高等代数(上)期末复习题培训课件
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教.
V1 V2 1 2 | 1 V1 , 2 V2
定理2：如果V1 ，V2是线性空间V的两个子空
间，那么它们的和 V1＋V2也是V的子空间。
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证明：由于0∈ V1，0∈ V2 ， 0＝0＋0∈ V1＋V2 ，因而V1＋V2 是非空集合， 如果＝ 1＋ 2 ， ＝ 1＋ 2 ∈ V1＋V2， 因1＋1∈ V1、 2＋2 ∈ V2 ， 有 ＋ ＝(1＋1)＋( 2＋2) ∈V1＋ V2 k=k (1＋ 2 )= k 1＋k 2 ∈V1＋ V2 因此V1+V2 是V的子集. 有限个子空间的和
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推论2 : 和V1 V2为直和的充分必要条件是 V1 V2 0 证明 : 必要性 V1 V2 , 0 ( ) 0 0 因为V1 V2是直和, 零元素的表示法唯一, 从而 0 , V1 V2 {0} 充分性 任意1 ,V1 , 2 V2 , 如果1 2 0, 有
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例1 在二位几何空间中,若V1,V2分别是x轴 与y轴,则V1∩V2={0}, V1+V2=R2. 例2 在三位几何空间中,若V1表示过原点的 直线,V2是过原点且与V1垂直的平面,则 V1∩V2={0}, V1+V2=R3.
例3 线性空间Pn中,若V1是As×nx=0的解空 间,V2是Br×nx=0的解空间,
第八章 线性空间
§8.2 子空间及其交与和 子空间的直和
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子空间的交与和
子空间的交与和是Ｖ的子空间集合的 运算。由于两个子空间的并一般未必仍是 子空间，所以集合并的运算不是Ｖ的子空 间集合的运算。因此引入子空间的和。我 们切不可把子空间的和与集合的并混为一 谈，例如在Ｒ2中，若Ｘ，Ｙ分别表示 x 轴和 y 轴上所有点的集合，那么Ｘ和Ｙ 都是Ｒ2的子空间，且Ｘ＋Ｙ＝Ｒ2，显然 ≠Ｘ∪Ｙ。
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n
令
f ( ) kiai ,
i 1
kn n
则 f :V P 为线性函数，且
f ( i ) ai , i 1, 2, , n
§10.1 线性函数
例1. 设 a1,a2, ,an P, ( x1, x2,
n
则
f ( ) ai
i 1
是 Pn 到 P的一个线性函数.
, xn ) Pn
解：
f f
( (
1) 2)
f 2
( 3 ) f ( 3
1 )
1
f f
( (
1 2
) )
4 7
f (1) f (2 ) 3
f ( 3 ) 3
所以 f ( x11 x2 2 x3 3 ) 4 x1 7 x2 3 x3 .
§10.1 线性函数
例4. V 是数域 P上的3维线性空间， f 是V上的
x11 x2 2 x3 3 x1a1 x2a2 x3a3 即为V上的线性函数，且 f ( i ) ai , i 1,2, , n
若还有 g 是 V上线性函数使 g( i ) ai , i 1,2, , n,
则 x11 x2 2 x3 3 V , 有
g( ) x1g(1 ) x2 g( 2 ) xn g( n )
f ( ) x2 f ( 2 ) x2 .
§10.1 线性函数
定理1 设V为数域 P上的一个n 维线性空间，
1, 2 , , n为V的一组基， a1,a2 , ,an 为 P中
任意n 个数. 则存在唯一的V上线性函数 f 使
f i ai， i 1,2, ,n.
§10.1 线性函数
证明：映射 f :V P，
x1a1 x2a2 xnan
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2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；
§4.2 最大公因式
一、最大公因式的概念
1、公因式：如果多项式(x) 即是 f (x)的因式，又是g(x)的因式， 则称(x)为 f (x) 和 g(x) 的公因式。
3) f (x)g(x) = g(x) f (x);
4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).
关于多项式的和与积的次数,我们有
引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时,
deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x).
这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0.
多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,
其中 ck= aibj i jk
k=1,2,3, …,n+m.
对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x) 的负多项式－g(x) 是指多项式
高代与解几复习上册PPT课件
11.08.2020
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行列式的性质(2)
性质 2.
性质 3. 行列式有一行(或一列)全为零时, 行列式为零.
性质 4. 交换行列式的两个行, 行列式改变符号. 性质 5. 行列式有两行(或两列)成比例时, 行列式为零.
性质 6. 把行列式的某一行(或某一列)的 c 倍加到另一行(或 另一列)上, 行列式的值不变.
基、维数、坐标；正交向量组、正交基、规范正交基 度量矩阵（规范正交基的度量矩阵） 线性子空间的和与直和 补子空间，正交补空间, 正交投影 正交变换与正交矩阵 (旋转变换、镜像变换及其矩阵)
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第六章 (2)方法
无关向量组的扩充； 利用矩阵的初等变换求子空间的基和维数； Gram-Schmidt正交化方法; 正交投影的求法; 最小二乘问题的求解；
n阶方阵的一个函数; n!个项的和, 每一个项带正负号(第二个指标的排列的 符号),每一行取一个元, 且要求n个元所在的列不同
行列式的性质:计算行列式的方法 克拉默法则:求解特殊的线性方程组
行列式按一行或一列展开
拉普拉斯定理: 行列式按多行或多列展开
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行列式的性质(1)
性质 1.
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展开定理，克拉默法则
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第三章 线性方程组与线性子空间
➢线性方程组的初等变换把线性方程组变成与它同解的方程 组. ➢任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形 矩阵. ➢ 任意一个矩阵都可以经过一系列初等行变换化成简化行 阶梯形矩阵. ➢非齐次线性方程组的解的情况:
线性无关组的扩充 线性无关的证明
11.08.2020
高等代数上期末复习题
高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
（ ）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。
（ ）4、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。
（ ）5、排列()3211 -n n 为偶排列。
（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。
（ ）7、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
（ ）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。
（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。
（ ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。
（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
（ ）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。
（ ）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。
（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。
（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。
（ ）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。
（ ）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。
（ ） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。
（ ）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。
（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。
（ ）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。
高等代数课件PPT之第1章多项式
2.多项式的运算 设f (x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令
f ( x ) ai x i , g( x ) b j x j
n m i 0 j 0
加法： f (x)g(x) (ai bi ) x i , 当n m 乘法：f (x)g(x) anbm x n m (anbm1 an1bm ) x n m1 a0b0
其中r(x)=0或 (r(x))< ( g(x) ).
余式
称上式中的q(x) 为g(x) 除f (x)的商， r(x)为g(x) 除f (x)的余式.
（带余除法）定理证明
存在性 若f(x)=0 , 取q(x)=r(x) =0即可.以下设f (x)0. (f(x))=n,( g(x) )=m. 对 f (x) 的次数n作数学归纳法. 当n<m时,取q(x)=0, r(x) = f (x)， 有 f (x) = q(x) g(x) + r(x) ，结论成立.
例1
a b 2 (a、b是有理数)的数 所有形如 Q( 2 ) . 构成一个数域
(ii)对四则运算封闭.事实上
解 (i) 0,1 Q( 2 );
, Q( 2 ),设 a b 2 , c d 2 , 有 (a c) (b d ) 2 Q( 2 ) (ac 2bd) (ad bc) 2 Q( 2 ) 设 a b 2 0，则a b 2 0且 c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2) ac 2bd ad bc 2 2 2 Q( 2) 2 2 a 2b a 2b
i 0
n m s0
高等代数课件
一个 (nr)r 阶零矩阵
如果V是它的两个子空间W1与W2的直和, 即V=W1W2. 可用W1 的基1, 2, …, r 与W2的基r+1, …, n组成V的一个基. 如果W1与W2 是的不变子空间, 则关于这个基的矩阵是
A1 O O A2
|W1关于W1的基1, 2, …, r 的矩阵 |W2关于W2的基r+1, 2, …, n 的矩阵
推论7.3.4 设V是数域F上的一个n维向量空间, 是V的一个线性 变换, 它关于某个基的矩阵是A. 则变换可逆当且仅当矩阵A可逆, 且1关于这个基的矩阵就是A1. (保持逆)
二. 线性变换关于不同基的矩阵的关系
设A, B是两个n阶矩阵, 如果存在n阶可逆矩阵T使得: B=T1AT则 称矩阵A与B相似. 矩阵的相似关系是一种等价关系(即相似具有自反 性, 对称性和传递性).
2
因此关于基{1, 2}的矩阵是
(2)
csions csoins
设是中V2的一个向量, 它和()关于基
{1, 2}的坐标分别是(x1, x2 )和(y1, y2 ), 则
O
yy1 2c sions csoinsxx1 2
例 2 位似变换关于任意基的矩阵是
kI
k
k
(2)
1
.特别地；
k
单位变换关于任意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于任意基的矩阵 是零矩阵.
等式(1)
(2)a121a222an2n
(n)a1n1a2n2an nn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
A aa1211 an1
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
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高等代数（1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。
（ ）2、设D 为六阶行列式，则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。
（ ）3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。
（ ）4、排列()3211Λ-n n 的逆序数为n 。
（ ）5、排列()3211Λ-n n 为偶排列。
（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。
（ ）7、若22B A =，则B A =或B A -=。
（ ）8、若AC AB =，0≠A ，则C B =。
（ ）9、若矩阵A 满足A A =2，则0=A 或E A =。
（ ） 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。
（ ） 11、若矩阵A 满足02=A ，则0=A 。
（ ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠，则0B =。
（ ） 13、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。
（ ）14、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---+=+B A B A 。
（ ）15、设A ，B 为n 阶方阵，则必有B A B A +=+。
（ ） 16、设A ，B 为n 阶方阵，则必有BA AB =。
（ ） 17、若矩阵A 与B 等价，则B A =。
（ ）18、若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵。
（ ）19、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。
（ ） 20、设n m A ⨯，n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。
（ ） 21、设A =0，则()0=A R 。
（ ）22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解，则0≠A 。
（ ） 23、若b AX =有无穷多解，则0=AX 有非零解。
（ ）24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =。
（ ）25、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2111ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-。
（ ）26、若n ，，，αααΛ21线性无关，且02211=+++n n k k k αααΛ，则021====n k k k Λ。
（ ）27、单独的一个零向量是线性相关的。
（ ）28、若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同。
（ ） 29、一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。
（ ）30、向量组n ，，，αααΛ21（2≥n ）线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。
（ ）31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。
（ ）32、向量组n ，，，αααΛ21线性相关，则n α必由121-n ，，，αααΛ线性表示。
（ ）33、若向量组n ，，，αααΛ21线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。
（ ）34、若向量组12,,,s αααL （2s ≥）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合。
（ ） 35、两个向量线性相关，则它们的分量对应成比例。
（ ） 36、任意n 个1+n 维向量必线性相关。
（ ） 37、任意1+n 个n 维向量必线性相关。
（ ）38、向量组n ，，，αααΛ21的秩为零的充要条件是它们全为零向量。
（ ）39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。
（ ） 40、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。
（ ）二、填空题 第一组：1、已知排列1s46t5为奇排列，则s 、t 依次为2、若排列n x x x ,...,,21的逆序数是k ，则排列11,...,,x x x n n -的逆序数是3、四阶行列式6594382507164321---中元素23a 的代数余子式为4、44322311a a a a 在四阶行列式中应带 号5、=000000000000d c b a 6、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123321 7、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321 8、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 101λ 9、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k1011 10、设()()1,2,2,1==B A ，则()=99B A T11、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=600230321A ，则()=-1*A 12、设A 为三阶方阵，3=A ，则*125A A --=13、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ，则=-1A 14、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，当d c b a ,,,满足 时，1-A 存在，此时=-1A 17、设n 阶方阵A 满足022=+-E A A ，则=-1A18、要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01112421λ的秩取得最小值，则=λ19、列向量组n ，，，αααΛ21的秩与矩阵A=()n ，，，αααΛ21的秩 20、设向量组()3211=α，()4132=α，()7653=α，()1204=α线性 关21、设()11111，，，=α，()11102，，，=α，()11003，，，=α，()10004，，，=α线性 关 22、已知()0011，，=α，()0102，，=α，()1003，，=α，()1204，，=α，用321ααα，，线性表示=4α 23、21ααβ，，线性相关，则321αααβ，，，线性 关 24、321αααβ，，，线性无关，则321ααα，，线性 关25、由m 个n 维向量组成的向量组，当m n 时，向量组一定线性相关26、b x A n m =⨯有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是 27、设n 阶方阵A ，若()2-=n A R ，则0=Ax 的基础解系所含向量的个数= 28、已知b Ax =有两个不同的解21,x x ，则0=Ax 有一个非零解为29、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101a A ，且TA A =-1，则=a30、若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
第二组：1.32153320537228472184=2．123101202303102030= 3. 00001002001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn D n -==______________。
4. 设行列式12203369a中，余子式213A =，则a ＝__________。
5. 设412201112111311----=A ，则=+++44342414A A A A 。
6. 行列式941321111 的余子式232221M M M ++的值为 。
7．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 。
8．设A 、B 为n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 。
9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 。
10. 设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = 。
11. 设矩阵1112312536A λμ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =,则()()==μλ,。
12. 设A 为n 阶矩阵，且1=A ,则 =)(A R ______________。
13. 2153A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则=-1A ________________。
14. 已知A 01011,001k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭其中0≠k ，则=-1A _________________。
15. 若A 为n 级实矩阵，并且O AA T=，则A = 。
16. 设A 为5阶方阵，且3det =A ，则=-1det A，=')det(A A ， =*)det(A 。
17.=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1*)(,121210421A A 则 ____________。
18. 设A 为4阶矩阵，且2=A ,则 *2AA =____________。
19. 设)(21I B A +=，则A A =2的充要条件是 。
20. 设A 为n 阶矩阵，且r A rank =)(，则0=AX 的基础解系中有 个解向量.21.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 。
22.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。
23. A 是n n ⨯矩阵，对任何1⨯n b 矩阵，方程b AX =都有解的充要条件是_____ __。
24.若120s ααα+++=L ，则向量组12,,,s αααL 必线性25.已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。
26. 单个向量α线性无关的充要条件是_____________。
27. 设m ααα,,,21Λ为n 维向量组, 且n R m =),,,(21αααΛ，则n m 。
28. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。
（无关，相关） 29.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关，则=t _______。
30. 向量组},,,{21n αααΛ的极大无关组的定义是___________。
31. 设s t t t ,,,21Λ两两不同, 则向量组r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(12ΛΛ==-α线性 。
32． 多项式可整除任意多项式。
33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
34．实数域上不可约多项式的类型有 种。
35．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
三、选择题1.行列式41032657a --中，元素a 的代数余子式是（ ）。
A ．4067- B ．4165C ．4067-- D ．4165-2. 设,A B n 均为阶矩阵，则下列选项中正确的为（ ）。
A . det()det det AB A B +=+ B .AB BA =C ． det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+3. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（ ）A .133221A A A A A A ---B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +-4. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （ ）A .4B .52C ．52-D .85.A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。