《直线的倾斜角和斜率》课件3 (北师大版必修2)(2)
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《直线的倾斜角和斜率》课件4 (北师大版必修2)
即k不存在
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
锐角
y
y2
y1
能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
y
o
l
y p
o
l
y
p o
y
p x
x
x
p o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k<0
k=0
例 1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
《直线的倾斜角和斜率》课件13 (北师大版必修2)
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
教学过程：
1、“直线的方程”和“方程的直线
（1）有序数对（0，1）满足函数y=2x+1， 则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）。
《直线的倾斜角和斜率》课件2 (北师大版必修2)
作业：
书P72 1, 2 (1),(2),(3) , 3 (1),(3) , 5
谢谢指导！ 谢谢指导！
C（0，－1），求直线AB、AC的斜率， 并判断A,B,C是否在同一直线上？
2.如图3，判断下列直线的斜率是否存在？若
存在说明它们的符号？并比较斜率的大小？
3.求直线y=-2x+4
的斜率。
d e
c
b
图3
a
五、归纳小结
1.一个概念—直线的斜率； 2.一个公式—过两点的斜率公式 3.两个问题— （1）已知直线上两点如何求斜率； （2）已知一点和斜率如何画出直线。
7
x
例2：画经过（３，２）点的直线，使 4 3 斜率为（1） ， （2） ．
y
4
（－2，6）
5
.
7 6
5
4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6
. .
（3，2）
7
（7，5）
x
-4
-5
变题2: 比较L1,L4斜率 的大小 l
Q3 y 7
3 3 k1 , k 4 5 4
导 指
迎 欢
一、情境引入
一点和一个确定的方向 可以确定一条直线.
为什么滑滑梯要很高才刺激?
b
高 度
c
a
宽度
坡度＝
高度 宽度
二、探索研究
如何准确的刻画直线的倾斜程度？
y
B
.
.
A 1 0
.
1
.
D
C
x
课题：直线的斜率
y
已知两点P(x1,,y1), Q(x2,,y2)
《直线的倾斜角和斜率》课件13 (北师大版必修2)
教学过程：
1、“直线的方程”和“方程的直线
（1）有序数对（0，1）满足函数y=2x+1， 则直线上就有一点A，它的坐标是（0，1）。
（2）反过来，直线上点B（1，3），则 有序实数对（1，3）就满足y=2x+1。 一般地，满足函数式y=kx+b的每一对x， y的值，都是直线 l 上的点的坐标（x，y）； 反之，直线 l 上每一点的坐标（x，y）都满 足函数式y=kx+b，因此，一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的 每一对x，y的值为坐标的点构成的。
例3：如图所示菱形ABCD的 BAD=60°，求菱形 ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D 略解： AD BC 600
C
AB DC 00 AC 300 BD 1200
o
A
x
B
k AD k BC 3 k AB kCD 0
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
《直线的倾斜角和斜率》课件13 (北师大版必修2)
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
2
2、直线的倾斜角
问题1：在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不 管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？画图表示。 l y y y y l p l p p p o o o x o x x x
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
k AC
3 ; k BD 3 3
4、课堂练习：
（1）课本第37面练习1、2。 3 （2）直线的倾斜角 的正切值为 ，求此直线的斜率。
5、小结：
直线的倾斜角
5
直线的斜率
定义 取值范围
6、布置作业：
（1）阅读教材第35面至第37面。 （2）第37页习题7.1第1、2、3题。
思考题：
（1）如果直线 l1 的斜率为0，l1
3、直线的斜率
给出一个描述直线方程的量——直线的斜率
定义3：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做
这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 问题4：当 =0°时，k值如何？ 问题5：填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系： 当0°＜ ＜ 90°时，k值如何？ 当 =90°时，k值如何？ 直线 平行x轴 由左向右上升 垂直x轴 由左向右下降 当90° ＜ ＜180°时，k值如何？ 的大小
《直线的倾斜角和斜率》课件4 (北师大版必修2)
如图3.1-3，日常生活中，我们经常用“升高量与前进量 的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即
升高量 坡度 前进量
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
k AC BC AB BD
tan
k AD
AB
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 条直线的斜率。 用小写字母 k 表示，即：
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
5.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、 k2，有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
6.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2， 有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
作业：
P89 A组 3,
5
3.1直线的倾斜角与斜率
升高量 坡度 前进量
D
C 升
设直线的倾斜程度为K
k AC BC AB BD
tan
k AD
AB
tan
A
前进量
高 量
B
1、直线斜率的定义：
我们把一条直线的倾斜角 条直线的斜率。 用小写字母 k 表示，即：
o
一、直线的倾斜 角
1、直线倾斜角的定义：
当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基 准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角
y
l
a
x o
注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。
练习：
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
y y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
5.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、 k2，有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
6.对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2， 有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
作业：
P89 A组 3,
5
3.1直线的倾斜角与斜率
《直线的倾斜角和斜率》课件13 (北师大版必修2)
l
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
k AC
3 ; k BD 3 3
4、课堂练习：
（1）课本第37面练习1、2。 3 （2）直线的倾斜角 的正切值为 ，求此直线的斜率。
5、小结：
直线的倾斜角
5
直线的斜率
定义 取值范围
6、布置作业：
（1）阅读教材第35面至第37面。 （2）第37页习题7.1第1、2、3题。
思考题：
（1）如果直线 l1 的斜率为0，l1
（2）如果直线 l 的斜率 围是什么？
l2 ，那么直线 l 2 的斜率怎样？ ，那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 k 1
（3）直线的倾斜角的正弦为 sin ，也是 的三角函数，为什么不用
它来作直线的斜率呢？
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
总结：有四种情况，如图。可用直线 l
与x轴所成的角来描 述。我们规定，直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正 角叫做这条直线的倾斜角。特别地，当直线和x轴平行或重合 时，它的倾斜角为0°。
定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相
交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转 到与直线重合时所转的最小正角，记为 那么就叫 做直线的倾斜角。
以上定义改用集合表述：
直线可以看成由点组成的集合，记作C，以一个 关于x，y的二元一次方程的解为坐标的集合，记 作F。 若（1）C F（2）F C，则C=F
例1、已知方程2x+3y+6=0。
（1）把这个方程改成一次函数式； （2）画出这个方程所对应的直线 l。
3 （3）点（ 2
，1）是否在直线 l上。
k AC
3 ; k BD 3 3
4、课堂练习：
（1）课本第37面练习1、2。 3 （2）直线的倾斜角 的正切值为 ，求此直线的斜率。
5、小结：
直线的倾斜角
5
直线的斜率
定义 取值范围
6、布置作业：
（1）阅读教材第35面至第37面。 （2）第37页习题7.1第1、2、3题。
思考题：
（1）如果直线 l1 的斜率为0，l1
（2）如果直线 l 的斜率 围是什么？
l2 ，那么直线 l 2 的斜率怎样？ ，那么它的倾斜角的范 k 的范围是 0 k 1
（3）直线的倾斜角的正弦为 sin ，也是 的三角函数，为什么不用
它来作直线的斜率呢？
目的要求：
1、初步了解“直线的方程”和“方程的直线”概念； 2、了解直线的倾斜角概念，理解直线的斜率概念，并能准确 表述直线的倾斜角的定义； 3、已知直线倾斜角（或斜率）会求直线的斜率（或倾斜角）； 4、培养和提高学生的联想、对应、转化等辨证思维。
《直线的倾斜角和斜率》课件13 (北师大版必修2)
K的范围
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
K的增减性
例2：直线 l1 的倾斜角1 =30°，直线 l2 l1 ， 求 l1 , l 2 的斜率。
y
l1
o
1 2
l2
解： 的斜率为 k1 tan1 3 l1 3 l 2 的倾斜角为 2 900 300 1200 x l 2 的斜率为 k2 tan2 3
问题2：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对， 违背了定义中的哪一条？
y y y y
o
x
o
x
o
（3）
x
o
（4）
x
（1）
（2）
提问：
问题3：直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不 能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？ （通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°， 在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。 而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向，倾斜角直观地表示 了直线对x轴正方向的倾斜程度。）
y
y=2x+1
B（1，3）
A（0，1）
o
x
从方程的角度看，函数y=kx+b也可以看作是二元一 次方程y-kx-b=0，这样满足一次函数y=kx+b的每一对x， y的值“变成了”二元一次方程y-kx-b=0的解，使方程 和直线建立了联系。
定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直
线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都 是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直 线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。
y
2 y x2 略解：（1） 3
o x （2）过A（0，-2），B（-3，0） （-3，0） （0，-2） 两点的直线即为所求直线 l ； （3）点（ 3 ，1）不在直线 l 上。
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0
0
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
应用：
例1：如图，直线 l1 的倾斜角 1 =300，直线 l2⊥l1，求l1，l2 的斜率。
y
l2
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan ,0 180
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
于是 直线L的斜率为
2 tan 24 tan2 2 7 1 tan
小结提高
楼梯坡度
平面解 析几何
直线的斜率
核心
知识•方法•思想
斜率定义
几何意义
应用
3
（3）若k (1,1) 则 的取值范围 0 0 0 [0, 45 _________) (135 ,180 ) 0 0 若 (60 ,150 ),则K的取值范围___
(, 3 ) ( 3, )
3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ( 3, ), 则 _____ 3
tan 在RtP2QP中 1 P2Q y2 y1 tan x1 x2 PQ 1
0
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
l
y p
o
l
y
p o
y
p x
x
x
p o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ 180°
＜
= 0°
k >0
k<0
k=0
想一想
我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是： 如果知道直线上的两点，怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
高一新课标人教版
问题1：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？ 两点或一点和方向
y
问题2：如果已知一点还需附加什么条 件，才能确定直线？ 一点和方向
问题3：如何表示方向？
o
x
用角
直线的倾斜角
y
l
α x
o
我们取x轴为 基准，x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。
1、直线的倾斜角
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
四、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
P1 P1
P2
例1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
o
x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180
Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o
x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
2 3 2x 8 x
解得 x 2
反射点 P ( 2,0)
例5 直 线L的 倾 斜 角 是 连 接 ,5),(0,9)两 点 (3 的 直 线 的 倾 斜 角 的 两， 求 直 线 的 斜 率 倍 L .
解： 设连接 3,5), (0,9)的直线倾斜角为 , 则 (
59 4 tan 30 3
l1
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
l1 l２ l３
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ 0 若k 3, 则 ________ 120 0 0 3 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； （2） 若 ( , 3)
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90
2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大
y
o
P
小 结：
一、求直线的倾斜角和斜率
二、利用斜率相同判定三点共线
例4 从 M 2 , 2 射出一条光线 , 经过x 轴反射 后过点N( 8 , 3 ) , 求反射点 的坐标 P
解：设 (x,0) N(-8,3) P
因为入射角等于反射角
K MP K PN
M(2,2)
P
规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
y o
l
y
l
y p o
y
p
p x o
x
x
p o
l x
l
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
o ,180 o ) [0
看看这三条直线，它们倾斜角 的大小关系是什么？
l1 y
想一想
o
l2
l3
x
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。
y2 y1 k x2 x1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
例3 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ） ②直线的斜率为 t an ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有 斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
锐角
yy2y1 Nhomakorabea能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
例题
例1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率
变式1、在例1基础上加上点C（m，4）也在直线上， 求m。 变式2、在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D是否 在直线上。
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.
例3、直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。 例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后过 点N（-8，3），求反射点P的坐标 N(-8,3) M(2,2)
0
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k 例如：直线 的倾斜角为 , 则斜率为： tan45 1 l 45
k 直线l的倾斜角为 , 则斜率为： tan120 3 120
应用：
例1：如图，直线 l1 的倾斜角 1 =300，直线 l2⊥l1，求l1，l2 的斜率。
y
l2
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
升高量 坡度（比） 前进量
升 高 量 前进量
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
2、直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan ,0 180
y2 y1 y1 y2 4、斜率公式：k (或k ) x2 x1 x1 x2
a 0 k tan0 0 0 a 90 k tan a 0 a 90 tan a(不存在) k不存在 90 a 180 k tana 0
于是 直线L的斜率为
2 tan 24 tan2 2 7 1 tan
小结提高
楼梯坡度
平面解 析几何
直线的斜率
核心
知识•方法•思想
斜率定义
几何意义
应用
3
（3）若k (1,1) 则 的取值范围 0 0 0 [0, 45 _________) (135 ,180 ) 0 0 若 (60 ,150 ),则K的取值范围___
(, 3 ) ( 3, )
3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ( 3, ), 则 _____ 3
tan 在RtP2QP中 1 P2Q y2 y1 tan x1 x2 PQ 1
0
思考？
1、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan90 (不存在)
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
l
y p
o
l
y
p o
y
p x
x
x
p o
l x
l
0°＜ ＜ 90°
= 90°
k不存在
90°＜ 180°
＜
= 0°
k >0
k<0
k=0
想一想
我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是： 如果知道直线上的两点，怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢？
3、探究：由两点确定的直线的 斜率 k tan
高一新课标人教版
问题1：如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢？ 两点或一点和方向
y
问题2：如果已知一点还需附加什么条 件，才能确定直线？ 一点和方向
问题3：如何表示方向？
o
x
用角
直线的倾斜角
y
l
α x
o
我们取x轴为 基准，x轴正向 与直线L向上的 方向之间所成的 角α叫做直线L 的倾斜角。
1、直线的倾斜角
直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA
0 (8) 8 2
C
∵ k AB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2 (2) 4 1 40 4
四、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围： 180 0 2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 ) 3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
3、直线的斜率公式：
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1, y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式：
y2 y1 y1 y2 k (或k ) x2 x1 x1 x2
P2
P1 P1
P2
例1
、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求 直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线 的倾斜角是什么角？ y. 解： B . A 22 . . . . . . . 0 直线AB的斜率 k AB o x 8 4 . 22 4 1
o
x1
x2
x
在RtP2 PQ中 1
0
钝角
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( ) 180
Q( x2 , y1 )
P ( x1, y1 ) 1
o
x1
x2
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
2 3 2x 8 x
解得 x 2
反射点 P ( 2,0)
例5 直 线L的 倾 斜 角 是 连 接 ,5),(0,9)两 点 (3 的 直 线 的 倾 斜 角 的 两， 求 直 线 的 斜 率 倍 L .
解： 设连接 3,5), (0,9)的直线倾斜角为 , 则 (
59 4 tan 30 3
l1
1
O
2
x
例2 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
l1 l２ l３
例3、 填空 0 3 （1） 若 60 则k=________ 0 若k 3, 则 ________ 120 0 0 3 (30 ,60 ) ，则 k ____ ； （2） 若 ( , 3)
小结
1、倾斜角的定义及其范围
0 180
0
0
0
2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化
判断：
1、平行于X轴的直线的倾斜角为0或
不存在 90 k 0 tan 90
2、直线的斜率为tan ,则它的倾斜角为
3、直线的倾斜角越大，则它的斜率也越大
y
o
P
小 结：
一、求直线的倾斜角和斜率
二、利用斜率相同判定三点共线
例4 从 M 2 , 2 射出一条光线 , 经过x 轴反射 后过点N( 8 , 3 ) , 求反射点 的坐标 P
解：设 (x,0) N(-8,3) P
因为入射角等于反射角
K MP K PN
M(2,2)
P
规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
y o
l
y
l
y p o
y
p
p x o
x
x
p o
l x
l
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
o ,180 o ) [0
看看这三条直线，它们倾斜角 的大小关系是什么？
l1 y
想一想
o
l2
l3
x
想一想 你认为下列说法对吗？ 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。
y2 y1 k x2 x1
o
x 答：斜率不存在， 因为分母为0。
) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2， 运用上述公式计算直线AB的斜率时，与 A、B的顺序有关吗？
b2 a2 k AB b1 a1
a2 b2 kBA a1 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
例3 判断正误：
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ） ②直线的斜率为 t an ，则它的倾斜角为 （ ） ③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都有 斜率。 （ ） ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 （ ） ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
锐角
yy2y1 Nhomakorabea能不能构造 一个直角三 如图，当α为锐角时， 角形去求？ P2 ( x2 , y2 )
P ( x1, y1 ) 1
P2 PQ, 1
Q( x2 , y1 )
且x1 x2 , y1 y2
QP2 y2 y1 k tan tanP2 PQ 1 PQ x2 x1 1
例题
例1、求经过A(-2,0), B(-5,3)两点的直线的斜率
变式1、在例1基础上加上点C（m，4）也在直线上， 求m。 变式2、在例1基础上加上点D（8，6）,判断点D是否 在直线上。
例2、已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线, 求a 的值.
例3、直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9） 两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。 例4、从M（2，2）射出一条光线，经过X轴反射后过 点N（-8，3），求反射点P的坐标 N(-8,3) M(2,2)