4.4刚体定轴转动的转动定律
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刚体定轴转动转动定律
dv c Fe m dt
c
c
c
8/11/2014 3:31:32 PM 4
4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
1
4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
17
4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
8/11/2014 3:31:32 PM 6
数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
c
c
c
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4.1 刚体的定轴转动 研究作定轴转动的刚体时，只需选取刚体上任意 一点并确定它的运动状态。由于该点绕固定轴线在垂 直于转轴的平面内作圆周运动，取垂直于转轴的平面 为参考面，刚体的位置由确定。 作定轴转动的刚体 可用角位移、角速度、 角加速度描述。
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4.1 刚体的定轴转动
一.基本概念 如果我们所研究的物体在运动过程中，它的大 小形状基本不变，我们将其抽象为物体在外力的作 用下，内部任意两点间的距离保持恒定，这种理想 化的物体我们称之为刚体。 刚体的运动可分为平 动和转动。若刚体在运动 过程中，所有点的轨迹完 全相等，或者任意两点的 连线总是平行于它的初始 位置。这种运动称作平动。
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4.2 刚体的转动定律
例题 求通过匀质细棒中垂线和端点垂线的转动惯量。 解: 棒相对通过质心的转动惯量 J x 2dm l / 2 m dm dx dx l
m l/2 2 J x dx l l / 2 l/2 m x 3 l / 2 3l ml 2 J 12
d d , dt dt
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4.1 刚体的定轴转动
平面上刚体的运动可看作是刚体的平动（可以 用质心运动表示）和刚体绕过质心转轴转动（刚体 定轴转动）的叠加。 手榴弹的运动
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数理学院
大学物理教学中心
College of Mathematics & Physics
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l/2
y
o
x
dx
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
刚体定轴转动定律
角称为角坐标（或角位置）。 角坐标为标量。但可有正负。
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
刚体定轴转动定律
R
例题8：
普通物理学教案
如图所示，滑轮半径为r 。 （设绳与滑 轮间无相对滑动）①若m2与桌面间的摩擦系 数为μ，求系统的加速度a 及张力 T1 与 T2； ②若桌面光滑，再求。 解：方法1 按隔离法 力和力矩分析、 建坐标
m2 g
m
T
2
2
J
0
1
Tm 2 g m a 2 2
T r T r J 1 2
线分布
面分布
体分布
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的 刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。
例题1 ：
普通物理学教案
如图套两个质点的细杆长l ， 杆绕空端 转动，分析整个系统绕 o 点的转动惯量。将 两质点换位再作计算。
2 解： 由 J mr i i i
l 2 2 3 2 J 2 m ( ) m l m l 1 2 2
J1 J2
例题3 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： 取质量元
d m d x
2 J Rd m
O
R
dm
R2 dm
mR2
例题4 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 dr 圆环拼接而成。 r 任取其中一环 d m 2 r d r R 利用前例环的转动惯量结果 2 3 d J rd m 2 rd r R 1 3 rd r R 4 J dJ 2 0 2 m 1 2 J mR 2 R 2
与牛顿定律比较： M J 或
刚体定轴转动的角动量角动量守恒定律
v0
m v
典型例题分析
因, 由两式得
请问:
1.子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么? 2.总角动量守恒吗?若守恒, 其方程应如何写?
典型例题分析
谢 谢
二、刚体定轴转动的角动量定理
2、刚体定轴转动的角动量定理 （1）微分形式
Mdt dL d( J)
表明：合外力矩 M 在时间 dt 内的累积效应使得刚体定轴
d ( J ) 的变化。 转动的角动量发生了
（2）积分形式
t2
t1
M dt L2 L1 J2 J1
当 J 增大时， 减小； 增大。 当 J 减小时，
Mdt dL L J 常矢量
实际中的一些现象
空中抱膝 入水展开
空中收拢腿和双臂： J 减小， 增大，完成空翻； 入水时打开腿和双臂： 增大， 减小，垂直入水， J 减小水花。
实际中的一些现象
质容
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律
应用举例
一、刚体定轴转动的角动量 刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均
以相同的角速度绕该定轴作圆周运动.
对刚体中质元 m i 的角动量大小：
ri
L
Li mi vi ri mi ri 2
原因
二、刚体定轴转动的角动量定理
1、转动定律的另一形式
转动定律： M J d dL 简单变形： M J J dt dt
dL M dt
作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角 动量随时间的变化率。 ——与质点转动情形一致，适用范围更广！
m v
典型例题分析
因, 由两式得
请问:
1.子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么? 2.总角动量守恒吗?若守恒, 其方程应如何写?
典型例题分析
谢 谢
二、刚体定轴转动的角动量定理
2、刚体定轴转动的角动量定理 （1）微分形式
Mdt dL d( J)
表明：合外力矩 M 在时间 dt 内的累积效应使得刚体定轴
d ( J ) 的变化。 转动的角动量发生了
（2）积分形式
t2
t1
M dt L2 L1 J2 J1
当 J 增大时， 减小； 增大。 当 J 减小时，
Mdt dL L J 常矢量
实际中的一些现象
空中抱膝 入水展开
空中收拢腿和双臂： J 减小， 增大，完成空翻； 入水时打开腿和双臂： 增大， 减小，垂直入水， J 减小水花。
实际中的一些现象
质容
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律
应用举例
一、刚体定轴转动的角动量 刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均
以相同的角速度绕该定轴作圆周运动.
对刚体中质元 m i 的角动量大小：
ri
L
Li mi vi ri mi ri 2
原因
二、刚体定轴转动的角动量定理
1、转动定律的另一形式
转动定律： M J d dL 简单变形： M J J dt dt
dL M dt
作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体的角 动量随时间的变化率。 ——与质点转动情形一致，适用范围更广！
刚体定轴转动知识点总结
刚体定轴转动知识点总结1. 刚体的转动定轴刚体的转动定轴是指固定不动的直线，沿其进行转动的刚体的每一个质点所受的力矩的代数和等于零。
在实际中，通常通过支点来实现转动定轴，比如钟摆、摇摆、旋转的转轴等。
2. 刚体的角位移、角速度和角加速度在刚体定轴转动中，刚体围绕定轴线进行旋转，其角位移、角速度和角加速度是非常重要的物理量。
角位移表示刚体在围绕定轴线旋转的过程中所经过的角度变化量，通常用θ表示；角速度表示刚体围绕定轴线旋转的速度，通常用ω表示；角加速度表示刚体围绕定轴线旋转的加速度，通常用α表示。
3. 牛顿第二定律在刚体定轴转动中的应用牛顿第二定律也适用于刚体定轴转动的情况。
在刚体定轴转动中，外力会给刚体带来转动运动，根据牛顿第二定律，刚体的角加速度与作用在其上的外力矩成正比。
因此，可以根据力矩的大小和方向来分析刚体的转动运动。
4. 转动惯量和转动动能在刚体定轴转动中，转动惯量是一个非常重要的物理量。
转动惯量描述了刚体围绕定轴线旋转的难易程度，其大小与刚体的质量分布和轴线的位置有关。
转动动能是刚体围绕定轴线旋转的能量，其大小取决于刚体的转动惯量和角速度。
5. 转动定律和角动量守恒定律在刚体定轴转动中，转动定律和角动量守恒定律是非常重要的定律。
转动定律描述了刚体受力矩产生的角加速度与所受力矩的关系，角动量守恒定律描述了刚体转动过程中角动量的守恒规律。
6. 平衡条件和稳定性分析在刚体定轴转动中，平衡条件和稳定性分析是非常重要的内容。
通过平衡条件，可以分析刚体围绕定轴线旋转的平衡状态。
稳定性分析则是分析刚体在平衡状态下的稳定性，通常通过刚体的势能函数和平衡位置的稳定性来进行分析。
7. 应用领域刚体定轴转动的理论和方法在工程技术、航空航天、机械制造、物理学等领域都有重要的应用价值。
比如在机械制造中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计机械装置；在航空航天中，可以通过分析刚体的定轴转动来设计飞行器的运动控制系统。
刚体的定轴转动和转动定律
受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章 刚体的转动
3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章 刚体的转动
大小： d
dt
方向： 若 2 > 1 则 与角速度同向， 若 2 < 1 则 与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章 刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对 圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：
m V
3 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
第三章 刚体的转动
三 转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（ 转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
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令
x方向的反作用力可正可负 随打击点不
同变化，打击点位于下面位置时： 同变化，打击点位于下面位置时：
J L = L0 = mh
轴承水平反力为零，此点称为打击中心。 轴承水平反力为零，此点称为打击中心。 打击中心
4.4 刚体定轴转动的转动定律
由静止出发作匀加速直线运动， （2） B由静止出发作匀加速直线运动， ） 由静止出发作匀加速直线运动 下落的速率
v = 2 ay =
2 mB gy m A + m B + mC / 2
4.4 刚体定轴转动的转动定律
例2 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 匀质细杆竖直放置， m,l θ 下端与一固定铰链O相接 相接， 下端与一固定铰链 相接， mg 并可绕其转动． 并可绕其转动．由于此竖 O 直放置的细杆处于非稳定 平衡状态，当其受到微小扰动时， 平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将 在重力作用下由静止开始绕铰链O 在重力作用下由静止开始绕铰链 动．试 计算细杆转动到与竖直线成 θ角时的角加 速度和角速度． 速度和角速度．
4.4 刚体定轴转动的转动定律
的均匀直棒， 例4.4-1一根长为l、质量为 的均匀直棒， 4.4- 一根长为 、质量为m的均匀直棒 由系于两端的细绳水平静止悬挂，如图所 由系于两端的细绳水平静止悬挂，如图所 如果一端的绳突然被剪断， 示．如果一端的绳突然被剪断，问在绳断开 的瞬间，另一端绳子的拉力是原来的多少？ 的瞬间，另一端绳子的拉力是原来的多少？ 解：剪断前两根绳子中拉力相等 1 FT 0 = mg m l 2 断开瞬间（另一端为转动轴点） 断开瞬间（另一端为转动轴点）
•轴O的角 打击前质心速度为零，棒绕轴O 速度为零。 速度为零。 y 打击时，由转动定律得： 打击时，由转动定律得： Fo y O Fo x FL = Jα （1） 打击时杆质心水平加速度 h C L acx = hα （2） mg r 质心运动定理 F
FT1 = mA a mB g − FT2 = mB a
RFT2 − RFT1 = Jα a = Rα
v FN v FT1 m
A
v ′ FT1
v PC
v FC
v FT2
v ′ FT2
mB v PB y
O
v O PA
x
4.4 刚体定轴转动的转动定律
解得： 解得：
mB g a= mA + mB + mC 2 mA mB g FT1 = mA + mB + mC 2
质量为m 的物体A 例1 质量为 A的物体 静止在光滑水平面 和一质量不计的绳索相连接， 上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨 过一半径为R、质量为m 的圆柱形滑轮C， 过一半径为 、质量为 C的圆柱形滑轮 ， 并系在另一质量为m 的物体B上 并系在另一质量为 B 的物体 上，B 竖直 悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与轴 承间的摩擦力可略去不计． ) 承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线 加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张 加速度为多少？ 力各为多少？ ) 力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？ 其速率是多少？
4.4 刚体定轴转动的转动定律
（5）转动中 M = Jα与平动中F = ma ） 地位相同． 地位相同． 和牛顿定律比较： 和牛顿定律比较：
dω M = Jα = J dt
v v v m dv F = ma = dt
（6）应用转动定律解题步骤与牛顿第 ） 二定律时完全相同。 二定律时完全相同。
4.4 刚体定轴转动的转动定律
质心在l/2处 质心在 处
l mg = Joα 2
4.4 刚体定轴转动的转动定律
断开瞬间杆的角加速度
l l mg mg 2= 2 = 3g α= ml 2 Jo 2l 3
FT
O
m l
杆的质心加速度 l 3g ac = α = 2 4 质心运动定理
mg − FT = mac
mg
1 1 FT = mg = FT 0 4 2
M = ∫ dr λ gr sin θ 0 1 = lmg sin θ 2
l
4.4 刚体定轴转动的转动定律
由角加速度的定义
dω dω dθ dω α= = =ω dt dθ dt dθ
3g ω dω = sin θ d θ 2l
m,l O
v FN
θ mg
3g 代入初始条件积分得 ω = (1− cos θ) l
( m A + mC 2 ) m B g FT2 = mA + mB + mC 2
4.4 刚体定轴转动的转动定律
如令 mC = 0 ，可得
mA mB g FT1 = FT2 = mA + mB
mA mB g FT1 = mA + mB + mC 2 ( mA + mC 2) mB g FT2 = mA + mB + mC 2
• •
x
F + Fox = macx Foy − mg = 0
（3） （4）
mhL 联立4 联立4式 Fox = F( −1) , Foy = mg J
4.4 刚体定轴转动的转动定律
打击时悬挂点的轴承反力： 打击时悬挂点的轴承反力：
mhL Fox = F( −1) , Foy = mg J J L0 = mh L Fox = F ( −1) , Foy = mg L0
4.4 刚体定轴转动的转动定律
例4.4-2在竖直平面内有一可绕水平轴O转动 4.4- 在竖直平面内有一可绕水平轴O 的刚性棒，质量为m，对O轴的转动惯量为 的刚性棒，质量为 ， J．最初杆静止悬挂在竖直位置，其质心 到 ．最初杆静止悬挂在竖直位置，其质心C到 轴的距离为h．若在轴下方距轴L处施以水平 若在轴下方距轴 处施以水平 y 冲力F．试求： 冲力 ．试求： Fo y O Fo x （1）冲击时，轴O对棒的作 冲击时， x 用反力； 用反力； h C L （2）冲击作用点在何处时， 冲击作用点在何处时， mg r 轴对棒的水平作用反 F 力等于零． 力等于零．
转动定律
作用于刚体对定轴的外力矩， 作用于刚体对定轴的外力矩，等于刚 体的转动惯量和角加速度的乘积。 体的转动惯量和角加速度的乘积。
4.4 刚体定轴转动的转动定律
讨论 (1)为瞬时关系 )
M (2) α ∝ ) J
(3) )
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比 与刚体的转动惯量成反比. 成正比， 转动惯量成反比 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. 方向相同． M = Jα , α 与 M 方向相同． ， （4）M = 0 ω不变 ）
4.4 刚体定轴转动的转动定律
解 (1) 用隔离法分 ) 别对各物体作受力分析， 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系． 取如图所示坐标系．
A
v ′ FT1
v PC
v FC
mA
v FN v FT1 m
A
C
mC
v FT2
v ′ FT2 mB v PB y
O
v O PA
x
mB B
4.4 刚体定轴转动的转动定律
4.4 刚体定轴转动的转动定律
刚体对定轴z转动的角动量： Lz = J ω 体对定轴z转动的角动量： 根据质点系对定轴的角动量定理得 根据质点系对定轴的角动量定理得： 质点系对定轴的角动量定理
dω =α 刚体定轴转动角加速度 dt
dLz d(J ω ) dω Mz = = =J dt dt dt
M z = Jα
4.4 刚体定轴转动的转动定律
解 细杆受重力和 v 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得： 作用，由转动定律得：
m,l
v FN
θ
mg 1 O lmg sin θ = Jα 2 注意 dM =dmgr sin θ 1 2 式中 J = ml dm = dr λ 3
3g sinθ 得α = 2l