【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和课件 理 新人教A版
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】中档题目强化练——三角函数第四章
2x＝
43＋12sin2x＋3π，
∴当 sin2x＋3π＝1 时，ymax＝2＋4
3 .
A组 专项基础训练
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为__________________．
解析
A组 专项基础训练
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6．函数 y＝tan2x＋π6的对称中心为_－__1_π2_＋__k_4π_，__0__(k_∈__Z__) ．
A组 专项基础训练
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
()
A．f(x)在π4，π2上是递增的
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为 2π
D．f(x)的最大值为 2
解析
A组 专项基础训练
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3．对于函数 f(x)＝2sin xcos x，下列选项中正确的是
数学 川（理）
中档题目强化练——三角函数
第四章 三角函数、解三角形
A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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1．已知角 A 是△ABC 的一个内角，若 sin A＋cos A＝173，则 tan A
等于
(四川专用)高三数学大一轮复习讲义 6.3等比数列及其前n项和 理 新人教a版
§6.3 等比数列及其前n 项和2014高考会这样考 1.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；2.运用基本量法求解等比数列问题；3.考查等比数列的应用问题．复习备考要这样做 1.注意方程思想在解题中的应用；2.使用公式要注意公比q ＝1的情况；3.结合等比数列的定义、公式，掌握通性通法．1． 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示． 2． 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3． 等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4． 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m，(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5． 等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q. 6． 等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n__. [难点正本 疑点清源] 1． 等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2． 等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3． 两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．1． (2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2n解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项．a 25＝a 10>0，根据已知条件得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋q ＝5，解得q ＝2.所以a 21q 8＝a 1q 9，所以a 1＝2，所以a n ＝2n.2． 在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.答案51解析 由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51. 又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.3． 已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋c y＝________.答案 2解析 令a ＝1，b ＝3，c ＝9，则由题意，有x ＝2，y ＝6.此时a x ＋c y ＝12＋96＝2.4． (2011·广东)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.答案 2解析 由a 2＝2，a 4－a 3＝4，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，a 2q 2－a 2q ＝4，⇒q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2.5． (2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7答案 D解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.题型一 等比数列的基本量的计算例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .思维启迪：(1)由S 1，S 3，S 2成等差数列，列方程求出q . (2)由a 1－a 3＝3求出a 1，再由通项和公式求出S n . 解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)． 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3.故a 1＝4.从而S n ＝4[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n]1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究提高 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．解 (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，又a 1＋a 6＝11，故a 1，a 6可看作方程x 2－11x ＋329＝0的两根，又q ∈(0,1)，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，∴q ＝12，∴a n ＝323·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －6.(2)由(1)知S n ＝643⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝21，解得n ＝6.题型二 等比数列的性质及应用 例2 在等比数列{a n }中，(1)若已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．思维启迪：注意巧用性质，减少计算．如：对于等比数列{a n }，若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . 解 (1)设公比为q ，则a 5a 2＝q 3，即q 3＝－18，∴q ＝－12，∴a n ＝a 5·q n －5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －4.(2)∵a 3a 4a 5＝8，又a 3a 5＝a 24，∴a 34＝8，a 4＝2. ∴a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2(2)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 答案 (1)A (2)－78解析 (1)把a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项．因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝5×10＝5 2.(2)根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7)．解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.题型三 等比数列的判定例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．思维启迪：(1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}．(2)由c n 求a n 再求b n . (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列． 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)解 由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .探究提高 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n ＝1时是否符合n ≥2时的通项公式，能合并的必须合并．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明 ∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1， ∴a 1＝－1≠0.又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝2.∴{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.等差与等比数列综合性问题的求解典例：(12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．审题视角 设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问． 规范解答(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.[2分] 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)．[4分] 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.[6分](2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝54－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.[8分] 所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．[12分]答题模板求解等差和等比数列综合性问题的一般步骤： 第一步：设等比数列、等差数列的基本量； 第二步：根据条件列方程，解出基本量； 第三步：根据公式求通项或前n 项和；第四步：根据定义证明等差、等比数列；对于等比数列，一定要说明首项非零． 温馨提醒 关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．方法与技巧1． 等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 2． 方程观点以及基本量(首项和公比a 1，q )思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a 1，q ，n ，a n ，S n 五个量中，知三求二．3． 在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意性质的应用，以减少运算量而提高解题速度． 失误与防范1． 特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2． 由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3． 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·辽宁)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162， 后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4. ∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0，∴q >0，∴q ＝4.2． 等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n答案 A解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2.又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1.故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3． 在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( )A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n－1答案 C解析 由已知得数列{a n }的前三项分别为2,2q,2q 2.又(2q ＋1)2＝3(2q 2＋1)，整理得2q 2－4q ＋2＝0，解得q ＝1，S n ＝2n .4． 在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案 C解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21.得1＋q ＋q2q2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.答案 240解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60， ∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.6． 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是____________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12×3n －2， n ≥2解析 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1① 当n ≥3时，a n －1＝2S n －2② ①－②整理得a na n －1＝3 (n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2.7． 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 答案 －2解析 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2. ∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1－qn1－q＝－2n1－2＝2n－1.9． (12分)已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)．若a 2，a 4，a 9成等比数列，求数列{a n }的通项公式．解 因为S n ＝16(a n ＋1)(a n ＋2)，①所以当n ＝1时，有S 1＝a 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2；当n ≥2时，有S n －1＝16(a n －1＋1)(a n －1＋2)．②①－②并整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0 (n ≥2)． 因为数列{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝3 (n ≥2)． 当a 1＝1时，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，此时a 24＝a 2a 9成立． 当a 1＝2时，a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1，此时a 24＝a 2a 9不成立． 所以a 1＝2舍去．故a n ＝3n －2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为 ( )A.158或4 B.4027或4 C.4027D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84. 而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得－q 31－q＝1－q 61－q.解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.2． 已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n 等于( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对答案 B解析 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 3． 设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和、前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －Y )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X ) 答案 D解析 对于含有较多字母的选择题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除三个选项，则剩下的唯一选项就一定正确；若不能完全排除，则可以取其他数字继续验证排除．取等比数列为1,2,22,23,24，…，令n ＝1，得X ＝1，Y ＝3，Z ＝7.代入验算，只有选项D 成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，a n ＋1>a n ，且a 3＋2是a 2与a 4的等差中项，则数列{a n }的通项公式是______________．答案 a n ＝2n解析 因为a 3＋2是a 2与a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.因为a 2＋a 3＋a 4＝28，所以2(a 3＋2)＋a 3＝28.所以a 3＝8，a 2＋a 4＝20.设数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝8，a 1q ＋a 1q 3＝20.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12.因为数列{a n }满足a n ＋1>a n ，所以a 1＝2，q ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.5． 在等比数列{a n }中，若a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________. 答案 b 9a 8 解析 因为{a n }是等比数列，所以a 9＋a 10，a 19＋a 20，…，a 99＋a 100成等比数列，从而得a 99＋a 100＝b 9a 8.6． 已知数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.答案 100解析 由lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N *)，得lg x n ＋1－lg x n ＝1，∴x n ＋1x n＝10， ∴数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg 10100＝100.三、解答题7． (13分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2 (∵d >0).∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：n ≥2时，c n b n ＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3 n ＝2·3n －1 n .∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案19
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案192.正弦函数y ＝sin x当x ＝____________________________________时，取最大值1；当x ＝____________________________________时，取最小值－1.3．余弦函数y ＝cos x当x ＝__________________________时，取最大值1；当x ＝__________________________时，取最小值－1.4．y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的对称中心分别为____________、___________、______________.5．y ＝sin x 、y ＝cos x 的对称轴分别为______________和____________，y ＝tan x 没有对称轴． 自我检测1．(2019·十堰月考)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是 ( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π123．(2019·湖北)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 4．(2019·北京海淀高三上学期期中考试)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x 的最小正周期为( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2探究点一 求三角函数的定义域例1 (2019·衡水月考)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域． 变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x－1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的单调区间． 变式迁移2 (2019·南平月考)(1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间． 探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想的应用例 (12分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .【答题模板】 解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]． 当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分] (2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6) ∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减， ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[8分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2. ∴函数值域为[－1，12＋2]．[12分] 【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y＝a sin ωx＋b cos ωx＋c的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)＋c的形式，从而求得函数的最值．2．关于y＝a cos2x＋b cos x＋c(或y＝a sin2x ＋b sin x＋c)型或可以为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．提醒：不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，利用y＝sin x的单调区间来求．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·黄山月考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的值不可能是( )A.π3B.2π3 C ．π D.4π32．(2019·安徽6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是 ( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6 (k ∈Z) B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 (k ∈Z) D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z) 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π44．函数y ＝－x cos x 的部分图象是图中( )5．(2019·三明模拟)若函数y ＝sin x ＋f (x )在[－π4，3π4]上单调递增，则函数f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x 题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是________．7．函数f (x )＝2sin x 4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2019·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2019·厦门月考)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．10．(12分)(2019·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．11．(14分)(2019·安徽合肥高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案 自主梳理1．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} [－1,1][－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z) [2k π－π，2k π](k ∈Z) [2k π，2k π＋π](k ∈Z) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)2．2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－π2(k ∈Z) 3.2k π(k∈Z) 2k π＋π(k ∈Z) 4.(k π，0)(k ∈Z) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π2，0(k ∈Z) 5.x ＝k π＋π2(k ∈Z) x ＝k π(k ∈Z)自我检测1．C 2.D 3.D 4.D 5.A 课堂活动区例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义， 则⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4. 变式迁移1 ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎨⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Zπ6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z，即x ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z. 例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R)，y ＝cos x (x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的． 又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z)，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z)，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4(k ∈Z)，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z)； 递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z)．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3，由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1112π，π.(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z)． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3. 变式迁移3 解 ∵x ∈R ， ∴cos x ∈[－1,1]，若a >0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎨⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝－sin(－2x＋π3)，周期为π. 课后练习区1．A [画出函数y ＝sin x 的草图(图略)，分析知b －a 的取值范围为[2π3，4π3]，故选A.]2．B [由题意知，函数的最小正周期为π，则ω＝1，故f (x )＝3sin ωx －cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6的单调增区间满足： 2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3.]3．A 4．D5．D [因为y ＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，－π2≤x －π4≤π2，即－π4≤x ≤3π4，满足题意，所以函数f (x )可以是－cos x ．]6.π2解析 依题意得T 4＝π8，所以最小正周期T ＝π2. 7．4π 解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z)时，f (x )取最小值；而x4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z)时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23. 9．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z)．∴f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π2＋π4，k∈Z}．……………………………………………………………………………………………(3分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1＝cos 2x－1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(6分)又∵定义域关于原点对称， ∴f (x )是偶函数．…………………………………………………………………………(8分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(12分)10．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a (3分) ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.…………………………………………………………(4分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)．…………………………………………………………………(8分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(10分)∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2， ∴a ＝－1.………………………………………………………………………………(12分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 解得单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z.……………………………………………………………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z.……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)等比数列及其前n项和教学案
等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)．典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n)D.323(1－2－n) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12 B ．1C ．－12或1D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( ) A.152B.154 C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152. 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n 1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32.答案：323．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. ( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ) 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3. 故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．∵d >0，故解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案21(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z)其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中⎩⎪⎨⎪⎧ cos φ＝ ，sin φ＝ ，tan φ＝b a ，角φ称为辅助角．自我检测1．(2019·福建)计算sin 43°cos 13°－cos43°sin 13°的结果等于 ( )A.12B.33C.22D.322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋7π6的值是 ( )A ．－235 B.235 C ．－45D.453．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是 ( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．(2019·台州月考)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，4π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，3π2 5．(2019·广州模拟)已知向量a ＝(sin x ，cosx )，向量b ＝(1，3)，则|a ＋b |的最大值为( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．9探究点一 给角求值问题(三角函数式的化简、求值)例1 求值：(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan10°)]2sin 280°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3·cos(θ＋15°)．变式迁移1 求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°； (2)tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)． 探究点二 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)例2 已知0<β<π4<α<3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝35， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值． 变式迁移2 (2019·广州模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值． 探究点三 给值求角问题(已知某角的三角函数值，求另一角的值)例3 已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值； (2)求β的值．变式迁移3 (2019·岳阳模拟)若sin A ＝55，sin B ＝1010，且A 、B 均为钝角，求A ＋B 的值． 转化与化归思想的应用例 (12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2<β<0<α<π2，且sin β＝－513，求sin α的值．【答题模板】解 (1)∵|a －b |＝255，∴a 2－2a·b ＋b 2＝45.[2分]又∵a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，∴a 2＝b 2＝1，a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，[4分]故cos(α－β)＝a 2＋b 2－452＝2－452＝35.[6分] (2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.[8分] 又∵sin β＝－513，－π2<β<0，∴cos β＝1213.[9分] 故sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513＝3365.[12分] 【突破思维障碍】本题是三角函数问题与向量的综合题，唯一一个等式条件|a－b|＝255，必须从这个等式出发，利用向量知识化简再结合两角差的余弦公式可求第(1)问，在第(2)问中需要把未知角向已知角转化再利用角的范围来求，即将α变为(α－β)＋β.【易错点剖析】|a－b|平方逆用及两角差的余弦公式是易错点，把未知角转化成已知角并利用角的范围确定三角函数符号也是易错点．1．转化思想是实施三角变换的主导思想，变换包括：函数名称变换，角的变换，“1”的变换，和积变换，幂的升降变换等等．2．变换则必须熟悉公式．分清和掌握哪些公式会实现哪种变换，也要掌握各个公式的相互联系和适用条件．3．恒等变形前需已知式中角的差异，函数名称的差异，运算结构的差异，寻求联系，实现转化．4．基本技巧：切割化弦，异名化同，异角化同或尽量减少名称、角数，化为同次幂，化为比例式，化为常数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·佛山模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋2π3等于 ( ) A ．－45 B ．－35 C.35D.452．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－7π6的值是 ( )A ．－233 B.233 C ．－23 D.233．(2019·宁波月考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋4π3等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.144．函数y ＝sin x ＋cos x 图象的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝5π4B ．x ＝3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－π25．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 的大小为 ( )A.π6B.56π C.π6或56π D.π3或23π 题号 1 2 3 4 5答案 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2019·重庆)如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sin α13·sin α2＋α33＝________. 7．设sin α＝35 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2<α<π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________.8．(2019·惠州月考)已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513.求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值． 10．(12分)(2019·四川)(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.（2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C . 11．(14分)(2019·济南模拟)设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R.(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π3，求x ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．答案 自主梳理1．(1)cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β(2)sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β(3)tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β2.a a 2＋b 2 b a 2＋b2 自我检测1．A 2.C 3.B 4.C 5.C课堂活动区例1 解题导引 在三角函数求值的问题中，要注意“三看”口诀，即(1)看角，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，合理拆角，化异为同；(2)看名称，把算式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为弦，或把所有的弦都转化为切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则直接使用，如果不满足需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°·⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°·2sin80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2 sin 80°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°·2cos 10°＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2sin 50°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2cos 10° ＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝22sin 60° ＝22×32＝ 6. (2)原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－32sin(θ＋45°)＝0. 变式迁移1 解 (1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.(2)原式＝tan[(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan(π6－θ)·tan(π6＋θ)]＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)＝ 3. 例2 解题导引 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论．应注意公式的灵活运用，掌握其结构特征，还要学会拆角、拼角等技巧．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝35， ∵0<β<π4<α<3π4， ∴π2<π4＋α<π，3π4<3π4＋β<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝－45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－1213. ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1213－45×513＝－5665. ∴sin(α＋β)＝5665. 变式迁移2 解 (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，得1＋tan α1－tan α＝2， 即1＋tan α＝2－2tan α，∴tan α＝13. (2)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β) ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝－(sin αcos β－cos αsin β)cos αcos β＋sin αsin β＝－sin (α－β)cos (α－β) ＝－tan(α－β)＝－tan α－tan β1＋tan αtan β＝－13－121＋13×12＝17.例3 解题导引 (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． (2)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．解 (1)∵tan α2＝12， ∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·α2＝2sin α2cos α2 ＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2α2＝2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝45. (2)∵0<α<π2，sin α＝45，∴cos α＝35. 又0<α<π2<β<π，∴0<β－α<π.由cos(β－α)＝210，得sin(β－α)＝7210. ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝7210×35＋210×45＝25250＝22. 由π2<β<π得β＝34π. (或求cos β＝－22，得β＝34π) 变式迁移3 解 ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255， cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.① 又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π.②由①②，知A ＋B ＝7π4. 课后练习区1．D 2.D 3.B 4.A 5.A6．－12 7.－211 8.3 －23π 9．解 (1)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，cos β＝－513， ∴sin β＝1213.…………………………………………………………………………(2分)又∵0<α<π2，π2<β<π， ∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33652＝－5665，…………………………………………………………(4分)∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝3365·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－513－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－5665·1213＝35.…………………………………………………………(6分)(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13，……………………………………………………(8分)∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.……………………………………………………(10分)∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0， ∴0<α<π4，π2<β<π， ∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……………………………………………………(12分)10．(1)①证明 如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，…………………………………………………………………………………………(2分)由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式， 得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2， 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.……………………………………………………(4分)②解 由①易得，cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＝cos α.sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2－(α＋β) ＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋(－β) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.……………………………………………………(7分)(2)解 由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c .则S ＝12bc sin A ＝12， AB →·AC→＝bc cos A ＝3>0， ∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos A ＝3sinA ，……………………………………………………………(9分)又sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sin A ＝1010，cos A ＝31010， 由cos B ＝35，得sin B ＝45.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010. ……………………………………………………………………………………………(11分)故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－1010. ……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1. 由2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋1＝1－3， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＝－32.……………………………………………………………………(3分)∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6. ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.………………………………………………………………(6分)(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z)， 即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π (k ∈Z)， 得函数单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π (k ∈Z)．……………………………………(10分)列表： x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6π y 2 3 2 0 －10 2 描点连线，得函数图象如图所示：…………………………………………………………………………………………(14分)。
2014《步步高》高考数学第一轮复习06 数列求和
§6.4 数列求和2014高考会这样考 1.考查等差、等比数列的求和；2.以数列求和为载体，考查数列求和的各种方法和技巧；3.综合考查数列和集合、函数、不等式、解析几何、概率等知识的综合问题．复习备考要这样做 1.灵活掌握数列由递推式求通项公式的几种方法；2.掌握必要的化归方法与求和技巧，根据数列通项的结构特点，巧妙解决数列求和的问题．1． 等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，推导方法：倒序相加法；等比数列前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ， q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． 2． 数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3． 常见的拆项公式(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .[难点正本 疑点清源]1． 解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．2． 等价转化思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决．1． 在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.答案 54解析 由等差数列的性质，a 2＋a 8＝18－a 5， 即2a 5＝18－a 5，∴a 5＝6， ∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.2． 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝________.答案 255解析 由a 8＝1，q ＝12得a 1＝27，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.3． 若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝________.答案 －25解析 S 50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25.4． (2011·天津)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为 ( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20. ∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5． (2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为 ( )A.100101B.99101C.99100D.101100答案 A解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.题型一 分组转化求和例1 已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求： (1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．思维启迪：第(1)问由已知条件列出关于p 、q 的方程组求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求解．解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.探究提高 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.题型二 错位相减法求和例2 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .思维启迪：(1)由已知写出前n －1项之和，两式相减．(2)b n ＝n ·3n 的特点是数列{n }与{3n }之积，可用错位相减法．解 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13，适合a n ＝13n ，∴a n ＝13n .(2)∵b n ＝na n，∴b n ＝n ·3n .∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，③ ∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1.④④－③得2S n ＝n ·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )，即2S n ＝n ·3n ＋1－3(1－3n )1－3，∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.探究提高 解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列{3n －1a n }的前n 项和，从而利用a n 与S n 的关系求出通项3n －1a n ，进而求得a n ；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养．(2011·辽宁)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3 在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪：第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12， a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 探究提高 使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1 得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .审题路线图等差数列{a n }中，特定项的值 ↓(a 3，a 5，a 7即为特定项) a 3＝7，a 5＋a 7＝26↓(从特定项，考虑基本量a 1，d )列方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26↓(根据条件的结构特征，确定了方程的方法) 用公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .↓(将a n 代入化简求b n ) b n ＝14n (n ＋1)↓(根据b n 的结构特征，确定裂项相消) b n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1↓T n ＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 规范解答解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.[4分]所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[6分](2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，[8分] 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)[10分]＝14·(1－1n ＋1)＝n4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).[12分]温馨提醒 本题审题的关键有两个环节．一是根据a 3＝7，a 5＋a 7＝26的特征，确定列方程组求解．二是根据数列{b n }的通项b n ＝14n (n ＋1)的特征，确定用裂项相消法求和．所以，在审题时，要根据数式的结构特征确定解题方案.方法与技巧 数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 失误与防范1．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．2．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100答案 C解析 ∵S n n ＝n ＋2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.2． 已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于 ( )A ．20B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0.3． 若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n ＋n －2答案 C解析 S n ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4． 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.答案 2 600解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100) ＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.6． 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.7． (2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.三、解答题(共22分)8． (10分)求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋n ·2n ＋12n；(2)S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2. 解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n＝n ＋12n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋121＋⎝⎛⎭⎫2＋122＋⎝⎛⎭⎫3＋123＋…＋⎝⎛⎭⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12n＝n (n ＋1)2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12n ＋1.(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时， S n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝⎛⎭⎫x n ＋1x n 2 ＝⎝⎛⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝⎛⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝⎛⎫x 2n ＋2＋1x 2n ＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x －2＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n .∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n (x ＝±1)，(x 2n－1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)＋2n (x ≠±1).9． (12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝12S n (n ＝1,2,3，…)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝log 32(3a n ＋1)时，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n ＝n1＋n .(1)解 由已知得⎩⎨⎧a n ＋1＝12S n ，a n＝12Sn －1(n ≥2)，得到a n ＋1＝32a n (n ≥2)．∴数列{a n }是以a 2为首项，以32为公比的等比数列．又a 2＝12S 1＝12a 1＝12，∴a n ＝a 2×⎝⎛⎭⎫32n －2 ＝12⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，12⎝⎛⎭⎫32n －2， n ≥2.(2)证明 b n ＝log 32(3a n ＋1)＝log 32⎣⎡⎦⎤32·⎝⎛⎭⎫32n －1＝n .∴1b n b n ＋1＝1n (1＋n )＝1n －11＋n. ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －11＋n ＝1－11＋n ＝n 1＋n.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134答案 C解析 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n＝lg q (常数)， ∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.2． 数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.3． 已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于( )A ．1B ．2 010C ．4 018D ．0答案 C解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.答案 13(4n －1)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n )1－4＝13(4n －1)．5． 若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________. 答案 2n 2＋6n解析 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合上式，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N *)．于是a nn ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n .6． 已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________．答案 765解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)＝S 30－2S 20＝(－60＋90－63)×302－(－60＋60－63)×20＝765.三、解答题7． (13分)(2012·四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1>0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n ，当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2.② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2.③若a 2＝0，由①知a 1＝0； 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①④解得a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2， a 2＝2－ 2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1>0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2. 当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ， (2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1.所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg10a 1a n， 则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1.所以数列{b n }是单调递减的等差数列⎝⎛⎭⎫公差为－12lg 2. 从而b 1>b 2>…>b 7＝lg108>lg 1＝0. 当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128<12lg 1＝0.故当n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。
【四川专用(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20
【四川专用（理）】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版导学案】学案20学案20函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．自主梳理1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．XΩx＋φy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A2.图象变换：函数y＝A sin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数y＝sin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：y＝sin x y＝sin(x＋φ)，把y＝sin x图象上所有的点向____(φ>0)或向____(φ<0)平行移动__________个单位．（2）周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx ＋φ)，把y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)．个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 4．(2019·太原高三调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3的一条对称轴方程是 ( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝π12D ．x ＝5π125．(2019·六安月考)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1 B. 2 C . 3 D ．2探究点一 三角函数的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．变式迁移1 设f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ＋32sin 2x (x ∈R)． (1)画出f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上的图象； (2)求函数的单调增减区间；(3)如何由y ＝sin x 的图象变换得到f (x )的图象？探究点二 求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如图所示．求函数f (x )的解析式．变式迁移2 (2019·宁波模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)若锐角θ满足cos θ＝13，求f (4θ)的值． 探究点三 三角函数模型的简单应用例3 已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00至晚上20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫100πt ＋π6表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间．数形结合思想的应用例 (12分)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．【答题模板】解 (1)原方程可化为sin(θ＋π3)＝－a 2， 作出函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象． [3分]由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ －1<－a 2<1－a 2≠32. 即－2<a <－3或－3<a <2.[6分](2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈(－1，32)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为76π，∴α＋β2＝7π6， ∴α＋β＝7π3.[8分]当－2<a <－3，即－a 2∈(32，1)时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3.[11分] 综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝73π. [12分] 【突破思维障碍】在解决三角函数的有关问题时，若把三角函数的性质融于函数的图象之中，将数(量)与图形结合起来进行分析、研究，可使抽象复杂的数理关系通过几何图形直观地表现出来，这是解决三角函数问题的一种有效的解题策略．图象的应用主要有以下几个方面：①比较大小；②求单调区间；③解不等式；④确定方程根的个数．如判断方程sin x ＝x 的实根个数；⑤对称问题等．【易错点剖析】此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a 的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉a ≠－3的限制，而从图象中可以清楚地看出当a ＝－3时，方程只有一解．1．从“整体换元”的思想认识、理解、运用“五点法作图”，尤其在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间、解析式等相关问题中要充分理解基本函数y ＝sin x 的作用．2．三角函数自身综合问题：要以课本为主，充分掌握公式之间的内在联系，从函数名称、角度、式子结构等方面观察，寻找联系，结合单位圆或函数图象等分析解决问题．3．三角函数模型应用的解题步骤：(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象．(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A ．y ＝sin 12x B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 2．(2019·银川调研)如图所示的是某函数图象的一部分，则此函数是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 3．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移5π12个单位长度 B ．向右平移5π12个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度4．(2009·辽宁)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)等于 ( )A ．－23B ．－12C.23D.12 5．(2019·烟台月考)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π＋2 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.7．(2019·潍坊五校联考)函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，则g (x )＝______.8．(2019·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是____________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R)的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．10．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，0<ω≤2且0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象过点M (0,2)．又f (x )的图象关于点N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称且在区间[0，π]上是减函数，求f (x )的解析式．11．(14分)(2019·山东)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )·cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π16上的最小值． 答案 自主梳理1.0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω 0 π2 π 3π2 2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸长 缩短 1ω(3)伸长 缩短 A 3.A 2πω 1T ωx ＋φ φ 2π|ω| π|ω|自我检测1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区例1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋φω来确定平移单位．解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin X .列表：X －π6π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2πy ＝sin X 01 0－1 0y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 0 2 0－2描点连线，得图象如图所示：(3)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．变式迁移1 解 y ＝12·1＋cos 2x 2＋32sin 2x＋32·1－cos 2x 2＝1＋32sin 2x －12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6.(1)(五点法)设X ＝2x －π6，则x ＝12X ＋π12，令X ＝0，π2，π，3π2，2π，于是五点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫7π12，1，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13π12，1，描点连线即可得图象，如下图．(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得单调增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6＋k π，k π＋π3，k ∈Z.由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得单调减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3＋k π，k π＋5π6，k ∈Z. (3)把y ＝sin x 的图象向右平移π6个单位；再把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＋1的图象．例2 解题导引 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的解析式的步骤：(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点．解 由图象可知A ＝2，T ＝8.∴ω＝2πT ＝2π8＝π4.方法一 由图象过点(1,2)，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4×1＋φ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点．∴π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4x ＋π4. 变式迁移2 解 (1)由题意可得：A ＝2，T 2＝2π，即2πω＝4π，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋φ，f (0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin(12x ＋π6)．f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 0＋π6＝2，所以12x 0＋π6＝2k π＋π2，x 0＝4k π＋2π3(k ∈Z)，又∵x 0是最小的正数，∴x 0＝2π3.(2)f (4θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2θ＋π6＝3sin 2θ＋cos 2θ，∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，cos θ＝13，∴sin θ＝223，∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79，sin 2θ＝2sin θcos θ＝429，∴f (4θ)＝3×429－79＝46－79.例3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)如何从表格中得到A 、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中参数的确定有如下结论：①A ＝y max －y min 2；②k ＝y max ＋y min 2；③ω＝2πT ；④φ由特殊点确定．解 (1)由表中数据，知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1.(2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1，∴cos π6t >0， ∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z.①∵0≤t ≤24，故可令①中的k 分别为0,1,2， 得0≤t <3，或9<t <15，或21<t ≤24. ∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.变式迁移3 解 (1)t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)． (2)T ＝2π100π＝0.02(秒)．(3)当100πt ＋π6＝π2，t ＝1300秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为2203伏．课后练习区1．C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.9π107．－sin 2x 8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，3 9．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.……………………………………………………………………(2分)又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0.∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4)．………………………………………………………………………(5分)(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cosπ4x .……………………………………………………………(8分)∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.………………………(12分)10．解 根据f (x )是R 上的偶函数，图象过点M (0,2)，可得f (－x )＝f (x )且A ＝2，则有2sin(－ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ)， 即sin ωx cos φ＝0，∴cos φ＝0，即φ＝k π＋π2(k ∈Z)．而0≤φ≤π，∴φ＝π2.………………………………………………………………………(4分)再由f (x )＝2sin(－ωx ＋π2)＝2cos ωx 的图象关于点N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫3π4，0对称，f (3π4)＝2cos(3ω4π)＝0∴cos 3ω4π＝0，……………………………………………………………………………(8分)即3ω4π＝k π＋π2 (k ∈Z)，ω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12 (k ∈Z)． 又0<ω≤2，∴ω＝23或ω＝2.……………………………………………………………(10分)最后根据f (x )在区间[0，π]上是减函数，可知只有ω＝23满足条件．所以f (x )＝2cos23x .………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π4＋12.……………………………………………………………………(6分)由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8分)(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4＋12，所以g (x )＝f (2x ) ＝22sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4＋12.……………………………………………………………………(10分)当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2.所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22，…………………………………………………………………(13分)所以g (x )在此区间内的最小值为1.…………………………………………………(14分)。
【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 常考题型强化练 不等式第七章课件 理 新人教A版汇总
x＋y≤12， 2x＋y≤19， 别为 x，y，则根据条件得 x，y 满足的约束条件为10x＋6y≥72， x≤8，y≤7， x∈N*，y∈N*，
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3．(2011·四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人，有 8 辆载重
(2)设工作台从左到右的人数依次 意一点时，均能使函数 d(x)取得最
为 2,1,3，试确定供应站的位置， 小值，且最小值为 3x3－x2－2x1. 并求所有工人到供应站的距离之
和的最小值．
A组 专项基础训练
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9．(12 分)某市政府为了造宜居城市，计划在 公园内新建一个如图所示的矩形 ABCD 的 休闲区，内部是矩形景观区 A1B1C1D1，景观 区四周是人行道，已知景观区的面积为 8 000 平方米，人行道的 宽为 5 米(如图所示)． (1)设景观区的宽 B1C1 的长度为 x(米)，求休闲区 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数； (2)规划要求景观区的宽 B1C1 的长度不能超过 50 米，如何设计景 观区的长和宽，才能使休闲区 ABCD 所占面积最小？
数学 川（理）
常考题型强化练——不等式
第七章 不等式
A组 专项基础训练
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A组 专项基础训练
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1．“|x|<2”是“x2－x－6<0”的什么条件
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5 ∴a2a3a4a5a6＝a4 ＝25＝32.
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2
在解决等比数列的有关问题时，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2 (2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 的值．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 探究提高
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】
已知数列{an}的前 n 项和
(1)由 an＋Sn＝n 及 an＋1＋Sn＋1＝ n＋1 转化成 an 与 an＋1 的递推关系， 再构造数列{an－1}． (2)由 cn 求 an 再求 bn.
为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ an－an－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. (1)设 cn＝an－1，求证：{cn}是等 比数列； (2)求数列{bn}的通项公式．
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
2n
51
解析
2
2
D
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
题型分类·深度剖析
在等比数列{an}中， 1 (1)若已知 a2＝4，a5＝－ ，求 an； 2 (2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 的值．
注意巧用性质，减少计算．如： 对于等比数列{an}， 若 m＋n＝p ＋q (m、n、p、q∈N*)，则 am· an ＝ap· aq；若 m＋n＝2p(m，n， p∈N*)，则 am· an＝a2 p.
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
(1)由 S1，S3，S2 成等差数列，列 方程求出 q. (2)由 a1－a3＝3 求出 a1， 再由通项 和公式求出 Sn.
题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究提高
【例 3 】 已知数列 { a 的前 (1) 证明 ∵an＋S ＝ ， n 项和 n}n n ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. 为S n，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ ②－①得 an＋1－an＋an＋1＝1， a n－ n－1 (n≥2)，且 an＋Sn＝n. ∴ 2aa n＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， a － 1 an1 n＋1c (1) 设 ＝ 1∴ ，求证： cn}是等 n ∴ ＝－ ， {an－1}{ 是等比数列． an－1 2 1 比数列； 又 a1＋a1＝1，∴a1＝ ， 2 1 1 (2) 求数列 {ba ∵首项 c1＝ －1，∴c1＝－ ，公比 q＝ . n} 1的通项公式． 2 2 又 cn＝an－1，
(2)若已知 a3a4a5＝8，求 a2a3a4a5a6 要注意挖掘隐含条件，利用性质， 的值．
特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则
am· an＝ap· aq”，可以减少运算量， 提高解题速度．
题型分类·深度剖析
变式训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5， ( A ) C．6 D．4 2
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
等比数列的基本量的计算
等比数列{an}的前 n 项和为
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． 解 (1)依题意有 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)． (1)求{an}的公比 q； 由于 a1≠0，故 2q2＋q＝0. (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 1 又 q≠0，从而 q＝－ . 2
数学
川（理）
§6.3
等比数列及其前n项和
第六章 数 列
基础知识·自主学习
要点梳理
1．等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起，每一项
难点正本 疑点清源
1.等比数列的特征
从等比数列的定义看， 等比数列的任意项都是 非零的，公比 q 也是非 零常数．
与它的前一项比等于同一常数(不 为零) ， 那么这个数列叫做等比数列,
a6 1 1 ∴q ＝a ＝32，∴q＝2， 1 32 1n－1 1 1n－6 ∴an＝ 3 · ＝3· . 2 2
5
32 等比数列 {an}满足： a1＋ a6＝ 11 ， a3· a4 ＝ ，且公比 9
1 64 (2)由(1)知 Sn＝ 1－2n＝21，解得 n＝6. 3
基础知识·自主学习
要点梳理
5．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq 当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－ q 1－q 6．等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成
1 1 ∴{cn}是以－ 为首项， 为公比的等比数列． 2 2
①
②
题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析
探究提高
【例 3】 已知数列{an}的前 1 n 1项和 － 1 n 1 n， (2)解 由(1)可知 cn＝－2· ＝－ 2 2 为 Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝ 1 ∴an＝cn＋1＝1－2n. an＋Sn＝n. an－an－1 (n≥2)，且 1 1 － n ∴当 ≥ 2a 时， b 1－2 －1－2n 1 (1) 设n c ，求证： {－ cn }是等 n＝an－an 1＝ n＝ n－1 比数列； 1 － 1 1 n 1 n ＝2 －2 ＝2n. (2)求数列 { bn}的通项公式． 1 1 又 b1＝a1＝ 代入上式也符合，∴bn＝2n. 2
∴a1＝－1≠0.又由 an＋1＝2an 知 an≠0，
an＋1 ∴ a ＝2.∴{an}是以－1 为首项，2 为公比的等比数列． n
∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
题型分类·深度剖析
答题模板 9.等差与等比数列综合性问题的求解
典例：(12 分)(2011· 湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前 n 项和为
题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证：{an}是 等比数列，并求出通项公式．
证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，
思维启迪 解析 探究提高
Sn.已知 S1，S3，S2 成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn.
等比数列基本量的运算是等比数 列中的一类基本问题，数列中有 五个量 a1，n，q，an，Sn，一般 可以“知三求二”， 通过列方程(组) 可迎刃而解．
题型分类·深度剖析
变式训练 1 q∈(0,1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前 n 项和 Sn＝21， 求 n 的值． 32 解 (1)∵a3· a4＝a1· a6＝ 9 ，又 a1＋a6＝11， 32 2 故 a1，a6 可看作方程 x －11x＋ ＝0 的两根， 9 32 1 又 q∈(0,1)，∴a1＝ ，a6＝ ， 3 3
难点正本 疑点清源
3.两个防范
(1) 由 an ＋ 1 ＝ qan ， q≠0 并不能立即断言{an}为等 比数列，还要验证 a1≠0. (2) 在 运 用 等 比 数 列 的 前 n 项和公式时，必须 注意对 q＝1 与 q≠1 分 类讨论，防止因忽略 q ＝1 这一特殊情形导致 解题失误．
qn 等比数列，其公比为____.
a7a8a9＝10，则 a4a5a6 等于 A．5 2
解析
B． 7
把 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9 看成一个整体，则由题意，知它们
分别是一个等比数列的第 1 项，第 4 项和第 7 项，这里的第 4 项刚 好是第 1 项与第 7 项的等比中项．因为数列{an}的各项均为正数， 所以 a4a5a6＝ a1a2a3· a7a8a9＝ 5×10＝5 2.
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变式训练 2
(2)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，且 S3＝8，S6＝7，
7 －8 则 a4＋a5＋„＋a9＝________.
解析 根据等比数列的性质，知 S3，S6－S3，S9－S6 成等比数列， 1 2 即 8,7－8，S9－7 成等比数列，所以(－1) ＝8(S9－7)．解得 S9＝7 . 8 1 7 所以 a4＋a5＋„＋a9＝S9－S3＝78－8＝－8.
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题型三 等比数列的判定