高等代数下期末复习
《高等数学》(下)期末考试考前复习提纲
《高等数学》下册期末考试考前复习提纲第一部分 空间解析几何与向量代数一、向量代数 1、向量的概念 （1）向量的定义有大小有方向的线段a（自由向量） （2）向量的表示1）),,(z y x a a a a =， 为向量的直角坐标表示2）0a a a=，其中a 为向量的模（大小），222zy x a a a a ++= 0a 为a的单位向量，0(cos ,cos ,cos )(,,)y x z a a a a a a aαβγ==，)cos ,cos ,(cos γβα为a的方向余弦，1cos cos cos 222=++γβα注：若有两点：111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则向量AB 为 212121{(),(),()}A B x x y y z z =--- 2、向量的运算 （1）线性运算),,(z z y y x x b a b a b a b a +++=+),,(z y x a a a a λλλλ=（2）数量积（标积，点积） 1）cos ,,a b a b a b ϕϕ⋅≡≡(0)ϕπ≤≤2）z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅特例：当b a ⊥时，0=⋅b a（两向量垂直的判据）（3）向量积（矢积，叉积）1）0sin c b a c b a ϕ=≡⨯，b a ,与c为右手螺旋关系2）()()()xy z y z z yz x x z x y y x xy zij ka b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b ⨯==-+-+-特例：当b a//时，0=⨯b a ，或z y x z y x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ::::=↔==（两向量平行的判据）3、两点的间距公式212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=4、平面π外一点0000(,,)P x y z 到平面π的距离公式：Dd =平面π的点法式方程为： 0Ax By Cz D +++= 二、空间解析几何1、空间曲面与空间曲线 （1）方程曲面方程 0),,(=z y x F （三元方程）曲线方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 或)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）常见的曲面与曲线1） 柱面—— 一直线l （母线）沿着一平面曲线C （准线）作平行于一定直线L 的移动所得的曲面 母线z //轴的柱面： 0),(=y x F母线y //轴的柱面： 0),(=x z F 母线x //轴的柱面： 0),(=z y F2） 旋转面—— 一平面曲线（母线）绕着同一平面内的定直线（转轴）旋转一周所得的曲面例(,)00z y f y z x =⎧⎨=⎩绕z 不变，旋转曲面0),(22=+±z y x f 3）空间螺旋线t k z a y a x ωθθθθ====,,c o s ,s i n4）二次曲面（三元二次方程） )(a 椭球面1222222=++cz b y a x椭球面与平行于坐标面平面的交线：→⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221z z c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(z z z c c b yz c c a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221y y c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(y y y b b c z y b b a x ； →⎪⎩⎪⎨⎧==++12222221x x c z b y a x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-12122222122221)()(x x x a a c z x a a b y 分别为在1z z =，1y y =与1x x =平面内的椭圆。
高等代数下期末复习
第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组Ax =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 Ax =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n ,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。
高等代数期末考试复习题及参考答案
高等代数 --复习资料一、单项选择题1、设为任意两个级方阵,则如下等式成立的是A.B.C.D.参考答案： C2、设向量组线性无关,则向量组线性无关的充分必要条件为A.B.C.D.参考答案： A3、若,则( ).A. 30mB. -15mC. 6mD. -6m参考答案： D4、实对称矩阵的特征值都是( )A. 非负整数B. 实数C. 正数参考答案： B5、实对称矩阵A的秩等于r,且它有m个正特征根,则它的符号差为 ( )A. rB. mC. 2m-rD. r-m参考答案： C6、设矩阵和分别是和的矩阵,秩,秩,则秩是A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案： B7、是线性空间V上的线性变换,,那么关于V的基的矩阵是 ( )A.B.C.D.参考答案： B8、对于元方程组,下列命题正确的是( ).A. 如果只有零解,则也只有零解B. 如果有非零解,则有无穷多解C. 如果有两个不同的解,则有无穷多解D. 有唯一解的充分条件是参考答案： C9、若矩阵A的不变因子为,则A的全部初等因子为 ( )A.B.C.参考答案： A10、设为3次实系数多项式,则A. 至少有一个有理根B. 至少有一个实根C. 存在一对非实共轭复根D. 有三个实根.参考答案： B11、对于数域P上线性空间V的数乘变换来说 ( )不变子空间A. 只有一个B. 每个子空间都是C. 不存在参考答案： B12、下列运算中正确的是( )A. ；B. ；C. ；D. 。
参考答案： D13、为欧氏空间V上的对称变换,下面正确的是 ( )A.B.C.参考答案： C14、如果把代入实二次型都有,那么是 ( )A. 正定B. 负定C. 未必正定参考答案： C15、设向量组线性无关,线性相关,则( ).A. 一定能由线性表示B. 一定能由线性表示C. 一定不能由线性表示D. 一定不能由线性表示参考答案： B16、下列说法不正确的是( ).A. 任何一个多项式都是零次多项式的因式B. 如果f(x)∣g(x),g(x)∣h(x),则f(x)∣h(x)C. 如是阶矩阵,则D. 如是阶矩阵,则参考答案： A17、设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解；B. 若有非零解,则有无穷多个解；C. 若有无穷多个解,则仅有零解；D. 若有无穷多个解,则有非零解；参考答案： D18、是n维复空间V的两个子空间,且,则的维数为 ( )A.B.C.参考答案： C19、阶矩阵A可逆的充分必要条件是( ).A. ∣A∣=0B. r(A)<C. A是满秩矩阵D. A是退化矩阵参考答案： C20、设矩阵的秩为,为阶单位方阵,下述结论中正确的是( )A. 的任意个列向量必线性无关；B. 的任意一个阶子式不等于零；C. 若矩阵满足,则,或非齐次线性方程组,一定有无穷多组解D. 通过初等行变换,必可化为的形式。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)汇编
高等代数(下）期末考试试卷（C 卷）一. 选择题（每空2分，共12分） 1．( D )下列集合哪一个是R n 的子空间11 1 1 2 1 2 11 2 1(A) {(,0,....,0,)| , ,}(B){( ,,...,)| , 1,...,}(C){( ,,...,)| 1 , }(D){( ,,...,)|0, }n n n n i nn i i i n n i i i a a a a R a a a a a a Z i n a a a a a R a a a a a R ==∈≠∈==∈=∈∑∑2．( B ) 令ξ=（x 1，x 2，x 3）是R 3的任意向量．下列哪一个映射σ是R 3的线性变换31 2 3233231 2312(A) ( ) = , 0(B) ( ) = (2-+ , , -)(C) ( ) =(,, )(D) ( ) =( 1 ,,0)R x x x x x x x x x x x σξξαασξσξσξ+≠++其中是 的固定向量3. (C) 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 1V V ?, 那么()12dim V V +为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 4. （C ）若4阶方阵A 的初等因子为()23l +, +3, 2. 则 A 的不变因子是(Ａ) 1，（ +3），（ +2），()23l +； (B) 1，1， ( +3) ( + 2) ，()()223l l ++； (C ）1，1，（ +3），()()223l l ++；(D) 1，1，( +2)，()()223l l ++；5．（ B ）设矩阵A 的全部不同特征值为12,,...,s λλλ，则下列哪一说法与A 可对角化不等价（A ） A 有n 个线性无关的特征向量； （B ） ()(1,2,...)()i ii i R E A n i s n λλ-==其中为的重数;（C ） V dim (V )(1,2,...,)iii i i s λλλλ==的特征子空间的维数的重数 ;( D) A 的最小多项式均是数域P 上互素的一次因式的乘积;6.（D ） 在实数域R 中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W 的维数为(A) 10; （B ）4； (C) 9； （D ）6；.二. 填空题（每空２分，共18分）1、已知a 是数域P 上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}n i W a x x x P i n =∈=是1n P +的一个子空间，则a ＝_______， dim (W )＝________. 2. 设,στ是2P 的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)x y x y σ=-+, (,)(3,)x y y x y τ=-+ (,x y P ∀∈)则 (,)x y τσ=_________.3. 已知E A λ-的标准形为1000000(2)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，则A 的特征多项式2(2)E A λλλ-=-，A 的最小多项式为___________。
高等代数(下)期末考试 A 卷解答
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V , 1
(1) 证明: A 是 V的一个线性变换.
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(1) 证明：对于 , V , k R, 由于 A ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (, ) [ ( , ) ] [ (, ) ] 以及 A ( ) A (), A (k ) k (k , ) k[ ( , ) ] kA ( ),
已知
B
A2
A
E,
其中
A
与
1 0
3
2
相似，则
B __3________
5. 设 1,2,3 是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
2
1
1 2
2 1
则向量 1 2 的长度
为
2.
2 1 2
三、判别题（对的打”√”,错的打” ×”， 2×5=10分）
五、证明题 3. (本题13分) 设 A 是欧氏空间V 的一个变换, 并且对任意
V , 有 A (,). V, 1
(2) 当 取何值时, A 是 V的一个正交变换?
(2) 如果A 是 V的一个正交变换，即有 对于任意的 , V ,
(A ( ), ()) ( (,)， (,)) (,) (，(,)) ((,)，) 2(,)(,)(, ) (,) 2(,)(,) 2(,)(,)(,) (,),
2.
在线性空间
R22
下学期期末考试 高等代数试卷(6)
第 1 页 共 3 页下（6）1襄樊学院数学系下学期期末考试《高等代数》试卷（6）一、填空题 （每题的答案写在题中的横线上.每题2分，共20分）1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111123131A 则=P 时，使AP P '为对角形矩阵. 2、实二次型 2322213212),,(x x x x x x f +-=的规范形为 .3、设},{F b a a b b a W ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,则W 是)(2F M 的 维子空间，W 的一个基为 .4、设)(F M A n ∈，且秩r A =)(，W 为齐次线性方程式组0=Ax 的解空间，则W 不是零子空间的充要条件为 .5、数域F 上每一个n 维线性空间都与 同构.6、)(2F M 中，)(,)(,2F M x xA x d c b a A ∈∀=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σ，则线性变换σ关于基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100022E 的矩阵为 .7、设三阶方阵A 的特征根是3和3-（二重）则A '的全部特征根为 .8、nR 对内积()),,(),,,(2),(112211n n n n b b a a b na b a b a ==+++=βαβα做成欧氏空间，其哥西一施瓦兹不等式为 .9、n 维欧氏空间的变换σ既是对称变换又是反对称变换，则σ是 变换.10、若33)(⨯=ij a A 是一个正交矩阵，则方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的解为 . 二、选择题11、设1324[],[]W F x W F x ==则=+)dim (21W W （ ） （A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5 12、数域F 上n 维空间V 有（ ）个基：（A ）1； （B ）n ； （C ）!n ； （D ）无穷多13、设00≠λ是矩阵A 的特征根，并且有0≠A ，则10-λ是（ ）的一个特征根. （A ）A -； （B ）A '； （C ）*A ； （D ）1-A 14、下列-λ矩阵，可逆的矩阵是( )(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ12; (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+λλλλ12; (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλλ122; (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλλ122 15、55⨯矩阵数字A 的初等因子可能为( )(A))3(,)2(,)1(24---λλλ; (B) )3(,)2(,)1(22---λλλ; (C) )3(,)2(,)1(42---λλλ; (D) 222)3(,)2(,)1(---λλλ第 2 页 共 3 页下（6）216、)(,243214321R M b b b b a aa a ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∀βα，如下定义的实数),(βα（ ）可做成)(2R M 的内积.（A ）11),(b a =βα； （B ）14433221),(b a b a b a b a +++=βα； （C ）4431),(b a a a +=βα； （D ）44332221432),(b a b a b a b a +++=βα 17、设21λλ≠是欧氏空间V 的对称变换σ的特征根，21,αα是σ的属于1λ的特征向量，43,αα是σ的属于2λ的特征向量，则（ ）成立. （A ）4321,,,αααα两两正交；（B ）21,αα线性无关且43,αα线性无关，则4321,,,αααα两两正交； （C ）一定有0),(),(),(),(32424131====αααααααα；（D ）若21,αα正交且43,αα正交，则4321,,,αααα是正交组. 18、σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，（ ）是正确的. （A ）σ把V 的标准正交基变为标准正交基； （B ）σ关于任意基的矩阵是正交矩阵；（C ）若)(,),(1n ασασ 不是V 的标准正交基，则n αα,,1 也不是V 的标准正交基；（D ）σ关于基n αα,,1 的矩阵A 不是正交矩阵，则n αα,,1 不是V 的标准正交基.19、对于n 阶实对称矩阵A ，下列结论正确的是（ ） （A ）A 有n 个不同的特征根；（B ）存在正交矩阵T ，使得：AT T '为对角形矩阵； （C ）A 的特征根一定是整数；（D ）A 的属于不同特征根的特征向量必定线性无关，但不一定正交.20、设00≠λ是矩阵A 的特征根，并且有0≠A ，则10-λ是（ ）的一个特征根. （A ）A -； （B ）A '； （C ）*A ； （D ）1-A三、判断题21、如果实二次型的惯性指标与其秩相等，则此二次型为正定二次型. （ ） 22、设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则133221,,αααααα+++也是0=Ax 一个基础解系. （ ）23、若σ是n 维欧氏空间的可逆对称变换，则1-σ也是对称变换. （ ）24、σ是欧氏空间V 的线性变换，V 中向量βα,的夹角为2π，而)(),(βσασ的夹角为3π，则σ不是V 的正交变换. （ ） 25、有限维向量空间V 的线性变换对于V 的任意两个基的矩阵都相等. （ ） 四、计算题第 3 页 共 3 页下（6）326、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=-+++=-+++=++++02203345032305432543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间W 的余子空间W '.27、求-λ矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+αλββαλαλββαλ00001001的不变因子和标准形. 28、求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+=++-+02202035432154354321x x x x x x x x x x x x x 的解空间的标准正交基.29、3F 中线性变换),,2(),,(323221321x x x x x x x x x +--=σ，求1-σ在基)1,0,0(),0,1,1(),0,0,1(321===ααα下的矩阵.五、证明题( 第30小题8分，第31小题8分,共16分)30、设A 为实对称矩阵，证明：当实数t 充分大后，A tI +是正定矩阵. 31、设λ是n 阶矩阵A 的特征根，则0≠λ，且λ1也是A 的特征根.。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
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第六章 线性空间一 线性空间的判定线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证．若要证明某个集合对于所定义的两种运算不构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运算规律中有一条不满足即可。
例：检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）全体n 阶反对称矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；解： 1）否。
因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如523n nx x ++--=（）（）。
2） n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶反对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证反对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-(A+B ），即A+B 仍是反对称矩阵。
A kA k A A ''==-=-（k ）（）（k ），所以kA 是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
例：齐次线性方程组Ax =0的全体解向量的集合，对于向量的加法和数乘向量构成一个线性空间，通常称为解空间。
而非齐次线性方程组 Ax =b 的全体解向量的集合，在上述运算下则不是线性空间，因为它们的两个解向量的和已经不是它的解向量。
二、基 维数 坐标定义:在线性空间V 中，如果存在n 个线性无关的向量12n ,,,ααα使得：V 中任一向量α都可由12n,,,ααα线性表示，那么，12n ,,,ααα就称为线性空间V 的一个基，n 称为线性空间V 的维数。
记作dim V =n 。
维数为n 的线性空间称为n 维线性空间。
定义（向量的坐标）：设12n ,,,ααα是线性空间n V 的一个基。
对于任一元素∈αn V ，总有且仅有一组有序数,,,,21n x x x 使 则n x x x ,,,21 这组有序数就称为元素a 在基底12n ,,,ααα下的坐标，并记作()12,,,T n x x x x =例： 在线性空间22⨯R 中，就是22⨯R的一个基。
22⨯R的维数为4.任一2阶矩阵 因此A 在4321,,,A A A A 这个基下的坐标为()T d c b a ,,,。
若另取一个基⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0101,00014321B B B B 。
则4321)()()(dB B d c B c b B b a d b c a A +-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=因此A 在4321,,,B B B B 这个基下的坐标为()T d d c c b b a ,,,---。
例：考虑全体n 阶对称矩阵构成的线性空间的基底和维数。
3） 解：n 阶矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，即全体n 阶矩阵对矩阵的加法和和数量乘法是构成线性空间的。
“全体n 阶对称矩阵”是“n 阶矩阵”的子集，故只需验证对称矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可。
从而全体n 阶对称矩阵构成的线性空间。
(1)ij ji E E i j n +≤≤≤即为它的一组基。
共(1)122n n n ++++=个，维数是(1)2n n + 例：设1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,11),(1,1,1,1),(1,2,1,1)εεεεξ==--=--=--=。
在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标。
设有线性关系1234a b c d ξεεεε=+++，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ， 可得ξ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。
例：在4P 中，由齐次方程组 确定的解空间的基与维数。
解：对系数矩阵作行初等变换，有 所以解空间的维数是2，它的一组基为⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,0,37,922a 。
例：设1V 与2V 分别是齐次方程组n n n x x x x x x x =====+++-12121...,0...的解空间，证明：.21V V P n ⊕=证： 由于...21=+++n x x x 的解空间是n －1维的，其基为)1,...,0,0,1(),...,0,...,1,0,1(),0,...,0,1,1(121-=-=-=-n ααα而由n n x x x x ====-121...知其解空间是1维的，令,1=n x 则其基为).1,...,1,1(=β且βααα,,...,,121-n 即为nP 的一组基，从而.21V V P n += 又)dim ()dim ()dim (21V V P n+=，（也可由交为零向量知）故.21V V P n ⊕= 三、基变换与坐标变换 基变换：设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间n V 中的两个基，若 或简记为=（n ααα,,,21 ）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 =（n ααα,,,21 ）A （☆）则矩阵A 称为由基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵。
（☆）式称为基变换公式.坐标变换： 设n V 中的元素α，在基nααα,,,21 下的坐标为()Tn x x x ,,,21 ，在基nβββ,,,21 下的坐标为()Tn y y y ,,,21 。
若两个基满足关系式（6-2），则有坐标变换公式=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21， 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21=1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21 第七章 线性变换 一、线性变换的定义线性空间V到自身的映射称为V的一个变换.定义： 线性空间V的一个变换A 称为线性变换，如果对于V中任意的元素βα,和数域P 中任意数k ，都有 A (βα+)=A (α)+A (β);A (αk )=A k (α).一般用花体拉丁字母A ，B ，…表示V 的线性变换，A (α)或A α代表元素α在变换A 下的像.例 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A ),,(),,(233221321x x x x x x x +=；4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；解： 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是. 例如当)0,0,1(=α,2=k 时,kA)0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++-= A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx=k A )(α，故A 是3P上的线性变换。
二、线性变换关于基的矩阵 定义： 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V的一组基，A 是V中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：用矩阵表示就是A （n εεε,,,21）=（A(1ε)，A(2ε)，…， A(n ε)）=A n ),,,(21εεε其中矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.定理： 设线性变换A 在基nεεε,,,21 下的矩阵是A，向量ξ在基nεεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,则Aξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 可以按公式计算.例： 在空间n x P ][中，线性变换D)()(x f x f '=在基)!1(,,!2,,112--n x x x n 下的矩阵是三、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一起的.一般说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的. 定理：设线性空间V中线性变换A 在两组n εεε,,,21 （6） n ηηη,,,21 (7)下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到（7）的过渡矩阵是X，于是AX X B 1-=.定理告诉我们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系为相似.定义： 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX XB 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：如果B A ~，那么A B ~.3. 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 矩阵的相似对于运算有下面的性质.如果XA XB 111-=, XA XB 212-=，那么XA A XB B )(21121+=+-,由此可知，如果AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的计算. 例：3R上的线性变换T 在基1111000,1,0001ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的矩阵为121012111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 则基在123,2,ααα下的矩阵为（ A ）（A ）141011121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（B ）141044121⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（C ）1211012111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（D ）242024222⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭例：已知3P中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101，求A 在基 1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵。