2018太原市高三期末 文数
山西省太原市广播电视大学附属中学2018年高三数学文下学期期末试题含解析
山西省太原市广播电视大学附属中学2018年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，则公差d等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出公差d．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=15，a2=5，∴，解得a1=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．2. 已知函数若有则的取值范围为A． B． C． D．参考答案：B本题考查函数值域与一元二次不等式的解法，难度中等。
，=<1,要使f(a)=g(b)成立，则，解得，选择B。
3. 下列函数中，最小正周期为的偶函数为（）(A)(B)(C)(D)参考答案：A试题分析：这种问题首先应该把函数化简，，，，这时会发现只有A是偶函数，当然它的最小正周期也是，只能选A．考点：最小正周期，函数的奇偶性．4. 某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（）A．5400种B．3000种 C.150种D．1500种参考答案：D5. 已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）[学。
科A. B. C. D.参考答案：B略6. 在等差数列中，已知与是方程的两个根，若，则=（）（A）2012 （B）2013 （C）2014 （D）2015参考答案：C由题意知，，。
又，∴，，∴。
∴，∴。
故选C。
7. 按照如图的程序运行，已知输入的值为，则输出的值为A. 7B. 11C. 12D. 24参考答案：D8. （2016?沈阳一模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．﹣B．0 C．D．参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；转化思想；分析法；算法和程序框图．【分析】根据题中的流程图，模拟运行，依次根据条件计算s和n的值，直到n＞2016运行结束，输出此时的s的值即为答案．【解答】解：由框图知输出的结果为：，因为函数的周期是6，所以=336×0=0．故选：B．【点评】本题考查了程序框图．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，要按照流程图中的运行顺序进行求解是关键．属于基础题．9. 已知函数有两个极值点,若,则关于的方程的不同实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：A略10. 如图：M（x M，y M），N（x N，y N）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|x N﹣x M|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故x N﹣x M=，则在一个周期内S=|x N﹣x M|=常数，只有C符合，故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象性质，结合三角函数的周期性考查学生，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数为偶函数，则实数的值是．参考答案：答案: 112. 已知圆（为参数）与直线，则直线截圆所得的弦长为。
山西省太原市阳曲县大盂中学2018年高三数学文期末试题含解析
山西省太原市阳曲县大盂中学2018年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知是首项为1的等比数列，的前n项和，且，则数列的前5项和为（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )A． B． C． D．参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．B3B4【答案解析】B 解析：A．在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．B．为偶函数，当x＞0时，=x+1，为增函数，满足条件．C．为偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．D．在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．故选：B．【思路点拨】根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可．3. 集合，则等于（）A． B． C． D．参考答案：B4. 把周长为1的圆的圆心放在轴，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的大致图像为（）参考答案：D试题分析：因为动点从开始逆时针绕圆运动一周,当由变化时，由；当由变化时，由所以，可以排除A、B、C,故选D.考点：函数的图象和性质.5. 设向量，若，则=（）A． B．3 C． D．参考答案：C6. 图1是根据随机抽取的120名年龄在的市民而得到的样本的频率分布直方图如图所示；图2是求所抽取的年龄在范围内的市民的平均年龄的程序框图，则判断框中应填A． B． C．D．参考答案：C7. 已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则=（）A． +i B． +i C．﹣i D．﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】a+i与2﹣bi互为共轭复数，可得a=2，1=﹣（﹣b），解得a，b．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：a+i与2﹣bi互为共轭复数，∴a=2，1=﹣（﹣b），解得a=2，b=1．则===，故选：C．8. 设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为A．12 B．16 C．18 D．20参考答案：C9. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，其图象关于直线x=对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用它的图象的对称性，求得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的最小正周期为=π，∴ω=2．根据其图象关于直线x=对称，可得2?+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，则|φ|的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．10. 设x，y满足的约束条件，则的最大值为（A）8 （B）7 （C）2 （D）1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，射线为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于两点，则线段的长度为___________.参考答案：212. 函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数图象必过定点___________。
山西省太原市现代双语学校2018-2019学年高三数学文下学期期末试题含解析
山西省太原市现代双语学校2018-2019学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（）A．4 B．2C．8 D．16参考答案：C【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1，则+=（2m+n）=4+≥4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号．故选：C．2. 设函数在点处连续，则A.B．C．D．参考答案：C3. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱BB1、BC的中点，则异面直线AB1与EF所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与EF所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A（2，0，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，2，0），=（0，2，2），=（﹣1，0，﹣1），设异面直线AB1与EF所成角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°，∴异面直线AB1与EF所成角的大小为60°．故选：C．4. 数列中，若，则的值为（）A．—1 B．C．D．1参考答案：B略5. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013参考答案：A令，，则g（x）=h（x）+m（x）．则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）．设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，选A.6. 已知圆的极坐标方程为，则“”是“圆与极轴所在直线相切”的………………………………………………………………………………（）（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既不充分又不必要条件．参考答案：A略7. 已知变量、满足约束条件，则的取值范围是 ( ) A． B． C． D．参考答案：A8. 关于x的二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A. B. C.D.参考答案：C9. 已知函数,下列结论错误的是（A）（B）（C）（D）参考答案：C略10. 已知函数，，则A．1 B．C．D．参考答案：D依题意，故，解得.故，所以.故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，则双曲线的离心率为．参考答案：由题意知所以12. 命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m取值范围是．参考答案：（﹣∞，1]【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由x的范围求出tanx的范围，再由tanx＜m恒成立求出m的范围，结合补集思想求得命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题的m的取值范围．【解答】解：当时，tanx∈[0，1]，若tanx＜m恒成立，则m＞1．∵命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，∴m≤1．∴实数m取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 观察下列等式：…，根据以上规律,_________.(用具体数字写出最后结果)参考答案：129615. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________．参考答案：16. 已知函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求导，求出函数是单调函数时，实数a的取值范围，再求补集．【解答】解：函数f′（x）=+a﹣6．①若函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上单调递增，则f′（x）=+a﹣6≥0在（0，3）上恒成立，即a≥=﹣2[（x+1）+﹣5]在（0，3）上恒成立，函数g（t）=t+，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≥2；②若函数f（x）=alnx+x2+（a﹣6）x在（0，3）上单调递减，则f′（x）=+a﹣6≤0在（0，3）上恒成立，即a≤=﹣2[（x+1）+﹣5]在（0，3）上恒成立，函数g（t）=t+，t∈（1，4），g（t）∈[4，5），∴a≤0．则函数f（x 在（0，3）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（0，2）故答案为（0，2）【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，对于参数问题要注意进行分类讨论．属于中档题．17. 已知实数x、y满足，则的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点A（﹣1，﹣2）与点C（x，y）所在直线的斜率，结合图象可知，的最小值为=，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2018届山西省太原市高三模拟考试(二)文科数学试题及答
太原市2018年高三年级模拟试题（二）数学试卷(文史类)(考试时间：下午3: 00—5：00)注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷l至3页，第Ⅱ卷4至7页。
2．回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无做。
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项巾，只有一项是符合题目要求的．1．已知 (12)5i z -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列命题中的假命题是A. 00,lg 1x R x ∃∈=B. 00,sin 0x R x ∃∈=C. 3,0x R x ∀∈>D. ,20x x R ∀∈> 3．已知 (1,2),(,2)a b x =-=，且 //a b ，则 b = A.C. 10D. 5 4.已知sin cos (,)22a a a ππ+=∈-．则 tan a =A. -1B.-2D. 1C．25．执行右圈所示的程序框图，若a=7．则输出的S=A．67B．158C．137D．1166已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为A. 4 πB. 2 ππC. 43πD. 237.已知△ABC 中， 34cos ,cos ,455A B BC ===，则AB=A. 5B. 4C. 3D.28已知点A （-1．0），B(1，0)，若圆 222(2)x y r -+=上存在点P ．使得 90APB ∠=， 则实数r 的取值范围为A. (1,3)B.[1，3]C. (1，2]D.[2，3]9已知函数 ()f x 的导函数在 (,)a b 上的图象关于直线 2a b x +=对称，则函数 ()y f x =在 [,]a b 上的图象可能是10.已知平面 //αβ，且 α与 β的距离为d(d>0)． m α⊂．则在β内与直线m 的距离为2d 的直线共有A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条 11.下列不等式正确的是A. 11sin12sin 3sin 23<< B ． 113sin 2sin sin132<<C . 11sin13sin 2sin 32<< D. 112sin sin13sin 23<<12．已知 12,F F 分别是双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过 1,F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A ，B ，若 212,90AB AF F AF =∠=，则双曲线的离心率为A ．2+ B ．C ．．太原市2018年高三年级模拟试题（二）数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知集合{}{}2|0,1,0,1A x x x B =-<=-，则A B =_______.14已知实数x ，y满足条件 0,434,0,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则 1y z x +=最小值为 _______. 15.已知数列 {}n a 满足 1111,()n n n n a a a na a n N *++=-=∈，则 n a =_______.16.已知 '()\(1)()f x a x x a +-是函数 ()f x 的导函数，若 ()f x 在x=a 处取得极大值， 则实数a 的取值范围是____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)巳知公比q>0的等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，且 131,7a S ==．数列 {}n b 中 130,1b b == (I)若数列 {}n n a b +是等比数列，求 ,n n a b(Ⅱ)在(I)的条件下，求数列 {}n b 的前n 项和 n T 。
山西省太原市2018届高三第三次模拟考试文数试题Word版含答案
太原市2018年高三年级模拟试题（三）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22|10,|3A x x B x x ⎧⎫=-<=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()1,+∞ C ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知复数z 满足4312ii z i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为π；命题:q 函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称，则下列结论正确的是（ ）A ．p 为假B ．q ⌝为假C ．p q ∨为假D ．p q ∧为假 4. 若01a b <<<，则1,log ,log b b aa ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b b aa ab >> B ．1log log b b aa b a >>C. 1log log b b aa b a >> D ．1log log b b aa ab >>5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数n 除以正整数m 后的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()112mod3=.现将该问题设计一个程序框图，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．21B ． 22 C. 23 D ．246. 已知等比数列{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，则8a =（ ） A ．243 B ．128 C. 81 D ．647.设不等式组31036x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数()log 1a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3 C. [)3,+∞ D ．(]1,3 8.已知函数()2cos 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是()2,0，且()()13f f >，要得到函数()f x 的图象，可将函数2cos 3xy π=的图像（ ）A ． 向右平移12个单位长度 B ． 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM MF ⊥，O 为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 10.如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A ．22π+B ．23π+C. 43π+D ．42π+11. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于,M N 两点，若3PF MF =，则MN =（ ）A ．163 B ．8 C. 16 D12.已知函数()()2ln x x t f x x+-=，若对任意的[]()()1,2,0x f x x f x '∈+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D．32⎫⎪⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知函数()2,02,0x x a x f x x -⎧≥=⎨<⎩若()11f f -=-⎡⎤⎣⎦，则实数a = ．14.在ABC ∆中，若()274coscos 222A B C -+=，则角A = ． 15.已知,a b 是单位向量，0a b =，若向量c 满足1c a b --=，则c 的最大值是 .16.已知圆22:210C x y x +--=，直线:34120l x y -+=，在圆C 内任取一点P ，则P 到直线的距离大于2的概率为 ．三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知数列{}n a 满足111,221n n n a a a a +==+.（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足12n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》规定，交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是保费浮动机制，保费与上一、二、三个年度车辆发生道路交通事故的情况相关联，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通7座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： （1）根据上述样本数据，估计一辆普通7座以下私家车（车龄已满3年）在下一年续保时，保费高于基准保费的概率；（2）某销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车. ①若该销售商部门店内现有6辆该品牌二手车（车龄已满3年），其中两辆事故车，四辆非事故车.某顾客在店内随机挑选两辆车，求这两辆车中恰好有一辆事故车的概率；②以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车，若购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元.试估计这批二手车一辆车获得利润的平均值.19.已知空间几何体ABCDE 中，BCD ∆与CDE ∆均为边长为2的等边三角形，ABC ∆为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面,,BCD M N 分别为,DB DC 的中点. （1）求证：平面//EMN 平面ABC ； （2）求三棱锥A ECB -的体积.20. 已知抛物线21:y 8C x =的焦点也是椭圆()22222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点，点()0,2P 在椭圆短轴CD 上，且1PC PD =-. （1）求椭圆2C 的方程；（2）设Q 为椭圆2C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过椭圆的右焦点2F 作OQ 的平行线，交曲线2C 于,M N 两点，求QMN ∆面积的最大值. 21.已知函数()2ln x af x e x -=-.（1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）当1a ≤时，证明：()0f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭:6OM πθ5=与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x x =++-.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若不等式()10f x ax +->的解集为R ，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DCDDC 6-10: BCAAA 11、12：CB二、填空题13. 14-14. 3π1 16. 324ππ+ 三、解答题17.解：（1）∵121n n n a a a +=+，∴1112n na a +-=，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， ∴()111122n n n a a =+-=， 即12n a n=； （2）∵22n n nb =，∴1221231222n n n nS b b b -=+++=++++， 则23112322222n n n S =++++， 两式相减得23111111112122222222n n n n n n n S -⎛⎫=+++++-=-- ⎪⎝⎭，∴1242n n nS -+=-. 18.解：（1）所求概率为1551804+=； （2）①设两辆事故车为,A B ，四辆非事故车为,,,a b c d ，从这六辆车中随机挑取两辆车共有(),A B ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d a b a c ，()()()(),,,,,,,a d b c b d c d 共15种情况，其中两辆车中恰有一车事故车共有(),A a ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A b A c A d B a B b B c B d 8种情况，所以所求概率为815； ②由统计数据可知，若该销售商一次购进120辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有事故车30辆，非事故车90辆，所以一辆获得利润的平均值为()()13040009080005000120⨯-+⨯⨯=⎡⎤⎣⎦. 19.证明：（1）取BC 中点H ，连结AH ， ∵ABC ∆为等腰三角形， ∴AH BC ⊥，又平面ABC ⊥平面,BCD AH ⊥平面ABC ， ∴AH ⊥平面BCD ，同理可证EN ⊥平面BCD ， ∴//EN AH ，∵EN ⊄平面,ABC AH ⊂平面ABC ， ∴//EN 平面ABC ，又,M N 分别为,BD DC 中点，∴//MN BC ， ∵MN ⊄平面,ABC BC ⊂平面ABC ， ∴//MN 平面ABC ，又MN EN N =，∴平面//EMN 平面ABC ；（2）连结DH ，取CH 中点G ，连结NG ，则//NG DH ， 由（1）知//EN 平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等， 又BCD ∆是边长为2的等边三角形，∴DH BC ⊥， 又平面ABC BCD ⊥平面，平面ABC平面,BCD BC DH =⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH =N 为CD中点，∴2NG =， 又3,2AC AB BC ===，∴122ABC S BC AH ∆== ∴1633E ABC N ABC ABC V V S NG --∆===. 20.解：（1）由21:8C y x =，知焦点坐标为()2,0，所以224a b -=， 由已知，点,C D 的坐标分别为()()0,,0,b b -， 又1PC PD =-，于是241b -=-， 解得225,9b a ==，所以椭圆2C 的方程为22195x y +=； （2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线MN 的方程为2x my =+，由222195x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()225920250m y my ++-=，则1212222025,5959m y y y y mm -+==-++， 所以()2230159m MN m +===+，t =，则()()222230303011,4545195t t m t t S t t t t=-≥===+-++， 所以()45f t t t=+在[)1,+∞上单调递增， 所以当1t =时，()f t 取得最小值，其值为9. 所以QMN ∆的面积的最大值为103. 21.解：（1）12a =时，()()()111ln ,0x x f x e x f x e x x--'=-=->， 因为()10f '=，故01x <<时，()0f x '<；1x >时，()0f x '>， 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； （2）当1a ≤时，()222,ln x x a x f x e x --≥-≥-， 令()2ln x x ex ϕ-=-，则()21x x e xϕ-'=-，显然()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，且()()10,20ϕϕ''<>，所以()x ϕ'在()0,+∞上存在唯一零点()00,1,2x x ∈，又00x x <<时，()00,x x x ϕ'<>时，()0x ϕ'>， 所以()0,x ∈+∞时，()()0200ln x x x e x ϕϕ-≥=-，由()00x ϕ'=，得0022001,x x ex e x --==， ∴()()02000000111ln 22220x x e x x x x x ϕ-=-=--=+->-=， 综上，当1a ≤时，()0f x > .22.解：（1）圆C 的参数方程为3cos 33sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩，（ϕ为参数），∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 6ρθπθ=⎧⎪5⎨=⎪⎩解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-=.23.解：（1）∵函数()()21213f x x x x x =++-≥+--=， 故函数()21f x x x =++-的最小值为3， 此时21x -≤≤；（2）当不等式()10f x ax +->的解集为R ，函数()1f x ax >-+恒成立， 即()f x 的图象恒位于直线1y ax =-+的上方，函数()21,2213,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪+>⎩，而函数1y ax =-+表示过点()0,1，斜率为a -的一条直线， 如图所示：当直线1y ax =-+过点()1,3A 时，31a =-+， ∴2a =-，当直线1y ax =-+过点()2,3B -时，321a =+，∴1a =， 数形结合可得a 的取值范围为()2,1-.。
山西省实验中学2018届高三上学期学业质量监测数学(文)试卷(含答案)
山西省实验中学2018届高三年级学业质量监测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题 > 两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21M x x =<,{}21x N x =>，则M N =I （ ）A ． ∅B ． {}01x x <<C ． {}1x x <D ．{}1x x <2. 若复数z 满足)3i z i =(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ）A ．iB ．iC ．D ．1 3. 已知命题11:4p a >，命题:q x R ∀∈,210ax ax ++>,则p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 在ABC ∆中，AB AC AC +=-u u u r u u u r u u r u u u r ，3AB AC ==u u u r u u u r ,则CB CA ⋅=u u u r u u u r（ ） A ． 3 B ． -3 C.92 D ．92- 5. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数).若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.124 C. 3.132 D ．3.1516. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ） A ． 207 B ． 92162π-C. 21636π- D ．21618π-7. 函数sin 2cos2y x x =+如何平移可以得到函数sin 2cos2y x x =-图象（ ） A ．向左平移2π B ．向右平移2π C. 向左平移4π D ．向右平移4π 8. 函数12()()cos 12xxf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．9. 如图直三棱柱ABC A B C '''-中，ABC ∆为边长为2的等边三角形，4AA '=，点E 、F 、G 、H 、M 分别是边AA '、AB 、BB '、A B ''、BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC A ''，则动点P 的轨迹长度为（ ）A ．2B ． 2π C. 23 D ．410. 已知双曲线的焦点麵进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5+1B ．2．211. 已知a ，b R +∈且115a b a b+++=，则a b +的取值范围是（ ）A ．[]14，B ． [)2+∞， C. (24)， D ．(4+)∞，12. 已知函数()ln f x x x x =+，若m Z ∈，且(2)(2)()m x f x --<对任意的2x >恒成立，则m 的最大值为（ ）A ． 4B ． 5 C. 6 D ．8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上一点M 坐标为3)，则tan()4πα+= ．14. 己知实数x ，y 满足不等式组360,240,20,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩则z x y =+的最小值为 ．15. 如果满足60A ∠=︒，6BC =，AB k =的锐角ABC ∆有且只有一个，那么实数k 的取值范围是 ．16. 对于函数()f x 与()g x ，若存在{}()0x R f x λ∈∈=，{}()0x R g x μ∈∈=，使得1λμ-≤，则称函数()f x 与()g x 互为“零点密切函数”，现已知函数2()3x f x e x -=+-与2()4g x x ax x =--+互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 己知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和.18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，底面梯形ABCD ，AD BC ∥，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB ∆是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===，M 是SD 上任意一点，SM mMD =u u u r u u u u r，且0m >.（1）求证：平面SAB ⊥平面MAC ；（2）试确定m 的值，使三棱锥S ABC -体积为三棱锥S MAC -体积的3倍.19. 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中 2.5PM 指数的监测数据，统计结果如下： PM2.5[]0,50(]50100， (]100150， (]150200， (]200250， (]250300，300>空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染中度重污染 重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S (单位：元)， 2.5PM 指数为x .当x 在区间[]0100，内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间(]100300，内时对企业造成经济损失成直线模型（当 2.5PM 指数为150时造成的经济损失为500元，当 2.5PM 指数为200 时，造成的经济损失为700元)；当2.5PM 指数大于300时造成的经济损失为2000元.（1）试写出()S x 的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？ 附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. 已知坐标平面上动点(,)M x y 与两个定点(26,1)P ，(2,1)Q ，且5MP MQ =. （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C ，过点(2,3)N -的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程. 21. 已知函数()ln f x x =. （1）证明：()1f x x ≤-；（2）若对任意0x >，不等式1()1a f x ax x-≤+-恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心为(3,)2π，半径为1的圆.（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求MN 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，函数()f x x a x b =++-的最小值为4. （1）求a b +的值； （2）求221149a b +的最小值.数学（文科）参考答案一、选择题1-5: BDACB 6-10: BDCDC 11、12：AC二、填空题13. 2-- 16. []3,4三、解答题17.解：（1）当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=.1a 也满足n a n =，故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知n a n =，故2(1)n n n b n =+-.记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++++-+-+-+L L . 记122222n A =+++L ，12342B n =-+-+-+L .则2212(12)2212n n A +-==--，(12)(34)[(21)2]B n n n =-++-+++--+=L .故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+-.18.（1）证明：在ABC ∆中，由于2,4,AB AC BC === ∴222AB AC BC +=，故AB AC ⊥.又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAB I 平面ABCD AB =. AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面SAB ，又AC ⊂平面MAC . 故平面SAB ⊥平面MAC . （2）11S MAC M SAC D SAC S ADC m m V V V V m m ----===++， ∴1+1123S ABC S ABC ABC S AMCS ACD ACD V V S m m m V m V m S m--∆--∆++=⋅=⋅=⋅=，解得2m =. 19.（1）根据在区间[]0100，对企业没有造成经济损失；在区间(]100300，对企业造成经济损失成直线模型（当 2.5PM 指数为150时造成的经济损失为500元，当 2.5PM 指数为200时，造成的经济损失为700元）；当 2.5PM 指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：[](]0,0,100,()4100,100,300,2000,(300,).x S x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200600S <≤，得150250w <≤，频数为39，39()100P A =, （3）根据以上数据得到如下列联表：2K 的观测值2100(638227) 4.575 3.84185153070k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 20. 解：（Ⅰ）由题意，得5MP MQ=5=，化简，得：2222230x y x y +---=， 所以点M 的轨迹方程是22(1)(1)25x y -+-=. 轨迹是以(11)，为圆心，以5为半径的圆. （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，:2l x =-， 此时所截得的线段的长为8=. 所以:2l x =-符合题意.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为3(2)y k x -=+， 即230kx y k -++=，圆心到l 的距离d =，由题意，得22245+=，解得512k =. 所以直线l 的方程为5230126x y -+=， 即512460x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =-或512460x y -+=. 21.解：（Ⅰ）令()()(1)g x f x x =--，则1()1g x x'=-. 当1,()0x g x '==.所以01x <<时，()0g x '>，1x >时，()0g x '<， 即()g x 在(01)，递增；在(1+)∞，递减； 所以()(1)0g x g ≤=，()1f x x ≤-. （Ⅱ）记1()ln a h x ax x x-=+-，则在(0+)∞，上，()1h x ≥， 222211(1)111()(0)a x x a ax x a a h x a x x x x x⎛⎫+-- ⎪--+-⎝⎭'=+-==>，① 若102a <≤，111a-+>，(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，()(1)210h x h a <=-≤， 这与(0+)∞，上()1h x ≥矛盾； ② 若112a <<，1011a<-+<，(1+)∞，上()0h x '>，()h x 递增，而(1)211h a =-<，这与(0+)∞，上()1h x ≥矛盾；③ 若1a ≥，110a-+≤，∴(0,1)x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减：(1,)x ∈+∞时()0h x '>，()h x 单递增；.∴min ()(1)211h x h a ==-≥，即()1h x ≥恒成立； ④ 若0a =，21()x h x x-+'=，(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；(1,)x ∈+∞时， ()0h x '<，()h x 单调递减，∴()(1)10h x h ≤=-<，这与(0+)∞，上()1h x ≥矛盾；⑤ 若0a <，110a-+<，(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；(1,)x ∈+∞时，()0h x '<, ()h x 单调递减，∴()(1)210h x h a ≤=-<，这与(0+)∞，上()1h x ≥矛盾.综上，实数a 的取值范围是[)1+∞，. 22. 解：（1）消去参数ϕ可得1C 的直角坐标方程为2214x y +=.曲线2C 的圆心的直角坐标为(03)，, ∴2C 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=. （2）设(2cos ,sin )M ϕϕ，则2MC=.∵1sin 1ϕ-≤≤，∴2min2MC =，2max4MC =.根据题意可得min 211MN =-=，max 415MN =+=， 即MN 的取值范围是[]1,5.23. 解：（1）因为，x a x b a b a b ++-≥--=+，所以()f x a b ≥+，当且仅当()()0x a x b +-<时，等号成立，又0a >，0b >，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b +，所以4a b +=. （2）由（1）知4a b +=，4b a =-.222222111113816131616(4)()49493699361313a b a a a a a +=+-=-+=-+ 当且仅当1613a =，3613b =时，221149a b +的最小值为1613.。
2018-2019学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)
2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β第1页（共33页）6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）第2页（共33页）A．[，5]B ．C ．D ．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．8B．4或C ．D ．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．012．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为第3页（共33页）14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．第4页（共33页）18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：租车时间t（分[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？第5页（共33页）20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积第6页（共33页）21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．第7页（共33页）[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．第8页（共33页）2018-2019学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共50分）1．（3分）（2018秋•太原期末）已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，则A ∩B＝（）A．{0，1}B．{1}C．{0，1，2}D．{0，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）（2011•永春县一模）复数＝（）A．1﹣i B ．C．i D．﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．第9页（共33页）【分析】本题是一个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，得到最简形式．【解答】解：复数＝＝＝＝﹣i故选：D．【点评】本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（3分）（2018秋•太原期末）已知tanα＝2，则tan2α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由二倍角的正切公式代入计算可得．【解答】解：∵tanα＝2，∴由二倍角的正切公式可得tan2α＝＝﹣故选：B．【点评】本题考查二倍角的正切公式，属基础题．4．（3分）（2019•浙江模拟）函数函数的大致图象为（）A ．B ．第10页（共33页）C ．D ．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x ﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用单调性和函数值的符号进行排除是解决本题的关键．5．（3分）（2018秋•太原期末）设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，下列命题是假命题的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得m⊥n；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由面面平行的性质定理得m∥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，知：第11页（共33页）在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故A正确；在B中，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故C正确；在D中，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．6．（3分）（2018秋•太原期末）已知点D是ABC 所在平面内一点，且满足，若，则x﹣y＝（）A ．﹣B．1C ．﹣D ．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量加减法即所给数乘关系，把所给等式转化为向量的关系式，可解x，y．【解答】解：∵，∴A，B，D共线，如图，且，∴，∵，第12页（共33页）∴，∴，∴，x ＝﹣，∴x﹣y ＝﹣，故选：C．【点评】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，难度适中．7．（3分）（2018秋•太原期末）将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（）A．[﹣，0]B．[0，]C ．D ．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】利用辅助角公式先化简f（x），然后根据三角函数的图象平移关系求出g（x），结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：＝sin2x +＝sin（2x +）+，第13页（共33页）将f（x ）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[2（x +）+]+＝sin（2x +）+＝cos2x +，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，则等k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，0]，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式求出f（x）和g（x）的解析式是解决本题的关键．8．（3分）（2019•日照一模）赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．第14页（共33页）【分析】设DF＝2AF＝2，由余弦定理求出AC ＝，由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是p ＝．【解答】解：设DF＝2AF＝2，则AC ＝＝，∴S△DEF ＝＝，＝∴由几何概型得：在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是：p ＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（3分）（2018秋•太原期末）已知实数x，y 满足，则实数的取值范围为（）A．[，5]B ．C ．D ．【考点】7C：简单线性规划．第15页（共33页）【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，则转化变形，再由的几何意义，即可行域上的动点（x，y）与定点P（﹣1，1）连线的斜率求解．【解答】解：由实数x，y 满足，作出可行域如图，∵＝1+，表示可行域上的动点（x，y）与定点D（﹣1，1），连线的斜率加1，A（1，4），B（3，2），z的最大值为AD 的斜率，最小值为BD 的斜率．则实数的取值范围为：[，]．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．10．（3分）（2018秋•太原期末）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第16页（共33页）A．8B．4或C ．D ．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：两种情况，是正方体的一部分，正方体的棱长为2，几何体的体积为：23﹣4××＝．或23﹣3××＝4．故选：B．第17页（共33页）【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．11．（3分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则f（1）＝（）A．﹣1B．﹣4C．﹣3D．0【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数单调性的性质分析可得f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，结合题意可得f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t的值，即可得函数f（x）的解析式，将x＝1代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意（0，+∞）都有＝﹣1成立，则有f（x）+为常数，设f（x）+＝t，（t＞0），则f（x ）＝﹣+t，又由＝﹣1，则f（t ）＝﹣+t＝﹣1，解可得t＝1或﹣2（舍），则f（x ）＝﹣+1，则f（1）＝﹣1；第18页（共33页）故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的解析式，属于综合题．12．（3分）（2018秋•太原期末）已知数列{a n}为等差数列，（{a n}≠1，n∈N*），，若，则f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝（）A．﹣22019 B．22020C．﹣2 2017D．22018【考点】8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】利用函数的关系，通过等差数列的关系，转化求解即可．【解答】解：因为，则a1+a2019＝1，＝，所以f（x）f（1﹣x ）＝＝4，所以f（a1）f（a2019）＝4，同理f（a2）f（a2018）＝4，f（a2019）＝＝﹣2，所以f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝﹣22019．故选：A．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共20分）13．（3分）（2018秋•太原期末）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为40第19页（共33页）【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】解：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200×＝40．故答案为：40【点评】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（3分）（2018秋•太原期末）命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用；5L：简易逻辑．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，通过特称命题是假命题，求出a的范围．第20页（共33页）【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2ax+1＞0”是假命题，∴原命题的否定，“存在实数x，使x2﹣2ax+1≤0”为真命题，∴△＝4a2﹣4≥0，∴a≤﹣1或a≥1．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．15．（3分）（2018秋•太原期末）在三棱锥PABC﹣中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积为【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．【分析】作出图形，取BC的中点E，证明BC垂直平面PGE，得出BC⊥PE，将题干中的二面角转化为其平面角，并计算出三棱锥P﹣ABC的高PG，然后利用公式可得出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，第21页（共33页）由于G为△ABC的外心，则GA＝GB＝GC，由题意知，PG⊥平面ABC，由勾股定理易得PA＝PB＝PC，取BC的中点E，由于G为△ABC的外心，则GE⊥BC ，且，∵PG⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则BC⊥PG，又GE⊥BC，PG∩GE＝G，∴BC⊥平面PGE，∵PE⊂平面PGE，∴PE⊥BC ，所以，，且平面PBC与平面ABC所成的二面角的平面角为∠PEG＝60°，∴，因此，三棱锥的外接球的直径为，所以，，因此，该三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了计算能力与推理能力，属于中等题．16．（3分）（2018秋•太原期末）已知定义在R上的可导函数f（x），对于任意实数x都有f（x）+f（﹣x）＝2，且当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜1，若f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．可得g（x）的图象关于（0，0）对称，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，从而可得当f（m）＞m+1，实数m的取值范围．【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣（x+1）．第22页（共33页）g（﹣x）+g（x）＝f（x）+f（﹣x）﹣2＝0．∴g（x）的图象关于（0，0）对称，g′（x）＝f′（x）﹣1＜0，（x＜0），即g（x）在（﹣∞，0）单调递减，∴g（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，由f（0）+f（﹣0）＝2，可得f（0）＝1而g（0）＝f（0）﹣（0+1）＝0，∴g（x）＞0⇒x＜0∴当f（m）＞m+1，则实数m的取值范围为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）【点评】本题考查了函数的单调性、对称性的应用．属于中档题．三、解答题17．（2018秋•太原期末）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1a2a3＝64，a2+1是a1，a3的等差中项，数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】33：函数思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a2与等比数列的公比，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由数列{a n+b n}的前n项和求得a n+b n，则数列{b n}的通项公式可求．【解答】解：（1）∵数列{a n}为等比数列，且a1a2a3＝64，∴，即a2＝4，第23页（共33页）又a2+1是a1，a3的等差中项，∴，即4q2﹣10q+4＝0，解得q＝2或q ＝（舍）．∴；（2）∵数列{a n+b n}的前n项和为S n＝n2+n，∴当n＝1时，S1＝a1+b1＝2．当n≥2时，．∴a n+b n＝S n﹣S n﹣1＝2n，经检验，n＝1满足上式，∴．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的通项公式，是中档题．18．（2018秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C 所对的边，．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sin B＝cos（B ﹣），整理可得tan B ＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．第24页（共33页）（2）由（1）及余弦定理，基本不等式解得ac≤4，根据三角形的面积公式可求面积的最大值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，由正弦定理，可得b sin A＝a sin B，又．∴a sin B＝a cos（B ﹣），即：sin B＝cos（B ﹣），整理可得：tan B ＝，∵B∈（0，π），∴B ＝．（2）由（1）及余弦定理可得：4＝a2+c2﹣2ac cos，可得：ac＝a2+c2﹣4，又a2+c2≥2ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≥2ac﹣4，解得ac≤4，∴S△ABC ＝ac sin B ≤＝．（当且仅当a＝c时等号成立）．故△ABC 面积的最大值为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．（12分）（2018秋•太原期末）为响应低碳绿色出行，某市推出‘’新能源分时租赁汽车‘’，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费得标准由以下两部分组成：（1）根据行驶里程数按1元/公里计费；（2）当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费；当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费；（3）租车时间不足1分钟，按1分钟计算．已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车第25页（共33页）上下班各一次，且每次租车时间t∈[20，60]（单位：分钟）．由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随即变量．现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表：[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]租车时间t（分钟）频数2182010将上述租车时间的频率视为概率．（1）写出张先生一次租车费用y（元）与租车时间t（分钟）的函数关系式；（2）公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月（按22天计算）给800元车补．从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；33：函数思想；4A：数学模型法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）根据题意当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.2t+11.8，可得函数的解析式；（2）先求出平均用车时间，即可求出判断．【解答】解：（1）当20≤t≤40时，y＝0.12t+15，当40＜t≤60时，y＝0.12×40+0.20×（t﹣20）+15＝0.2t+11.8，于是y＝，（2）张先生租用一次租用新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t＝25×+35×+45×+55×＝42.6，第26页（共33页）每次上下班租车的费用约为0.2×42.6+11.8＝20.32（元），一个月山下班租车费用约为20.32×22×2＝894.08＞800，估计张先生每月的车补不够上下班租用新能源汽车租赁汽车用，所以应选择公司接送车．【点评】本题考查了函数模型的应用，掌握分段函数的应用，属于中档题20．（2019•袁州区校级模拟）如图（1）在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC ＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折成如图（2）中△C1DE的位置，点P在C1B上，且C1P＝2PB．（1）求证：PE∥平面ADC1；（2）若∠ADC1＝60°，求三棱锥P﹣ADC1的体积【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行．【专题】14：证明题；31：数形结合；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，推导出四边形FPED为平行四边形，从而FD∥PE，由此能证明PE∥平面ADC1．（2）三棱锥P﹣ADC1的体积＝，由此能求出结果．【解答】证明：（1）在AC1上取F，使C1F＝2FA，连结DF，PF，第27页（共33页）∵在△C1AB中，C1P＝2PB，C1F＝2FA，∴FP∥AB，FP ＝，∵在△ABC中，AB＝3，DE＝2，DE∥AB，∴FP∥DE，FP＝DE，∴四边形FPED为平行四边形，∴FD∥PE，∵FD⊂平面ADC1，PE⊄平面ADC1，∴PE∥平面ADC1．解：（2）∵PE∥平面ADC1，∴，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE∥AB，∴DE⊥C1D，DE⊥AD，∴DE⊥平面AC1D，∵＝，AD＝2，∴C1D＝CD＝4，∵∠ADC1＝60°，∴C1A⊥AD，∴＝2，∴三棱锥P﹣ADC1的体积：＝＝＝．第28页（共33页）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝ax2+（a+2）x+lnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx+ax2+（2+a）x（a∈R）．∴＝＝，x＞0，当a＝0时，f′（x ）＝＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x ＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x ＞﹣，故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．第29页（共33页）（2）由（1）可知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，而f（1）＝2a+2＞0，不符合题意；当a＜0时，f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．只需f （﹣）＝﹣﹣1+ln （﹣）≤0即可，令﹣，则h（t）＝t﹣1+lnt单调递增，而h（1）＝0，∴t∈（0，1]，即，∴a≤﹣1．综上，a≤﹣1．【点评】本题考查利用导数研究函数的恒成立的问题求，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．[选做题]22．（2018秋•太原期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，曲线C1，C2有且只有一个公共点．（1）求a的值（2）设点M的直角坐标为（a，0），若曲线C1与C3：（θ为参数）的交点为A，B两个不同的点，求|MA|•|MB|的值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．第30页（共33页）【分析】（1）求出曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，由曲线C1，C2有且只有一个公共点，得曲线C1，C2相切，由此能求出a．（2）求出M（2，0），C3的普通方程为：＝1，求出曲线C1的参数方程，且曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，由此能求出|MA|•|MB|．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数a≠0），∴曲线C1的直角坐标方程为y ＝（x﹣a），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+＝0，∴曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝，∵曲线C1，C2有且只有一个公共点，∴曲线C1，C2相切，∴圆心C2（1，0）到直线C1的距离d ＝＝，解得a＝2或a＝0（舍）．综上，a＝2．（2）由（1）得M（2，0），∵C3：（θ为参数），∴C3的普通方程为：＝1，曲线C1的参数方程为，（t为参数），第31页（共33页）曲线C1是过M（2，0）的直线，把C1的参数方程代入曲线C3的普通方程，得：7t2+2t﹣5＝0，∴|MA|•|MB|＝|t1t2|＝．【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2018秋•太原期末）已知函数f（x）＝|x﹣m|+|2x﹣1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）若不等式f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】（1）去绝对值后分区间解不等式再相并；（2）转化为|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得．【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，所以f（x ）＝，∴或或，解得0＜x ＜第32页（共33页）所以不等式f（x）＜2的解集为{x |0}（2）由题意f（x）＜3﹣x对任意的x∈[0，1]恒成立，即|x﹣m|＜3﹣x﹣|2x﹣1|对任意的x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝3﹣x﹣|2x﹣1|＝，所以函数y＝|x﹣m|的图象应该恒在g（x）的下方，数形结合可得0＜m＜2【点评】本题考查了函数恒成立问题，属难题．第33页（共33页）。
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题理
山西省太原市2018届高三数学上学期期末考试试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|320}A x x =+>，{|(1)(3)0}B x x x =+->，则A B =（ ）A ．(,1)-∞-B ．(3,)+∞C ．2(,1)(,)3-∞--+∞ D ．2(1,)3-- 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，根据下列频率分布条形图（部分）可知，该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．1673.已知a ，b 都是实数，那么“22ab>”是“22a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件4.对于复数z ，定义映射:f z zi →.若复数z 在映射f 作用下对应复数2+3i ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限 C.第二象限 D ．第一象限 5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则8a =（ ） A ．21 B ．15 C.12 D ．96.已知1(,1)2x ∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，那么（ ）A ．a b c <<B ．c a b << C.b a c << D ．b c a <<7.已知sin()3πα-=，那么cos(2)3πα+=（ ）A ．59-B ．3- C.3D ．59 8.下图是实现秦九韶算法的一个程序框图，若输入的5x =，2n =，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s =（ ）A ．10B ．12 C.60 D ．65 9.51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．21 C.31 D ．5110.已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12 C.2 D ．311.已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（ ）A ．23 B ．43 C.83 D ．16312.已知函数()ln(1)f x x =+，()g x kx =（*k N ∈），若对任意的(0,)x t ∈（0t >），恒有2|()()|f x g x x -<，那么k 的取值集合是（ ）A ．{1}B ．{2} C.{1,2} D ．{1,2,3}第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数1()1x f x x +=-，[2,5]x ∈，则()f x 的最大值是 ． 14.不共线的三个平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且||||1a b ==，||3c =，则||=a b c +- ．15.已知2(log )270f x x =+，那么(0)(1)(6)f f f +++= ．16.已知三棱柱111ABC A B C -所有棱长均相等，且1160BAA CAA ∠=∠=︒，那么异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(21)n n S a =-，416a =，*n N ∈. （1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知tan tan tan A B A B +=.（1）求角C ；（2）若3c =，ABC ∆，求ABC ∆的周长. 19. 在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和7个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球.（1）设ξ表示摸出的红球的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）为了提高同学们参与游戏的积极性，参加游戏的同学每人可摸球两次，每次摸球后放回，若规定两次共摸出红球的个数不少于n ，且中奖概率大于60%时，即中奖，求n 的最大值.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AB ⊥，PD BC ⊥，3AB AD =，30BAD ∠=︒. （1）证明：AD PB ⊥；（2）若PD AD =，BC CD =，60BCD ∠=︒，求二面角A PB C --的余弦值.21. 已知函数()xmxf x e =-（0m ≠）有极小值. （1）求实数m 的取值范围；（2）若函数2()(ln 1)x h x x e x ax =+-+在0x >时有唯一零点，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，写清题号.如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C的极坐标方程2sin ρθθ=+.以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，且在两坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为,3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 相交的直线，该直线与直线l 所成的锐角为30︒，设交点为A ，求||MA 的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时点M 的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()|1||2|f x x x =++-2()54g x x x =-+-.（1）求不等式()5f x ≤的解集M ；（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x ≤+.试卷答案一、选择题1-5:BCDAB 6-10:CADDB 11、12：CA 二、填空题三、解答题17.由题得4431816a S S a =-==，解得12a =， 故122n n S +=-，则2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，令1n =，12a =成立， 所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）22n n n b =，222111(1)21222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=. 当12n ≤≤时，2210n n -++>，则1n n b b +>， 当3n ≥时，2210n n -++<，则1n n b b +<，故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减， 所以数列{}n b 的最大项为398b =.18.（1）由tan tan tan A B A B +=得tan tan tantan()1tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B++===--又0A B π<+<，则23A B π+=，故()3C A B ππ=-+=.另解：由已知得sin sin sin cos cos cos cos A B A BA B A B+=，则sin())0A B A B ++=，即tan()A B += 又0A B π<+<，则23A B π+=，故()3C A B ππ=-+=.（2）由余弦定理及（1），得2222cos3c a b ab π=+-，则229a b ab +-=，又1sin 2ABC S ab C ∆===6ab =， 则222()29227a b a b ab ab ab +=++=++=，即a b += 所以ABC ∆的周长为3+19.0,1,2,3,ζ=373107(0)24C P C ξ===，123731021(1)40C C P C ξ===，21373107(2)40C C P C ξ===， 333101(3)120C P C ξ===， 则ξ的分布列为ξ的数学期望为()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）设两次共摸出红球的个数为η，则0,1,2,3,4,5,6η=1(6)120120P η==⨯，42(5)120120P η==⨯，567(4)120120P η==⨯，2716(3)120120P η==⨯，5439(3)120120P η==⨯，4410(1)120120P η==⨯，1225(0)120120P η==⨯，则有14256727165439(2)60.8%120120P η++++≥=≈⨯， 则2n =.20.（1）由PD AB ⊥，PD BC ⊥，AB BC B =，得PD ⊥平面ABCD ，从而PD AD ⊥.又在ABD ∆中，又余弦定理得222212cos303BD AD AB AD AB AD =+-︒=， 则有222AD BD AB +=，所以90ADB ∠=︒，即AD DB ⊥，又PD DB D =，则有AD DB D ⊥=，则有AD ⊥平面PDB ，故AD PB ⊥.（2）以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，设AD，则A，P ，(0,1,0)B，1(,,0)22C -， 设平面APB 的一个法向量为(,,)m x y z =，则30,0,m AB y m BP y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩令1x =， 则y =1z =，故m =，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有310,20,n BC x y n BP y⎧=--=⎪⎨⎪=-+=⎩令1x =， 则有y =1z =-，故(1,1)n =-， 所以3cos ,||||55m n m n m n <>===-，由图知，二面角A PB C --的余弦值为35-. 21.（1）函数定义域为R ，(1)'()xm x f x e -=，令'()0f x =，得1x =，当0m >时，若1x >，则'()0f x >；若1x <，则'()0f x <，故'()0f x <在1x =处取得极小值，当0m <时，若1x >，则'()0f x <；若1x <，则'()0f x >，故'()0f x <在1x =处取得极大值.所以实数m 的取值范围是(0,)+∞.（2）函数2()(ln 1)xh x x e x ax =+-+在0x >时有唯一零点，即方程ln 1x x x a e x+-=-在0x >时有唯一实根，由（1）知函数()x x p x e =-在1x =处取得最小值1e-， 设ln 1()x g x a x +=-，2ln '()xg x x=-，令'()0g x =，有1x =， 列表如下故1x =时，max ()(1)1g x g a ==-，又0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0p x →，()gx a →-， 所以方程ln 1x x x a e x +-=-有唯一实根，11ae -=-或0a -≥，此时a 的取值范围为1{|1a a e=+或0}a ≤.22.（1）曲线C的直角坐标方程为2220x y y +--=， 表示圆心为C，半径为r =化为参数方程为1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）直线l30y -+=. （2）由题知点M 到直线l 的距离1||2d MA =，设点,1)M θθ. 则有点M 到直线l的距离d==其中cos3ϕ=-，sin 3ϕ=， 当sin()1θϕ+=，即2πθϕ+=时，max d=，max||MA = 此时cos sinθϕ==，sin cos θϕ==M ； 当sin()1θϕ+=-即32πθϕ+=时，min d =，min ||MA =， 此时cos sin θϕ=-=，sin cos θϕ=-=，(0,2)M .综上，点M 坐标为时，max ||3MA =，点M 的坐标为(0,2)时，min ||3MA =. 23.（1）()5|1||2|5f x x x ≤⇔++-≤，则有1,240,x x ≤-⎧⎨+≥⎩①或12,20,x -<<⎧⎨-≤⎩②或2,260,x x ≥⎧⎨-≤⎩③解①得21x -≤≤-，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤， 则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤.（2）2()0540g x x x ≥⇔-+≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x =≤≤， 所以{|13}MN x x =≤≤.当12x ≤≤时，()3f x =，2259()()354()24f xg x x x x --=-+=--， 由351222x -≤-≤-，有259()024x --≤，则()()3f x g x ≤+成立. 综上，()()3f x g x ≤+成立.注：以上各题，其他正确解法相应得分.。