高等代数期末复习试题
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数期末考试复习题及参考答案
高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。
高代期末考试试卷
高代期末考试试卷一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 2; 3 4]B. [1 0; 0 0]C. [2 0; 0 2]D. [1 1; 1 1]2. 矩阵A的特征值是λ1和λ2，那么矩阵A^2的特征值是？A. λ1^2, λ2^2B. 2λ1, 2λ2C. λ1, λ2D. λ1+λ2, λ2+λ13. 线性方程组有非零解的条件是？A. 系数矩阵的行列式不等于0B. 系数矩阵的行列式等于0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩不等于系数矩阵的秩4. 以下哪个向量组是线性无关的？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 2]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 2, 3], [4, 5, 6]5. 矩阵A的秩是3，那么矩阵A的零空间的维数是？A. 0B. 1C. 2D. 36. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. [1 2; 3 4]B. [1 3; 3 1]C. [2 1; 1 2]D. [1 0; 0 1]7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1/√2 1/√2; -1/√2 1/√2]C. [1 1; 1 1]D. [1 2; 3 4]8. 以下哪个矩阵是幂等矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]9. 以下哪个矩阵是投影矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 1; 1 1]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]10. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [1 1; 1 1]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题（每题4分，共20分）1. 矩阵的迹是其对角线元素的______。
2. 矩阵的转置是将矩阵的行和列进行______。
3. 矩阵的行列式可以通过______展开来计算。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
(完整word版)高等代数(二)期末考试样卷
《高等代数（二）》期末考试样卷一、选择题（本大题有一项是符合题目要求的）1. 若σ是F 上向量空间V 的一个线性变换,则下列说法∙∙误错的是（ ）A.)()()(,,βσασβασβα+=+∈∀VB.0)0(=σC.)()(,,ασασαk k F k V =∈∈∀D.0)0(≠σ2．若},,{21s ααα 和},,{21t βββ 是两个等价的线性无关的向量组,则（ ） A.t s > B. t s < C. t s = D.以上说法都不对 3．向量空间2F [x]的维数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.一个线性变换关于两个基的矩阵是（ ）A.正定的B.相似的C.合同的D.对称的 5.如果两个向量βα与正交,则下列说法正确的是（ ） A. ><βα, > 0 B. ><βα, < 0 C. ><βα, = 0 D. ><βα, ≠ 06.设σ是欧氏空间V 的正交变换, 任意α,β∈V, 下列正确的是（ ） A.<α,β > = <σ(α),β> B.<α,β> = <α,σ(β)> C.<α,β> = <σ(α), σ(β)> D. <α,β> = －<σ(α),σ(β)>7．如果n 元齐次线性方程组AX =0的系数矩阵的秩为r,那么它的解空间的 维数为（ ）A 、n-rB 、nC 、rD 、n+r 8.设21,W W 是向量空间V 的两个子空间,则下列说法正确的是（ ） ①21W W +是向量空间V 的子空间 ②21W W +不是向量空间V 的子空间③21W W 是向量空间V 的子空间 ④21W W 不是向量空间V 的子空间 ⑤21W W 是向量空间V 的子空间 ⑥21W W 不一定是向量空间V 的子空间 A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③⑥ D. ②④⑤ 9．设σ是数域F 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中的任意向量ξ，有W ∈)(ξσ，则称W 是σ的 （ ）A.非平凡子空间B.核子空间C.不变子空间D.零子空间10．欧氏空间的度量矩阵一定是（ ）A.正交矩阵B.上三角矩阵C. 下三角矩阵D. 正定矩阵 二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
高代一期末考试试题及答案
高代一期末考试试题及答案一、选择题1. 设A和B都是n阶方阵，下列哪个条件可以推断出A与B一定可交换？A. AB = BAB. AB = 0C. det(A) = 0D. AB = I （单位矩阵）正确答案：A2. 设A是n阶方阵且可逆，则A^-1的列向量组是否一定线性无关？A. 是B. 否正确答案：A3. 设A是n阶对称矩阵，则A肯定满足的性质是：A. A的特征值为实数B. A的特征向量构成一组正交基C. A一定可以对角化D. A的秩等于n正确答案：A4. 设A是n阶可逆矩阵，下列哪个等式成立？A. (A^-1)^T = AB. (A^T)^-1 = AC. (A^-1)^T = (A^T)^-1D. (A^T)^-1 = (A^-1)^T正确答案：D5. 设A是n阶方阵，则A可能是可逆矩阵的充分必要条件是：A. 行列式det(A)不等于0B. 矩阵A的秩等于nC. 矩阵A有n个互不相同的特征值D. 矩阵A的伴随矩阵可逆正确答案：A二、计算题（请写出详细过程并附上最后计算结果）1. 计算矩阵相乘：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [1 -1; 2 -2; 3 -3]解答：A *B = [1*1 + 2*2 + 3*3 1*(-1) + 2*(-2) + 3*(-3);4*1 + 5*2 + 6*3 4*(-1) + 5*(-2) + 6*(-3)]= [14 -14;32 -32]2. 计算矩阵的逆：设A = [1 2; 3 4]解答：计算A的行列式：det(A) = 1*4 - 2*3 = -2计算伴随矩阵：adj(A) = [4 -2;-3 1]计算A的逆：A^-1 = (1/det(A)) * adj(A) = (1/-2) * [4 -2;-3 1]= [-2 1;1.5 -0.5]三、证明题证明：若A是n阶对称矩阵，则A一定可以对角化。
解答：要证明A一定可以对角化，需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1) * A * P = D，其中D是一个对角矩阵。
高等代数上期末复习题
高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
（ ）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。
（ ）4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。
（ ）5、排列()3211 -n n 为偶排列。
（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。
（ ）7、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
（ ）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。
（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。
（ ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。
（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
（ ）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。
（ ）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。
（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。
（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。
（ ）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。
（ ）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。
（ ） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。
（ ）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。
（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。
（ ）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。
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合；
C.若向量组线性无关，且每一可由向量 线性表示，则；
D. 维向量空间的任意两个基彼此等价.
2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).
A．向量空间的可逆线性变换是到的同构映射；
B．数域上的维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域 上的
所有阶矩阵所成向量空间同构；
C．若是数域上向量空间到的同构映射，则是到的同构映射；
.
3. 向量空间中, 向量(1,2,3)在基{(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)}下的坐
标为
.
4.设是数域F上向量空间的线性变换，是的子空间，则是的不变子空间
的充分必要条件是
．
5.在欧氏空间中， 柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：的充要条件
是
．
得 四分
阅卷教师
5． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．
A. ； B. ；
C.； D.
5．设是一个阶酉矩阵，则 ( ) .
A. 的行列式等于；
B. 的特征根的模为；
C. 的行列式的模等于或；
得 三分
阅卷教师
D. 的特征根为或.
三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）
1. 3元实二次型是正定的，则取值范围为
.
2. 设A是n阶实对称矩阵,则A为正定的充要条件是
数学系《高等代数》期末考试试卷
年级
专业
学号
姓名
注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
题 号
一
二
三
四
五
总分
签名
得 分
得 一分
阅卷教师
装订线
一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内 打“×”.每小题2分，共18分）
1．向量空间一定含有无穷多个向量.
(
)
．若向量空间的维数,则没有真子空间.
3． 写出3元二次型的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为 只含变量的平方项.
得 五分
阅卷教师
五．证明题（每小题10分，共20分） 1．设为阶矩阵的属于不同特征根，分别是的属于的特征向量，证明不 是的特征向量.
2．设是维欧氏空间的正交变换，且为单位变换，是关于的某一规范正 交基的矩阵，证明为对称矩阵．
2．设,求的特征根及对应的特征向量.问是否可以对角化？若可以，则 求一可逆矩阵，使为对角形.
3． 写出3元二次型的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为 只含变量的平方项.
得 五分
阅卷教师
五．证明题（每小题10分，共20分） 1．设是数域上维向量空间线性变换，，若但试证是的一个基，并写出 关于此基的矩阵．
无关性.
2．两个n元实二次型等价的充要条件是( ) .
A．它们的秩相等；
B．它们的惯性指标相等；
C．它们的符号差相同；
D．它们有相同的秩和符号差.
3．数域F上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间
的维数是( ) .
A.；
B.；
C.；
D. .
4. 向量空间中的下列变换，只有( )不是 的线性变换.
(
)
9. 若两个阶实对称矩阵均正定,则它们的和也正定. ( )
得 二分
阅卷教师
二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答
案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）
1. 下列命题不正确的是 ( ).
A. 若向量组线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性
无关；
B. 若向量组线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组
C．合同于三阶单位矩阵； D．对某一有.
得 三分
阅卷教师
三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）
1. 复数域作为实数域上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设是数域上元行空间，对任意，定义，则是一个线性变换，
且的核的维数等于______. 3. 若是一个正交矩阵，则的行列式=________. 4. 在欧氏空间中向量与的夹角=______.
5. 实数域Ｒ上元二次型可分为_______类，属于同一类的二次 型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.
（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．
2．设,求的特征根及对应的特征向量.问是否可以对角化？若可以，则 求一可逆矩阵，使为对角形.
()
维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )
．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组.
()
5．每一个线性变换都有本征值.
(
)
6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间 为
的不变子空间.
()
7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换.
(
)
8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩.
数学系《高等代数》期末考试试卷（A卷）
年级
专业
学号
姓名
注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
题 号
一
二
三
四
五
总分
签名
得 分
得 一分
阅卷教师
装订线
一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内 打“×”.每小题2分，共18分）
1．任意数域可以看成是它自身上的向量空间.
(
)
2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间．
()
9．两个阶正交矩阵、的和还是正交矩阵.
()
得 二分
阅卷教师
二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答
案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）
1. 下列命题正确的是 ( ) .
A. 线性变换保持向量长度不变； B. 对称变换保持向量的内积不
变；
C. 正交变换保持向量夹角不变； D. 线性变换保持向量的线性
D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.
3．阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).
A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；
C．充分必要条件；
D. 既非充分也非必要条件．
4．二次型 的矩阵是( ).
A．；
B．；
C．；
D．
5.实二次型正定的充分且必要条件是 ( ).
A．；
B．秩为3；
(
)
3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. (
)
4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )
5．若数域上的两个阶矩阵、相似，则、合同.
()
6．任何一个阶实对称矩阵都相似且合同于一个实对角矩阵. ( )
7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩.
(
)
8．向量空间的可逆线性变换的核是空集.
2．设是维欧氏空间的正交变换，同时又是对称变换，是关于的某一规 范正交基的矩阵，证明为单位矩阵．