双曲线的几何性质--优质课
双曲线的几何性质--优质课
焦点
x 在轴上双曲线
x2 y 2 1(a 0, b 0) a 2 b2
y M B1 F2A
1
一、标准方程
二、图象
x
O B2 A2 F1
三、焦点
F1 (c,0), F2 (c,0)
x2 y 2 1 4 3
小结： 一、双曲线有哪些几何性质 二、求双曲线方程先定位再定量
作业布置:
a x a, b y bBiblioteka 关于x 轴，y 轴，原点对称
A1 (a, 0), A2 (a, 0) B1 (0, b), B2 (0.b) e
(其中A A
1
2
2a 叫椭圆的长轴， B1B2 2b 叫椭圆的短轴)
c b2 1 2 (0 e 1) a a
思考：我们是如何研究椭圆的几何性质的。
1 2
1 2
A1 (a, 0), A2 (a, 0)
1
2
七、离心率
e
c b2 1 2 (e 1) a a
学生活动：请同学们对比焦点 x 在轴上 的双曲线的性质，找出焦点在 y 轴上的 双曲线的性质
例题讲解
例1、求双曲线 的实轴长、虚轴长、焦点和顶 点坐标、离心率及渐近线方程。 a 4 ，离心率 例2、（1）已知双曲线焦点在 x 轴上， 3 为 2 ，求双曲线的标准方程 （2）已知双曲线离心率为 2 ，且过点 P(0, 2) ，求双曲线 的标准方程 5 （3）已知双曲线虚轴长12 ，离心率为 4 ，求双曲线的标 准方程
双曲线的几何性质
情景引入：
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决双曲线中的弦、最值等问题．二、教材分析1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明．) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心，2a、2b长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线．)3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解．)三、活动设计提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在x轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质1～3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启发、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质4)在学习椭圆时，以原点为中心，2a、2b为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心，2a、2b为邻边作一矩形(板书图形)，那么双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当a、b为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在y轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3．焦点坐标是(0，-5)，(0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点M与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数e=叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；(2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为7六、板书设计。
双曲线的几何性质说课稿省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
本课主要内容是双曲线旳几何性质，所以本课要点是引导学生 探求双曲线旳几何性质， 并利用类比及数形结合旳思 想来处理数 学问题。
双曲线旳实轴、虚轴、渐进线旳概念是双曲线所特有旳，而渐 进线定义是解几中第一次用极限旳思想来进行证明旳， 所以这些 都是本节课旳难点。
3、教学目的
（1）认知目旳 ：根据以上分析及教学纲领旳要求，本节课旳教学 目旳为：
6、布置作业
（1）对焦点在Y轴上旳双曲线性 质进行论述（2）课本 P 102 、 10、12
学生比较 学生简述
——————————————————————————————————— ———————————————————————————————————
课堂练习
1、双曲线的两条准线把焦点间的距离三等分，则此双曲线的离心率是（）
（3）椭圆旳几何性质是从哪些方面研究旳？ （4）椭圆有哪些几何性质？ （5）离心率旳大小对椭圆旳形状有何影响 （6）双曲线旳离心率旳大小对其形状有何影响？
2.几何性质探求所得结论：
（1）双曲线在X=a、X=-a之间无图象 （2）当X旳绝对值无限增大时，
Y旳值也无限增大。 （3）双曲线与Y轴无交点 （4）离心率影响曲率旳大小
____________________________________________________
__________________________________________________
__________________________________________________
称性、离心率，为使学生深刻思
索，可继续体问。
3、学习例1（课本例2） 此时学生已具有了双曲线旳有关概念知识，所以采用填空题形式
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
高中优质公开课精选课件双曲线的简单几何性质
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 - b2 1 (a 0,b 0)
y a或y a, x R
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
顶点 离心率 渐近线
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
2.3.2 双曲线的简单几何性质
y
M
F1 O F2 x
一、复习回顾：
1.双曲线
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
x2 a2
y2 b2
（1 a 0,b 0）
y2 a2
x2 b2
（1 a
0,b 0）
a.b.c 的关系
c2 a2 b2
复习回顾：
2.椭圆的简单几何性质有哪些？
范围 对称性 顶点 离心率
A1 F1
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
探究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的简单几何性质
1、范围
(-x,y)
y (x,y)
x a或x a, y R 2、对称性
A1 -a o a A2
x
(-x,-y)
例2.已知双曲线的渐近线方程是y x , 焦点在坐标轴上， 2
且焦距是10，求此双曲线的方程.
题后反思：
渐近线为bx ay 0的双曲线方程可设为
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
双曲线的简单几何性质优质课公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
➢等轴双曲线两渐近线渐近线为y=±x,
➢等轴双曲线两渐近线渐近线互相垂直.
【1】(高考)双曲线 那么该双曲线离心率是(
x2 a2
两by22 条 1渐近线互相垂直,
)
C
A.2
B. 3 C. 2
D. 3 e 1 ( b )2
2
a
第8页
例题解说
例1.求以椭圆
x2 8
y2 5
【1】求与椭圆
x2 49
y2 24
1有公共焦点，且离心率为
e
5 的双曲线方程. 4
解：由c2 49 24 25,得c 5.焦点为( 5，0),
设共焦点的双曲线为 x2 a2
y2 52 a2
1,
由
5 a
5 4
,
得 a 4,
b2 25 16 9.
双曲线方程为 x2 y2 1. 16 9
x2 y2 1 16 16
第3页
1.顶点
(1)双曲线与对称轴交点, 叫做双曲线顶点.
顶点 A1(a, 0)、A2 (a, 0)
(2) 实轴: 线段A1A2叫做双曲线实轴.
y
实轴长: 2a叫实轴长.
半实轴长: a 叫做半实轴长.
B2
(3)虚轴: 线段 B1B2叫做双曲线虚轴. 虚轴长: 2b叫虚轴长. 半虚轴长:b叫做双曲线半虚轴长.
第5页
4.渐近线
x2 a2
y2 b2
1
慢慢靠近
y
B1
A1
o
A2
x
y
b a
x
B2
y
b a
x
第6页
5.离心率
y
(1)定义:
双曲线的简单几何性质优秀教案
2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)一、 教学目标1. 知识与技能（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。
2. 过程与方法（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。
3. 情感、态度与价值观（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。
二、 教学重难点1、教学重点：双曲线的几何性质2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题三、 教学过程结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线的相关几何性质。
1. 取值范围(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）(1) 实轴——线段12A A 。
122,A A a a =为半实轴长；(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。
122,B B b b =为半虚轴长。
(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。
一般可设为：22,(0)x y m m -=≠4. 离心率：c e a= (1) 范围：1e >；(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.5. 渐近线(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22220y x a b-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：2222(0)x y a bλλ-=≠题型一：求双曲线的标准方程例 求满足下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43e =； （3） 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.题型二：有关渐近线的计算例1 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，求双曲线的离心率为.例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)，求双曲线的方程.例3 求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.作业：P61 A 组 《导报》第8课时。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题目：双曲线的几何性质
一、教材分析
本节课是苏教版选修1-1第2.3.2节内容，它是一节研究双曲线几何性质的课。
由于前面一节我们已经研究了椭圆的几何性质，这就为本节课作了铺垫。
我们可以类比椭圆的几方面的几何性质来研究双曲线的几何性质。
同时本节课的学习也为后面的抛物线的学习作了铺垫，起到了承上启下的作用。
二、教学目标
1、知道双曲线有哪些几何性质。
2、已知双曲线的方程会求它的性质。
3、利用双曲线的性质会求它的方程。
三、教学重难点
1、双曲线有哪些几何性质。
2、利用双曲线的方程求它的性质或利用双曲线的性质求它的方程。
四、教学过程
1、情景引入
我们前面学习了椭圆的性质的研究。
请同学们回忆一下，椭圆有哪些几何性质
3、意义建构
我们是如何研究椭圆的几何性质的。
我们是通过椭圆的标准方程来研究它的几何性质的。
线上的点还受到怎样的限制？
由双曲线的方程22221x y a b
-=可知22
220x y a b ->
即()()0x
y x y
a
b a b
+
-> 从而00x y a b x y a b
+>->⎧⎨
⎩
或
00x y a b x y a b
+<-<⎧
⎨⎩
所以双曲线还应在上面不等式组所表示的平面区域内，也就是以直线b
y x a
=±
为边界的平面区域内。
教师利用几何画板演示双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>与直线
b y x a =±
图象逐渐接近，但始终不会相交。
我们称直线b
y x a
=±为双曲线的渐近线，从而引出渐近线的概念。
学生活动：请同学们对比焦点在x 轴上的双曲线的性质，找出焦点在y 轴上的双曲线的性质
4.知识应用
例1、求双曲线
22
143
x y -=的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标、离心率及渐近线方程。
例2、（1）已知双曲线焦点在x 轴上，4a =，离心率为
3
2
，求双曲线的标准方程 （2）已知双曲线离心率为2，且过点(0,2)P ，求双曲线的标准方程 （3）已知双曲线虚轴长12，离心率为
5
4
，求双曲线的标准方程 这两个例题设计的目的是为了使学生熟悉一下双曲线的几何性质，并利用它解决求双曲线方程的较为简单的题目。
初步感知“先定位在定量”的思想。
4、 回顾总结
5、 作业布置
五、教学过程设计目的
本节课教师想通过椭圆的学习，让学生利用类比推理的方法先进行知识的自我建构，教师再给予适当的引导或补充。
充分体现学生的自主学习。