高等代数期末试题
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数期末考试复习题及参考答案
高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。
高等代数期末卷及答案
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试《高等代数》试卷(1)1 •设 f (x) = x 4+x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2•当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3—3x+t 有重因式。
3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2=23 。
1 1 —-2 0 1x , 2x 2 2x 3 x 4 二 07. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0题号-一--二二-三四五六七总分得分、填空(共35分，每题5 分)得分4.行列式1 -35.■’4 10"1 0 3-1、 -1 1 3'9 -2 -1 2 1 0 2」2 0 1< 9 9 11<1 3 4 丿6.z5 0 0 1 -1<0 2 1；0-2 3矩阵的积c 亠5 刘=2x3 X44x3, x4任意取值。
X2 二-2x^ --x4、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。
求证 当且仅当(f(x)g(x), f(x)g(x))=1。
证：必要性.设(f(x)g(x), f (x)g(x)) =1。
(1%令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%)不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。
故 p(x) |1 矛盾。
(2%)充分性.由(f (x)g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%)从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%)故(f (x), g(x)) =1 o (1%)ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
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2. [ χ ] 理由: A = 但 AB =
1 0 ， (AB )2 = 0 . 0 0
3. [ ] 理由: 由习题，如果 α1 , α2 , α3 线性无关，那么 α1 + α2 , α2 + α3 , α3 + α1 也线性无关。即得. 4. [ 5. [ ] 理由: |A∗ | = |A|n−1 , 所以 |A| = 0 , 可得 |A∗ | = 0 . ] 理由: A 可逆，且 A2 = A A ，所以正定. 1 0 , D= 0 0 0 0 . 0 1
−bn e1 , . . . , en−1 , α = −an bn
所以得递推公式 Dn = Dn−1 − an bn 。根据归纳法假设即证。 [ 方法二 ] 用分块矩阵的方法证明，
|En − αβ | = En − αβ β 0 E = n 1 β α E = n 1 0 α = 1 − α β. 1−β α
当 a = 1 , b = −1 时，无解; 当 a = 1 , b = 1 时，有无穷多解，阶梯形矩阵可化为简化阶梯形矩阵 1 1 1 1 0 1 0 −1 −1 −1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 − − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以通解为 γ = (−1, 1, 0, 0) + k1 (1, −2, 1, 0) + k2 (1, −2, 0, 1) . 四、解： 二次型矩阵是 1 −1 1 A = −1 4 2 1 2 2 作初等变换，
三、解： 1 0 0 3
对增广矩阵作初等行变换，得 1 1 1 0 1 0 1 2 2 1 − − − → 0 −1 a − 3 −2 b 2 1 a −1 0
1 1 1 0 1 2 2 1 0 a−1 0 b + 1 0 0 a−1 0
当 a = 1 时，有唯一解，解向量为 γ= − a − b − 2 a − 2b − 3 b +1 , , , 0 a−1 a−1 a−1 ;
6. [ χ ] 理由: A = B = C = 二、 1. 答案: (A − 4E )−1 0 1 2. 答案: X = 0 . 0 3. 答案: (n − 1)a + b = 0 . 4. 答案: 0 . 5. 答案: x > 4 , y > 1 . 2
−1 0 0 = 1 1 0 . 0 0 −1
αβ 0 En + 1−α β 1 ∗
0 1
[ 方法二 ] 用分块矩阵初等变换的方法亦可，
En − αβ β 0 En 0 1 0 1 → En 0
0 1
于是
En − αβ β 0 1
−1
αβ E + = n 1−α β ∗
=
(E − αβ )−1 ∗
0 1
比较最后两个矩阵，即得 (E − αβ )−1 = E +
1 αβ . 1−α β
[ 方法三 ] 设 E + B 使得 (E − αβ )(E + B ) = E. 化简得 αβ B − B = αβ 注意到， αβ αβ −αβ = (1−α β )αβ 。比较两式，可得 B = 所以 (E − αβ )−1 = E + 1 αβ . 1−α β 1 αβ ， 1−α β
1 −1 −1 4 1 2 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 (2)+(1) 1 2 − − − − → 0 [2]+[1] 1 0 0 0 1 0 3 3 1 1 0 1 1 0 3 (3)−(1) 0 2 − − − − → 0 [3]−[1] 1 0 0 0 1 1 0 0 0 3 3 (3)−(2) 0 3 1 − − − − → 1 −1 [3]−[2] 1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 0 −2 1 −2 1 −1 0 1
六、证明： 设 α = (a1 , a2 , . . . , an ) , β = (b1 , b2 , . . . , bn ) ,
Dn = |En − αβ | = e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, en − bn α
1. 要证 Dn = 1 − α β = 1 − (a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn ) . 用数学归纳法。 当 n = 1 时， D1 = 1 − a1 b1 ，结论成立； 设 n − 1 时，结论成立。考察 Dn ，先把 Dn 写成两行列式的和，
作线性替换 x1 = y1 + y2 − 2y3 x2 = y2 − y3 x3 = y3
2 2 2 得 f (x1 , x2 , x3 ) = y1 + 3y2 − 2y3 ，所以不是正定的。
五、证明： 1. 已知 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 是 BX = 0 的一个基础解系，所以 Bξi = 0, 故 ABξi = 0, 由 r (B ) − r (AB ) = r ，得 s − r (AB ) = s − r (B ) + r = t + r 于 是 ， ABX = 0 的 基 础 解 系 所 含 解 的 个 数 是 t + r 。 而 任 何 一 组线性无关解都可以扩充为一个基础解系，所以由 t 个线性无关 解 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt ，可以扩充 r 个解 η1 , . . . , ηr ，使 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt , η1 , . . . , ηr 是 ABX = 0 的一个基础解系; 2. 设 k1 Bη1 + k2 Bη2 + · · · + kr Bηr = 0. 要证 k1 = k2 = · · · = kr = 0 . 由矩阵运算的性质，得 B (k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr ) = 0 故 k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr 是 BX = 0 的一个解，可由 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 线 性表出，所以存在 l1 , l2 , . . . , lt ，使得 k1 η1 + k2 η2 + · · · + kr ηr = l1 ξ1 + l2 ξ2 + · · · + lt ξt l1 ξ1 + l2 ξ2 + · · · + lt ξt − k1 η1 − k2 η2 − · · · − kr ηr = 0 而 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt , η1 , . . . , ηr 是线性无关的，所以 l1 = l2 = · · · = lt = k1 = k2 = · · · = kr = 0 这就证明了，向量组 Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性无关的; 3. 由于 η1 , η2 , . . . , ηr 是 ABX = 0 的解，所以 Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性 方程组 AY = 0 的解。根据2.的结论， Bη1 , Bη2 , . . . , Bηr 是线性无关 的，所以 AY = 0 的基础解系至少包含 r 个解，即 n − r (A) ≥ r = r (B ) − r (AB ) 移项可得， r (AB ) ≥ r (A) + r (B ) − n. i = 1, 2, . . . , t. 即 ξ1 , ξ2 , . . . , ξt 是 ABX = 0 的 t 个线性无关解。 i = 1, 2, . . . , t.
Dn = e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, en + e1 − b1 α, . . . , en−1 − bn−1 α, −bn α
前一个行列式是 Dn−1 ，对后一个行列式，先在最后一列提出一个公 因子 −bn ，然后再依次把最后一列的 bj (j = 1, 2, . . . , n − 1) 倍分别 加到第 j 列，得
3 0 1. A = 1 5 0 0 1 2 2. 设 A = 4 8 0 0 , 则 (A − 4E )−1 = . 3 2 1 1 1 3 4 5 3 , 则 A X = β 的解是 , β = . 4 9 16 25 5 27 64 125 a a ··· a b a a · · · b a 3. 设 n > 2 ， n 阶矩阵 . . . . . . . . . . . . . 的秩是 n − 1 , 其中 ab = 0 , a b · · · a a b a ··· a a
则 a, b 满足条件
. .
2 0 0 x 0 0 是正定的. 0 2 −1 0 −1 y 1 2 时，矩阵 0 0
4. 设 A 是 6 阶方阵， r (A) = 4 ，那么 r (A[15分] 问 a , b 为何值时，线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 = 0, x2 + 2x3 + 2x4 = 1, − x + ( a − 3) x3 − 2x4 = b, 2 3x1 + 2x2 + x3 + ax4 = −1. 有唯一解，无解，有无穷多解？并在有解时，求线性方程组的解(用向量 表示) 四、[15分] 用非退化的线性替换化二次型