2012年高考第二轮复习数学解法指导：第1讲 选择题解法指导
2012届高考数学解题技巧：第1讲_选择题的解题方法与技巧经典[1]
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1 例7．若a>b>1，P= lg a ⋅ lgb ，Q= (lg a + lg b) ． ， (lg a + lgb) 2 a +b
，R= lg( （A）R<P<Q ）
2
) ，则（ ）
解：取a＝100，b＝ ＝ ， ＝ 10，比较可知选B ， （B）P<Q< R 比较可知选 ）
（C）Q< P<R （D）P< R<Q ） ）
的单调递减区间是[2，＋ 所以 f(x)的单调递减区间是 ，＋∞)． 的单调递减区间是 ，＋∞ ．
题型二 题型二 特例法 特例检验(也称特例法或特殊值法 是用特殊值 特例检验 也称特例法或特殊值法)是用特殊值 或特殊图 也称特例法或特殊值法 是用特殊值(或特殊图 特殊位置)代替题设普遍条件 得出特殊结论， 代替题设普遍条件， 形、特殊位置 代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各 个选项进行检验，从而做出正确的选择． 个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位置等． 位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“ 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立” 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判 断形式出现的题目，其原理是“ 断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真，则它在一般情况下也不真” 利用“小题小做” 不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或 小题巧做”的解题策略． “小题巧做”的解题策略．
解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发， 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 相关概念、性质、公式、公理、定理、 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出 通过严谨推理、准确运算、合理验证， 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座” 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从 而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、 而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果， 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接 求解． 求解．
2012高考数学二轮专题复习-解答题答题策略
2012高考数学二轮专题复习-解答题答题策略D函数与导数及不等式.2.解答策略：(1)审题要慢，解答要快.审题时,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识；(2)确保运算准确,立足一次成功；(3)讲究书写规范,力争既对又全,这就要求考生在面对试题时, 要会而对,对而全,全而规范.(4)面对难题,讲究策略,争取多得分.解题过程在其中某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）（3）问.总之,对高三学子来说:准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！【考点在线】考点一三角函数与平面向量三角函数的解答题是每年的必考题目，主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形，可能与平面向量结合在一起命题。
试题呈现以下特点:(1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等)求值；（2）通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数，然后研究三角函数的性质，如：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；（3）利用正、余弦定理及恒等变换解三角形； （4）与平面向量结合，利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换。
例 1. (2011年高考安徽卷文科16)在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3212cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】∵A＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°. 在△ABC中，由正弦定理sin sin a bA B=得sin 22sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()22222=+=.【名师点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
2012高考数学选择题解题速成
2012高考数学选择题解题速成数学是高考的重要科目之一，选择题在数学考试中占据了很大的比重。
正确解题可以帮助考生提高分数，所以快速解答选择题是很重要的。
本文将介绍一些解题的技巧和方法，帮助考生在2012年高考数学考试中迅速解答选择题。
一、准备阶段在考试中迅速解答选择题的前提是掌握了数学的基础知识和解题技巧。
在复习过程中，要重点掌握各个章节的基本概念、公式和定理，同时多做一些真题和模拟题，熟悉选择题的解题思路和方法。
二、审清题意在解答选择题之前，首先要认真审题。
理解题目的要求和条件，弄清题目中给出的数据和要求，避免因为对题意理解不清而浪费时间。
三、合理推测答案有时候通过观察选项的特点和条件，可以根据直觉或简单的计算推测出答案的取值范围或大致大小。
这样可以帮助考生缩小答案的范围，提高解题准确性。
四、排除法当不太确定答案时，可以通过排除法来确定最终的答案。
逐个排除明显错误的选项，然后对剩余的选项进行再次推测或计算，从中选择正确的答案。
五、跳过难题如果遇到一道难题，而且在短时间内没有明确的思路或方法，可以暂时跳过该题，继续做下一题。
高考时间紧张，不要过于纠结于一道题上，应该把时间和精力投入到可以解答的题目上。
六、注意细节在高考数学选择题中，往往有一些看似简单但要求细致的问题。
比如，计算时要注意单位的转换、图形的标注和角度的方向等。
解题过程中一定要仔细，避免因为粗心而出现错误。
七、多练习只有通过不断的练习，才能熟悉各种类型的选择题，掌握解题的技巧和思路。
平时可以多做一些选择题的练习题，尤其要多做一些历年的高考真题和模拟题，这样可以更好地适应考试的要求。
八、时间分配在高考数学考试中，要合理分配时间，避免在一道题上花费过多时间。
可以根据自己的实际情况，给每道题目设定一个时间上限，超过时间限制则立即放弃，继续做下一题，以保证能够顺利地完成所有的选择题。
总结：高考数学选择题解题速成需要考生在掌握基本知识和解题技巧的基础上，进行有效的答题方法和时间的分配。
2012高考数学选择题考场实战
2012高考数学选择题考场实战在2012年的高考数学考试中，选择题是每位考生必须面对的一部分。
本文将就2012年高考数学选择题的实战策略和解题思路进行分析，以帮助考生在考场上取得较好的成绩。
一、题型概述2012年高考数学选择题主要包括代数、函数、几何和概率等方面的知识点。
每个知识点都有其特定的解题思路和表达方式。
考生需要熟悉每个知识点的考点和解题方法，才能在考场上迅速并准确地解答问题。
二、解题策略1. 熟悉试卷结构：在考试前，考生应仔细阅读试卷的结构和规则，了解每个部分的题型和分值比例。
这有助于考生在考试中合理分配时间和精力。
2. 先易后难：在做选择题时，考生可以先从较易的题目开始着手解答，逐渐增加难度。
这样可以提高答题信心，减少时间浪费。
3. 牢固基础知识：选择题虽然只是考查基础知识的应用，但基础知识的牢固程度直接影响到解题的速度和准确性。
因此，考生在备考中要注重对基础知识的掌握和巩固。
4. 关注问题条件：在解答选择题时，考生应仔细阅读题目并理解问题的条件。
有时候，题目中包含的条件信息可以直接指导解题思路。
5. 列清楚步骤：考生尽量将解题过程详细列出，避免出错和漏解。
在列步骤时，可以借助草稿纸或辅助图形，使解题思路更加清晰可见。
三、解题技巧举例以下将以2012年高考数学选择题的部分题目为例，介绍一些解题的技巧和注意事项。
1. 代数题设直线L的方程为2x+3y=6，在坐标平面内，直线L与x轴、y轴以及直线x+y=1形成的图形围成的区域面积是（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4解题思路：首先，我们需要找到直线L和其他线段的交点，然后计算出区域的面积。
通过解方程组可以得到直线L与x轴和y轴的交点分别为(3,0)和(0,2)，与直线x+y=1的交点为(1,0)和(0,1)。
然后可以根据这些点计算出所围成的区域面积为1，因此答案选A。
2. 几何题如图所示，正方形ABCD的边长为2√2cm，点E为边AD上一点，且AE=√2cm，与边BC交于点F，连接BF，连接CF。
2012年高考第二轮复习资料-专题审题方法与答题模板 第1讲 教你审题破解高考不再难
x2 y2 又 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆 ＋ ＝1 上， 9 4
2 2 x1 y1 9 ＋ 4 ＝1， 所以 2 2 x2＋y2＝1， 9 4 (x1－x2)(x1＋x2) (y1－y2)(y1＋y2) 两式相减，得 ＋ ＝0， 9 4 y1－y2 4 所以 kMN＝ ＝－ ， 9 x1－x2
(x＋y)2 (x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3× 4 (要关注等号成立的条件) x＋y≤2 〈观察方向二〉 从图形上看，∠AOC＝α 的大小影响 x＋y 的大小 (将向量关系转化为 α 与 x＋y 的关系) →2 → → → → OC· ＝xOA ＋yOA· OA OB → → → → → OC· ＝xOA· ＋yOB2 OB OB y cos α＝x－2 即 1 cos(120° －α)＝－ x＋y 2
(构造 x＋y 关于 α 的函数) x＋y＝2[cos α＋cos(120° －α)] (三角函数化简)
x＋y＝2sinα＋30°≤2
〈观察方向三〉 观察图形 圆弧 AB 具有对称性 → ( 可能在边界，在边界则有两种可能) OC → → → OC若与OA重合或与OB重合：x＋y＝1 (从图形特征看，C 可为 AB 的中点) 若 C 为圆弧 AB 的中点，则 x＝y＝1 x＋y 的最大值应为 2
∴x＋y＝ 3sin α＋cos α＝2sin(α＋30° )． ∵0° ≤α≤120° ，∴30° ≤α＋30° ≤150° . ∴x＋y 有最大值 2，当 α＝60° 时取最大值．
答案
点评
2
从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，
解题快又准，所以观察方向三值得考虑．
变式训练 3
2012届高考第二轮考点专题复习教案 解析几何问题的题型与方法
第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法.4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
高考数学二轮复习热考题型解法指导第1讲高考客观题的解法教案14
第1讲高考客观题的解法1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．技法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典型例题](1)(·杭州市学军中学高考模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋1x n 展开式中所有奇数项的系数之和为1 024，则展开式中各项系数的最大值是( )A ．790B ．680C ．462D ．330(2)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】 (1)由题意可得2n －1＝1 024，即得n ＝11，则展开式中各项系数的最大值是C 511或C 611，则C 511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462，故选C.(2)由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1. 【答案】 (1)C (2) 2 1直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ， 所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 2．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1. 答案：1技法二 特例法当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．[典型例题](1)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB→＝a ，AC→＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( ) A ．3B ．4C ．5 D.13【解析】 (1)因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f (－a 2)＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B. (2)由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23， 故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP→＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A.【答案】 (1)B (2)A特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．[对点训练]如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右项点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D 、E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2 C.12 D.13解析：选A.不妨取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，95， 则可计算S 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－95×(5－4)＝65， 由题易得PD ＝2，PE ＝65， 所以S 2＝12×2×65＝65， 所以S 1∶S 2＝1.技法三 图解法对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．[典型例题](1)如图，已知正四面体D ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CR RA＝2.分别记二面角D PR Q ，D PQ R ，D QR P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α(2)(·宁波高考模拟)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a <b，已知函数f (x )＝max{|2x －1|，ax 2＋b }，其中a <0，b ∈R ，若f (0)＝b ，则实数b 的范围为________，若f (x )的最小值为1，则a ＋b ＝________．【解析】 (1)如图1，设O 是点D 在底面ABC 内的射影，过O 作OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥RQ ，垂足分别为E ，F ，G ，连接ED ，FD ，GD ，易得ED ⊥PR ，所以∠OED 就是二面角D PR Q 的平面角，所以α＝∠OED ，tan α＝OD OE ，同理tan β＝OD OF ，tan γ＝OD OG.底面的平面图如图2所示，以P 为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，3)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33，因为AP ＝PB ，BQ QC ＝CR RA ＝2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，233，R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，33，则直线RP 的方程为y ＝－32x ，直线PQ 的方程为y ＝23x ，直线RQ 的方程为y ＝33x ＋539，根据点到直线的距离公式，知OE ＝22121，OF ＝3939，OG ＝13，所以OE >OG >OF ，所以tan α<tan γ<tan β，又α，β，γ为锐角，所以α<γ<β，故选B.(2)因为f (0)＝max{1，b }＝b ，所以b ≥1；作出y ＝|2x －1|与y ＝ax 2＋b 的函数图象，如图所示： 因为f (x )的最小值为1，所以y ＝ax 2＋b 恰好经过点(1，1)，所以a＋b＝1.【答案】(1)B (2)[1，＋∞)1图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[对点训练]a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD→的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA→的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1.B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1.设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD→的夹角，θ∈[0，2π)． 那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2， cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，22. 故α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误． 设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，cosβ＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|.当AB ′与a 成60°角时，α＝π3，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22.因为cos 2θ＋sin 2θ＝1， 所以|cos θ|＝22.所以cos β＝22|cos θ|＝12.因为β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2， 所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．所以②正确，①错误． 答案：②③ 技法四 构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[典型例题](1)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32(2)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2＜ln mn，则( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＞2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定【解析】 (1)由题意，可补成正方体，如图，异面直线AC 与BD 所成角就是ED 与BD 所成角，而△BDE为等边三角形，所以ED 与BD 所成角为π3，cos π3＝12.故选A.(2)由不等式可得1n 2－1m 2＜ln m －ln n ，即1n 2＋ln n ＜1m 2＋lnm ．设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )＞0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )＜f (m )，所以n ＜m .故选A.【答案】 (1)A (2)A构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．[对点训练]1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln 2)>2f (ln 3)B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3)C ．3f (ln 2)<2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小关系不确定解析：选C.令g (x )＝f （x ）e x，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e xe 2x＝f ′（x ）－f （x ）e x.因为对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，所以g ′(x )>0，即g (x )在R 上单调递增．又ln 2<ln 3，所以g (ln 2)<g (ln3)，即f （ln 2）eln 2<f （ln 3）eln 3，即f （ln 2）2<f （ln 3）3，所以3f (ln2)<2f (ln 3)．故选C.2．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫S n ＋12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，所以S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，所以S 1＝1，所以a 1＝1， 所以S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，所以S 5＝121. 答案：1 121 技法五 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，此法适用于选择题，它是充分利用选择题的特征，即有且只有一个正确的选项，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确结论的一种方法．[典型例题](2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )【解析】 设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.【答案】 D排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．[对点训练]1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a . 2．(·汕头一模)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选A.k ＝0时，8≥0，满足条件，排除B 、C ，当k ＝2时，不等式变为x 2－6x ＋5≥0，即x ≥5或x ≤1不满足条件，排除D.技法六 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．[典型例题]如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152【解析】 该多面体体积直接求比较困难，可连接BE 、CE ，原体积转化为四棱锥E ABCD 和三棱锥E BCF 的体积之和，而V E ABCD ＝6，故由局部估算出整体，原多面体体积大于6，只有D 符合．故选D.【答案】 D对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项．有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算或严格推演而浪费时间．[对点训练]某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为( )A．2sin α－2cos α＋2 B．sin α－3cos α＋3 C．3sin α－3cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1解析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符合，故选A.专题强化训练[基础达标]1．(·宁波高考模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5}，则B＝( )A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.2．复数z满足(1＋i)z＝|3－i|，则z＝( )A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i解析：选A.由题意知：(1＋i)z＝2，设z＝a＋b i，则(1＋i)z ＝(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1＋i ，故选A.3．(·温州市高考数学模拟)已知数列{a n }是递增数列，且满足a n＋1＝f (a n )，a 1∈(0，1)，则f (x )不可能是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝2x －1 C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝log 2(x ＋1)解析：选B.对于A ：因为a 1∈(0，1)，所以a n ＋1＝a n >a n ，可得数列{a n }是递增数列；对于B ：因为a 1∈(0，1)，不妨取a 1＝12，则a 2＝212－1＝2－1<12，因此数列{a n }不是递增数列；对于C ：f (x )＝2x －x 2，令2x －x 2≥0，解得0≤x ≤2.由f (x )＝2x －x 2＝1－（x －1）2，可知：当0≤x ≤1时，函数f (x )单调递增；当1≤x ≤2时，函数f (x )单调递减．因为a 1∈(0，1)，所以数列{a n }是递增数列；对于D ：画出图象y ＝log 2(x ＋1)，y ＝x ，可知：在x ∈(0，1)时，log 2(x ＋1)>x ，所以a n ＋1＝log 2(a n ＋1)>a n ，因此数列{a n }是递增数列．故选B.4．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0，x －2≤0则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为 ( )A ．5B ．6C ．7 D ．8解析：选C.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即A (2，3)，故z max ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即B (0，2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.5．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．6．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x－2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.7．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝cos 12log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝－cos 12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝－cos 12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，排除A 、D ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－cos 12<0，故排除C.综上，选B. 8．(·嘉兴市高三期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－4＝0恰有三条公共切线，则（a－3）2＋（b－4）2的最小值为( )A．1＋ 2 B．2C．3－ 2 D．4解析：选B.圆C1的圆心为C1(a，0)，半径为r1＝1，圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝2，因为两圆有三条公共切线，所以两圆外切．所以a2＋b2＝3，所以点(a，b)在半径为3的圆x2＋y2＝9上．而（a－3）2＋（b－4）2表示点(a，b)到点(3，4)的距离．所以（a－3）2＋（b－4）2的最小值为32＋42－3＝2.故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．12 B．18 C．24 D．30解析：选C.由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1截掉一个三棱锥DA1B1C1得到的，其中AC＝4，BC＝3，AA1＝5，AD＝2，BC ⊥AC ，S △A 1B 1C 1＝12×4×3＝6， 所以该几何体的体积V ＝S △A 1B 1C 1·AA 1－13S △A 1B 1C 1·DA 1＝6×5－13×6×3＝24. 10．(·台州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0，2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5－1，5－1)B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1，22－1)D ．[－22－1，22－1]解析：选D.设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M 在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1. 11．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为________，单调递增区间为________．解析：函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2kπ得x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . 答案：π ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z 12．(·金丽衢十二校高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3，表面积为________cm 2.解析：根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥P ABC ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×12×4×3×1＝233，表面积S ＝12×4×3＋12×4×1＋12×2×2＋12×23×2＝4＋23＋ 6. 答案：2334＋23＋6 13．(·河南八市重点高中质检)已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：由题可得，圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.故直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝014．对于任意两个正实数a ，b ，定义a *b ＝λ×a b.其中常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，62，若8*3＝3，则λ＝________；若a ≥b >0，a *b 与b *a 都是集合{x |x ＝n 2，n ∈Z }中的元素，则a *b ＝________． 解析：由8*3＝3得λ×83＝3⇒λ＝98； λ×a b ＝m 2，λ×b a ＝n 2(m ，n ∈Z ，m >n )⇒λ2＝mn 4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32⇒mn ＝5⇒m ＝5，n ＝1，所以a *b ＝52. 答案：98 5215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．解析：函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)16．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：若在[－1，1]内不存在c 满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3，32 17．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________．解析：根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C 12＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A 22＝2种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A 22×A 23＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A 22＝2种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；则一共有48＋24＋12＝84种不同坐法．答案：84[能力提升]1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a ＜1b B ．a 2＞b 2C.ac 2＋1＞b c 2＋1 D ．a |c |＞b |c |解析：选C.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D ，故选C.2．(·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235，＋∞. 3．(·杭州市学军中学模拟)已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.数列－8，－4，－2，…，该数列是公比q ＝－4－8＝12<1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数列{a n }的公比q <1，不能得出数列{a n }是递减数列；而数列－1，－2，－4，－8，…，是递减数列，但其公比q ＝－2－1>1，所以，由数列{a n }是递减数列，不能得出其公比q <1. 所以，“q <1”是“等比数列{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D.4．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B.由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，因为a ＞0，所以x ＝－2a ＜0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.5．已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( ) A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3解析：选B.因为a 2－b ＋4≤0，所以b ≥a 2＋4，a ，b >0. 所以a ＋b ≥a 2＋a ＋4，所以aa ＋b ≤a a 2＋a ＋4，所以－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4， 所以u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B. 6．(·瑞安四校联考)已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA →|OA →|，b ＝OB→|OB →|，OP →＝a ＋2b ，则PA →·PB →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选A.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (m ，0)，B (0，n )，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，OP→＝a ＋2b ＝(1，2)， PA→＝(m －1，－2)，PB →＝(－1，n －2)， Rt △AOB 的面积为1，即有mn ＝2，则PA→·PB →＝1－m －2(n －2)＝5－(m ＋2n )≤5－22mn ＝5－2×2＝1，当且仅当m ＝2n ＝2时，取得最大值1.7．(·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )A．相交直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2，所以2ax－y2＋z2－a2＝0，若被平面xOy所截，则z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，则y＝0，z2＝－2ax＋a2，故选C.8．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同分配方案的种数为( )A．50 B．80C．120 D．140解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，共有C25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C23 A22＝6种结果，所以根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60种结果，②当甲中有三个人时，有C35A22＝20种结果，所以共有60＋20＝80种结果，故选B.9．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D.由x ＜g (x )得x ＜x 2－2，所以x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，所以－1≤x ≤2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0. 所以当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0.综上可得f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，且f (e)＝1e，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞ 解析：选B.根据题意，令g (x )＝xf (x )，则有g ′(x )＝[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )＝ln x x， 则g (x )＝12(ln x )2＋C ，即xf (x )＝12(ln x )2＋C ， 则有f (x )＝12x (ln x )2＋C x， 又由f (e)＝1e ，即f (e)＝12e ＋C e ＝1e ，解可得C ＝12， 故f (x )＝12x (ln x )2＋12x， 令h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝f ′(x )－1＝－（ln x ＋1）22x 2－1<0，故函数h (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上递减，不等式f (x )＋e>x ＋1e ，即f (x )－x >1e－e ＝f (e)－e ， 则有0<x <e ，即不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集为(0，e)．故选B. 11．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________．解析：因为lg 2∈(0，1)，0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2 lg(lg 2)12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝________．解析：抽奖1次，不中奖的概率为610×510＝310， 所以抽奖1次能获奖的概率为1－310＝710；抽奖1次获一等奖的概率为410×510＝15， 所以随机变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，15， 所以EX ＝3×15＝35. 答案：710 3513．在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A ＝π3，cos ∠BDC ＝－27，△ABC 的面积为33，则sin ∠ABD ＝________，AC ＝________．解析：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH ＝DH BD＝27， 设DH ＝2k (k >0)，则BD ＝7k ，所以BH ＝BD 2－DH 2＝3k ，在Rt △ABH 中，∠A ＝π3，所以AH ＝BH 3＝k ， 所以AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC ＝12×AC ×BH ＝12×6k ×3k ＝33k 2＝33， 解得k ＝1，所以AC ＝6，在△ABD 中，BD sin A ＝AD sin ∠ABD， 所以732＝3sin ∠ABD解得sin ∠ABD ＝32114. 答案：321146 14．(·杭州市七校高三联考)抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于________． 解析：由条件得A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点连线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 1＋x 2＝－12，且(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线y ＝x ＋m 上，即y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ，即y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m .又因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，所以有2(x 21＋x 22)＝x 1＋x 2＋2m ，即2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝x 1＋x 2＋2m ，可得2m ＝3，解得m ＝32. 答案：3215．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n ＝A 45＝120，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率：p ＝10120＝112. 答案：11216．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：因为a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，所以λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)， 因为向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，所以(λa ＋b )·(a ＋λb )＝(3λ＋2)×(3＋2λ)＋(2λ－1)×(2－λ)>0. 且(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)≠0，整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1.解不等式可得，λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1. 答案：λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1 17．(·广州市综合测试(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2，故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×（1＋n ）n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1. 当n ＋1＝8时，f (7)＝8＋608－1＝292； 当n ＋1＝7时，f (6)＝7＋607－1＝1027， 因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292. 答案：292。
福建省2012届高考数学理二轮专题总复习课件：专题11第1课时 选择题解题策略
【例4】(2011厦门质检)用若干个棱长为1 cm的 小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图， 图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7 cm3， 则其侧视图为( )
第八页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
【解析】由正视图知A错；由几何体的体积为7， 可知B、D也不对，故选C.
2
A. m 3 9m
B. m 3 |9m|
C. 1 D. 5 3
【解析】由于受sin2 cos2 1的制约，
故m为确定值，于是 tan 为确定值．
2
又 ，则 ，所以tan 1.
2
422
2
第二十九页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
(二)逻辑分析法 若A真⇒B真，则A可排除；若A⇔B，则A、B均假；若
第十六页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
【解析】取x b，有f | b | f b 0，
排除A选项，取x b，
有f | b | f b 0，排除C、D选项，
故选B.
第十七页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
三、特殊位置
【例9】设抛物线y2 2x与过其焦点的直线交于A、B两
点，则OAOB的值为( )
A“. p或q”为真 B.? p且q”为真
C．p真q假
D．p，q均为假
【解析】由已知命题p是假命题，命题q是 真命题，“p或q”为真，正确．答案：A
第五页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
【例2】从数字1, 2,3, 4,5中随机抽取3个数字(允许重复)组
成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是( )
第二十二页，编辑于星期日：十八点 五十七分。
【解析】 (图象法)在同一直角坐标 系中，作出函数y=f(x)的图象和直线 y=1 ， 它 们 相 交 于 (-1,1) 和 (1,1) 两 点 ，由f(x0)＞1，得x0＜-1或x0＞1.选D
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第1讲 选择题解法指导选择题是高考数学试卷的三大题型之一，该题型的基本特点是：绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力．1． 直接法与定义法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是选择题最基本的方法，绝大多数选择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法．【例1】 已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于（ ）．A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i针对训练设偶函数f （x ）对任意x ∈R ，都有f （x ＋3）＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f （x ）＝4x ，则f （－107.5）＝（ ）．A ．10B ．110C ．－10D ．－110【例2】 在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （－5,0）和C （5,0），顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1，则sin A －sin C sin B等于（ ）．A ．±54B ．54C ．45D ．±45针对训练若抛物线C ：x 2＝4y 上的一点P 到定点A （0,1）的距离为2，则P 到x 轴的距离为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．4 2． 数形结合法与构造法“数缺形时少直观，形少数时难入微”．对于一些具有几何背景的数学问题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在以形助数中获得形象直观的解法．构造法就是根据题中所给信息，构造符合条件的“图形、向量、函数、数列、不等式”等来解题．【例3】 若函数f （x ）＝e x ＋ln x ，g （x ）＝e －x ＋ln x ，h （x ）＝e －x －ln x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小依次为（ ）．A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a针对训练如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，且知SD ∶DA ＝SE ∶EB ＝CF ∶FS ＝2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的（ ）．A ．2329B ．1927C ．2327D ．3031【例4】 若α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是（ ）． A ．α>βB ．α<βC ．α＋β>0D ．α2>β2针对训练已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值等于（ ）． A ．2875 B ．－2875C ．2536D ．－13283． 特例法与排除法用符合条件的特例，来检验各选择支，排除错误的，留下正确的一种方法叫特例法（特值法），常用的特例有特殊数值、特殊函数、特殊数列、特殊图形等．排除法就是根据高考数学选择题中有且只有一个答案是正确的这一特点，在解题时，结合估算、特例、逻辑分析等手段先排除一些肯定是错误的选项，从而达到缩小选择范围确保答案的准确性，并提高答题速度．【例5】 函数f （x ）＝sin x －13－2cos x －2sin x（0≤x ≤2π）的值域是（ ）．A ．⎣⎡⎦⎤－22，0 B ．[－1,0] C ．[－2，－1] D ．⎣⎡⎦⎤－33，0 针对训练直线l ：y ＝k （x －2）＋2与圆C ：（x －1）2＋（y －1）2＝2有两个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）．A ．（－∞，－1）B ．（－1,1）C ．（－1，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（－1，＋∞）【例6】 设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为（ ）．A ．1B ．－1C ．－1－52D ．－1＋52针对训练如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于0的等差数列，公差d ≠0，则（ ）． A ．a 1a 8>a 4a 5 B ．a 1a 8<a 4a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5 4． 估算法由于选择题提供了惟一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．【例7】 若D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过D 中的那部分区域的面积为（ ）．A ．34B ．1C ．74D ．2针对训练已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）．A ．16π9B ．8π3C ．4πD ．64π9参考答案方法例析【例1】 C 解析：本题可用验证法逐一验证，但以直接法最为简单． 由m1＋i＝1－n i ，得m ＝（1＋i ）（1－n i ）＝（1＋n ）＋（1－n ）i ，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴m ＋n i ＝2＋i ，故选C. 针对训练 B 解析：（直接法）∵f （x ＋3）＝－1f (x )，∴f （x ＋6）＝－1f (x ＋3)＝f （x ），∴函数周期T ＝6.当x ∈[2,3]时，－x ∈[－3，－2]，f （x ）＝f （－x ）＝－4x .∴f （107.5）＝f （6×18－0.5）＝f （－0.5）＝－1f (2.5)＝110.故选B. 【例2】 D 解析：∵x 216－y 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴A （－5,0）和C （5,0）是双曲线的左、右焦点．如图，由双曲线的定义可得||AB |－|BC ||＝8，|AC |＝10，在△ABC 中，由正弦定理得sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝±810＝±45，故选D.针对训练 B 解析：（定义法）A （0,1）是抛物线的焦点，由抛物线的定义知，抛物线上一点到焦点距离等于到准线距离，所以点P 到准线x ＝－1的距离也为2，则点P 到x 轴的距离为2－1＝1.选B.【例3】 D 解析：在同一坐标系中作出函数y ＝e x ，y ＝e －x ，y ＝－ln x ，y ＝ln x 的图象，则函数f （x ），g （x ），h （x ）的零点a ，b ，c 分别为函数y ＝e x 与y ＝－ln x ，y ＝e －x与y ＝－ln x ，y ＝e －x 与y ＝ln x 图象交点的横坐标．观察图象可知c >b >a ，故选D.针对训练 C 解析：（数形结合法）由题意，当平面DEF 与水平面平行时，可盛水最多，即求几何体DFEABC 的体积与三棱锥SABC 的体积的比．过点F 作FG 垂直于平面SAB ，G 为垂足，过点C 作CH 垂直于平面SAB ，H 为垂足，易知S ，G ，H 三点共线．由△SDE ∽△SAB ，得S △SDE S △SAB ＝SD 2SA 2＝49；由△SGF ∽△SHC ，得GF HC ＝SF SC ＝13，故三棱锥SDEF 的体积与三棱锥SABC 的体积比为427，所以所求的体积比为2327.选C.【例4】 D 解析：初看本题难以入手，细看αsin α－βsin β>0中αsin α与βsin β有相同的结构，因此，可以将不等式问题转化为一个函数的函数值问题，于是构造函数f （x ）＝x sin x ，再利用函数的奇偶性、单调性可快速求解．构造函数f （x ）＝x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴f （x ）是偶函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f ′（x ）＝sin x ＋x cos x ≥0， ∴f （x ）在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，由偶函数的性质可得f （|α|）>f （|β|）⇒|α|>|β|⇒α2>β2，故选D.针对训练 B 解析：（构造法）由已知得cos x ＋（－sin x ）＝2×3210，即cos x ，3210，－sin x 成等差数列．设其公差为d ，则cos x ＝3210－d ，－sin x ＝3210＋d .又∵sin 2x ＋cos 2x ＝1，∴⎝⎛⎭⎫3210＋d 2＋⎝⎛⎭⎫3210－d 2＝1，解得d ＝225或d ＝－225.∵sin x <0，∴d ＝225.则cos x ＝－210，sin x ＝－7210. ∴原式＝－2875.故选B.【例5】 B 解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f （x ）＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f （x ）＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.针对训练 D 解析：（特例法）如图所示，直线l 恒过点A （2,2），当直线斜率为－1时，直线与圆C 相切，此时交点只有一个，除此情形外，直线与圆C 均有两个交点．故选D.【例6】 B 解析：由第一、二个图形可知，与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0，又已知x 1＋x 2＝－b a ≠0，所以不是前两个图象．又由后两个图形知，－b2a >0，所以a <0，故应为第三个图形，因过原点，所以a 2－1＝0，因为a <0，所以a ＝－1，故选B. 针对训练 B 解析：（排除法）∵1＋8＝4＋5， ∴a 1＋a 8＝a 4＋a 5，排除C ；若令a n ＝n ，则a 1a 8＝1×8<20＝4×5＝a 4a 5，排除D ，A ，故选B.【例7】 C 解析：如图知所求区域的面积是△OAB 的面积去掉一个小Rt △CDB 的面积，所求面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C.针对训练 D 解析：设截面圆心为O ′，由题意O ′B ＝23×32AB ＝233，在Rt △OO ′B ，∵OB >O ′B ，∴R 2>O ′B 2＝43，故4πR 2>16π9，且4πR 2>4π（R >1），∴选D.。