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代数类应用题复习专题宣化三中代数应用类问题，最主要的特点就是：由显示情景（非数学）抽象概括成数学问题，进而解决数学问题，使原问题获解，其中“由非数学到数学”就是将实际问题化归到对应的数学模型，常见的类型根据实际问题所包含的关系及其所列式的特点可分为：（一）方程或不等式型（包括一元一次方程、二元一次方程及方程组、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式及不等式组）（二）式组型（即函数与不等式结合）（三）二次函数型解决此类问题的流程图如下表：已知量列代数式明量未知量（用未知数表示未知量）定关系或不等量关系列式不等式（组）求解解解集（变形）（解析式）（函数图象）用性质最值增减性（一）方程或不等式型例1、A 、B 两地间的铁路长为190千米，通过路的改造和机车的改进，使两地间客车行驶速度提高了50 % ，运行时间比原来缩短了38分钟，现在从A 地到B 地需要多少小时？【思路点拨】（一）明量：（已知量和未知量）已知量有“A 、B 两地间的铁路长为190千米”；未知量有“现在从A 地到B 地的时间”；（二）定关系：（确定等量关系或不等关系）（原来的速度）×（ 1+50%）=现在的行驶速度；原来的时间- =现在的时间（三）列式: （列出方程、方程组或不等式、不等式组）：设现在所需时间为x 个小时，则原来的时间就可以用x 的代数式x+ 来表示，根据等量关系：“（原来的速度）×（ 1+50%）=现在的行驶速度”可列方程（四）变形（得到解、解集或函数关系式）：解分式方程求出x的值。

（五）用性质（解决实际问题）：注意检验分式方程根的合理性。

解：设现在从A 地到B 地需要x 个小时根据题意得解得：x= 检验：x= 是原方程的根。

60 38 190 x+ 60 38 x 190 (1+50%)= 15 1960 38190 x+ 60 38 x 190 (1+50%)= 15 19答：现在从A 地到B 地需要 个小时练习：1、请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为几只，树为几棵？2、某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动，下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元。

”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元。

” 小明：“我们学校九年级师生租用了5辆60座和1辆45座的客车正好坐满。

”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？3、六一儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物，如果每班分10套，那么多余5套，如果前面的班每个班分15套，那么最后一个班虽然分有福娃，但不15 19足4套；问：该小学有多少个班级，奥运福娃多少套？4、有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售，甲公司用以下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低每台单价不能低于440元，乙公司一律按原售价的75%促销，某单位需购买一批图形计算器：（1）若次单位需购买6台图形计算器，应去那家公司购买花费较少？（2）若此单位刚好花费7500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？5、国家为了关心广大农民群众，增强农民抵御大病风险的能力，积极推进农村医疗保险制度，某市根据本地的实际情况，制定了纳入医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医疗保险的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销，医疗费的报销比例标准如下表：（1）设某农民一年的实际医疗费用为x元，按标准报销的金额为y元，（500＜x≤1000），按标准报销的金额为y元，试求y 与x函数关系式。

（2）若某农民自费医药费为2600元，（自付医疗费用＝实际医疗费用—按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？（3）若某农民一年的自付医疗费用不少于4100元，则该农民当年实际医疗费至少为多少元？6一商场计划到计算器生产厂家购进一批A、B两种型号的计算器，经过商谈，A型计算器的单价为50元，100只起售，超过100只的部分，每只优惠20%，B型的计算器的单价为22元，150只起售，超过150只的超过部分，每只优惠2元，如果商场计划购进计算器的总量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？（二）式组型（即函数与不等式结合）例2：某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：（1）设装运甲种土特产所用车辆数x，装运乙种土特产所用车辆数y，用x、y的代数式表示装运丙种土特产所用车辆数，（2）求y与x之间的函数关系式；（3）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；（4）若要此次销售获利最大，应采用（3）中哪种安排方案？并求出最大利润的值。

【思路点拨】，（一）明量：已知量：“装运甲、乙、丙三种土特产的车辆数= 20辆”；“装运甲、乙、丙三种土特产共120吨”；未知量：“装运甲、乙、丙三种土特产的车辆数”。

首先，利用“三种车辆数和为20辆”这一关系把丙的车辆数表示成x、y的代数式，再利用“装运甲、乙、丙三种土特产共120吨”得到关于x、y的等式，通过化简，用x的代数式表示y，最终实现用x的代数式表示三个未知量。

（二）定关系：设总销售利润为w，等量关系：“w =甲种土特产的利润+ 乙种土特产的利润+丙种土特产的利润”不等关系：“装运甲、乙、丙三种土特产用的车辆数均大于等于3辆”。

（三）列式：根据等量关系和不等关系可分别得到关于x 的一次函数关系式和一元一次不等式组。

即W=8X ·12+6(20-3X)×16+5[20-X-(20-3X)]×10和利用一元一次不等式组求出x 的取值范围。

得W=1920-92X,（五）用性质：本题考查的是一次函数的最值问题，利用一次函数的增减性求出最值，最值一般为线段的两个端点。

解：（1）∵8x+6y+5(20-x-y)=120,∴y=20-3x.(2)由又x 为正整数，∴x=3，4，5故车辆的安排有三种方案，即：方案1：甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆；方案2：甲种4辆，乙种8辆，丙种8辆；方案3：甲种5辆，乙种5辆，丙种10辆；（3）设此次销售利润为W 元。

W=8X ·12+6(20-3X)×16+5[20-X-(20-3X)]×10x ≥3， 20-3x ≥3， 20-x-（20-3x ）≥3 得3≤x ≤5 2 3x ≥3，20-3x ≥3，20-x-（20-3x ）≥3和3≤x ≤5 2 3=1920-92X,∵W随X的增大而减小，由（2）知X=3,4,5,故X=3时,W最大=1644(百元)=16.44万元.答：要使此次获利最大，应采用（2）中方案一，最大利润为16. 44万元。

练习：1、为了迎接国庆六十周年，某校团委组织了“歌唱祖国”有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，学校计划派人根据设奖情况买50件奖品，其中二等奖件数比一等奖件数的2倍还少10件，三等奖所花钱数不超过二等奖所花钱数的1.5倍，各种奖品的单价如下表，如果计划一等奖买x件，买50件奖品的总钱数是w，（1）求w与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

（2）请你计算一下，如何购买这三种奖品所花的总钱数最少，最少是多少元？2、“5.12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点，从A地运往C、D处的费用分别为每吨20元和5元，从B地运往C、D处的费用分别为每吨15元和18元，设从B地地运往C处的蔬菜为x吨；（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的费用相等时x 的值。

（2）设A、B两个蔬菜基地的总费用为W元，写出W与x的函数关系式，并求出总费用最小的调运方案。

（3）经过抢修，从B地到C地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元，（m ＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最少的调运方案。

3、某草莓种植大户张华现有22吨草莓等售，有两种销售渠道，一是运往省城直接批发给零售商，二是在本地市场销售，这两种销售渠道每天销量及每吨获纯利润如下表：受客观因素影响，张华每天只能采用一种销售渠道，草莓必须在10日内售出。

（1）若一部分运往省城批发给零售商，其余的在本地市场零售，请写出销售22吨草莓所获纯利润为y（元）与运往省城直接批发给零售商为x（吨）之间的函数关系式。

（2）怎样安排这22吨草莓的销售渠道，才使张华所获纯利润最大？并求出最大纯利润？4、某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行分工，或采摘蔬菜，或对当日采摘的蔬菜进行精加工，每人每天只能作一项工作，若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48千克，若对采摘后的蔬菜进行精加工，每人每天可加工32千克，（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出），已知每千克蔬菜直接出售可获得利润1元，精加工后出售，每千克蔬菜可获得利润3元，设每天安排x名工人进行蔬菜精加工，如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出所获得的总利润为w元，求w 与x之间的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大？并求出最大利润？5、“5、12”汶川的地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元。

这三种器材的进价和售价如下表：人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）：（1）求y1与x的函数关系式（2）求五月份该公司的总销售量（3）设公司五月份售出甲种型号器材t 台，五月份总销售利润为w（万元），求w 与t 的函数关系式（销售利润=销售额-进价-其它各项支出）？（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值。