高三数学理科二轮复习1-1-4导数与积分的概念及运算、导数的应用
高三数学导数知识点归纳总结
高三数学导数知识点归纳总结导数作为高中数学的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。
在高三数学学习的过程中，导数的应用几乎贯穿了整个学期的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的知识，以下是对高三数学导数知识点的归纳总结。
一、导数的概念和定义导数是刻画函数局部变化率的工具，用来描述函数的瞬时变化速度。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以用极限表示：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx。
二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都有相应的计算公式。
2. 基本运算法则：和差法则、积法则、商法则等，使我们能够对两个或多个函数进行加、减、乘、除的运算，并得到相应的导数。
3. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求得，即若y=f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
三、导数的几何意义导数表征了函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，导数大的正值表示函数在该点处增长快，导数小的正值表示函数在该点处增长慢，而导数为0表示函数在该点处取极值（极大值或极小值），导数为负表示函数在该点处减小。
四、导数的应用1. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数在某个区间上的极大值和极小值，常用的方法是求出临界点，并通过一阶导数的符号进行分类讨论。
2. 函数的单调性：通过一阶导数的正负来判断函数在某个区间上的增减性，从而求出函数的单调区间。
3. 函数的图像：利用导数的几何意义，我们可以绘制函数图像的大致形态，包括切线、拐点以及凹凸性等。
4. 最值问题：通过导数判断函数在某个闭区间上的最大值和最小值，在一阶导数和二阶导数的变号处可以找到极值点。
5. 泰勒展开：利用导数的概念和定义，我们可以将一个函数在某个点附近展开成无穷项的幂级数，从而近似计算函数的值。
总结起来，高三数学导数知识点的归纳总结涉及导数的概念和定义、计算法则、几何意义以及应用。
积分导数知识点总结高中
积分导数知识点总结高中积分和导数的概念最初来源于求解曲线的斜率和面积的问题。
导数描述了曲线在某一点的斜率，而积分则描述了曲线下的面积。
接下来，我们将深入探讨积分和导数的相关知识点，包括它们的定义、性质和求解方法等。
一、导数的概念和性质导数是函数在某一点处的斜率，它描述了函数在该点附近的变化率。
导数可以用以下极限形式来定义：\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，\( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数。
导数的性质包括：1. 可导性：如果函数在某点处有导数，那么它在该点处是可导的。
2. 导数的基本性质：- 两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数的和（差）；- 两个函数的积的导数等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以第一个函数的导数；- 两个函数的商的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
3. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为该函数的二阶导数，类推，可以得到更高阶的导数。
二、积分的概念和性质积分描述了函数下的面积，或是曲线的长度。
积分的概念最初来源于求解面积问题，它可以用以下定积分的形式来定义：\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]其中，\( \int \) 表示积分，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的上下限，\( f(x) \) 是要积分的函数。
积分的性质包括：1. 可积性：如果函数在闭区间上是有界的，则它在该区间上是可积的。
2. 积分的基本性质：- 根据可积性，定积分是存在的；- 定积分的几何意义是曲线与 \( x \) 轴之间的面积；- 定积分满足可加性和线性性质。
3. 不定积分：不定积分表示求解函数的原函数的过程，它是积分的逆运算。
三、积分和导数的关系积分和导数是微积分中最重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
高三数学二轮复习 1-1-4导数与积分的概念及运算、导数的应用课件 理 人教版
类型四 【例 4】
利用导数研究函数的极值和最值 alnx (2011· 成都检测)设a>0，函数f(x)＝ . x
(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值．
[解] 1函数的定义域是0，＋∞，又f′
1 1 由于 fa－f2a＝lna－ ln2a＝ lna－ln2， 2 2 e 所以若 <a≤2，则 fa≤ f2a，此时[f x ]min＝ fa＝lna； 2 1 若2<a<e，则 fa>f2a，此时[f x ]min＝ f2a＝ ln2a. 2 1 综上所述：当0<a≤2时， [f x ]min＝lna；当a>2时，[f x ]min＝ ln2a. 2
考情分析
• 高考试题中对导数应用的考查，既有客观题，也有主 观题，客观题侧重于对单调性和极值、最值的考查， 主观题则侧重于导数的综合应用，即导数与函数、不 等式、方程、数列、解析几何等的综合，在利用导数 解决函数、方程、不等式等方面的综合问题时，要注 意函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合等思 想方法的运用．
第一部分
高考专题讲解
专题一
集合、函数与导数
第四讲 导数与积分的概念及运算、导数的应用
考情分析
• 导数已成为高考命题的一个重要载体．通过导数可以 实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的 交汇，并且在求解导数应用方面的试题中可以渗透各 ，因此导数的应用是高考的一个热点．
高频考点
类型一 【例1】 导数的概念及运算 (2011· 江西)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则 )
f′(x)>0的解集为( A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
高三数学导数的复习知识点
高三数学导数的复习知识点导数是高中数学中的一个重要知识点，它不仅在数学中有广泛的应用，还在其他科学领域中有着重要的作用。
本文将对高三数学导数的复习知识点进行详细介绍，帮助同学们巩固和加深对导数的理解。
一、导数的概念和定义导数是函数在某一点上的变化率，表示函数曲线在该点上的切线斜率。
导数的定义是函数在一点处的极限值，用极限的方式来表示变化率。
在数学符号上，函数f(x)在x=a处的导数记作f'(a)，可以用极限的形式表示为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)二、导数的基本性质1. 常数函数的导数为0。
即若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数。
若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=n*x^(n-1)。
3. 指数函数的导数。
若f(x)=e^x，其中e为自然对数的底，则f'(x)=e^x。
4. 对数函数的导数。
若f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数。
- sin(x)的导数为cos(x)。
- cos(x)的导数为-sin(x)。
- tan(x)的导数为sec^2(x)。
三、导数的运算法则1. 常数倍法则。
若f(x)可导，c为常数，则(cf(x))' = cf'(x)。
2. 和差法则。
若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)+g(x))' = f'(x) + g'(x)。
3. 乘法法则。
若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x)。
4. 商法则。
若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))' =(f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2。
5. 复合函数法则。
若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都可导，则y'=f'(g(x)) * g'(x)。
高三数学一轮复习导数知识点
高三数学一轮复习导数知识点在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的概念。
导数是微积分的基础，它在计算函数变化率、解析几何、最值问题等方面起着至关重要的作用。
本文将围绕高三数学一轮复习导数知识点展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、导数的定义导数描述了一个函数在某一点上的变化率。
对于函数y=f(x)，在给定点x=a处，函数的导数可以定义为：f'(a)=lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim代表极限的概念。
简单来说，导数是通过求函数在某点邻近的两点间的斜率的极限值来描述函数在该点上的变化情况。
二、求导法则在高三数学中，导数的求法十分重要。
掌握了合适的求导法则，可以帮助我们更加便捷地求解复杂的导数函数。
下面是一些常见的求导法则：1. 常数法则：若c为常数，则有(d/dx)(c)=0。
2. 幂法则：若y=x^n，则有(d/dx)(x^n)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。
3. 乘法法则：若y=u(x)v(x)，则有(d/dx)(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)。
4. 除法法则：若y=u(x)/v(x)，则有(d/dx)(u(x)/v(x))=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
5. 链式法则：若y=f(g(x))，则有(d/dx)(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x)。
6. 指数函数和对数函数的导数：若y=a^x，则有(d/dx)(a^x)=a^xln(a)，其中a为常数。
通过掌握这些求导法则，我们可以在计算导数时灵活运用，提高效率。
三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，同时也具有重要的应用价值。
在实际问题中，导数可以帮助我们求解最值问题、判断函数的增减性、描述函数的曲线形状等。
下面是一些常见的导数应用：1. 最值问题：导数可用于求解函数的最大值和最小值。
高考数学(理)总复习讲义：导数的概念及运算、定积分
第一节导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫ba f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．❸❸求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义❹定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .❹(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.[熟记常用结论]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x2；(2)(ln|x |)′＝1x ；(3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数 (1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b ax nd x ＝x n ＋1n ＋1|b a (n ≠－1)；(3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1xd x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b ae x d x ＝e x |b a . [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (2)因为(ln x )′＝1x，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) (3)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则∫b a f (x )d x ＝∫b a f (t )d t .( )(4)定积分一定是曲边梯形的面积．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× 二、选填题1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．故选B.2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )解析：选D 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A 、C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，得(x 2－2x)|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．4．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 答案：2e5．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为______________________．解析：∵y ′＝2(x ＋2)2，∴y ′|x ＝－1＝2. 故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0考点一导数的运算[基础自学过关][题组练透]1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2 B.21－2ln 2 C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x； (4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .[名师微点]1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法[提醒] 对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．考点二导数的几何意义及其应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . [答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.[解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， ∵e x ＋1>1，∴1e x＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[规律探求]1．[口诀第1、2句]曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12 D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．[口诀第3、4句]已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．[口诀第3、4句]若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________．解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2a x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三定积分的运算及应用[基础自学过关][题组练透]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x＝3－⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：36[名师微点]1．正确选用求定积分的4个常用方法2．利用定积分求平面图形面积的4个步骤3．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]一、题点全面练1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3)C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a.设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564 B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564； 当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a＝－1.综上，a 的值为－1或－2564. (二)素养专练——学会更学通5．[逻辑推理]已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．[逻辑推理]曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．[直观想象]如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．[逻辑推理、数学运算]设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．[逻辑推理、数学运算]已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)， ∴f ′(x )＝1x ＋2a (x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1，∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1. 下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.。
高考数学总复习讲义11：导数与积分
高三数学总复习讲义——导数概念与运算知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ②()1;nn x nx-'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x xa a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''vuv v u -（v ≠0）。
高三数学(理)二轮复习专题通关攻略：1.2.4导数的简单应用及定积分
【易错提醒】 1.忽略条件致误:求曲线的切线方程时,要注意是在点P 处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不 一定为切点.
2.忽略函数的定义域:在研究函数的单调性、极值、最 值时,一定要注意函数的定义域优先原则,否则容易出 现多考虑问题而出错或不能求解等情况. 3.忽略导函数与该函数极值间的关系致误:在求解与函 数极值有关的问题时,忽略导函数与该函数极值之间的 关系,造成错解或无从入手.
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直, 利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关 系构建方程(组)或函数求解.
3.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分 区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再 利用微积分基本定理求出积分值.
x
何子区间内不恒等于零,即k≥1>0.
2.(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x) =ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 ____________.
【解析】设x>0,则-x<0,因为x<0时 f (x) = ln(x)+3x,所 以 f (x) =lnx-3x,又因为 f (x) 为偶函数,所以 f (x) =lnx3x, f (x) 1 3，f (1) =1-3=-2,所以切线方程为y+3=
②[f(x)·g(x)]′=__f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_);
f xgx f xgx
③
[
f
x
]
=_____［__g_x__］_2 ______(g(x)≠0).
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高考专题训练四导数与积分的概念及运算、导数的应用班级________ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·全国)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A .13 B .12 C .23 D ．1解析：y ′＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2，在点(0,2)处的切线为：y －2＝－2x ，即2x ＋y －2＝0由⎩⎨⎧y ＝x 2x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ＝23，A ⎝⎛⎭⎪⎫23，23，S △ABO ＝12·23＝13.答案：A2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：f (x )>2x ＋4，即f (x )－2x －4>0.构造F (x )＝f (x )－2x －4，F ′(x )＝f ′(x )－2>0.F (x )在R 上为增函数，而F (－1)＝f (－1)－2x (－1)－4＝0.x ∈(－1，＋∞)，F (x )>F (－1)，∴x >－1.答案：B3．(2011·烟台市高三年级诊断性检测)设a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ，则(a x－1x)6的二项展开式中含x 2的系数是( ) A ．192 B ．－192 C ．96D ．－96解析：因为a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x)d x ＝(－cos x ＋sin x)| π0＝ (－cosπ＋sinπ)－(－cos 0＋sin 0)＝2，所以(a x －1x)6＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，则可知其通项T r ＋1＝(－1)r C r 626－r x 6－r 2－r 2＝(－1)r C r 626－r x 3－r，令3－r ＝2⇒r ＝1，所以展开式中含x 2项的系数是(－1)r C r 626－r＝(－1)1C 1626－1＝－192，故答案选B . 答案：B4．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(4)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(4)B ．f(－a 2)<f(4)C ．f(－a 2)≥f(4)D ．f(－a 2)与f(4)的大小关系不确定解析：∵f(x)＝12x 3－x 2－72x ，∴f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数； 当－1<x<73时，f(x)为减函数；当x>73时，f(x)为增函数，计算可得f(－1)＝f(4)＝2，又－a 2≤0，由图象可知 f(－a 2)≤f(4)． 答案：A5．(2011·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝x 3＋bx 2－3x ＋1(b ∈R)在x ＝x 1和x ＝x 2(x 1>x 2)处都取得极值，且x 1－x 2＝2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极小值B ．f (x )在x ＝x 1处取极小值，在x ＝x 2处取极大值C ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极小值D ．f (x )在x ＝x 1处取极大值，在x ＝x 2处取极大值解析：因为f (x )＝x 3＋bx 2－3x ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx －3，由题意可知f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，即x 1，x 2为方程3x 2＋2bx －3＝0的两根，所以x 1－x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4b 2＋363，由x 1－x 2＝2，得b ＝0.从而f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，由于x 1>x 2，所以x 1＝1，x 2＝－1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，所以f (x )在x 1＝1处取极小值，极小值为f (1)＝－1，在x 2＝－1处取极大值，极大值为f (－1)＝3.答案：B6．(2011·合肥市高三第三次教学质量检测)对任意x 1，x 2∈(0，π2)，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定解析：设f (x )＝1＋sin x x ，则f ′(x )＝x cos x －sin x －1x 2＝cos x (x －tan x )－1x 2.当x ∈(0，π2)时，x －tan x <0，故f ′(x )<0，所以f (x )在(0，π2)上是减函数，故由x 2>x 1得y 2<y 1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．7．(2011·广东)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 解析：由f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2 当x <0时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0. ∴当x ＝2时，f (x )有极小值是f (2)＝23－3×22＋1＝－3. 答案：28．(2011·潍坊市高三第一次教学质量检测)若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14(1＋2x)d x ，则公比等于________．解析：⎠⎛14(1＋2x)d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋16)－(1＋1)＝18，即a 4＝18＝23·q3⇒q ＝3.答案：39．(2009·山东省高考调研卷)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f(x)d x＝2f(a)成立，则a ＝________.解析：因为⎠⎛-11f(x)d x ＝⎠⎛-11 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4⇒a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1310．(2009·山东省高考调研卷)曲线y ＝1x ＋2x ＋2e 2x ，直线x ＝1，x ＝e和x 轴所围成的区域的面积是________．解析：⎠⎛1e (1x ＋2x ＋2e 2x )d x ＝⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛1e 2x d x ＋⎠⎛1e 2e 2x d x ＝ln x|e 1＋x 2|e 1＋e 2x |e1＝e 2e .答案：e 2e三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x －k)2e xk (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x ∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e ，求k 的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝1k(x 2－k 2) e xk令f ′(x)＝0，得x ＝±k当k>0时，f(x)与f ′(x)的情况如下： ↗↘↗所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)，(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k)．当k<0时，f(x)与f ′(x)的情况如下： ↘↗↘所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)，(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k)．(2)当k>0时，因为f(k ＋1)＝e k+1k >1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k 2e所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e .解得－12≤k<0.故当∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.12．(13分)(2011·课标)已知函数f(x)＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x>0，且x ≠1时，f(x)>ln x x －1＋kx，求k 的取值范围．解：(1)f ′(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x x －ln x (x ＋1)2－bx2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得a ＝1，b ＝1. (2)由(1)知f(x)＝ln xx ＋1＋1x ，所以 f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x x －1＋k x ＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x . 考虑函数h(x)＝2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x(x>0)，则h ′(x)＝(k －1)(x 2＋1)＋2xx 2.(ⅰ)设k ≤0，则h ′(x)＝k (x 2＋1)－(x －1)2x 2知，当x ≠1时，h ′(x)<0，而h(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h(x)>0，可得11－x2h(x)>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得11－x2h(x)>0. 从而当x>0，且x ≠1时，f(x)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln x x －1＋k x >0，即f(x)>ln x x －1＋k x . (ⅱ)设0<k<1，由于当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，11－k 时，(k －1)·(x 2＋1)＋2x>0，故h ′(x)>0.而h(1)＝0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，11－k 时，h(x)>0，可得11－x 2h(x)<0，与题设矛盾．(ⅲ)设k ≥1，此时h ′(x)>0，而h(1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h(x)>0，可得11－x2h(x)<0，与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．。