2020年高考数学(理科)最后冲刺指导选择填空
2020高考理科数学考前最后一卷解析版 (9)
y
3x
4 3x
D． y lg x 4 lg x
8．已知 f x 是定义在 R 上不恒为 0 的函数，且对任意 a,b R ，有 f a b a f b b f a
成立， f 2 2 ，令 an f
2n
， bn
f 2n 2n
则有()
A．an 为等差数列
B．an 为等比数列
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
对于 A 和 D 选项不能保证基本不等式中的“正数”要求，对于 B 选项不能保证基本不等式中
的“相等”要求，即可选出答案.
【详解】
对于 A，当 x 0 时，显然不满足题意，故 A 错误.
对于 B， sin x 0 ， 4 0 ， sin x 4 2 4 4 .
程序框图的算法源于“中国剩余定理”,若执行该程序框图,当输入 N 49 时,则输出结果是()
1
A．58
B．61
C．66
D．76
3．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起
讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他
们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说
2
2
{x} ，即{x}=m .设函数 f x x x，二次函数 g(x) ax2 bx ，若函数 y f (x) 与 y g(x)
的图象有且只有一个公共点，则 a,b 的取值不．可．能．是（） A． a 4,b 1 B． a 2,b 1 C． a 4,b3]，f(x)≥0 恒成立，求 a 的取值范围； (3)当 a＞4 时，求函数 y＝f(f(x)＋a)零点的个数． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
2020高考数学最后十天压轴题 专题2.5 以数列求和或者通项公式为背景的填空题(解析版)
【举一反三】【山东省德州市 2019 届高三期末联考】已知数列 的前 项和为 ，满足
，数
列 满足
，则数列
的前 10 项和是___．
类型二 可转化为前 n 项和间的递推式的问题 典例 2 已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 1．当 n 2 时， an 2Sn1 n ，则 S2015 =（ ）
，则 a3 ______，
S7 ______.
9. 【湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考】已知数列 满足：
，
，
，
，且数列 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是____．
10．（2020·重庆一中高三期末（理））已知数列an 的前
n
项和为
Sn
，且满足
2Sn
an
1 3n
n N*
，
S2020 _______________.
的前 2019 项的和
__________．
7．数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在实数λ，使得数列
an 3n
为等差数列，则
λ＝________.
8．（2019·浙江高三月考）设数列an 的前 n 项和为
Sn
，满足
Sn
1n
an
1 2
n
n N
11 ．【河南省开封市 2019 届高三上学期第一次模拟】已知数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
满足
，
小值为__________．
，
，且
.若存在
，使得
成立，则实数 的最
12．【湖北省宜昌市 2019 届高三年级元月调考】已知数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，
2020届全国高考数学押题理科试卷(教师用卷)
泄露天机——高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
选择题30小题，填空题4小题，解答题14小题。
1.已知集合22{|log 1},{|60},A x x B x x x =≥=--<则()RA B 等于（ ）A.{|21}x x -<<B.{|22}x x -<<C.{|23}x x ≤<D.{|2}x x <2. 已知复数()4i 1ib z b R +=∈-的实部为1-，则复数z b -在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）1 C.14.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)2π上是减函数的是（ ）A ．3y x = B. sin y x =- C ．21y x =+ D ．cos y x =5.若()(),,,A a b B c d 是()ln f x x =图象上不同两点,则下列各点一定在()f x 图象上的是( )A.(),a c b d ++ B.()a c bd +， C.(),ac b d + D.(),ac bd6.双曲线22:13y C x -=的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（ ）A.12B.2C.D.27.在区间[]1,1-内随机取两个实数x ，y ，则满足12-≥x y 的概率是（ ）A.92B.97C.61D.568.执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．－12 C ．－3 D ．139.一个算法的程序框图如右图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为 ( )A.3B.4C.5D.610.若向量,a b 满足||||2==a b ，a b 与的夹角为60︒，a 在+a b 上的投影等于 ( )A.2 B.2C. 3D.4＋2 311.不等式组2503020x y x y x y +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤≥≤的解集记为D ，11y z x +=+，有下面四个命题： p 1：(,)x y D ∀∈，1z ≥ p 2：(,)x y D ∃∈，1z ≥p 3：(,)x y D ∀∈，2z ≤ p 4：(,)x y D ∃∈，0z <其中的真命题是 ( ) A ．p 1，p 2 B ．p 1，p 3 C ．p 1，p 4D ．p 2，p 312.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是（）13．一个几何体的三视图如图2所示(单位：cm)，则该几何体的体积是（）A.2333cmB.2233cmC.4763cmD.73cm14.若数列{na}满足11na－－1=nda（dNn,*∈为常数），则称数列{na}为调和数列．已知数列{1nx}为调和数列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，则165xx+等于（）A．10 B．20 C．30 D．4015.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.A．21B.158C.3116D.291616.在某次联考测试中，学生数学成绩X()()21000Nσσ>,，若,8.0)12080(=<<XP则)800(<<XP等于（）A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.217．由1,2,3,0组成没有重复数字的三位数，其中0不在个位上，则这些三位数的和为（）A.2544B.1332C.2532D.132018.已知()2cos2,21xxf x ax x=+++若π()3f=2,则π()3f-等于（）A.2- B.1- C.0 D. 119.函数()()sin 2()2f x A x πϕϕ=+≤部分图象如图所示，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B ．()x f 在5(,)36ππ上是减函数 C ．()x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 D ．()x f 在5(,)36ππ上是增函数20．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A.2-B.3- C ．125 D.131-21.设点A 、(),0F c 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点、右焦点,直线2a x c=交该双曲线的一条渐近线于点P ．若PAF ∆是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ） 332 D.222.过抛物线2y x ＝4焦点F 的直线交其于B A ,两点，O 为坐标原点．若3=AF ，则AOB ∆的面积为（ ）A.222 C.322223.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2c ，若圆12,C C 都在椭圆C 内，则椭圆C 离心率的范围是（ ）A ．1[,1)2 B ．1(0]2， C ．22D ．2(0]2，24.已知向量AB 、AC 、AD 满足AC AB AD =+,2AB =,1AD =,E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点．若54DE BF ⋅=-,则向量AB 与向量AD 的夹角为（ ） A ．π3 B ．2π3 C ．π6 D ．5π625.已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于R ∈∀1x ，∃唯一的R ∈2x ，使得()()21x f x f =.当()()b f a f 32=成立时，则实数=+b a ( )A.26 B.26- C.26+3 D.26-+3 26.函数2ln xy x=的图象大致为（ ）27.已知定义在(0,)2π上的函数()f x ,()f x '为其导数,且()()tan f x f x x '<恒成立，则（ ）3()2()43ππ>2()()64f ππ>3()()63f ππ< D.()12()sin16f f π<⋅28.若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条,则实数a 的取值范围是( )A.(),e -∞B.()e,+∞C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()1,+∞29.已知四边形ABCD 的对角线相交于一点,(1,3AC =,()3,1BD =-,则AB CD ⋅的最小值是（ ）A.2B.4C.2-D.4-30.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦31.已知边长为3的正ABC ∆的三个顶点都在球O 的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的表面积为________．32.设1>m ,当实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥12y x x y x y 时，目标函数my x z +=的最大值等于2，则m 的值是_______．33.已知数列{}n a 中,对任意的*n ∈N ,若满足123n n n n a a a a s ++++++=（s 为常数）,则称该数列为4阶等和数列,其中s 为4阶公和；若满足12n n n a a a t ++⋅⋅=（t 为常数）,则称该数列为3阶等积数列,其中t 为3阶公积,已知数列{}n p 是首项为1的4阶等和数列,且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 是公积为1的3阶等积数列,且121q q ==-,设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和,则2016S = ___________．34.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g=，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .35.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2cos 14sin sin B C B C -=+.(1)求A ；(2)若27a =，ABC ∆的面积23，求b c +.36.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，,4π=∠CAD 27=AC ，102cos -=∠ADB .（1）求C ∠sin 的值；（2）若ABD ∆的面积为7，求AB 的长.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，12a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 通项公式； (2)设数列{n b }满足3n nb a =，求适合方程1223145...32n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值.38.（本小题满分12分）设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，125,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1(2)n a nnb a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .39.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛，等级分为1至10分，随机调阅了A、B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：（1）计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2) 记事件C为“A校学生计算机优秀成绩高于B校学生计算机优秀成绩”．假设7分或7分以上为优秀成绩，两校学生计算机成绩相互独立．根据所给样本数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．41.（本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD 平面ABPE=AB，且2,1AB BP AD AE====，,AE AB⊥且AE∥BP．（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,AD CD AB CD ⊥122AB AD CD ===，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合．（1）当点M 是EC 中点时，求证：ADEF BM 平面//；（2）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积．43.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y ax 的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0=⋅NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AQ AP 、分别与y 轴交于点N M 、，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.45.（本小题满分12分）已知函数()ln 3f x a x ax =--（0a ≠）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()140f x a x e +++-≤对任意2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）； （3）求证：()()()()2222ln 21ln 31ln 41ln 112ln !n n ++++++⋅⋅⋅++<+（2n ≥，n *∈N ）．46.（本小题满分12分）已知函数()(1)()xf x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）.（1）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （2）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<.(2)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值． (3)选修4-5：不等式选讲设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m ；（2）若()222,,0,,2a b c a b c m ∈+∞++=，求ab bc +的最大值.(2)选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围.(3)选修4－5：不等式选讲已知函数()|2|,f x m x m =--∈R ,且(2)1f x +≥的解集A 满足[]1,1A -⊆． （1）求实数m 的取值范围B ；（2）若(),,0,a b c ∈+∞,0m 为B 中的最小元素且011123m a b c++=, 求证：9232a b c ++≥.泄露天机——高考押题 精粹数学理科本卷共48题，三种题型：选择题、填空题和解答题。
2020高考数学(理)考前题型增分特训：选填题专项8 Word版含解析
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项8时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(3－4i)z ＝|3－4i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B.45 C ．4D ．－45解析：因为(3－4i)z ＝|3－4i|，所以z ＝|3－4i|3－4i ＝32＋423－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5，所以z 的虚部为45，故选B. 答案：B2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∪B ＝R解析：由x 2－2x ＞0，得x ＞2或x ＜0，则A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，又B ＝{x |－5＜x ＜5}，所以A ∪B ＝R ，故选D.答案：D3．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%)，根据该图，以下结论中一定正确的是( )A ．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B ．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C ．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D ．华为的全年销量最大解析：对于选项A ，第四季度中，华为销量大于50%，三星和苹果总销量之和低于华为的销量，故A 错误；对于选项B ，苹果第二季度的销量大于苹果第三季度的销量，故B 错误；对于选项C ，第一季度销量最大的是华为，故C 错误；对于选项D ，由图知，四个季度华为的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D 正确，故选D.答案：D4．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13解析：因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7，故选C.答案：C5．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．± 2C ．±3D ．±2解析：由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1，故选A. 答案：A6．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524 C.1124D.124 解析：由题意可知三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13×14＝1124. 答案：C7．双曲线C ：x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2分别为其左，右焦点，其渐近线上一点G 满足GF 1⊥GF 2，线段GF 1与另一条渐近线的交点为H ，H 恰好为线段GF 1的中点，则双曲线C 的离心率为( )A.2B ．2C ．3D ．4解析：由题意得双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，不妨令G 在渐近线y ＝b a x 上，则H 在y ＝－ba x 上，设G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ，b a x ，由GF 1⊥GF 2得kGF 1·kGF 2＝－1，即bax x ＋c ·b ax x －c＝－1，解得x ＝a ，所以G (a ，b )，又H 恰好为线段GF 1的中点，所以H ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －c 2，b 2，因H 在y ＝－b a x 上，所以b 2＝－b a ×a －c 2，因此c ＝2a ，故离心率为2，故选B.答案：B8．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3B.π3C.2π3D.π6解析：∵b 2＋c 2－3bc ＝a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝3bc 2bc＝32. 由0＜A ＜π，可得A ＝π6.∵bc ＝3a 2，∴sin B sin C ＝3sin 2A ＝34，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－C sin C ＝34，即12sin C cos C ＋34(1－cos2C )＝34， 解得tan2C ＝3.又0＜C ＜5π6，∴2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.答案：A9．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 为BB 1上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是( )A ．平面AC 1E ⊥平面A 1BDB ．AE ∥平面CDD 1C 1C ．当E 为BB 1的中点时，△AEC 1的周长取得最小值D ．三棱锥A 1－AEC 1的体积不是定值解析：AC 1⊥平面A 1BD 是始终成立的，又AC 1⊂平面AC 1E ，所以平面AC 1E ⊥平面A 1BD ，故选项A 正确；平面AB 1∥平面C 1D ，所以选项B 正确；平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面上，则当E 为BB 1的中点时，AE ＋EC 1最小，故选项C 正确；，故选项D 不正确，故选D.答案：D10．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π＋5π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线y ＝－3x ＋1平行D ．若函数h (x )＝g (x )＋2的两个不同零点分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|的最小值为π2解析：根据函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象知，A ＝2，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，ω＝2πT＝1， 根据五点法画图知，当x ＝π6时，ωx ＋φ＝π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴f ′(x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12.令x ＋π12＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的对称轴方程为x ＝k π－π12，k ∈Z ，A 错误； 当x ＋π12＝2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π－π12时，k ∈Z ，函数g (x )取得最大值22，B 错误；g ′(x )＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12，假设函数g (x )的图象上存在点P (x 0，y 0)，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋1平行，则k ＝g ′(x 0)＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝－3，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0＋π12＝322＞1，显然不成立，所以假设错误，即C 错误；方程g (x )＝－2，则22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π12＝－22，∴x ＋π12＝3π4＋2k π或x ＋π12＝5π4＋2k π，k ∈Z ，即x ＝2k π＋23π或x ＝2k π＋76π，k ∈Z ；所以方程的两个不同的解分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|最小值为π2，故选D.答案：D11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤1，32B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，52C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3 D ．[2,3)解析：①作出x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1的图象．②由f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于原点对称，作出x ∈[－1,0]时，f (x )的图象．③由f (x )＝f (2－x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，由此作出函数f (x )在(1,3)内的图象，如图所示．④作出f (x )＝1的图象．由f (x )＝1及x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1可得4x －1＝1，解得x ＝12，从而由对称性知，在(1,3)内f (x )与y ＝1交点的横坐标为32，由图可知，在(1,3)上，f (x )≤1的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，3，故选C.答案：C12．三棱锥D －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为3的正三角形．若球O 的表面积为16π，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A.934 B.332 C ．2 3D ．33解析：由题意得△ABC 的面积为 12×3×3×sin π3＝934.又设△ABC 的外心为O 1，则AO 1＝23×323＝3.由4πR 2＝16π，得R ＝2. ∵OO 1⊥平面ABC ，∴OO 1＝1，∴球心O 在棱锥内部时，棱锥的体积最大． 此时三棱锥D －ABC 高的最大值为1＋2＝3， ∴三棱锥D －ABC 体积的最大值为 13×934×3＝934，故选A. 答案：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ，b 满足|b |＝2|a |＝1，a ⊥(a －b )，则a 与2a ＋b 的夹角的余弦值为________．解析：由a ⊥(a －b )得a ·b ＝14，|2a ＋b |＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝3，则a 与2a＋b 的夹角的余弦值为cos 〈a,2a ＋b 〉＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝2a 2＋a ·b|a ||2a ＋b |＝32.答案：3214．若⎠⎜⎛023x 2d x ＝n ，则(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n 的展开式中x －4的系数为________．解析：由⎠⎜⎛023x 2d x ＝n 可得 n ＝8，∴(1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x n ＝(1＋x 3)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8，二项展开式含有x －4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1x 8展开式中含有x －4和x －7，则二项展开式分别为C 48·24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 4和C 78·21·x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x 7，∴含有x －4的系数为C 48·24－C 78·21＝1104.答案：110415．已知点M(0,2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 坐标为________．解析：由抛物线方程得F(1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x得y 2－4my －4＝0，所以y 1y 2＝－4. 由∠AMF ＝π2，得AM→·MF →＝0. 又AM →＝(－x 1,2－y 1)，MF →＝(1，－2)， 所以－x 1－4＋2y 1＝0.又y 21＝4x 1，所以－y 214＋2y 1－4＝0，得y 1＝4.又y 1y 2＝－4，所以y 2＝－1.又y 22＝4x 2，所以x 2＝14，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－1 16．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n a n －1＝2a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1，则数列{b n }的前n 项和S n 的最小值为________． 解析：由题意知，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1＝1＋1a n －1－1＝1＋b n －1，则b n －b n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＝1a 1－1＝－13，∴数列{b n }是以－13为首项，1为公差的等差数列，b n ＝n －43.易知b 1<0，b 2>0，∴S n 的最小值为S 1＝b 1＝－13. 答案：－13。
2020年高考(理科)数学预测押题密卷最后一卷 试题
（2）若 f (x) a2 1 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
男生
8
女生
10
总计
20
50
（1）完成列联表，若规定前 20 名的学生为优等生，能否在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下，认为该班“成绩是否
1. 已知集合 A {x | y
x2
2x 3} ，全集U
R
，集合 B
{x |
1 2x 2
0} ，则 (CU
A) B
A. [2，3)
B. [1，3)
C. (2，3)
D. (1，3)
（）
2. 已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z(1 2i) i i2020 ，则 | z | 的值为
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线方程 y 0.7x 0.35 ，若把 x 的取
值当作样本，则样本 x 的方差与中位数的和为
.
15.已知 Sn 是等比数列{ an } 的前 n 项和， S3 ，S9 ，S6 成等差数列， a2 a5 4 ，则 a8
.
D.函数 f (x) 的最大值是 2 3 3 4
9.
如图，已知 G 是 ABC
的重心， H
是 BG 的中点，且 AB 2 ， AC 3 ， BAC
60°，则 AG·AH
（） （）
A. 20
B. 2
C. 5
D. 1
9
9
3
10.已知椭圆
C
：x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) ，点 M、N、F
2020高考新课标数学最后冲刺阶段专项突破(文理通用)
__________ 姓名：__________ 班级：__________一、选择题1．把函数sin ()y x x R =∈ 的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ）AC2．己知关于x 的不等式22ln 2(1)2x m x mx +-+≤在(0，＋∞)上恒成立，则整数m 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷3．(2019·大庆三模)若复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝1＋i ，则z 1z 2＝( )A ．iB ．－iC ．1D ．－1 4．已知两随机变量6X Y +=，若()8,0.5X B ，则()E X 和()D Y 分别为（ ）A. 6和4B. 4和2C. 6和2.4D. 2和45．以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 46．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是（ ）A. 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D.,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭评卷人 得分二、填空题7．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________8．若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O为坐标原点），则r =_____. 评卷人 得分三、解答题9．已知函数()2123f x x x =+--，()1g x x x a =++-. （l ）求()1f x ≥的解集；（2）若对任意的R t ∈，R s ∈，都有()()g s f t ≥.求a 的取值范围.10．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC ∠=︒.（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若2CD =，1AA AC λ=，二面角11C A D C --211C A CD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无 2．无 3．B 解析：{} B解析 ∵z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝1＋i ，∴z 2＝－1＋i ，∴z 1z 2＝1＋i－1＋i ＝(1＋i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2i 2＝－i.故选B. 4．B解析：B 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差的计算公式求得()E X 和()D X ；根据方差的性质可得到()()()6D Y D X D X =-=.【详解】由()8,0.5XB 可得：()80.54E X =⨯=，()()80.510.52D X =⨯⨯-=又6X Y +=，则6Y X =-()()()()()2612D Y D X D X D X ∴=-=-==本题正确选项：B【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的求解、方差性质的应用，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确． 故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．6．C解析：C 【解析】 【分析】设公比为q ，得到三角形三边为ba q=，c bq =，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列， 设公比为q ，则0q >，所以ba q=，c bq =， 由余弦定理得22222cos 2b b q b qB b bq q+-=⨯⨯221112q q ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭221112122q q ⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1q =时等号成立，又因为B 是ABC ∆的内角，所以03B π<<，所以角B 的取位范围是0,3π⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C .【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，其中解答中根据题设条件，利用余弦定理和基本不等式，求得1cos 2B ≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题7．【解析】 【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案 【详解】点在上，且，为的中点 故 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属解析：13【解析】 【分析】用,,a b c 表示,ON OM ，从而求出MN ，即可求出,,x y z ，从而得出答案 【详解】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点22=33OM OA a ∴=()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-==故21113223x y z ++=-++=故答案为13【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题8．【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离， 即，解得r=2，考点：直线与圆相交的性质解析：【解析】试题分析：若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y rr +=>交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x-4y+5=0的距离1201cos 22d r r ==，12r =，解得r=2， 考点：直线与圆相交的性质三、解答题9．(1)34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；(2){3x a ≥或}5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，进一步求出参数的取值范围.试题解析：（1）∵函数()2123f x x x =+--，故()1f x ≥，等价于21231x x +--≥，令210x +=，解得12x =-，令230x -=，解得32x =，则不等式等价于：()1 221321x x x ⎧<-⎪⎨⎪----≥⎩①，或132221(32)1x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≥⎩②，或3 221(23)1x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩③，解①求得x ∈∅，解②求得33 24x ≥≥，解③求得32x >，综上可得，不等式的解集为3{|}4x x ≥.（2）若对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，∵函数()212321234f x x x x x =+--≤+-+=，∴()4max f x =，∵()111g x x x a x x a a =++-≥+-+=+，故()1min g x a =+，∴14a +≥，∴14a +≥或14a +≤-，求得3a ≥或5a ≤-，故所求的a 的范围为{|3a a ≥或5}a ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 10．（1）见解析（2）4 【解析】 【分析】（1）若AA 1＝AC ，根据线面垂直的判定定理即可证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ； （2）建立坐标系，根据二面角C ﹣A 1D ﹣C 1的余弦值为24，求出λ的值，根据三棱锥的体积公式进行计算即可．【详解】解：（1）证明：连接1A C 交1AC 于E ，因为1AA AC =，又1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，所以四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，2,60AD CD ADC =∠=， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-⋅，所以3AC CD =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，又1AA CD ⊥， 所以CD ⊥平面11A ACC ，所以1CD AC ⊥，又因为1,CD A C C ⋂= AC 1⊥平面A 1B 1CD ； （2）如图建立直角坐标系，则()()()()112,0,0,0,23,0,0,0,23,0,23,23D A C A λλ()()112,0,23,2,23,23DC DA λλ∴=-=-，设平面11AC D 的法向量为()1111,,n x y z =，由111100n DC n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111202230x z x z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，解得()1111,03,0,1x z y n λ==∴=设平面1A CD 的法向量为()2222,,n x y z =由22100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220230x z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()22220,,0,,1x y z n λλ==-∴=- 由1212cos 4||3n n n n θλ⋅===⋅得1λ=，所以1,AA AC = 此时12,,CD AA AC === 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝ 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥体积的计算，根据二面角的关系建立坐标系求出λ的值是解决本题的关键．。
2020高考数学(理)考前题型增分特训：选填题专项7 Word版含解析
2020高考数学（理）考前题型增分特训选填题 “12选择＋4填空”专项7时间：45分钟 满分：80分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记复数z 的虚部为Im(z )，已知z 满足i z ＝1＋2i ，则Im(z )为( ) A ．－1 B ．－i C ．2D ．2i解析：由i z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2ii ＝()1＋2i i i 2＝2－i ，∴Im(z )＝－1，故选A.答案：A2．已知集合A ＝{}(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0，B ＝{}(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，则A ∩B 中的元素的个数为()A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2－6x ＋y 2－4y ＋9＝0}＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －2)2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋(y －2)2＝9}，∴圆心距d ＝[3－(－1)]2＋(2－2)2＝4，得1＝|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2＝5，∴两圆的位置关系为相交，∴A ∩B 中有2个元素，故选C.答案：C3．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则其离心率为( )A. 2B. 3 C．2 D．3解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，所以ba＝2，即b2＝2a2，而a2＋b2＝c2，所以c2＝3a2⇒c＝3a⇒e＝ca＝3，故选B.答案：B4．函数f(x)＝e x－1x的大致图象为( )解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)＝x e x－1－e x－1x2＝e x－1(x－1)x2.当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0＜x＜1，x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，显然当x>0时，f(x)>0；当x＜0时，f(x)＜0，故选B.答案：B5．在△ABC中，D为AB的中点，点E满足EB→＝4EC→，则ED→＝( )A.56AB →－43AC →B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC → D.43AB →＋56AC → 解析：因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.答案：A6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝18，a 3＝9，则a 6＝( ) A ．12 B ．15 C ．18D ．21解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝18，a 3＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝18，a 3＝a 1＋2d ＝9，解得a 1＝d ＝3，所以a 6＝a 1＋5d ＝18，故选C.答案：C7．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥EF ，AD ＝4，BC ＝3，AB ＝BF ＝EF ＝2，∠ABF ＝120°.则异面直线AF 与CD 所成角的余弦值为( )A.155B.156C.158D.1515解析：过点A 作CD 的平行线交CB 的延长线于点G ，连接FG ，则∠FAG 就是异面直线AF 与CD 所成的角或其补角．因为AD ∥BC ，AD ＝4，BC ＝3，所以BG ＝1.又AD ⊥平面ABF ，AD ∥BG ，所以AB ⊥BG ，BG ⊥BF ，所以AG ＝AB 2＋BG 2＝5，FG ＝FB 2＋BG 2＝ 5.由AB ＝BF ＝2，∠ABF ＝120°， 可得AF ＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝23，故在△AFG 中，由余弦定理得cos ∠FAG ＝AG 2＋AF 2－FG 22AG ·AF ＝(5)2＋(23)2－(5)22×5×23＝155.答案：A8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B ，则a 的值为( )A ．2 5B ．4C ．23D ．22解析：在△ABC 中，由A ＝2B ，a sin A ＝b sin B ，b ＝3，c ＝1，可得a2sin B cos B ＝3sin B，整理得a ＝6cos B ，∴由余弦定理得a ＝6×a 2＋1－92a，解得a ＝23，故选C.答案：C9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (－3)＜f (－log 313)＜f (20.6) B ．f (－3)＜f (20.6)＜f (－log 313)C ．f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)D ．f (20.6)＜f (－3)＜f (－log 313)解析：根据题意，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－3)＝f (3)，f (－log 313)＝f (log 313)，有20.6＜2＜log 313＜log 327＝3，又由f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则有f (20.6)＜f (－log 313)＜f (－3)，故选C.答案：C10．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12 C ．x ＝π18 D ．x ＝π24 解析：由图象过点A (0，3)，得2cos φ＝3，cos φ＝32，又|φ|＜π2，则φ＝±π6.因为图象是右平移，所以φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6.再由图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0得2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πω6－π6＝0，则πω6－π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，又ω＞0，则ω的最小值为4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6，当x ＝π24时，f (x )取得最大值2，所以x ＝π24是f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x －π6图象的一条对称轴，故选D.答案：D11．设两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24的展开式中x 2的系数为( )A ．12B ．3 C.52 D.72 解析：∵两直线l 1：x －2y －2＝0与l 2：ax ＋y ＋1＝0垂直，∴12·(－a )＝－1，求得a ＝2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫x a ＋1x －24＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋1x－24＝(x －2)816x 4，要求其展开式中x 2项，则是分子(x －2)8中展开式中的x 6项，所以它的展开式中x 2的系数为C 28·216＝72，故选D.答案：D12．已知正三棱锥A －BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E ，F ，G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点．若O 在三棱锥A －BCD 内，且三棱锥A －BCD 的体积是三棱锥O －BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为( )A.938B.3π2C.15π4D ．4π解析：如图所示， 平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面．正三棱锥A －BCD 中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD ，HD ，依题意，得V A －BCD ＝3V O －BCD ，所以AH ＝3OH ，设球的半径为R ，在Rt △OHD 中，OD ＝R ，HD ＝3，OH ＝R2，由勾股定理得R 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫R 22，解得R ＝2.由于平面EFG ∥平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ，球心O到平面EFG 的距离为KO ，则KO ＝R 4＝12，设平面EFG 截球O 所得截面的半径为r ，在Rt △KON中，r 2＝KN 2＝ON 2－KO 2＝R 2－14＝154，所以截面圆的面积为πr 2＝154π，故选C. 答案：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，则cos2α1－sin2α＝________.解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝13，所以tan α＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α1＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝1－131＋13＝12，所以cos2α1－sin2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α－2sin αcos α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)(cos α－sin α)2＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3. 答案：314．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中，x 2项的系数为________(用数字作答)．解析：二项式(1＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x r (r ＝0,1,2,3,4,5)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1x (1＋x 5)的展开式中x 2项为1×C 25x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x ×C 35x 3＝10x 2－10x 2＝0.答案：015．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝________.解析：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理得S n ＋1－2＝12(S n －2)，由于S 1－2＝－1，故S 5－2＝(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝－116，∴S 5＝3116.答案：311616．已知圆锥的顶点为S ，O 为底面中心，A ，B ，C 为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA ＝AB ，M 为SA 的中点．设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为________．解析：以AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设SA ＝AB ＝4，则M(0，－1，3)，C(x，y,0)，如图所示，由对称性不妨设x＞0，y＜0且x2＋y2＝4，则MC→＝(x，y＋1，－3)，易知平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，所以sinα＝MC→·m|MC→|×|m|＝xx2＋(y＋1)2＋3＝12×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－(y＋4)－12y＋4＋8≤4－23＝3－1，当且仅当y＝23－4时等号成立．综上，sinα的最大值为3－1.答案：3－1。
2020年高考理科数学选择、填空48个小考点满分冲刺
2020年高考理科数学选择、填空48个小考点满分冲刺考点1 集合的运算1．（2019内江三模）设全集U＝{x|1＜x＜3}，集合A＝{x|1＜x＜2}，则∁U A＝（ D ）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|2＜x＜3} D．{x|2≤＜x＜3}2．（2019桂林一模）已知集合A＝（0，2），B＝{y|y＝e x+1，x∈R}，则A∩B＝（ D ）A．（0，2）B．（1，+∞） C．（0，1） D．（1，2）3．（2019南宁一模）设全集U＝R，集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，则∁U（A∪B）＝（ C ）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x≤0或x≥1} C．{x|x≤﹣3} D．{x|x＞﹣3}4．（2019黔东南州模拟）已知集合A＝{（x，y）|y＝x}，B＝{（x，y）|x2+y2＝1}，则A∩B中元素的个数是（ B ）A．3 B．2 C．1 D．05．（2019昆明模拟）己知集合A＝{（x，y）|y＝﹣x}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A⋂B中元素的个数为（ B ）A．0 B．1 C．2 D．36．（2019成都七中模拟）设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）＝（ B ）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|x＜1}考点2 复数的运算1．（2019柳州一模）设i为虚数单位，则复数z＝的虚部为（ D ）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．（2019梧州一模）已知复数z的实部为﹣1，虚部为2，则＝（ A ）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（2019南宁一模）已知复数z1，z满足z1＝﹣1﹣i，z1z＝4，则复数在复平面内对应点的坐标为（ D ）A．（2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）4．（2019黔东南州模拟）已知复数z在复平面内对应的点为（1，1），（i为虚数单位），则＝（ D ）A．B．C．2 D．15．（2019曲靖二模）复数z满足（2+i）z＝|3+4i|（i为虚数单位）则对应的点所在象限为（ A ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2019广西八市联考）若复数z满足（1+z）（1+i）＝1+2i，i是虚数单位，则|z|＝（ A ）A．B．C．D．7．（2019江门一模）i是虚数单位，＝（ B ）A．i B．﹣i C．1 D．﹣18．（2019宜宾模拟）欧拉公式：e ix＝cosx+isinx（i为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，＝（ B ）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i解：由e ix＝cosx+isinx，得＝．考点3 统计图1．（2019汕头模拟）甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为σ甲、σ乙，则（ C ）A．＜，σ甲＜σ乙B．＜，σ甲＞σ乙C．＞，σ甲＜σ乙D．＞，σ甲＞σ乙2．（2019桂林模拟）某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ D ）A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势3．（2019内江市、眉山市等六市二模）国家统计局统计了我国近10年（2009年2018年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是（ B ）A．这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上B．从2010年开始GDP的增速逐年下滑C．这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长D．2013年﹣2018年GDP的增速相对于2009年﹣2012年，波动性较小4．（2019贵州模拟）2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况．为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（ C ）A．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通B．样本中多数女性是35岁以上C．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高解：由等高条形图，得：在A中，由左图知，本本中男性数量多于女性质数量，从而男性比女性更关注地铁一号线全线贯通，故A正确；在B中，由右图知女性中35岁以上的占多数，从而样本中多数女性是35岁以上，故B正确；在C中，由右图知35岁以的男性人数比35岁以上的女性人数少，故C错误；在D中，由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，故D正确．5．（2019昆明模拟）如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ C ）A．电视机销量最大的是第4季度 B．电冰箱销量最小的是第4季度C．电视机的全年销量最大 D．电冰箱的全年销量最大解：由某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，知：在A中，电视机销量所占面百分比最大的是第4季度，故A错误；在B中，电冰箱销量所占百分比最小的是第4季度，故B错误；在C中，电视机的全年销量最大，故C正确；在D中，电视机的全年销量最大，故D错误．6．（2019曲靖二模）图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号的同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（ B ）A．6 B．10 C．7 D．16考点4 简单的随机抽样1.（2019北京西城区模拟）一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为01至50号．为了解他们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（ D ）A．分层抽样法B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法2．（2019成都模拟）某单位有男女职工共600人，现用分层抽样的方法，从所有职工中抽取容量为50的样本，已知从女职工中抽取的人数为15，那么该单位的女职工人数为180 .3．（2019成都树德中学模拟）某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为47，则抽到的最小学号为 5 ．4．（2019湖北龙泉中学、荆州中学、宜昌一中模拟）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三乡中共抽出500人服役，则西乡比南乡多抽出的人数为（ C ）A．20 B．60 C．80 D．2005．（2019唐山三模）为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，0020，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读（为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行），即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ D ）16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75A．548 B．443 C．379 D．2176．（2019深圳二模）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（ C ）A．1 B．2 C．3 D．4考点5 概率的计算1．（2019宜宾模拟）如图，在边长为a的正方形内随机地撒一把豆子，落在正方形内的豆子粒数为m，落在阴影内的豆子粒数为n，据此估计阴影的面积为（ A ）A．B．C．D．2．（2019凉山州模拟）从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取一个数m，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数n，则使得m+n＝6的概率为（ A ）A．B．C．D．3．（2019贵阳、安顺二模）如图，在边长为a的正方形内随机投掷1000个点，若曲线C的方程为x2+y2＝a2，（x ≥0，y≥0，a＞0），则落入阴影部分的点的个数估计值为（ D ）A．600 B．667 C．750 D．7854．（2019峨眉山市模拟）在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（ C ）A．B．C．D．5．（2019攀枝花模拟）部分省份在即将实施的新高考中将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五科相同的概率为（ A ）A．B．C．D．解：新高考中将实行3+1+2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二．小明与小芳都准备选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，基本事件总数n＝＝36，他们所考六科中恰有五科相同包含的基本事件个数m＝＝24，∴他们所考六科中恰有五科相同的概率为p ＝＝．6．（2019汕头模拟）一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（）A．1﹣B．C．D．解：满足条件的正三角形ABC 如下图所示：其中正三角形ABC 的面积S 三角形＝×16＝4，满足到正三角形ABC 的顶点A 、B 、C 的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S 阴影＝2π， 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是：P ＝1﹣＝1﹣π．7．（2019云南二模）若A 、B 、C 、D 、E 五位同学随机站成一排照相，则A 站正中间且B 与C 相邻的概率为（ B ） A ．B ．C ．D ．解：A 、B 、C 、D 、E 五位同学随机站成一排照相，基本事件总数n ＝A ＝120，A 站正中间且B 与C 相邻包含的基本事件个数m ＝＝8，∴A 站正中间且B 与C 相邻的概率为p ＝＝．8．（2019曲靖一模）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ C ） A ．B ．C ．D ．解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x ，y ．则所有事件集可表示为0≤x ≤5，0≤y ≤5． 由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x ﹣y|≤2．三个不等式联立，则该事件即为x ﹣y ＝2和y ﹣x ＝2在0≤x ≤5，0≤y ≤5的正方形中围起来的图形 即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52＝25，阴影部分的面积25﹣2×（5﹣2）2＝16， 所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为．考点6 线性回归方程1．（2019四川名校联考）已知变量x 与y 线性相关，由观测数据算得样本的平均数，，线性回归方程a xb yˆˆˆ+=中的系数b ，a 满足b ﹣a ＝2，则线性回归方程为（ D ） A ．B ．C ．D ．2．（2019江西重点中学联考）如表是某个体商户月份x 与营业利润y （万元）的统计数据：由散点图可得回归方程y ＝﹣0.7x+a ，据此模型预测，该商户在5月份的营业利润为（ B ） A ．1.5万元B ．1.75万元C ．2万元D ．2.25万元3．（2019广州名校冲刺）已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如表对应数据根据表中数据可得回归方程a x b yˆˆˆ+=，其中，据此估计，当投入6万元广告费时，销售额约为（ B ）万元A ．60B ．63C ．65D ．694．（2019甘肃模拟）根据如下样本数据：得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=．样本点的中心为（3，0.1），当x 增加1个单位，则y 近似（ A ） A ．增加0.8个单位 B ．减少0.8个单位 C ．增加2.3个单位D ．减少2.3个单位5．（2019湖北七市联考）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：（x 1，y 1）（（x 2，y 2）（x 3，y 3），（x 4，y 4）（x 5，y 5）根据收集到的数据可知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5＝100，由最小二乘法求得回归直线方程为y ＝0.67x+54.8，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为（ B ） A ．68.2B ．341C ．355D ．366.26．（2019峨眉山市模拟）如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为＝0.7x+0.35，那么表中m 值为（ D ）A ．4B ．3.15C ．4.5D ．3考点7 简单空间图形的三视图1.（2018桂林、百色、梧州等联考）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1中点，用平面AEC 1截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正（主）视图为（ B ）A． B． C． D．2.（2019山东模拟）如图正方体AC1，点M为线段BB1的中点，现用一个过点M，C，D的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（ B ）A．B． C． D．3.（2019长沙模拟）如图，在正方体AC1中，E，F，G，H分别是AA1，BB1，CD，C1D1的中点，则四面体EFGH在平面CC1D1D上的正投影是（ C ）A．B． C． D．4．（2019四川百校冲刺）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，1），（1，0，1），则该四面体在yOz平面内的投影为（ D ）A． B． C． D．解：一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是O（0，0，0），A（1，2，0），B（0，2，1），C（1，0，1），则建立空间直角坐标系：如图所示：所以该四面体在平面yoz平面内的射影为矩形，其中AC的射影为虚线，OB为实线．5.（2018资阳模拟）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各面上的投影不可能是（ B ）A．三角形B．正方形 C．四边形 D．等腰三角形解：光线由上向下照射可以得到的投影如下：，光线有面ABB1A1照射，可以得到的投影如下：，光线由侧面照射可以得到的投影如下：．6.（2019成都七中一模）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直观图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（ B ）A． B． C． D．考点8 简单逻辑用语1．（2019桂林一模）“方程x2+y2﹣4y+k＝0表示一个圆”是“0＜k＜4”的（ B ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2019湖北省龙泉中学、随州一中、天门中学模拟）命题“若a2+b2＝0则a＝0且b＝0”的否定是（ B ）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2＝0，则ab≠0C．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0 D．若a2+b2＝0，则a2+b2≠03．（2019昆明模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（ A ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2019贵州模拟）设θ∈R，则“0＜θ＜”是“sinθ+cos2θ＞1”的（ A ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（2019凉山州模拟）命题p：是的充分不必要条件；命题q：x＞1是的充要条件，则以下为真命题的是（ B ）A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q 6．（2019梧州一模）下列四个结论中正确命题的个数是（ C ）①命题“若f（x）是周期函数，则f（x）是三角函数”的否命题是“若f（x）是周期函数，则f（x）不是三角函数”；②命题“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”；③在△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件；④当a＞0时，幂函数y＝x a在区间（0，+∞）上单调递增．A．1个B．2个C．3个D．4个考点9 平面向量1．（2019云南一模）设向量＝（x﹣1，x），＝（﹣1，2），若，则x＝（ C ）A．B．﹣1 C．D．2．（2019广西八市联考）已知向量＝（1，5），＝（2，﹣1），＝（m，3），若⊥（），则m＝ 3 ．3．（2019桂林一模）已知平面向量的模都为2，且＜，＞＝90°，若＝λ（λ≠0），则＝（ A ）A．4 B．C．2 D．04．（2019桂林模拟）已知||＝4，||＝1，＝2，则向量2﹣在方向上的投影为 3 ．5．（2019贵州模拟）在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则•（）＝（ D ）A．8 B．12 C．16 D．206．（2019曲靖二模）已知平面向量与满足：＝（，﹣1），|＝3，＝2，则向量与的夹角θ＝（ C ）A．B．C．D．7．（2019曲靖一模）已知不共线向量、，＝t﹣（t∈R），＝2+3，若A、B、C三点共线，则实数t等于．8．（2019渭南模拟）如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t+，则实数t的值为（ C ）A．B．C．D．解：由题意及图，＝，又，＝，所以＝，∴＝+（1﹣m），又＝t+，所以，解得m＝，t ＝．考点10 函数的值与分段函数1．（2019呼和浩特二模）函数f（cosx）＝cos2x，那么f（）的值为（ C ）A．B． C． D．2．（2019贵阳、安顺二模）已知f（x）＝e ax﹣e﹣ax+2（a∈R），若f（3）＝1，则f（﹣3）＝（ D ）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（2019绵阳模拟）函数f（x）＝，则f（9）＝ 1 ．4．（2019桂林一模）已知函数，若f（a）＝2，则实数a＝（ D ）A．﹣1 B．4 C．或1 D．﹣1或45．（2019成都双流中学一模）已知函数f（x）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝﹣4 ．6．（2019曲靖二模）已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4满足，x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则x1x2+x3+x4＝13 ．解：如图所示，由图象可知，﹣log2x1＝log2x2，即log2（x1x2）＝0，所以x1x2＝1，由对称性可知，x3+x4＝2×6＝12，所以x1x2+x3+x4＝13．考点11 简单线性规划1．（2019保山一模）已知x，y满足不等式组，则x﹣2y的最大值为﹣12．（2019雅安模拟）已知实数x，y满足，则的最大值为（ D ）A．B．C．D．13．（2019广西八市联考）已知x，y满足条件，若z＝x+2y的最小值为0，则m＝（ B ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2019绵阳模拟）已知变量x，y满足，则x2+y2的最大值为（ A ）A．10 B．5 C．4 D．25．（2019昆明模拟）若x，y满足约束条件且z＝x+2y，则（ C ）A．z有最小值也有最大值B．z无最小值也无最大值C．z有最小值无最大值D．z有最大值无最小值6．（2019曲靖二模）若点M（x，y）（其中x，y∈Z）为平面区域内的一个动点，已知点A（3，4），O为坐标原点，则的最小值为13 ．考点12 推理与证明1．（2018柳州一模）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ C ）A．壬子年B．辛子年C．辛丑年D．庚丑年2．（2019成都树德中学模拟）今年春节期间，甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（ A ）A．甲B．乙C．丙D．丁3．（2019汕头模拟）甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为A，B，C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是甲．4．（2018百色模拟）甲、乙、丙、丁四支足球队举行足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负．若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、三负、一胜两负，则丁队的比赛成绩是（ D ）A．两胜一负B．一胜两负C．三负D．三胜解：由题意可得，甲、乙、丙、丁四支足球队举行足球友谊赛，每支球队都要与其它三支球队进行比赛，且比赛要分出胜负，则共需进行＝6场，∵每场都会产生胜方和负方，∴比赛共产生6胜6负，∵甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、全败、一胜两负，已有3胜6负，∴丁队的比赛成绩是全胜，即3胜．5．（2019昆明模拟）数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（ B ）A．S2019＝F2021+2 B．S2019＝F2021﹣1C．S2019＝F2020+2 D．S2019＝F2020﹣1解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2＝F n+F n+1＝F n+F n﹣1+F n＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣1＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+F n﹣2＝…＝F n+F n﹣1+F n﹣2+F n﹣3+…+F2+F1+1，∴S2019＝F2021﹣1．6．（2018东北三省四市联考）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ C ）A．B．C．D．考点13 直线方程1．（2019浙江西湖区模拟）若直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相垂直，则实数a＝（ B ）A．1 B．﹣2 C．﹣D．﹣2．（2018曲靖一模）已知直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：（a+1）x﹣ay+4＝0垂直，则a为（ D ）A．1 B．0 C．﹣1 D．0或13．（2019重庆一中模拟）已知直线l1：mx+（m﹣3）y+1＝0，直线l2：（m+1）x+my﹣1＝0为，若l1⊥l2则m＝（ A ）A．m＝0或m＝1 B．m＝1 C．m＝﹣D．m＝0或m＝﹣4．（2019宝鸡二模）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ A ）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．5．（2019珠海二模）若直线y＝2x与直线（a2﹣a）x﹣y+a+1＝0平行，则a＝（ B ）A．a＝﹣1 B．a＝2 C．a＝﹣1或2 D．a＝1或﹣26．（2018兰州模拟）已知直线3x+4y+3＝0与直线6x+my﹣14＝0平行，则它们之间的距离是（ A ）A．2 B．8 C．D．考点14 由三视图求面积、体积1．（2019柳州一模）如图，在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图都是边长为2的等边三角形，左视图是等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为 1 ．2．（2019贵阳一模）某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则此几何体的体积为（ B ）A．6 B．9 C．12 D．183．（2019汕头模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ B ）A．B．C．D．2解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝AB＝1，CD＝2．由图求得PD＝，BC＝，PB＝，PC＝．∴则该几何体的最大边长为．4．（2019曲靖二模）我国南北朝时期数学家、天文学家﹣祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思个是两等高几何体，若在每一等高处的两截面面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足祖暅原理，则该不规则几何体的体积为（ D ）A．B．C．8﹣2πD．8﹣5．（2019广西八市联考）已知一个四棱锥的三视图如图，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为（ B ）A．4B．6 C．4D．4解：由三视图可得该四棱锥为P﹣ABCD，由题中数据可得AB＝BC＝2，CD＝＝，AD＝＝，BP＝＝4，CP＝＝2，DP＝＝，AP＝＝6，即最长的棱为AP，长度为6．6．（2019梧州一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ C ）A．B．C．13 D．解：由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示，则CC′⊥平面ABC，上下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2．∴棱台的上底面积为＝，下底面积为＝2，梯形ACC′A′的面积为（1+2）×2＝3，梯形BCC′B′的面积为＝3，过A作AD⊥A′C′于D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，∴AE＝＝．∴梯形ABB′A′的面积为（）×＝．∴几何体的表面积S＝＝13．考点15 球的有关问题1．（2019曲靖一模）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（ B ）A．8πcm2B．12πcm2 C．16πcm2 D．20πcm22．（2019贵阳、安顺二模）某几何体的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ B ）A．4πB．6πC．8πD．10π3．（2019云南二模）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝2，BC＝2，若球O的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是（ A ）A．16 B．15 C．8D．4．（2019南宁一模）已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为2．若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（ B ）A．4 B．6 C．8 D．10解：如下图所示，设两圆的圆心为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，中点为E，因为圆心到这两个平面的距离相等，则OO1EO2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r，，，又|OE|2+|AE|2＝|OA|2，即32﹣2r2+2＝16，则r2＝9，r＝3，所以，这两个圆的半径之和为6．5．（2019梧州一模）设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则三个三角形的面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是（ B ）A．4 B．8 C．12 D．16解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c，因为AB，AC，AD两两互相垂直所以a2+b2+c2＝4×22S△ABC+S△ACD+S△ADB＝（ab+ac+bc）≤（a2+b2+c2）＝8．即最大值8．6．（2019桂林模拟）在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC，DB＝DC，AB+DB＝4，AB⊥BD，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积的最小值为．解：∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，∴△ABD≌△ACD，又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，∴棱锥外接球的最小半径为AD＝，∴外接球的最小体积为V＝＝．考点16 直线、平面之间的位置关系1．（2019贵州模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n③若m∥α，n⊂α，则m∥n④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n其中正确命题的序号是（ D ）A．①④B．①②C．②③④D．④2．（2019南宁一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（ A ）A．B．C．D．3．（2019广西八市联考）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝3，BC＝3，AB＝3，AA1＝4，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为．4．（2019黔东南州一模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为（ A ）A．B．C．D．解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），四面体OABC的外接球的表面积为6π，∴OA，OB，OC两两垂直，∴＝6π，解得m2＝2，∴＝（2，0，﹣1），cos＜，＞＝＝．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．5．（2019曲靖二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A．B．C．D．解：如图，分别取棱CC1、BC、AB、AA1、A1D1的中点M、N、G、Q、P，则PE∥A1C1∥GN，EM∥A1B∥GQ，PQ∥BC1∥MN，∴平面EMNGQP∥平面A1BC1，∵点F在正方体内部或正方体的表面上，若EF∥平面A1BC1，∴动点F的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴PE＝EM＝MN＝NG＝GQ＝PQ＝，PN＝，∴E到PN的距离d＝＝，∴动点F的轨迹所形成的区域面积：S＝2S梯形PNME＝2×＝．6．（2019桂林一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，AB⊥AC，点E为棱AA1的中点，则点C1到平面B1EC的距离等于（ C ）A．B．C．D．1解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，AB⊥AC，∴以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵点E为棱AA1的中点，∴C1（0，1，1），B1（1，0，1），E（0，0，），C（0，1，0），＝（0，1，），＝（1，0，），＝（0，1，﹣），设平面B1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），∴点C1到平面B1EC的距离为：d＝＝＝．考点17 同角三角函数间的基本关系与诱导公式1．（2019云南二模）已知P（3，4）是角α的终边上的点，则cos（π+α）＝（ B ）A．﹣B．﹣C．D．2．（2019昆明模拟）若tanα＝3，则sin2α＝（ A ）A．B．﹣C．﹣D．3．（2019四川模拟）已知sinα＝，则cos（π﹣2α）＝（ C ）A．B．C．﹣D．﹣4．（2019南宁一模）已知α∈（﹣），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ A ）A．B．C．D．5．（2020广州天河区一模）已知cos（θ+）＝，＜θ＜，则sin2θ的值等于（ C ）A．B．C．D．6．（2019东北三省四校四模）已知，则＝（ B ）A．B．C．D．解：∵已知，则＝﹣sin（﹣α）＝﹣sin[π﹣（α+）]＝﹣sin（α+）＝﹣．考点18 两角和与差的三角函数1．（2019柳州一模）定义：＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2，则＝（ C ）A．0 B． C． D．12．（2019宜宾模拟）已知，α∈（﹣π，0），则＝（ C ）A．B．7 C．D．﹣73．（2019齐齐哈尔三模）已知角α的顶点为坐标原点始边为x轴正半轴，终边过点（﹣1，2）则sin（α+）（ A ）A．B．C．D．4．（2019黔东南州一模）已知sinα+3cosα＝﹣，则tan（α+）＝（ B ）A．﹣2 B．2 C．﹣D．解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，则（3tanα﹣1）2＝0，即．则tan（α+）＝．5．（2019三明模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（3，4）．若角β满足tan（α+β）＝2，则tanβ＝（ B ）A．﹣2 B．C．D．解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（3，4），∴tanα＝，若角β满足tan（α+β）＝2，则tanβ＝tan[（α+β）﹣α]＝＝．6．（2019云南名校联考）＝ 1 ．解：．考点19 二倍角公式1．（2019桂林、崇左二模）已知sin（）＝2cos（），则sin2θ＝（ C ）A．B．C．D．解：由sin（）＝2cos（），得tan（）＝2，即，∴，则tan．∴sin2θ＝．2．（2019桂林一模）已知sin2，且0＜α＜，则sin（﹣α）＝（ D ）A．﹣B．C．D．﹣解：∵0＜α＜，由sin2＝cos（﹣2α）＝1﹣2，∴sin（﹣α）＝，则sin（﹣α）＝﹣sin（﹣α）＝﹣3．（2019云南一模）已知α，β都为锐角，若tanβ＝，cos（α+β）＝0，则cos2α的值是（ B ）A．B．C．D．4．（2019曲靖一模）已知，则sin2x的值为（ D ）A．B．C．D．5．（2019曲靖二模）已知α∈（，π），且sinα+cosα＝﹣，则cos2α＝（ A ）A．B．C．D．解：∵α∈（，π），且sinα+cosα＝﹣，∴1+2sinαcosα＝，2sinαcosα＝﹣＜0，∴sinα＞0，cosα＜0．cosα﹣sinα＜0．…（6分）又∵（cosα﹣sinα）2＝1﹣2sinαcosα＝，从而有：cosα﹣sinα＝﹣，∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（﹣）×（﹣）＝．6．（2019深圳高中模拟）若，α是第三象限的角，则＝（ A ）A．B．C．2 D．﹣2解：由，α是第三象限的角，∴可得，则．考点20 三角函数的图象与性质1．（2019曲靖一模）函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数图象（ D ）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称2．（2019宜宾模拟）已知函数，则下列关于它的说法正确的是（ B ）A．图象关于y轴对称 B．图象的一个对称中心是C．周期是 D．在上是增函数．3．（2019桂林一模）已知函数f（x）＝cos2ωx（ω＞0）在（0，）内存在两条互相平行的切线，则ω的取值范围（1，+∞）解：函数f（x）＝cos2ωx（ω＞0）在（0，）内存在两条互相平行的切线，故区间（0，）的长度大于个周期，即＞，∴ω＞1．4．（2019柳州一模）关于函数y＝2sin（2x+）+1，有下列叙述：（1）其图象关于直线x＝对称；。
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2020年高考数学(理科)最后冲刺指导选择填空-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年高考数学（理科）最后冲刺指导理科数学每年必考的知识点有：复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。
理科数学每年常考的知识点有：常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。
1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题9 年高考都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。
常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、Z N N 、、*、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式x a 永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x 还是y 。
例1、已知集合，，则MN =（ D ） A ．∅ B ．C ．{}3,2D ．[3,3]-例2、已知集合，集合，则(A B = C )A ．(0,)+∞B ．(1,)-+∞C ．[0，)+∞D ．[1-，)+∞例3、集合，，则=B A （ C ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞例4、设集合，则(AB = B )A ．ϕB ．(3,4)C ．(2,1)-D ．(4,)+∞例5、已知集合，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为( B ) A ．(4,)+∞B ．[4，)+∞C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞（2）常用逻辑用语小题9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定p ⌝与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。
简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。
例6、命题“x R ∀∈，210x x -+”的否定是( B ) A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．0x R ∃∈，C ．0x R ∃∈，2010x x -+ D ．0x R ∃∈，2010x x -+ 例7、设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例8、以下说法错误的是( D ) A ．命题“若“，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则”B ．“2x =”是“”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在0x R ∈，使得，则p ⌝：对任意x R ∈，都有210x x -+D ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题 2、复数小题9 年 高考，每年 1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。
无法直接计算时可以先设bi a z +=。
例9、复数21iz i-=+（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数(z = C ) A ．1322i - B ．1322i --C ．1322i + D ．1322i -+例10、已知z 的共轭复数是z ，且为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于(D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、平面向量小题9 年 高考，向量题考的比较基础，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较），这样有利于考查向量的基本运算，符合考试说明。
数量积问题有坐标按照坐标算2121y y x x b a +=⋅→→，没有坐标按照模运算θcos →→→→=⋅b a b a ；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、矩形、正方形、直角梯形等）、投影问题记牢运算方法→→→→⋅=aba b θcos 。
通过三角形法则和平行四边形法则转化也很重要；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且向量不能反向（夹角为π）；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方。
例11、已知i 与j 为互相垂直的单位向量，=2-a i j ，=λ+b i j ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ C ）A.），（），（∞+32322-B.），（∞+21C.），（），（212-2-- ∞D.），（21-∞ 例12、已知向量a ，b 满足，且(2)a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为( D )A ．1B ．2-C ．2D ．1-例13、已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =，则2a b +与b 的夹角是( D ) A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π例14、已知平面向量a ，b 夹角为30︒，||3a =，||2b =，|2|a b +=31 ；例15、两个不共线向量OA 、OB 的夹角为θ，M 、N 分别为线段OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且，则22x y +的最小值为___81____．例16、已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 的中点，且23BP BC =，则(AD AP = B ) A ．3 B ．1 C ．3 D ．3例17、在平行四边形ABCD 中，2AB =，4AD =，4AB AD =，E 为AB 的中点，则(CE BD = C ) A ．4- B ．8- C ．12- D ．16- 4、线性规划小题9 年高考，全国卷线性规划题考的比较基础，一般不与其它知识结合，不象部分省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目标函数（斜率、距离等）， 如 2015 年新课标 15 题。
平移目标函数最准确三大常见考法：截距型、斜率型、距离型；斜率型注意范围是取中间还是取两边；距离型最小值注意是点点距离最小还是点线距离最小。
含参问题包括约束条件含参和目标函数含参，注意动变静、动静结合；面积问题。
例18、已知x ，y 满足约束条件，则2z x y =+的最大值是( C )A ．0B ．2C ．5D ．6例19、已知不等式组表示的平面区域为等边三角形,则z=x+3y 的最小值为（ D ）A .2+3B .1+3C .2+D .1+例20、已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖，则实数k 的值是（ D ） A ．3B ．4C ．5D ．6例21、如果点(,)P x y 满足，点Q 在曲线上，则||PQ 的取值范围是( D )A ．[51101]B ．[51101]+C ．[101，5]D ．[51，5]例22、已知0x >，0y >，且121x y+=，则xy x y ++的最小值为 743+ ． 5、三角函数小题9 年高考，每年至少 1 题．题目难度较小，主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013 年 15题对化简要求较高，难度较大2016年和2018年的考法也是比较难的，所以当了压轴题。
2019年选择题2道题涉及三角函数，主要考查三角函数的图像性质。
三角函数的定义式：会巧妙利用定义求解sin 、cos 、tan ，但要注意正负；熟练诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式，符号问题太重要；牢记sin 、cos 、tan 的图像性质；整体思想。
出现-2π、2π、π、π23、π2等的时候记着用诱导公式，其他角的形式用两角和与差公式展开或合并；αα22cos ,sin 用降幂公式的较多；巧妙选择倍角公式进行凑角和转化；巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。
1)sin(=+ϕωx 时，ππϕωk x 22+=+；1)cos(=+ϕωx 时，πϕωk x 2=+；1-)sin(=+ϕωx 时，ππϕωk x 22-+=+；1-)cos(=+ϕωx 时，ππϕωk x 2+=+； 0)sin(=+ϕωx 时，πϕωk x =+；0)cos(=+ϕωx 时，ππϕωk x +=+2；)sin()(ϕω+=x x f 时，求对称轴，则ππϕωk x +=+2；求对称中心，则πϕωk x =+，求出x 为横坐标，纵坐标为0；)cos()(ϕω+=x x f 时，求对称轴，则πϕωk x =+；求对称中心，则ππϕωk x +=+2，求出x 为横坐标，纵坐标为0；选择题验证对称轴的方法：将选项中的直线x=。
代入解析式，若sin 或cos 取得1±就是对称轴；选择题验证对称中心的方法：将选项中的点代入解析式，横纵坐标都成立则为对称中心；），（0,0)sin()(>>++=ωϕωA B x A x f 求解思路：A+B=最大值，-A+B=最小值；Tπω2=；代点求ϕ，多个ϕ值满足要求时，可以通过ϕsin )0(A f =的正负进行判断；单调区间的求解必须保证x ω为正。
例23、已知，则sin x 的值为( B )A ．210-B ．210C ．7210D ．7210-例24、已知α为锐角，且4tan 3α=，则A )A ．2425-B ．1625-C ．35D ．34例25、已知为锐角，则sin()αβ+的值为( D )A ．372212-B ．321412- C ．372212+ D ．321412+ 例26、设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且，则( D )A ．4παβ-=B ．2παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=例27、在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点(,)P a b ，且75a b +=，则cos(2)2πα+的值是 2425- ．例28、已知，0ω>，||)2πϕ<部分图象如图，则()f x 的一个对称中心是(D )A ．(,0)πB ．(,0)12πC ．5(,1)6π-- D ．(,1)6π--例29、已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ C ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(例30、已知在区间[,]64ππ上单调递增，则ω的取值范围是( B )A ．(0，2]3B ．(0，2][73，26]3C ．[7，D ．(0，250][,19]33例31、已知函数，||)2πϕ<的部分图象如图所示，其中点A 坐标为1(,2)3，点B 的坐标为5(3，1)-，点C 的坐标为(3,1)-，则()f x 的递增区间为( A )A ．5(43k -，14)3k +，k Z ∈ B ．5(23k -，12)3k +，k Z ∈ C ．5(43k π-，14)3k π+，k Z ∈D ．5(23k π-，12)3k π+，k Z ∈例32、已知函数图象的相邻两对称中心的距离为2π，且对任意x R ∈都有，则函数()y f x =的一个单调递增区间可以为( D )A ．[,0]2π-B ．2[,]63ππC ．3[,]44ππD ．[,]44ππ-例33、已知函数，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确的是( C ) A ．56πϕ=B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴例34、已知函数，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，点3(0,)2-，(3π，0)，7(,0)3π在图象上，若1x ，27(,)33x ππ∈，12x x ≠，且，则12()(f x x += D )A ．3B ．32C ．0D ．32-例35、ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，4A π=，5cos 5B =-，则(BD AC= A ) A ．14B ．12 C ．23D ．34例36、在ABC ∆中，60B ∠=︒，3b =，若m a c =-2恒成立，则m 的最小值为．例37、在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 45 ．6、立体几何小题9 年高考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇如：几何概型有可能．但是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．除2019年外，年年考三视图，是否也太稳定了吧球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好载体，是新课标的热点，但有时难度较大。