令，则，又，，当x∈（0，x0）时，F（x）＜8，即h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以．故f（x）≥g（x）．。
湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题含答案
2022年春湖北七校联考高二期中数学试题 第1页，共4页2022年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数 学 试 题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“1a =”是“直线 ()1:210l a x y -++=与直线 ()2:1220l a x y ++-=互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数)(x f 的导函数)('x f 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．)(x f 的极小值点为12x x ，B ．)(x f 的极大值点为2x C ．)('x f 有唯一的极小值点D ．函数)(x f 在）（b a ,上的极值点的个数为23．某铁球在0C 时，半径为1dm .当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t C 时铁球的半径为()1dm at +，其中a 为常数，则在0=t 时铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）（参考公式：34π3V R =） A ．0B ．πaC ．4π3aD ．4πa4．已知椭圆C ：22214x y a +=（2a >）的左､右焦点分别为21,F F ，点P 为C 上一点，若21PF F ∆的面积为4，且21PF F ∆内切圆的半径为3C 的离心率为（ ） A ．34BC ．23D5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2479324a a a a +++=，则11S =（）A ．44B ．88C ．99D ．1216.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14AD AB AA ===，1120A AD ∠=︒，160A AB ∠=︒，90BAD ∠=︒，则1cos A AC ∠=（）A．B．12-C．0 D．127．已知实数0>a，不等式0)ln(>-axae x恒成立，则a的取值范围是（）A. eae<<1B. 10<<a C. ea<<0 D. ea>8．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取3=m，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得7=n.则下列命题错误的是（）A．若2=n，则m只能是4 B．当17=m时，12=nC．随着m的增大，n也增大D．若7=n，则m的取值集合为{}128,21,20,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，则复数ii+12在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“x R ∀∈，总有012>+x ”的否定是（ ） A ． “x R ∀∉，总有012>+x ”B ． “x R ∀∈，总有012≤+x ”C ． “x R ∃∈，使得012>+x ”D ． “x R ∃∈，使得012≤+x ”3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是（ ）A ． 假设三内角都不大于60°B ． 假设三内角都大于60°C ． 假设三内角至多有一个大于60°D ． 假设三内角至多有两个大于60°4． “sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．阅读程序框图，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i 的 最大值为（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6D ． 76．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ． ()1,0-B ． ()()1,02,-+∞C ． ()2,+∞D ． ()0,+∞7．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：15万元家庭年支出为（ ）万元． A ． 10．8B ． 11．8C ． 12．8D ． 9．88．已知函数42()cos ()f x x x mx x m R =++∈,若其导函数'()f x 在区间[2,2]-上有最大值为9,则导函数'()f x 在区间[2,2]-上的最小值为（ ） A ． －5B ． －7C ． －9D ． －119．已知点A (3，-2)在抛物线C ：x 2=2py 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ． 12B ． 23C ． 34D ． 4310．设复数),(,)3()1(R y x i y x z ∈-+-=，若x y z 33,2≤≤则的概率为（ ） A ．π4331- B ．π4331+C ．π4321-D ．π4331-11．若实数,,,a b c d 满足2,ln 2-==-c d b a a ，则()22)(d b c a -+-的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．412．椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左、右焦点分别F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P ，使得c sin∠PF 1F 2=a sin ∠PF 2F 1≠0，则离心率e 的取值范围是（ ） A ．)22,0(B ．)1,12(-C ．)1,12[-D ．]12,0(-第Ⅱ卷二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；请将正确答案填在答题卡相应位置上）13．某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．14．原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，如图所示，孩子已经出生_______天．15．把一个周长为12cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的高为________cm.16．已知F 1,F 2分别是椭圆C: 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，A 是其上顶点，且21F AF ∆是等腰直角三角形，延长AF 2与椭圆C 交于另一点B,若B AF 1∆的面积是8，则椭圆C 的方程是 ．三． 解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本大题满分10分）已知命题p ：方程1-1222=+my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)3,1(∈e ，若p 、q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．（2）若a ，b ，c 成等比数列，且角A,B,C 成等差数列，求证△ABC 为等边三角形。
19．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取2名幸运选手，求2名幸运选手中恰有一人在20～30岁之间的概率．（参考公式：))()()(()(22b d dc c a b a bc ad n K ++++-=．其中d c b a n +++=．）30---4020．(本小题满分12分)已知函数223)(a bx ax x x f +++=．（1）若函数()f x 在x=1处有极值为10，求实数a ，b 的值；（2）当b=1时，函数()f x 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是23，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为4． （1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数.2ln )(2x x a x x x f --=，其中)(R a ∈． （1）若a =2，求曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程； （2）若函数()y f x =有两个极值点,21,x x 且,21x x < ①求实数a 的取值范围； ②证明0)(1<x f ．2016春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考 数学（文）试题参考答案ADBAB CABCD CB13、600； 14、468； 15、2； 16、161222=+y x ； 17．解：将方程11222=--m y m x 改写为11222=-+my m x ， 只有当,021>>-m m 即310<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于310<<m ；……………………………4分 因为双曲线1522=-mx y 的离心率)3,1(∈e ， 所以0>m ，且1355<+<m，解得100<<m ，…………………6分 所以命题q 等价于100<<m ； …………………………8分 若p 真q 假，则∅∈m ； 若p 假q 真，则1031<≤m 综上：m 的取值范围为1031<≤m ……………………………10分 18．解：(1)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ．由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12．---------------------------------------------------------6分(2) ∵角A,B,C 成等差数列，π=+++=C B A C A B ,2 ∴.21cos ,3==∠B B π--------------------------------------------------------8分 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ． 又ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2 ∴()0,222=-=-+c a ac ac c a 即B A c a ==∴即 3π===∴C B A所以△ABC 为等边三角形。
--------------------------------------------------------12分 19． （Ⅰ）22⨯列联表：…………3分3100804020)30107010(120))()()(()(222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=b d d c c a b a bc ad n K所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关． -----6分(Ⅱ)设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人， …………8分 记20~30岁之间的2人a,b ，30~40岁之间的4人数为1．2．3．4;(a ，b)，(a ，1)，(a ，2)，(a ，3)，(a ，4)， (b ，1)，(b ，2)，b ，3)，(b ，4)， (1，2)，(1，3)，(1，4)， (2，3)，(2，4)， (3，4)，共15种可能， …………………………9分 事件A 的结果有8种， ………10分 则158)(=A p ………………12分结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8． b 2=2所以椭圆E 的方程为12822=+y x …………6分 (Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+112822kx y y x 得(4k 2＋1)x 2＋8kx －4＝0．其判别式Δ＝(8k )2＋8(4k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－1482+k k ，x 1x 2＝1442+-k ． 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] …8分＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝14)34(8-4-22+--+k k λλ）（所以，当λ＝31-时， OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－35． 此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－35．为定值． …………10分当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ．此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →31-PC →·PD →＝－35．故存在常数λ＝31-，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－35． …………12分 22．解：(Ⅰ)当a=2时，f （x ）=xlnx ﹣x 2-x ，f ′（x ）=lnx ﹣2x ，∴f （1）=﹣2，f ′（1）=﹣2，曲线y=f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y=﹣2x ； ……………4分 (Ⅱ) ① f ′（x ）=lnx ﹣ax ，函数y=f （x ）有两个极值点x 1、x 2， 即f ′（x ）=lnx ﹣ax=0有两个不同的实根，当a ≤0时，f ′（x ）单调递增，f ′（x ）=0不可能有两个不同的实根； 当a ＞0时，设h （x ）=lnx ﹣ax ，，若时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， 若时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，∴＞0，∴． ……………………………………………………………8分② 由① 知2110x ax <<<，f(x 1)是极小值，f(x 2)是极大值 ∵f ′（x ）=lnx ﹣ax=0 ∴lnx 1﹣ax 1=0，)()10)(21)1(222ln )(1121121121111<+-=-=--=x f ax f aa x a x x a x x a x x x f 单调递减，，在（-………………12分（其他方法酌情给分）。