北师大版(理)数学教案：第1章第2节 命题、充分条件与必要条件

第二节命题、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题之间的关系图1-2-1(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．() [解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若﹁q，则﹁p”，显然﹁q：tan α≠1，﹁p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()【导学号：57962007】A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．] 5．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件C[当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]) A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()【导学号：57962008】A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假(1)C(2)B[(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．][规律方法] 1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写为“若p ，则q ”的形式．2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．[变式训练1] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A [由a n ＋a n ＋12＜a n ，得a n ＋a n ＋1＜2a n ，即a n ＋1＜a n . 所以当a n ＋a n ＋12＜a n 时，必有a n ＋1＜a n ， 则{a n }是递减数列．反之，若{a n }是递减数列，必有a n ＋1＜a n ， 从而有a n ＋a n ＋12＜a n .所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]00q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 (2)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)C(2)A[(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3，x2＋x－2＞0⇔x＞1或x＜－2.由于{x|1＜x＜3}是{x|x＞1或x＜－2}的真子集．所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．][规律方法]充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．[变式训练2](2016·武汉模拟)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±2.故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}. 3分∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴0≤m ≤3. 8分综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件. 12分[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． [解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 2分若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10， 8分∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.12分 [迁移探究2] 本例条件不变，若﹁P 是﹁S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵﹁P 是﹁S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/P ，4分∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎨⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎨⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10， 8分 ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).12分[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．[变式训练3] (1)(2017·长沙模拟)已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.【导学号：57962009】(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，a 为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．(1)(0,3) (2)a ≤0或a ＝1 [(1)令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. (2)当a ＝0时，原方程为2x ＋1＝0， ∴原方程有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x 1x 2＜0，∴1a ＜0，且Δ＝4－4a ＞0，解得a ＜0.当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，此时方程的根为－1，符合题意， 综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a ≤0或a ＝1.][思想与方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充分条件、必要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断“若p ，则q ”“若q ，则p ”的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与﹁B ⇒﹁A ；B ⇒A 与﹁A ⇒﹁B ；A ⇔B 与﹁B ⇔﹁A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[易错与防范]1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．。