上海_解析几何综合测试题附答案
上海杨浦高级中学必修二第二章《解析几何初步》检测(答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AB =，则k =（ ）A B ．2 C ．1 D2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1处的切线方程是（ ）A ．x －2＝0B ．x －4＝0C ．x ＋4＝0D ．x ＋2＝03．P 为⊙C ：22220x y x y +--=上一点，Q 为直线l ：40x y --=上一点，则线段PQ 长度的最小值（ ）A B ．3 C ．3 D ．4．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离等于a ）A B C ．2 D5．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线y ＝2m 所的取值范围是（ ）A ．[3B ．(,3(4,)-∞⋃+∞C ．[3D ．(,1(2,)-∞⋃+∞6．已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++= 7．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADDA 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．908．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若//m α，//m n ，则//n α；②若m α⊥，//m β，则αβ⊥；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确命题的序号是( )）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）A ．2211B ．2211-C ．277D ．21111 10．正三棱柱111ABC A B C -各棱长均为1，M 为1CC 的中点，则点1B 到面1A BM 的距离为（ ）A ．2B ．22C ．12D ．32 11．αβ是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与β平行的是（ ）A ．m 、n 是α内的两条直线，且//m β，βn//B ．α、β都垂直于平面γC ．α内不共线三点到β的距离相D ．m 、n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α 12．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）A 10B 5C ．22D ．3二、填空题13．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．14．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，双曲线C 的离心率为______.15．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(2,0)-重合，且点(2018,2019)与点(,)m n 重合，则m n -等于____.16．设0m >，点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为焦点，以A 为圆心||AF 为半径的圆C 被y 轴截得的弦长为6，则圆C 的标准方程为__________．17．小明在解题中发现函数()32x f x x -=-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()3x g x -=，[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____18．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.19．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．20．正方体1111ABCD A BC D -棱长为点1，点E 在边BC 上，且满足2BE EC =，动点P 在正方体表面上运动，满足1PE BD ⊥，则动点P 的轨迹的周长为__________．21．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是正方形，1AA ⊥平面ABCD ，且2AB BC ==，13AA =，经过顶点A 作一个平面α，使得//α平面11CB D ，若α平面1ABCD l =，α平面112ABB A l =，则异面直线1l 与2l 所成的角的余弦值为___________.22．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.23．正四面体ABCD 棱长为2，AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，设M 为线段AO 上一点，且90BMC ︒∠=则二面角M BC O --的余弦值为________．24．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60BAC ∠=︒，23AB AC ==，2PA =，则三棱锥P ABC -外接球的半径为____________.三、解答题25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AC BC AC BC CC ⊥===.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1CB 与1AC 所成角的大小；（3）求二面角1B AC C --的平面角的余弦值.26．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAC ∠=，沿BD 将三角形BCD 向上折起到PBD 位置，E 为PA 中点，若F 为三角形ABD 内一点（包括边界），且//EF 平面PBD .（1）求点F 轨迹的长度；（2）若EF ⊥平面ABD ，求证：平面PBD ⊥平面ABD ，并求三棱锥P ABD -的体积. 27．如图，圆柱的轴截面ABCD 是长方形，点E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足.（1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，3AD =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离. 28．如图，四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面AEB ⊥平面ABCD ，4EBA π∠=，2EB =F 为CE 上的点，BF CE ⊥.（1）求证：BF ⊥平面ACE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解k 值．【详解】解： 曲线29y x =-是圆心为原点，半径r ＝3的上半圆，如图：圆心到直线l 的距离241k d k =+22221622921k AB r d k =-=-=+， 解得：1k =±， 当1k =-时，直线l 与曲线29y x =-故选：C ．【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 2．D解析：D【分析】求出圆心坐标，由切线的性质得出切线的斜率，从而得切线方程．【详解】由题意圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)M ，012PM k ==-，∴切线斜率为3k =1)3y x =-，化简得20x +=． 故选：D ．【点睛】本题考查求圆的切线方程，由切线与过切点的半径相互垂直易得切线斜率，从而得切线方程，通常情况下要把方程化为一般式． 3．A解析：A【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求解出圆心和半径，然后根据圆上一点到圆外直线的距离最小值等于圆心到直线的距离减去半径求解出结果.【详解】因为圆22:220C x y x y +--=，即()()22:112C x y -+-=，所以圆心()1,1C ，半径r =又因为PQ 长度的最小值为圆心到直线的距离减去半径，且圆心到直线距离d ==所以min PQ d r =-==故选：A.【点睛】结论点睛：圆上点到一条与圆相离直线的距离最值（圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ）：（1）最大值：圆心到直线的距离加上半径，即d r +；（2）最小值：圆心到直线的距离减去半径，即d r -.4．A解析：A依题意求得,,A B C 的坐标，求得直线,BD CD 的方程，联立,BD CD 的方程求得D 点坐标，根据D 到直线BC 的距离等于a .【详解】依题意可知()22,0,,,,b b A a B c C c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22,AB CD a c a b k k a c a b -==--，()()22,AC BD a c a b k k a c a b -=-=-，所以直线BD ：()()22a c a b y x c a b--=-①，直线CD ：()()22a c a b y x c a b-+=--②， ①-②并化简得()42D b x c a c a =+-.由于D 到直线BC 的距离等于a a c =+，直线BC 方程为x c =，所以()42D b x c a a c a =+=--，化简得22,a b a b ==，所以双曲线为等轴双曲线，离心率为故选：A【点睛】本小题主要考查直线和直线交点坐标的求法，考查直线方程点斜式，考查两条直线垂直斜率的关系，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 5．D解析：D【分析】转化曲线y ＝2.【详解】曲线y ＝2()()[]()22121,1,2x y y ++-=∈，其表示圆心为()1,2-半径为1的半圆，画出示意图如下所示：数形结合可知：当直线过点()0,2A 时，是一种临界情况，此时，020m +-=，解得2m =；当直线与圆相切时，是另一种临界情况， 1212m-+-=，解得12m = 故要满足题意，只需12m <2m >.故选：D .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意数形结合即可，属综合基础题.6．D解析：D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAM PM AB S PA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2221125221d ⨯++==>+，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 24PA MP =- 当直线MP l ⊥时，min 5MP =， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得， 10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=， 两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．7．C解析：C【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果.【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===，所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =，所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ，所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=.故选：C.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．D解析：D 【分析】①根据//n α或n ⊂α判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③根据m β⊂，或//m β，或m 与β相交判断；④利用线面角的定义判断．【详解】①若//m α，//m n ，则//n α或n ⊂α，因此不正确；②若//m β，则β内必存在一条直线//m m '，因为m α⊥，所以m α'⊥，又因为m β'⊂，所以αβ⊥，正确；③若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，因此不正确；④若//m n ，//αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，正确． 其中正确命题的序号是②④． 故选：D ． 【点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.9．D解析：D 【分析】在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=， 22211cos 11(7)2BC PCB PC ∠===+， 所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为21111． 故选：D ． 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．B解析：B 【分析】 连接11A N B AB =，根据已知条件先证明11B A A B ⊥、1⊥MN AB ，再通过线面垂直的判定定理证明1AB ⊥平面1A BM ，由此确定出1B N 的长度即为点1B 到面1A BM 的距离，最后完成求解. 【详解】连接1B A 交1A B 于N ，连接11,,,,MB MN MB MA MA ，如图所示：因为11A ABB 为正方形，所以11B A A B ⊥， 又因为2211111514MB MC C B =+=+=221514MA MC CA =+=+，所以1MB MA =且N 为1AB 中点，则MN 为等腰三角形1AMB 的中垂线， ∴1⊥MN AB 且1MNA B N =，∴1AB ⊥平面1A BM ，∴1B N 就是点1B 到截面1A BM 的距离， 又因为1111211222B N AB ==⋅+=，所以点1B 到截面1A BM 的距离为22， 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解平面外一点A 到平面α的距离的方法：（1）几何方法：通过线面垂直的证明，找到A 在平面α内的投影点A '，则AA '即为A 到平面α的距离；（2）向量方法：①建立合适空间直角坐标系，在平面α内取一点B ；②求解出AB 和平面α的法向量n ；③根据AB n d n⋅=即可求解出点A 到平面α的距离.11．D解析：D 【分析】取a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，利用线面平行的判定定理可判断A 选项；根据αγ⊥，βγ⊥判断平面α与β的位置关系，可判断B 选项；设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，判断出A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，可判断C选项；过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，利用线面平行、面面平行的判定定理可判断D 选项. 【详解】对于A 选项，若a αβ⋂=，且//m a ，//n a ，m β⊄,n β⊄,则//m β，βn//，但α与β相交；对于B 选项，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交；对于C 选项，设AB 、AC 的中点D 、E 在平面β内，记平面ABC 为平面α，如下图所示：D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则//DE BC ，DE β⊂，BC β⊄，//BC β∴，所以，点B 、C 到平面β的距离相等，由于D 为AB 的中点，则点A 、B 到平面β的距离相等，所以，点A 、B 、C 三点到平面β的距离相等，但平面α与平面β相交； 对于D 选项，如下图所示：由于//n α，过直线n 作平面γ，使得a αγ⋂=，则//a n ，//n a ，a β⊄，n β⊂，//a β∴，//m β，m a A =，m α⊂，a α⊂，//αβ∴.故选：D. 【点睛】方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；②用判定定理或推论（即“线线平行”⇒“面面平行”），通过线面平行来完成证明； ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明； ④借助“传递性”来完成．12．C解析：C 【分析】小虫有两种爬法，一种是从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果. 【详解】由于长方体ACDE FGBH -的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A 沿着侧面AEHF 和上底面FHBG 爬行，以及小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，这两条线路的最短路程相等.①若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和上底面BHFG 爬行，将侧面ACGF 和上底面BHFG延展为一个平面，如下图所示：则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=；②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展为一个平面，如下图所示：则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+因为2210，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.二、填空题13．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()2x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.14．2【分析】求得双曲线的一条渐近线方程求得圆心和半径运用点到直线的距离公式和弦长公式可得ab 的关系即可得到所求离心率公式【详解】双曲线C ：的一条渐近线方程设为圆的圆心为半径可得圆心到渐近线的距离为则化解析：2 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程设为0bx ay -=，圆22(2)4x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r ，可得圆心到渐近线的距离为d =则2=，化为22223a b c a ==-，即224a c =，1ce a=>，解得2e =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题关键是点到直线距离公式及弦长公式建立a ，b 的等量关系，即可求解a 、c 关系，属于中等题.15．【分析】根据点的坐标关系知已知的两点关于y 轴对称则折痕即为y=-x 轴进一步根据关于y=-x 轴对称则横坐标纵坐标交换位置且改变符号可得答案【详解】∵将一张坐标纸折叠一次使得点(02)与(−20)重合∴ 解析：1-【分析】根据点的坐标关系，知已知的两点关于y 轴对称，则折痕即为y =-x 轴，进一步根据关于y =-x 轴对称，则横坐标，纵坐标交换位置，且改变符号，可得答案． 【详解】∵将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与(−2,0)重合， ∴折痕是y =−x .∴点(2018,2019)与点(−2019,−2018)重合， 故m =−2019，n =−2018， 故m −n =−1， 故答案为：−1. 【点睛】本题考查点关于直线对称问题，解题关键是找出点与点的关系求解即可，属于中等题.16．【分析】结合已知利用垂径定理和勾股定理可求出的值进而求出的值；把代入抛物线方程求出的值可得圆心坐标和半径从而得到所求的圆的标准方程【详解】由题意可得点到轴的距离为又已知圆被轴截得的弦长为6得则所以因 解析：22(4)(4)25x y -+-=【分析】结合已知，利用垂径定理和勾股定理可求出||AF 的值，进而求出p 的值；把(4,)A m 代入抛物线方程，求出m 的值，可得圆心坐标和半径，从而得到所求的圆的标准方程. 【详解】由题意可得点(4,)A m 到y 轴的距离为4，又已知圆C 被y 轴截得的弦长为6，得5AF ==， 则452p+=， 所以2p =，因为点(4,)A m 为抛物线22(0)y px p =>上一点，且0m >，所以4m ==，故圆C 的标准方程为：22(4)(4)25x y -+-=. 故答案为：22(4)(4)25x y -+-=. 【点睛】本题是一道关于圆和抛物线的题目，求出圆心坐标和半径是关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.17．【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得即解得或解析：3[2]4【分析】根据斜率的几何意义，()g x =表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】()g x =为点(x 与点(2,3)连线的斜率，点([0,1]x x ∈在函数[0,1]y x ∈图像上，(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31221AB k -==-，最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =∈得，320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，即281210k k -+=，解得374k +=或374k -= 当37k +=时，37[0,1]372x ==-∈+⨯， 当37k -=时，37[0,1]372x ==+∉-⨯不合题意，舍去，()g x 值域为37[,2]+.故答案为:37[,2]+.【点睛】本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.18．【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题考查了直 解析：1934011x y ++= 【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程. 【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-，平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.19．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到 解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '，因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD SA B S h '''=⨯，即12h =.故答案为：12. 【点睛】 本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理. 20．【分析】根据题意得平面在上取使得连接证得平面平面将空间中的动点轨迹的周长问题转化为求三角形边周长问题又代入计算即可【详解】解：如图正方体中连接：易得平面在上取使得连接易得根据线面平行判定定理证得平面 解析：2．【分析】根据题意得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF 证得平面1//AB C 平面EFG ，将空间中的动点P 轨迹的周长问题转化为求三角形EFG 边周长问题，又2GE EF GF ===，代入计算即可. 【详解】解：如图正方体中连接11,,AC B C B A ：易得1BD ⊥平面1ABC ，在1,BB AB 上取,F G 使得12,2BF FB AG GB ==连接,,GE EF GF ，易得1//,//GE AC EF BC根据线面平行判定定理证得平面1//AB C 平面EFG所以1BD ⊥平面EFG所以线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，因为12233GE EF GF ==== 所以动点P 的运动轨迹周长为2323GE EF GF ++=⨯=故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直，面面平行的概念，解题的关键是借助图形将空间问题转化为平面问题.本题中根据1BD ⊥平面1ABC 及平面1//ABC 平面EFG 得到线段,,GE EF GF 就是点P 的运动轨迹，代值计算即可.21．【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展得到异面直线所成角即BD 与所成的角再结合长方体棱长的条件在中求其余弦值即可【详解】如图设平面平面平面平面因为平面所以故异面直线与所成的角即与所成的角延长AD 解析：26 【分析】先利用线面平行的性质定理和平面扩展，得到异面直线所成角即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠，再结合长方体棱长的条件在1A BD 中求其余弦值即可.【详解】如图，设平面11CB D ⋂平面1ABCD l '=，平面11CB D ⋂平面112ABB A l '=，因为//α平面11CB D ，所以1122//,//l l l l ''，故异面直线1l 与2l 所成的角，即1l '与2l '所成的角.延长AD 至E ，使AD DE =，连接CE ，则易见BD 与CE 平行且相等，又BD 与11B D 平行且相等，故BD 与11B D 平行且相等，即四边形11D B CE 是平行四边形，CE 就是交线1l '.同理可知1B F 就是交线2l '.又知BD //CE ，11//B F A B ，故1l '与2l '所成的角，即BD 与1A B 所成的角1A BD ∠， 依题意可知，2AB BC ==，13AA =，故1A BD 中，1113,22A B A D BD ===，故1112262cos 1313BD A BD A B ∠===. 故答案为：26. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 22．【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 分别计算其棱长可得答案【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内如下图所示所以：BC=所以该三棱锥最长棱的长度为故解析：23【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，分别计算其棱长，可得答案．【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示，所以：2AB =，BC =2,22,23BP AC PC AP ====.所以该三棱锥最长棱的长度为23.故答案为：23．【点睛】方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．23．【分析】连接延长交于则是中点可得是二面角的平面角求出可得结论【详解】由已知是中心连接延长交于则是中点连接则而∴平面平面∴∴是二面角的平面角由对称性又由平面平面得∴故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考解析：3【分析】连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，可得MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．求出,ME OE 可得结论．【详解】由已知O 是BCD △中心，连接DO 延长交BC 于E ，则E 是BC 中点，连接AE ，则BC AE ⊥，BC DE ⊥，而AE DE E =，∴BC ⊥平面AED ，M E ⊂平面AED ，∴BC ME ⊥，∴MEO ∠是二面角M BC O --的平面角．2BC =，90BMC ︒∠=，由对称性BM CM ==112ME BC ==，又11233EO DE === 由AO ⊥平面BCD ，EO ⊂平面BCD ，得AO EO ⊥，∴cos EO MEO ME ∠==．．【点睛】关键点点睛：本题考查求二面角，解题关键是作出二面角的平面角．这可根据平面角的定义作出（并证明），然后在直角三角形中求角即得．注意一作二证三计算三个步骤． 24．【分析】先在等边三角形中求出外接圆半径从而可求该三棱锥的外接球的半径【详解】详解：因为所以为等边三角形所以等边外接圆的半径为如图三棱锥外接球球心为半径为设球心到平面的距离为外接圆圆心为连接则平面取中 5【分析】先在等边三角形ABC 中求出23BC =2r，从而可求该三棱锥的外接球的半径.【详解】 详解：因为023,60AB AC BAC ==∠=，所以ABC 为等边三角形， 所以23BC =ABC 外接圆的半径为23r ，如图，三棱锥P ABC -外接球球心为O ，半径为R ，设球心O 到平面ABC 的距离为d ，ABC 外接圆圆心为'O ，连接,','AO AO OO ，则'OO ⊥平面ABC ，取PA 中点,D OP OA =，所以OD PA ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以//PA OO '，则四边形'ADOO 是矩形，所以在PDO △和'OAO △中，由勾股定理可得()222222222R d R d ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得：1,5d R ==. 5。
(完整)上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题一．填空题:1、双曲线116922=-y x 的焦距是 .2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。
3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
5、已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .7、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；10、曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条是 ． 11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .13、若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则=m ．14 、以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 16 、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF =17、已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是二．选择题:18、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 19、抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( ) （A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.20、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.21 、已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.23、（本题满分14分）如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.xy27 (14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M .(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.28（本题满分18分）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；y1B O1A2B2A . . 1F 0F2Fx .29在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.30 、已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；近四年上海高考解析几何试题一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1、双曲线116922=-y x 的焦距是 . 652、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。
上海徐汇中学必修二第二章《解析几何初步》测试(含答案解析)
一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AB =，则k =（ ）A B ．2C ．1D2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1处的切线方程是（ ）A ．x －2＝0B ．x －4＝0C ．x ＋4＝0D ．x ＋2＝03．已知方程23-+=kx k k 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．53,124 C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭4．一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且在直线y x =上截得的弦长为此圆的方程为（ ） A ．()()22319x y -+-= B ．()()22319x y +++=C ．()()22319x y -+-=或()()22319x y +++= D ．以上都不对5．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且3BAC π∠=，2ACB π∠≠，2BC =，P 为BC 中点，过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ，则AQ BC ⋅的最大值是（ ）A ．13B ．3C D 6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．47．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，32AB =，6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．964π B ．934π C ．962πD ．93π 9．已知三棱锥A BCD -的各棱长都相等，E 为BC 中点，则异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为（ ） A ．13 B ．3 C ．33 D ．11610．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．24B ．30C ．47D ．6711．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）A ．,γβγα≤≤B ．,βαβγ≤≤C ．,βαγα≤≤D ．,αβγβ≤≤12．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面ABEB ．//MN 平面ADEC ．//MN 平面BDHD ．//MN 平面CDE二、填空题13．已知直线1:210l x my ++=与2:310l x y --=平行，则m 的值为__________. 14．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：(0,3)Q -是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ；点L 、S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S ､圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O ．若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d =_____．15．已知圆M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为______．16．已知P 是直线4100(0)kx y k +-=>上的动点，,PA PB 是圆22:2440C x y x y +-++=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，若四边形PACB 的面积的最小值为22，则k 的值为____________.17．圆22440x y y +--=上恰有两点到直线0x y a -+=的距离为2，则实数a 的取值范围是______.18．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是______. 19．在边长为3的菱形ABCD 中，对角线3AC =，将三角形ABC 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为2π，则三棱锥B ACD -外接球的体积是_________________．20．如图①，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，E 是BC 的中点，将三角形ABE 沿AE 翻折，使得平面ABE 和平面AECD 垂直，如图②，连接BD ，则异面直线BD 和AE 所成角的余弦值为______.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3APD BAD π∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．22．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．23．如图，在长方体1111ABCDA B C D ﹣中，O 是11B D 的中点，P 是线段AC 上一点，且直线1PA 交平面11AB D 于点M ．给出下列结论：①A ，M ，O 三点共线；②A ，M ，O ，1A 不共面；③A ，M ，C ，O 共面；④B ，1B ，O ，M 共面．其中正确结论的序号为______．24．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．三、解答题25．已知下列几何体三视图如图.（1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体外接球的体积.26．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.27．如图1，在梯形ABCD 中，//BC AD ，4=AD ，1BC =，45ADC ∠=︒，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2.（1）证明：平面NMC ⊥平面NCD ；（2）求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值.28．如图，ABC 中，2AC BC ==，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥平面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．（1）求证：//GF 平面ABC ； （2）求证：AC ⊥平面EBC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解k 值． 【详解】解： 曲线29y x =-是圆心为原点，半径r ＝3的上半圆，如图：圆心到直线l 的距离241k d k =+22221622921k AB r d k =-=-=+，解得：1k =±，当1k =-时，直线l 与曲线29y x =-无交点，舍去． 故1k =． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．2．D解析：D 【分析】求出圆心坐标，由切线的性质得出切线的斜率，从而得切线方程． 【详解】由题意圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)M ，303PM k -==-， ∴切线斜率为3k =，直线方程为33(1)y x -=-，化简得320x y -+=．故选：D ． 【点睛】本题考查求圆的切线方程，由切线与过切点的半径相互垂直易得切线斜率，从而得切线方程，通常情况下要把方程化为一般式．3．B解析：B 【分析】如图，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+，当直线和半圆相切时，由半径22002321k k --+=+解得k 值，即得实数k 的取值范围．【详解】 由题意得，半圆24y x =-与直线32y kx k =+-有两个交点，又直线323(2)y kx k y k x =+-⇒-=-过定点C (2,3)，如图所示，又点(2,0),(2,0)A B -，当直线在AC 位置时，斜率303224k -==+.当直线和半圆相切时，由半径2=解得512k =， 故实数k 的取值范围为53(,]124故选：B 【点睛】关键点点睛：由函数解析式转化为直线与半圆有两个公共点，根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC 位置时的斜率k 值及切线CD 的斜率，是解题的关键．4．C解析：C 【分析】设圆心的坐标为()3,a a ，可知所求圆的半径长为3a ，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设圆心的坐标为()3,a a ，可知所求圆的半径长为3a ， 圆心到直线y x =的距离d ==，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理，可得()2223d a +=，即22279a a +=，解得1a =±.因此，所求圆的标准方程为()()22319x y -+-=或()()22319x y +++=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，在涉及圆的弦长问题时，要注意弦长的一半、圆的半径以及弦心距三者满足勾股定理列等式求解，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据题意建立直角坐标系，结合斜率与倾斜角的关系及两角和的正切公式可找到点A 的轨迹，结合平面向量的数量积即可求解. 【详解】以P 为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系则(1,0),(0,0),(1,0)B P C -,设点(,)A x y ，则31tan ,tan()131131AB ACyyyx k ABC k ABC y x x x π+=∠==∠+==+-+，化简得223433x y ⎛+-= ⎝⎭，所以()232311,1x ⎡⎫⎛∈-⋃-⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦， 设点()0,Q m ，则 ()(),2,02AQ BC x m y x ⋅=--⋅=-， 故当23x =AQ BC ⋅43故选：D 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系及两角和的正切公式、圆的方程及性质、平面向量的数量积，属于能力提升题.6．B解析：B 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论. 【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3， 设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)2CP =-+-=根据弦长公式得最小值为29||982CP -=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7．C解析：C 【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可. 【详解】由题意：底面ABCD 为正方形， 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥， 面PAD面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ， 连接CM ，AM ， ∵PM ∥AD ，AD ∥BC ， PM ＝AD ，AD ＝BC ． ∴ PBCM 是平行四边形， ∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 设PA ＝AB ＝a ，在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===， ∴三角形ACM 是等边三角形． 所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°． 故选：C. 【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．8．A解析：A 【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====22361832BE CE CB =-=-=，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点，DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=， 所以曲面面积为1961868ππ⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 9．B解析：B 【分析】取AC 中点F ，连接,EF DF ，证明FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角），然后在三角形中求得其余弦值即可得． 【详解】取AC 中点F ，连接,EF DF ，∵E 是BC 中点，∴//EF AB ，12EF AB =， 则FED ∠是异面直线AB 与DE 所成角（或其补角）， 设1AB =，则12EF =，3DE DF ==， ∴在等腰三角形DEF 中，11324cos 3EFFED DE ∠===．所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值为36．故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．D解析：D 【分析】先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11(24)676732⋅+⋅=. 故选：D 【点睛】方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.11．A解析：A 【分析】由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，PACABCSS≤，进而可比较,βγ的大小【详解】解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以12ABCS AB AC =⋅, 因为1sin 2PACS AC AP PAC =⋅∠，AB AP =， 所以PACABCSS≤，令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211,33P ABC ABC B PACPACV S d V S d --=⋅=⋅所以12d d ≤，因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以21sin ,sin d d AB PAβγ== 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥ 因为,(0,]2πβγ∈所以βγ≥， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题12．C解析：C 【分析】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，可以证明MN ‖BO ,利用BO 与平面ABE 的关系可以判定MN 与平面ABE 的关系，进而对选择支A 作出判定；根据MN 与平面BCF 的关系，利用面面平行的性质可以判定MN 与平面ADE 的关系，进而对选择支B 作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN 与平面BDE 的平行关系，进而判定C ；利用M ,N 在平面CDEF 的两侧，可以判定MN 与平面CDE 的关系，进而对D 作出判定. 【详解】根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH 的中点O ,连接ON ,BO ，易知ON 与BM 平行且相等，∴四边形ONMB 为平行四边形，∴MN ‖BO , ∵BO 与平面ABE （即平面ABFE )相交，故MN 与平面ABE 相交，故A 错误； ∵平面ADE ‖平面BCF ,MN ∩平面BCF =M ,∴MN 与平面ADE 相交，故B 错误； ∵BO ⊂平面BDHF ,即BO ‖平面BDH ,MN ‖BO ,MN ⊄平面BDHF ,∴MN ‖平面BDH ,故C 正确； 显然M ,N 在平面CDEF 的两侧，所以MN 与平面CDEF 相交，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN 的平行线BO .二、填空题13．【分析】解方程即得解【详解】由题得当时两直线不重合故答案为：【点睛】结论点睛：直线和直线平行则且两直线不重合 解析：23-【分析】解方程230m ⨯⨯=（-1)-即得解. 【详解】由题得2230,3m m ⨯⨯=∴=-（-1)-. 当23m =-时，两直线不重合. 故答案为：23-. 【点睛】结论点睛：直线1111:0l a x b y c ++=和直线2222:0l a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合.14．【分析】圆L 与圆S 关于原点对称直线l 过原点求出圆L 与圆S 的圆心坐标设出直线l 方程由三个弦长相等得直线方程从而可得弦长d 【详解】由题意圆与圆关于原点对称设则即设方程为则三个圆心到该直线的距离分别为：则解析：125【分析】圆L 与圆S 关于原点对称，直线l 过原点，求出圆L 与圆S 的圆心坐标，设出直线l 方程，由三个弦长相等得直线方程，从而可得弦长d ． 【详解】由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设(),0(0)S a a >23,4a =+=，即()()4,04,0S L ∴-，． 设方程为(0y kx k =≠），则三个圆心到该直线的距离分别为：1d =2d =，3d =，则()()()2222123444449d d d d =-=-=-，即有222449⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-，解得2421k =， 则24161442144425121d ⎛⎫⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪+⎝⎭，即125d =. 故答案为: 125. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．求出圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长是求圆弦长的常用方法．15．【分析】根据题意只需转化为圆上的点到直线的距离最小即转化为圆心到直线的距离再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹联立两个圆的方程可得所求的直线的方程【详解】⊙M ：则圆心为半径如图连接四边形的面积为要使最 解析：210x y ++=【分析】根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程. 【详解】⊙M ：222220x y x y +---=，则()()22114x y -+-=，圆心为()1,1，半径2r，如图，连接,,AM BM ，四边形PAMB 的面积为1||||2PM AB ⋅，要使||||PM AB ⋅最小，则需四边形PAMB 的面积最小，即只需PAM △的面积最小，因为2,AM =，所以只需 ||PA 最小，又2224,PA PM AMPM =-=-，所以只需直线2++20x y =上的动点P 到点M 的距离最小，其最小值是圆心到直线l 的距离2+1+255d ==，此时,PM l ⊥所以直线PM 的方程为210.x y -+=由220210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，所以点,,,P A M B 四点共圆，所以以点PM 为直径的圆的方程为22215()()22x y +-=，即2210x y y +--=，联立两个圆的方程2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩得直线AB 的方程为：210x y ++=. 故答案为：210x y ++=.【点睛】在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题.16．3【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由表示再由点到直线的距离公式求得最小值最后由面积的最小值构建方程求得参数【详解】由题可知四边形又因为所以四边形的面积的最小值为故答案为：3【点睛】本题考解析：3 【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由PC 表示，再由点到直线的距离公式求得PC最小值，最后由面积的最小值构建方程求得参数. 【详解】由题可知，S 四边形22212212PACE PAC S PA AC PC r r PC ==⨯=-⋅=-，又因为min 22228101844C l k k PC d k k ----===++，所以四边形PACB 的面积的最小值为2221812234k k k ⎛⎫--=⇒= ⎪+⎝⎭故答案为：3 【点睛】本题考查利用直线与圆相切的位置关系转化所求面积，还考查点与直线的最小距离，属于中档题.17．【分析】由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交一条与圆相离可得【详解】圆标准方程为圆心为半径为圆心到已知直线的距离为由题意解得或故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离判断 解析：()()4,04,8-【分析】由与直线0x y a -+=2 【详解】圆标准方程为22(2)8x y +-=，圆心为(0,2)C ，半径为22r =圆心C 到已知直线的距离为02222aa d -+-==，由题意2222 22222 2aa⎧-+>⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩，解得40a或48a<<．故答案为：(4,0)(4,8)-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系是常用方法．18．【分析】曲线表示圆心为半径为的半圆画出图象结合点到直线的距离公式得出的取值范围【详解】由解得根据二次函数的性质得出即曲线可化为所以该曲线表示圆心为半径为的半圆因为直线与曲线有公共点所以它位于之间如下解析：122,3⎡⎤-⎣⎦【分析】曲线234y x x=--表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出b的取值范围.【详解】由240x x-，解得04x根据二次函数的性质得出2042x x-，即13y曲线234y x x=--可化为22(2)(3)4-+-=x y，()04,13x y所以该曲线表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆因为直线y x b=+与曲线234y x x=--有公共点，所以它位于12,l l之间，如下图所示当直线y x b=+运动到1l时，过(0,3)，代入y x b=+得：3b=当直线y x b=+运动到2l时，此时y x b=+与曲线相切222211==+，解得122b=-122+要使得直线y x b=+与曲线234y x x=-有公共点，则[122,3]b∈-故答案为：122,3⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.19．；【分析】分析菱形的特点结合其翻折的程度判断其外接球球心的位置放到相应三角形中利用勾股定理求得半径利用球的体积公式求得外接球的体积【详解】根据题意画出图形根据长为的菱形中对角线所以和都是正三角形又因解析：55π； 【分析】分析菱形的特点，结合其翻折的程度，判断其外接球球心的位置，放到相应三角形中，利用勾股定理求得半径，利用球的体积公式求得外接球的体积. 【详解】根据题意，画出图形，3ABCD 中，对角线3AC = 所以ABC 和DBC △都是正三角形， 又因为二面角B AC D --的大小为2π， 所以分别从两个正三角形的中心做面的垂线，交于O ， 则O 是棱锥B ACD -外接球的球心，且11,2GD OG GE ===， 所以球的半径225R GD OG =+=， 所以其体积为3344555(33V R ππ==⋅=， 55π.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关几何体外接球的问题，解题思路如下： （1）根据题中所给的条件，判断菱形的特征，得到两个三角形的形状；（2）根据直二面角，得到两面垂直，近一倍可以确定其外接球的球心所在的位置； （3）利用勾股定理求得半径； （4）利用球的体积公式求得结果；（5）要熟知常见几何体的外接球的半径的求解方法.20．【分析】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角可结合原矩形求出然后由直角三角形得出再用余弦定理求得结论【详解】取的中点作交延长线于则是异面直线和所成角或其补角连接∵所以又平面平面平面平面平解析：6【分析】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，可结合原矩形求出,OD OF ，然后由直角三角形得出,BD BF ，再用余弦定理求得结论． 【详解】取AE 的中点O ，作//DF AE 交EC 延长线于F ，则BDF ∠是异面直线BD 和AE 所成角或其补角，连接,OB OF ，OD ， ∵AB BE =，所以BO AE ⊥， 又平面ABE ⊥平面ECDA ，平面ABE 平面ECDA AE =，BO ⊂平面ABE ，∴BO ⊥平面ECDA ，而,OD OF ⊂平面ECDA ，所以BO OF ⊥，BO OD ⊥，又∵90ABE ∠=︒，2AB BE ==，所以BO =AO EO ==AE =//DF AE ,//AD EF ，则ADFE 是平行四边形，4,EF AD DF AE ====，在原矩形中45BAE BEA ∠=∠=︒，则45,135DAE CEA ∠=︒∠=︒，OD ==OF == 22212BD BO OD =+=，22228BF BO OF =+=，在BDF 中，222cos2BD DF BF BDF BD DF +-∠=⋅6==-，所以异面直线BD 和AE故答案为：6.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．21．【分析】根据棱锥的性质证明的中点就是三棱锥的外接球球心得出半径后可求表面积【详解】取中点中点连接则因为底面所以平面是菱形则所以是的外心又底面平面所以所以到四点距离相等即为三棱锥的外接球球心又所以所以解析：16π．【分析】根据棱锥的性质，证明PA的中点就是三棱锥P AOD-的外接球球心，得出半径后可求表面积．【详解】取PA中点M，DA中点E，连接,ME EO，则//ME PD，因为PD⊥底面ABCD，所以ME⊥平面ABCD，ABCD是菱形，则AO OD⊥，所以E是AOD△的外心，又PD⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥，所以M到,,,P A D O四点距离相等，即为三棱锥P AOD-的外接球球心．又2PD=，3APDπ∠=，所以24cos3PAπ==，所以2MA MP==，所以三棱锥P AOD-的外接球表面积为24216Sππ=⨯=．故答案为：16π．【点睛】结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．22．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为解析：34【分析】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值. 【详解】取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =122VO AB ∴== 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠，由余弦定理得2223cos 24VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅，因此，二面角V AB C --的余弦值为34. 故答案为：34. 【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.23．①③【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确用反证法可得④错误【详解】∵连接∵是的中点∴平面与平面有公共点与则平面平面对于①平面则平面又平面则即三点共线故①正确；对于②在平面内由①知∴平解析：①③ 【分析】由公理1判断①正确；由公理2判断②错误③正确，用反证法可得④错误. 【详解】∵连接11AC ，∵O 是11B D 的中点，∴11O AC ∈． 平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ， 则平面11AAC C平面11AB D AO =．对于①，1M PA ∈，1PA ⊂平面11AAC C ，则M ∈平面11AAC C ， 又M ∈平面11AB D ，则M AO ∈，即A ，M ，O 三点共线，故①正确； 对于②，A ，O ，1A 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AAC C ， 即A ，M ，O ，1A 共面，故②错误；对于③，A ，O ，C 在平面11AAC C 内，由①知M AO ∈，∴O ∈平面11AAC CA ， 则A ，M ，C ，O 共面11AAC C ，故③正确；对于④，连接BD ，则B ，1B ，O 都在平面11BB D D 上，若M ∈平面11BB D D ，则直线OM ⊂平面11BB D D ，∴A ∈面11BB D D ，显然A ∉面11BB D D 的，故④错误． ∴正确命题的序号是①③． 故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是中档题.24．【详解】试题分析：如图正方体ABCD-EFGH此时若要使液面不为三角形则液面必须高于平面EHD且低于平面AFC而当平面EHD平行水平面放置时若满足上述条件则任意转动该正方体液面的形状都不可能是三角形解析：15, 66⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC．而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积15 166 -=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法三、解答题25．（1）474；（2）646 27.【分析】（1）先根据三视图还原直观图，为一个正四棱锥，然后求出侧面积和底面积，就得到表面积；（2）找到外接球的球心，计算出半径26r=.【详解】解：（1）由三视图知，该几何体是正四棱锥的直观图，如图. 底面为正方形，边长为2，其面积为224⨯=，四个侧面是全等的三角形，斜高为7，底面边长为2，其面积为47， ∴该几何体的表面积为474+.（2）72，可得高6SO =2OA =设正四棱锥的外接球的球心为O '，由对称性知O '在SO 上，设OO h '=，球的半径为r ，∴6h r =，∴222826r h OA r r =+=-+26r =则球的体积346463V r π==. 【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图 ；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整.(2)多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；(④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法．26．（1）证明见解析；（223【分析】（1）连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO ，证明11BO DO 是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面11DAC ⊥平面11B D DB ，过点O 作1OH DO ⊥于H ，在矩形11B D DB 中，连接1OO ，可得1OOD OHD ∽△△，由三角形相似，对应边成比例即可求解. 【详解】（1）证明：连接11B D ，设11111B D AC O ⋂=，连接1DO .11//O B DO 且11O B DO =， 11B O DO ∴是平行四边形.11//BO DO ∴.又1DO ⊂平面11DA C ，1B O ⊂/平面11DA C ，1//B O ∴平面11DA C .（2）1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，且1111BBB D B ⋂=， 11AC ∴⊥平面11BD DB . ∴平面11DAC ⊥平面11B D DB ，且交线为1DO .在平面11B D DB 内，过点O 作1OH DO ⊥于H ，则OH ⊥平面11DA C ， 即OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离.在矩形11B D DB 中，连接1OO ，1OOD OHD ∽△△，则11O D ODO O OH=， 22236OH ⨯∴== 即点O 到平面11DA C 的距离为233. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点O 作1OH DO ⊥于H ，得出OH 的长就是点O 到平面11DA C 的距离，考查了计算能力.27．（1）证明见解析；（2）3. 【分析】(1)用分析法：要证平面NMC ⊥平面NCD ，只需证明CD ⊥平面NMC ，只需CM CD ⊥和NM CD ⊥；(2)由(1)的证明，以M 为原点，MB ，MD ，MN 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系M xgz -，用向量法计算. 【详解】解：（1）如图，梯形ABCD 中，过点C 作CH DM ⊥于点H ，连接CM ， 由题意知，1CH =，122AM DM AD ===. 由45ADC ∠=︒，可得11tan 45DH ==︒，则1HM DM DH =-=， ∴CM CD ⊥，//BC MH . 又BC CH =，CH MH ⊥，∴四边形BCHM 为正方形，∴BM AD ⊥. 在四棱锥N BCDM -中， ∵平面NBM ⊥平面BCDM ，平面NBM ⋂平面BCDM BM =，MN BM ⊥， ∴NM ⊥平面BCDM .∵CD ⊂平面BCDM ，∴NM CD ⊥. ∵NMCM M =，且NM ，CM ⊂平面NMC ，∴CD ⊥平面NMC .又CD ⊂平面NCD ，∴平面NMC ⊥平面NCD .。
(北师大版)上海市必修二第二章《解析几何初步》测试题(含答案解析)
一、选择题1．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．322．函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则直线0ax by c 的倾斜角大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23πD ．34π 3．一圆与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且在直线y x =上截得的弦长为7，则此圆的方程为（ ） A ．()()22319x y -+-= B ．()()22319x y +++=C ．()()22319x y -+-=或()()22319x y +++= D ．以上都不对4．方程(1)210a x y a --++=(a R ∈)所表示的直线（ ） A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(3,2)-D ．都是平行直线5．若直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6，则4b aab+的最小值为（ ） A ．32B ．322+C ．5D ．76．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作ABC ，在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -，且其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，则该圆的半径r 为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．227．在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，PA AD =，则异面直线PB 与AC 所成的角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π29．在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N ，P ，Q 分别为1A B ，1B D ，1A D ，1CD 的中点，则异面直线MN 与PQ 所成角的大小是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =11．空间四边形PABC 的各边及对角线长度都相等，D 、E 、F 外别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论中不成立的是（ ） A ．//BC 平面PDF B ． DF ⊥平面PAE C ．平面PDE ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC12．已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是1θ，直线DA 与BC 所成的角是2θ，则（ ） A ．1θθ≥B ．1θθ≤C ．2θθ≥D ．2θθ≤二、填空题13．若圆222(3)(5)r x y -++=上有且只有两个点到直线432x y -=的距离为1，则半径r 的取值范围是______．14．已知平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =，3c =，01λ<<，若0b c ⋅=，则()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为______．15．已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为30x y -=，则圆E 的方程为_____.16．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点(1,0),(0,3),B C AB AC -=，则△ABC 的欧拉线方程为____________________17．已知直线22(2)0x y y λ+++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ，当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值是__________.18．若点()1,1P 为圆()2239x y -+=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为__________.19．如图，在三棱锥P ABC -中，点B 在以AC 为直径的圆上运动，PA ⊥平面,ABC AD PB ⊥，垂足为,D DE PC ⊥，垂足为E ，若23,2PA AC ==，则三棱锥P ADE -体积的最大值是_________．20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，22AB =3BC =，4PA =，4ABC π∠=，则该三棱锥的外接球体积为___________.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若2PD =，3APD BAD π∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球表面积为_________．22．二面角a αβ--的大小为135A AE a E α︒∈⊥，，，为垂足，,B BF a F β∈⊥，为垂足，2,31AE BF EF P ===，，是棱上动点，则AP PB +的最小值为_______． 23．如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知3AB BC =，将ABE △沿边BE 折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 2；②//AB CE ；③B ACE V -体积是316a ；④平面ABC ⊥平面ADC ．其中正确的有______．（填写你认为正确的序号）24．若三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，23AB =7SA SB SC ===，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题25．如图，已知菱形ABCD 和菱形ACFE 所在的平面互相垂直，M 为BF 的中点．（1）求证：//DF 平面ACM ； （2）若2AB =，ABC CAE ∠=∠=π3，求三棱锥F BDE -的体积． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，32,3,PB PD PA AD ====点,E F 分别为线段,PD BC 的中点.（1）求证://EF 平面ABP ; （2）求证:平面AEF ⊥平面PCD ; （3）求三棱锥C AEF -的体积27．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，3BC =．（1）求证：1//AB 平面1BC D ； （2）求三棱锥1D BCC -的体积．28．在三棱锥P ABC -中，AE BC ⊥于点,E CF AB ⊥于点F ，且AE CF O ⋂=，若点P 在平面ABC 上的射影为点O ．（1）证明：AC PB ⊥；（2）若ABC 是正三角形，点,G H 分别为,PA PC 的中点．证明：四边形EFGH 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是2113244323⨯⨯⨯=，选A. 2．D解析：D 【分析】首先根据函数的对称性，得到(0)()02f f π+=，从而有a b =，再利用直线的斜率为1ak b =-=-，结合倾斜角的取值范围求得结果. 【详解】令()sin cos y f x a x b x ==- 因为函数sin cos y a x b x =-的一个对称中心为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，所以有(0)()02f f π+=，所以0b a -+=，即a b =，所以直线0ax by c 的斜率1ak b=-=-， 设其倾斜角为(0)ααπ≤<， 所以有tan 1k α==-，所以34πα=， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关直线倾斜角的问题，涉及到的知识点有三角函数的对称性，根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题目.3．C解析：C 【分析】设圆心的坐标为()3,a a ，可知所求圆的半径长为3a ，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理可得出关于a 的等式，求出a 的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设圆心的坐标为()3,a a ，可知所求圆的半径长为3a ，圆心到直线y x =的距离d ==，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理，可得()2223d a +=，即22279a a +=，解得1a =±.因此，所求圆的标准方程为()()22319x y -+-=或()()22319x y +++=. 故选：C. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，在涉及圆的弦长问题时，要注意弦长的一半、圆的半径以及弦心距三者满足勾股定理列等式求解，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【分析】将方程化为()()3(1)2y a x -=---，即可得出答案. 【详解】方程(1)210a x y a --++=可化为(1)223a x a y -+-=- 即()()3(1)2y a x -=--- 则恒过定点(2,3)- 故选：A【点睛】本题主要考查了直线恒过定点问题，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得直线经过圆心即12ab +=，再由基本不等式即可得解. 【详解】由题得圆的方程可以化为22(2)(1)9x y -++=，所以圆心为(2,1)-，半径为3r =， 因为直线440(0,0)ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=截得的弦长为6， 所以直线经过圆心，所以2440a b +-=，即12ab +=，所以441433322b a a b a b ab a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++≥+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当41a b =-=时取等号，所以4b aab +的最小值为3+ 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系、基本不等式求最值的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由等腰三角形的性质可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，求得BC 边上的垂直平分线方程，再由直线和圆相切的条件：d r =，可得所求值． 【详解】解：在ABC 中，4AB AC ==，点(1,3)B -，点(4,2)C -， 可得BC 边上的高线、垂直平分线和中线合一， 则其“欧拉线”为ABC 边BC 的垂直平分线，可得BC 的中点为3(2，1)2，直线BC 的斜率为32114+=---， 则BC 的垂直平分线的斜率为1， 可得BC 的垂直平分线方程为1322y x -=-，即为10x y --=， 其“欧拉线”与圆222(3)x y r -+=相切，可得圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为22d ==， 即有半径2r =，故选：B ． 【点睛】本题考查直线方程、三角形的“欧拉线”的定义，以及直线和圆相切的条件，考查推理能力与计算能力．7．C解析：C 【分析】由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线 交于M ，连接CM ，AM ，因为PB ∥CM ，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角,再求解即可. 【详解】由题意：底面ABCD 为正方形， 侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥， 面PAD面ABCD AD =，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ， 连接CM ，AM ， ∵PM ∥AD ，AD ∥BC ， PM ＝AD ，AD ＝BC ． ∴ PBCM 是平行四边形， ∴ PB ∥CM ，所以∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角． 设PA ＝AB ＝a ， 在三角形ACM 中，2,2,2AM a AC a CM a ===，∴三角形ACM 是等边三角形．所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°． 故选：C.【点睛】思路点睛：先利用面面垂直得到PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，得到∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角．8．D解析：D 【分析】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，先通过BE ⊥平面11ACC A 可得BE AM ⊥，再由1ACM A AE ≅可得1AM A E ⊥，即可得出AM ⊥平面1A BE ，即1AM A B ⊥.【详解】取AC 中点E ，连接1,A E BE ，ABC 为正三角形，BE AC ∴⊥，正三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，1CC BE ∴⊥，1ACCC C =，BE ∴⊥平面11ACC A ，AM ⊂平面11ACC A ，BE AM ∴⊥，在直角三角形ACM 和直角三角形1A AE 中，1,AC A A CM AE ==,1ACM A AE ∴≅， 1CAM AA E ∴∠=∠，12CAM A EA π∴∴∠+∠=，则1AM A E ⊥，1BE A E E ⋂=，AM ∴⊥平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，1AM A B ∴⊥，故异面直线AM 与1A B 所成角的大小为2π.【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出1AM A B ⊥.9．B解析：B 【分析】由M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点，得平行线，从而找到异面直线MN 与PQ 所成角，在三角形中可得其大小． 【详解】如图，连接1AD ，1AB ，显然M 也是1A B 的中点，P 也是1AD 中点， 又N 是1B D 中点，Q 是1CD 中点，所以//MN AD ，//PQ AC ， 所以CAD ∠是异面直线MN 与PQ 所成角（或补角），大小为4π． 故选：B ．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．A解析：A 【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果. 【详解】3169V d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=，所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.11．C解析：C 【分析】由线面平行的判定定理可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；反证法可说明C ；由面面垂直的判定定理可判断D. 【详解】对于A ，D ，F 外别是AB ，CA 的中点，//BC DF ∴，DF ⊂平面PDF ，∴//BC 平面PDF ，故A 正确，不符合题意；对于B ，各棱长相等，E 为BC 中点，,BC AE BC PE ∴⊥⊥，PEAE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//BC DF ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确，不符合题意；对于C ，假设平面PDE ⊥平面ABC ，设DE BF O ⋂=，连接PO ，则O 是DE 中点，PO DE ∴⊥，平面PDE平面ABC DE =，PO ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，PO BF ∴⊥，则PB PF =，与PB PF ≠矛盾，故C 错误，符合题意；对于D ，由B 选项 DF ⊥平面PAE ， DF ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，故D 正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题考查线面关系和面面关系的判定，解题的关键是正确理解判断定理，正确理解垂直平行关系.12．A解析：A 【分析】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ，过D 作DO CE ⊥，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，排除B ，C ．当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ．由此能求出结果． 【详解】设三棱锥D -ABC 是棱长为2的正四面体，取AB 中点E ，DC 中点M ，AC 中点M ，连结DE 、CE 、MN 、EN ， 过D 作DO ⊥CE ，交CE 于O ，连结AO ，则DEC θ∠=，1DAO θ∠=，2MNE θ∠=，413DE CE ==-=2DC =，∴1cos 3233θ==⨯⨯，2233AO CO CE ===∴12333cos 33AO AD θ===， 取BC 中点F ，连结DF 、AF ，则DF BC ⊥，AF BC ⊥，又DF AF F ⋂=，∴BC ⊥平面AFD ，∴BC AD ⊥，∴290θ=︒， ∴21θθθ≥≥，排除B ，C ，当二面角C AB D --是直二面角时，2θθ≥，排除D ， 故选：A . 【点睛】关键点点睛：将三棱锥看成特殊的正四面体，采用排除法，充分理解线线角、线面角以及面面的概念是解题的关键.二、填空题13．【详解】∵圆心P(3−5)到直线4x−3y=2的距离等于由|5−r|<1解得：4<r<6则半径r 的范围为(46)故答案为：(46)当时满足题意考点：1直线和圆的位置关系；2点到直线的距离 解析：46r <<【详解】∵圆心P (3,−5)到直线4x −3y =2的距离等于，由|5−r |<1，解得：4<r <6， 则半径r 的范围为(4,6). 故答案为：(4,6)，当46r <<时满足题意.考点：1、直线和圆的位置关系；2、点到直线的距离.14．【分析】设由于则在线段上又在以为圆心1为半径的圆上问题转化为求线段上的点到圆上点的距离的最大值和最小值然后可得结论【详解】∵∴可取∵∴是单位圆上如图设由于则在线段上易得直线方程是即到线段的距离为斜边解析：613,1(4,)13⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ 【分析】()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设,,OA a OB b OC c ===，()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，又A 在以O 为圆心，1为半径的圆O 上，问题转化为求线段BC 上的点P 到圆O 上点A 的距离的最大值和最小值，然后可得结论． 【详解】∵0b c ⋅=，2b =，3c =，∴可取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，a OA =，∵1a =，∴A 是单位圆O 上，如图，()()11a b c a b c λλλλ⎡⎤---=-+-⎣⎦，设()1b c OP λλ+-=，由于01λ<<，则P 在线段BC 上，()()11a b c a b c PA λλλλ⎡⎤---=-+-=⎣⎦，易得直线BC 方程是123x y+=即3260x y +-=，O 到线段BC 的距离为OBC 斜边BC 边上高，即2361323d ==+，∴min 61311PA d =-=-，又3OC =，∴min314PA=+=，∴PA 的取值范围是6131,413， ∴()1a b c λλ---所有取不到的值的集合为613,1(4,)13⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 故答案为：613,1(4,)⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查求向量模的取值范围，解题关键是取(2,0)b OB ==，(0,3)c OC ==，把所有向量的起点都移到原点，由几何意义得出动点所成轨迹，从而由几何意义得出模的范围，最后求其在实数集上的补集即可．15．【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直计算得到圆心为圆过原点故得到答案【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直即圆心为故圆心连线所在的直线为：取得到圆圆心坐标为和均过原点故圆过原点故故方程为故答案为：【点睛】本题解析：22(3x y +=【分析】两圆圆心连线与公共弦垂直，计算得到圆心为，圆E 过原点，故r =案. 【详解】两圆圆心连线与公共弦垂直，2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0，故圆心连线所在的直线为：)1y x =-，取0x =得到圆E 圆心坐标为，2220x y x +-=和0x -=均过原点，故圆E 过原点，故r =故方程为22(3x y +=.故答案为：22(3x y +=. 【点睛】本题考查了圆方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定圆心和半径是解题的关键.16．【分析】因为所以外心重心垂心都位于线段的垂直平分线上由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段的垂直平分线的斜率由中点坐标公式得出的中点坐标最后由点斜式写出方程【详解】因为所以外心重心垂心都位 解析：340x y +-=【分析】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，由两直线垂直斜率的关系以及两点的斜率公式得出线段BC 的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式得出BC 的中点坐标，最后由点斜式写出方程. 【详解】因为AB AC =，所以ABC ∆外心，重心，垂心都位于线段BC 的垂直平分线上 设线段BC 的垂直平分线的斜率为k ，则1BC k k ⨯=-3030(1)BC k -==--，13k ∴=-又因为BC 的中点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭所以△ABC 的欧拉线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-=故答案为：340x y +-= 【点睛】本题主要考查了两直线垂直斜率间的关系，中点坐标公式，点斜式写出直线方程，属于中档题.17．8【分析】先求出直线与坐标轴的交点然后用表示出三角形的面积最后利用基本不等式即可求得本题答案【详解】由直线可得与x 轴y 轴的交点坐标分别为所以三角形的面积当且仅当时取等号所以的最小值是8故答案为：8【解析：8 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，然后用λ表示出三角形的面积，最后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】由直线22(2)0x y y λ+++-=，可得与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22(1,0),0,1λλλ+⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，(1,)λ∈+∞，所以三角形的面积1224()(1)(1)448211S λλλλλλ+=+⋅=-++≥=--， 当且仅当3λ=时取等号，所以()S λ的最小值是8. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用问题，考查学生的转化能力和运算求解能力.18．【分析】先求出直线MN 的斜率再写出直线的点斜式方程得解【详解】∵为圆的弦的中点∴圆心与点确定的直线斜率为∴弦所在直线的斜率为2则弦所在直线的方程为即故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系考 解析：210x y --=【分析】先求出直线MN 的斜率，再写出直线的点斜式方程得解. 【详解】∵()1,1P 为圆()2239x y -+=的弦MN 的中点，∴圆心与点P 确定的直线斜率为101132-=--， ∴弦MN 所在直线的斜率为2，则弦MN 所在直线的方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故答案为：210x y --= 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线的方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．【分析】由已知证明再由三角形相似列比例式可得证明利用基本不等式求得的最大值可得三棱锥体积的最大值【详解】由平面得又平面得又平面得而平面可得在中由得由得则由得又得即（当且仅当时等号成立）三棱锥体积的最解析：34【分析】由已知证明AE PC ⊥，再由三角形相似列比例式可得PE ，证明AD DE ⊥，利用基本不等式求得AD DE ⋅的最大值，可得三棱锥P ADE -体积的最大值． 【详解】由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，又BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，得BC AD ⊥，又AD PB ⊥，PB BC B ⋂=，AD ∴⊥平面PBC ，得AD PC ⊥，而DE PC ⊥，AD DE D ⋂=， PC ∴⊥平面ADE ，可得AE PC ⊥．在Rt PAC △中，由2PA AC ==，得4PC =．由Rt PEA Rt PAC ∽，得PE PA PA PC =，则21234PA PE PC ===，由3PE =，PA =23AE =，又AD DE ⊥，2223AD DE AE ∴+==，得2232AD DE AD DE =+≥⋅， 即32AD DE⋅（当且仅当AD DE =时等号成立）， ∴三棱锥P ADE -体积的最大值是1111333323224AD DE PE ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=．故答案为：34． 【点睛】方法点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理．20．【分析】利用余弦定理求得利用正弦定理计算出的外接圆直径可计算出三棱锥的外接球半径然后利用球体体积公式可求得结果【详解】如下图所示圆柱的底面圆直径为圆柱的母线长为则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等解析：3【分析】利用余弦定理求得AC ，利用正弦定理计算出ABC 的外接圆直径2r ，可计算出三棱锥P ABC -的外接球半径R ，然后利用球体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，圆柱的母线长为h ， 则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等， 所以，圆柱12O O 的外接球直径为()2222R r h =+.本题中，作出ABC 的外接圆2O ，由于PA ⊥平面ABC ，可将三棱锥P ABC -放在圆柱12O O 中，在ABC 中，22AB =3BC =，4ABC π∠=，由余弦定理可得222cos 5AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=，由正弦定理可知，ABC 的外接圆直径为5210sin 22ACr ABC===∠ 则三棱锥P ABC -的外接球直径为()222226R PA r =+=26R =， 因此，三棱锥P ABC -的外接球的体积为334426132633V R ππ==⨯=⎝⎭. 故答案为：13263. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.21．【分析】根据棱锥的性质证明的中点就是三棱锥的外接球球心得出半径后可求表面积【详解】取中点中点连接则因为底面所以平面是菱形则所以是的外心又底面平面所以所以到四点距离相等即为三棱锥的外接球球心又所以所以解析：16π． 【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求表面积． 【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心． 又2PD =，3APDπ∠=，所以24cos3PA π==，所以2MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球表面积为24216S ππ=⨯=． 故答案为：16π．【点睛】结论点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是求出外接球球心．三棱锥的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．22．【分析】首先将二面角展平根据两点距离线段最短求最小值【详解】如图将二面角沿棱展成平角连结根据两点之间线段最短可知就是的最小值以为邻边作矩形由可知三点共线则故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查立体几何解析：26 【分析】首先将二面角展平，根据两点距离线段最短，求AP PB +最小值.【详解】如图，将二面角沿棱a 展成平角，连结AB ，根据两点之间线段最短，可知AB 就是AP PB +的最小值，以,AE EF 为邻边，作矩形AEFC ，由,CF a BF a ⊥⊥可知,,C F B 三点共线， 则()222213226AB AC BC =+=++= 26【点睛】思路点睛：本题考查立体几何中的折线段和的最小值，一般都是沿交线展成平面，利用折线段中，两点间距离最短求解，本题与二面角的大小无关.23．①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图由题中条件得到是异面直线与所成的角求出其正切可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理先证明平面可判断②错；根据等体积法由体积公式求出可判断③正确；根据面面垂直的解析：①③④【分析】作出折叠后的几何体的直观图，由题中条件，得到ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，求出其正切，可判断①正确；根据线面垂直的的判定定理，先证明CE ⊥平面ABD ，可判断②错；根据等体积法，由体积公式求出B ACE V -，可判断③正确；根据面面垂直的判定定理，可判断④正确.【详解】作出折叠后的几何体直观图如图所示：由题意，3AB a =，BE a =，∴2AE a =； ∴22AD AE DE a =-=，222AC CD AD a ∴=+=，∵//BC DE ，∴ABC ∠是异面直线AB 与DE 所成的角，在Rt ABC 中, tan 2AC ABC BC∠==①正确； 连结BD ，CE ，则CE BD ⊥，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE AD ⊥，又BD AD D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又AB 平面ABD ，∴CE AB ⊥.故②错误．三棱锥B ACE -的体积2311113326B ACE A BCE BCE V V S AD a a a --===⨯⨯=⋅⨯. 故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，∴BC AD ⊥，又BC CD ⊥，CD AD D =，CD ⊂平面ADC ，AD ⊂平面ADC ， ∴BC ⊥平面ADC ，∵BC ⊂平面ABC ，∴ABC ⊥平面ADC .故④正确.故答案为：①③④．【点睛】思路点睛：判断空间中线线、线面、面面位置关系时，一般根据相关概念，结合线面平行、垂直的判定定理及性质，以及面面平行、垂直的判定定理及性质，根据题中条件，进行判断或证明. 24．【详解】取的中点由题意可得：所以面ABC 所以球心在直线上所以得所以 解析：494π 【详解】取AB 的中点，由题意可得：2222,3,SD DC SD DC SC ==+=，所以,SD AB SD DC ⊥⊥，SD ⊥面ABC. 所以球心在直线SD 上，所以()2232R R =+-，得74R =， 所以24944S R ππ==． 三、解答题25．（1）证明见解析；（2）2.【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，（2）利用等体积转化2F BDE D OEF B OEF B OEF V V V V ----=+=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥，求三棱锥的体积.【详解】证明：（1）设AC 和BD 交于O ，连接OMM 和O 分别是BF 与BD 的中点，∴ //OM DF 又OM ⊂平面ACM ，DF ⊄平面ACM所以 //DF 平面ACM（2）菱形ABCD ⊥菱形ACFE ，菱形ABCD 菱形ACFE AC =又BD AC ⊥所以 BD ⊥面ACFE ，连接OE 和OF∴ D OEF B OEF V V --=三棱锥三棱锥∴ 2F BDE D OEF B OEF B OEF V V V V ----=+=三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥 又π3ABC CAE ∠=∠=， ∴2AC AB ==，3OB =，132OEF ACEF S S ∆==菱形 ∴1•13OEF B OEF V OB S ∆-==三棱锥 所以 22F BDE B OEF V V --==三棱锥三棱锥.【点睛】方法点睛：本题考查了线面平行的判断定理，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）98. 【分析】（1）取PA 的中点G ，连接,BG EG ，证明四边形EFBG 为平行四边形，得出//EF BG ，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）先证明PA ⊥平面ABCD ，从而得出PA CD ⊥，再由等腰三角形的性质得出AE PD ⊥，最后由面面垂直的判定定理证明即可；（3）以AFC △为底，12PA 为高，由棱锥的体积公式得出答案. 【详解】（1）如图，取PA 的中点G ，连接,BG EG .因为点,E G 分别为,PD PA 的中点，所以1//,2EG AD EG AD = 又因为F 是BC 的中点，四边形ABCD 是正方形，所以//BF EG 且BF EG = 故四边形EFBG 为平行四边形，所以//EF BG因为BG ⊂平面,ABP EF 不在平面ABP 内，所以//EF 平面ABP .（2）由条件知3PB PD PA AD AB =====，所以PAB △和PAD △都是等腰直角三角形，,PA AB PA AD ⊥⊥又因为,,AB AD A AB AD =⊂平面,ABCD 所以PA ⊥平面ABCD因为CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥又因为,,AD CD PA AD A ⊥⋂=所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥因为E 是PD 的中点，所以AE PD ⊥又因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD因为AE ⊂平面,AEF 所以平面AEF ⊥平面PCD .（3）由图可知C AEF E ACF V V --=，1111319333232228E ACF ACF V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=△， 即三棱锥C AEF -的体积为98 【点睛】关键点睛：在证明线线平行时，关键是证明四边形EFBG 为平行四边形，从而得出//EF BG .27．（1）详见解析；（2）1.【分析】（1）连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，根据O ，D 为中点，得到1//OD AB ，利用线面平行的判定定理证明.（2）易证AB ⊥平面1BCC ，再根据D 为AC 的中点，得到点D 到平面1BCC 的距离为1，再求得1BCC S △，代入体积公式求解.【详解】（1）如图所示：连接1B C 与1C B 交于点O ，连接OD ，因为O ，D 为中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ；（2）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，即1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BB BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ，因为D 为AC 的中点，所以点D 到平面1BCC 的距离为1， 又11132BCC S BC CC =⨯⨯=， 所以111113D BCC BCC V S -=⨯⨯=.【点睛】 方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．28．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据三角形垂心的特征，以及点在面上的射影的定义，再结合线面垂直的判定定理和性质，证得结果；（2）利用平行四边形的邻边垂直，证得结果.【详解】证明：（1）连接BO 并延长交AC 于点M ，。
(完整版)解析几何练习题及答案
解析几何一、选择题1．已知两点A (－3，)，B (，－1)，则直线AB 的斜率是( )33A. B ．－33C. D ．－3333解析：斜率k ＝＝－，故选D.－1－33－(－3)33答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②a ≠0，x ＝0时，y ＝2＋a .y ＝0时，x ＝，a ＋2a 则＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.a ＋2a 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( )A ．4B ．21313C. D ．5132671020解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0，由两直线平行知m ＝2，则d ＝＝.|1－(－6)|62＋2271020故选D.答案：D4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C.答案：C5．若直线l ：y ＝kx －与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角3的取值范围是( )A. B ．[π6，π3)(π6，π2)C. D ．(π3，π2)[π3，π2]解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含3端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为.故选B.(π6，π2)答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2，∴所求直线的斜率为k ′＝，12∴方程为y －3＝(x －2)，即x －2y ＋4＝0.12答案：A二、填空题7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________．解析：由题意知截距均不为零．设直线方程为＋＝1，x a yb 由Error!解得Error!或Error!.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.答案：x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝08．(2014湘潭质检)若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m的值为________．解析：∵过点A ，B 的直线平行于直线2x ＋y ＋2＝0，∴k AB ＝＝－2，解得m ＝－8.4－mm ＋2答案：－89．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：由直线PQ 的倾斜角为钝角，可知其斜率k <0，即<0，化简得<0，∴－2<a <1.2a －(1＋a )3－(1－a )a －1a ＋2答案：(－2,1)10．已知k ∈R ，则直线kx ＋(1－k )y ＋3＝0经过的定点坐标是________．解析：令k ＝0，得y ＋3＝0，令k ＝1，得x ＋3＝0.解方程组Error!得Error!所以定点坐标为(－3，－3)．答案：(－3，－3)三、解答题11．已知两直线l 1：x ＋y sinα－1＝0和l 2：2x sinα＋y ＋1＝0，试求α的值，使(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解：(1)法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－，k 2＝－2sin α.1sin α要使l 1∥l 2，需－＝－2sin α，1sin α即sin α＝±，∴α＝k π±，k ∈Z .22π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4法二 由l 1∥l 2，得Error!∴sin α＝±，22∴α＝k π±，k ∈Z .π4故当α＝k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2.π4(2)∵l 1⊥l 2，∴2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0.∴α＝k π，k ∈Z .故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.12．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)假设l 1与l 2不相交，则l 1∥l 2即k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k ＋2＝0，这与21k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)法一 由方程组Error!解得交点P 的坐标为，(2k 2－k 1，k 2＋k 1k 2－k 1)而2x 2＋y 2＝22＋2(2k 2－k 1)(k 2＋k 1k 2－k 1)＝8＋k 2＋k 21＋2k 1k 2k 2＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 2＋4k 21＋k 2＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．即l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．法二 交点P 的坐标(x ，y )满足Error!故知x ≠0.从而Error!代入k 1k 2＋2＝0，得·＋2＝0，y －1x y ＋1x 整理后，得2x 2＋y 2＝1.所以交点P 在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第八篇 第2节一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：由题意，设圆心(0，t )，则＝1，得t ＝2，12＋(t －2)2所以圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1，故选A.答案：A 2．(2014郑州模拟)动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝32B ．x 2＋y 2＝16C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：设P (x ，y )，则由题意可得2＝，(x －2)2＋y 2(x －8)2＋y 2化简整理得x 2＋y 2＝16，故选B.答案：B3．(2012年高考陕西卷)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能解析：x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝＝1<2，(3－2)2＋(0－0)2点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.答案：A4．(2012年高考辽宁卷)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：由题知圆心在直线上，因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选项C 符合，故选C.答案：C 5．(2013年高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －＝0B ．x ＋y ＋1＝02C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋＝02解析：与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得＝1，故b ＝±.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形|b |12＋122分析知b ＝－，则直线方程为x ＋y －＝0.故选A.22答案：A 6．(2012年高考福建卷)直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦3AB 的长度等于( )A ．2B ．253C. D ．13解析：因为圆心到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝＝1，半径r ＝2，3|0＋3×0－2|12＋(3)2所以弦长|AB |＝2＝2.22－123故选B.答案：B二、填空题7．(2013年高考浙江卷)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，∴圆心到直线的距离为d ＝＝，|2×3－4＋3|4＋15∴弦长为2×＝2＝4.25－5205答案：458．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析：因为圆C 的圆心(1,1)到直线l 的距离为d ＝＝2，|1－1＋4|12＋(－1)22又圆半径r ＝.2所以圆C 上各点到直线l 的距离的最小值为d －r ＝.2答案：29．已知圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，半径为1且与直线4x －3y ＝0相切，则圆C的标准方程是________．解析：∵圆C 的圆心在直线3x －y ＝0上，∴设圆心C (m,3m )．又圆C 的半径为1，且与4x －3y ＝0相切，∴＝1，|4m －9m |5∴m ＝±1，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1.答案：(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝110．圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y －3＝0对称的圆的方程为________．解析：已知圆的圆心为(2,3)，半径为1.则对称圆的圆心与(2,3)关于直线l 对称，由数形结合得，对称圆的圆心为(0,1)，半径为1，故方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝1三、解答题11．已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．(1)证明：法一 直线方程与圆的方程联立，消去y 得(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，∵Δ＝4m 2＋16(m 2＋1)＝20m 2＋16>0，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．法二 直线l ：mx －y ＋1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5内部，∴对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点．(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，由方程(m 2＋1)x 2－2mx －4＝0，得x 1＋x 2＝，2mm 2＋1∴x ＝.mm 2＋1当x ＝0时m ＝0，点M (0,1)，当x ≠0时，由mx －y ＋1＝0，得m ＝，y －1x 代入x ＝，得x＝，mm 2＋1[(y －1x )2＋1]y －1x 化简得x 2＋2＝.(y －32)14经验证(0,1)也符合，∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为x 2＋2＝.(y －32)1412．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝2时，求直线l 的方程．2解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有＝2.解得a ＝－.|4＋2a |a 2＋134(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得Error!解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.第八篇 第3节一、选择题1．设P 是椭圆＋＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )x 225y 216A ．4 B ．5C ．8D ．10解析：由方程知a ＝5，根据椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.故选D.答案：D 2．(2014唐山二模)P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2为该椭圆的两个焦点，若x 24y 23∠F 1PF 2＝60°，则·等于( )PF1→ PF 2→ A ．3 B ．3C ．2 D ．23解析：由椭圆方程知a ＝2，b ＝，c ＝1，3∴Error!∴|PF 1||PF 2|＝4.∴·＝||||cos 60°＝4×＝2.PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→ 12答案：D3．(2012年高考江西卷)椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A. B ．1455C. D ．－2125解析：本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用．由椭圆的性质可知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，又|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，故(a －c )(a ＋c )＝(2c )2，可得e ＝＝.故应选B.ca 55答案：B4．(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的x 2a 2y 2b 2直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率45为( )A. B ．3557C. D ．4567解析：|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×＝36，45则|AF |＝6，∠AFB ＝90°，半焦距c ＝|FO |＝|AB |12＝5，设椭圆右焦点F 2，连结AF 2，由对称性知|AF 2|＝|FB |＝8，2a ＝|AF 2|＋|AF |＝6＋8＝14，即a ＝7，则e ＝＝.c a 57故选B.答案：B5．已知椭圆E ：＋＝1，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与x 2m y 24l ：y ＝kx ＋1被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )A ．kx ＋y ＋k ＝0B ．kx －y －1＝0C ．kx ＋y －k ＝0D ．kx ＋y －2＝0解析：取k ＝1时，l ：y ＝x ＋1.选项A 中直线：y ＝－x －1与l 关于x 轴对称，截得弦长相等．选项B 中直线：y ＝x －1与l 关于原点对称，所截弦长相等．选项C 中直线：y ＝－x ＋1与l 关于y 轴对称，截得弦长相等．排除选项A 、B 、C ，故选D.答案：D6．(2014山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为x 2a 2y 2b 2F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使＝，则该椭圆的离心率的asin ∠PF 1F 2csin ∠PF 2F 1取值范围为( )A ．(0，－1) B ．2(22，1)C.D ．(－1,1)(0，22)2解析：由题意知点P 不在x 轴上，在△PF 1F 2中，由正弦定理得＝，|PF 2|sin ∠PF 1F 2|PF 1|sin ∠PF 2F 1所以由＝a sin ∠PF 1F 2c sin ∠PF 2F 1可得＝，a|PF 2|c|PF 1|即＝＝e ，|PF 1||PF 2|ca 所以|PF 1|＝e |PF 2|.由椭圆定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以e |PF 2|＋|PF 2|＝2a ，解得|PF 2|＝.2ae ＋1由于a －c <|PF 2|<a ＋c ，所以有a －c <<a ＋c ，2ae ＋1即1－e <<1＋e ，2e ＋1也就是Error!解得－1<e .2又0<e <1，∴－1<e <1.故选D.2答案：D 二、填空题7．设F 1、F 2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中x 225y 216点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．解析：∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.答案：48．椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线x 2a 2y 2b 2与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F 1F 2|＝1，∵直线MF 2的倾斜角为120°，∴∠MF 2F 1＝60°.∴|MF 2|＝2，|MF 1|＝，2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝2＋，332c ＝|F 1F 2|＝1.∴e ＝＝2－.ca 3答案：2－39．(2014西安模拟)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方35y 225x 29程为________________．解析：由题意可设椭圆方程为＋＝1(m <9)，y 225－m x 29－m 代入点(，－)，35得＋＝1，525－m 39－m 解得m ＝5或m ＝21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24答案：＋＝1y 220x 2410．已知F 1，F 2是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且x 2a 2y 2b 2⊥.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.PF1→ PF 2→ 解析：由题意得Error!∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，即4a 2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2，∴S △PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝b 2＝9，12∴b ＝3.答案：3三、解答题11．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)由椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上，可得Error!∴Error!故椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由题意分析，直线l 斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋b ，由直线l 与抛物线C 2相切得Error!消y 得k 2x 2＋(2bk －4)x ＋b 2＝0，Δ1＝(2bk －4)2－4k 2b 2＝0，化简得kb ＝1.①由直线l 与椭圆C 1相切得Error!消y 得(2k 2＋1)x 2＋4bkx ＋2b 2－2＝0，Δ2＝(4bk )2－4(2k 2＋1)(2b 2－2)＝0，化简得2k 2＝b 2－1.②①②联立得Error!解得b 4－b 2－2＝0，∴b 2＝2或b 2＝－1(舍去)，∴b ＝时，k ＝，b ＝－时，k ＝－.222222即直线l 的方程为y ＝x ＋或y ＝－x －.22222212．(2014海淀三模)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一x 2a 2y 2b 2内角为60°的菱形的四个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx 交椭圆C 于A ，B 两点，在直线l ：x ＋y －3＝0上存在点P ，使得△PAB 为等边三角形，求k 的值．解：(1)因为椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的x 2a 2y 2b 2菱形的四个顶点．所以a ＝，b ＝1，3椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y 轴与直线l ：x ＋y －3＝0的交点为P (0,3)，又因为|AB |＝2，|PO |＝3，3所以∠PAO ＝60°，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0，当直线AB 的斜率存在且不为0时，则直线AB 的方程为y ＝kx ，所以Error!化简得(3k 2＋1)x 2＝3，所以|x 1|＝，33k 2＋1则|AO |＝＝.1＋k 233k 2＋13k 2＋33k 2＋1设AB 的垂直平分线为y ＝－x ，1k 它与直线l ：x ＋y －3＝0的交点记为P (x 0，y 0)，所以Error!解得Error!则|PO |＝，9k 2＋9(k －1)2因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO |＝|AO |，3代入得＝，9k 2＋9(k －1)233k 2＋33k 2＋1解得k ＝0(舍去)，k ＝－1.综上，k ＝0或k ＝－1.第八篇 第4节一、选择题1．设P 是双曲线－＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若x 216y 220|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17 D ．以上答案均不对解析：由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.故选B.答案：B2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，则双曲线C 1：－＝1与C 2：－π4x 2sin2θy 2cos2θy 2cos2θ＝1的( )x 2sin2θA ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等 D ．焦距相等解析：双曲线C 1的半焦距c 1＝＝1，双曲线C 2的半焦距c 2＝sin2θ＋cos2θ＝1，故选D.cos2θ＋sin2θ答案：D3．(2012年高考湖南卷)已知双曲线C ：－＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近x 2a 2y 2b 2线上，则C 的方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 220y 25x 25y 220C.－＝1 D ．－＝1x 280y 220x 220y 280解析：由焦距为10，知2c ＝10，c ＝5.将P (2,1)代入y ＝x 得a ＝2b .ba a 2＋b 2＝c 2,5b 2＝25，b 2＝5，a 2＝4b 2＝20，所以方程为－＝1.故选A.x 220y 25答案：A 4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A. B ．1435C. D ．3445解析：∵c 2＝2＋2＝4，∴c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，22由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝＝.故选C.(42)2＋(22)2－422×42×2234答案：C5．设椭圆C 1的离心率为，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆513C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.－＝1 B ．－＝1x 242y 232x 2132y 252C.－＝1 D ．－＝1x 232y 242x 2132y 2122解析：在椭圆C 1中，因为e ＝，2a ＝26，513即a ＝13，所以椭圆的焦距2c ＝10，则椭圆两焦点为(－5,0)，(5,0)，根据题意，可知曲线C 2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C 2中的2a 2＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c 2＝10，可知b 2＝3，所以双曲线的标准方程为－＝1.故选A.x 242y 232答案：A6．(2014福州八中模拟)若双曲线－＝1渐近线上的一个动点P 总在平面区域x 29y 216(x －m )2＋y 2≥16内，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－5,5] D ．(－∞，－5]∪[5，＋∞)解析：因为双曲线－＝1渐近线4x ±3y ＝0上的一个动点P 总在平面区域(x －m )x 29y 2162＋y 2≥16内，即直线与圆相离或相切，所以d ＝≥4，解得m ≥5或m ≤－5，故实数|4m |5m 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．选D.答案：D 二、填空题7．(2013年高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的x 29y 216点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．解析：由题知，双曲线中a ＝3，b ＝4，c ＝5，则|PQ |＝16，又因为|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6，所以|PF |＋|QF |－|PQ |＝12，|PF |＋|QF |＝28，则△PQF 的周长为44.答案：448．已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点x 2a 2y 2b 2的距离为1，则双曲线C 的方程为________．解析：双曲线中，顶点与较近焦点距离为c －a ＝1，又e ＝＝2，两式联立得a ＝1，c ＝2，ca ∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，∴方程为x 2－＝1.y 23答案：x 2－＝1y 239．(2014合肥市第三次质检)已知点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)和圆x 2a 2y 2b 2x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意得，线段F 1F 2是圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一条直径，故∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝30°，设|PF 2|＝m ，则有|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝m ，3该双曲线的离心率等于＝＝＋1.|F 1F 2|||PF 1|－|PF 2||2m3m －m 3答案：＋1310．(2013年高考湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若x 2a 2y 2b 2在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：设点P 在双曲线右支上，由题意，在Rt △F 1PF 2中，|F 1F 2|＝2c ，∠PF 1F 2＝30°，得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝c ，3根据双曲线的定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，(－1)c ＝2a ，3e ＝＝＝＋1.c a 23－13答案：＋13三、解答题11．已知双曲线x 2－＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，y 22且点P 是线段AB 的中点？解：法一 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意．设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .由Error!得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．①∴x 0＝＝.x 1＋x 22k (1－k )2－k 2由题意，得＝1，k (1－k )2－k 2解得k ＝2.当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点．法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若直线l 的斜率不存在，即x 1＝x 2不符合题意，所以由题得x －＝1，x －＝1，21y 2122y 22两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－＝0，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2即2－＝0，y 1－y 2x 1－x 2即直线l 斜率k ＝2，得直线l 方程y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，联立Error!得2x 2－4x ＋3＝0，Δ＝16－24＝－8<0，即直线y ＝2x －1与双曲线无交点，即所求直线不合题意，所以过点P (1,1)的直线l 不存在．12．(2014南京质检)中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.13(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由已知c ＝，13设椭圆长、短半轴长分别为a 、b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则Error!解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为＋＝1，x 249y 236双曲线方程为－＝1.x 29y 24(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2，13∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝.102＋42－(213)22×10×445第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( )A. B ．(1,0)(12，0)C. D ．(0，18)(0，14)解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝y ，它的焦点坐标是.故选C.12(0，18)答案：C2．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )x 24y 29A ．x 2＝－4y B ．y 2＝－4x55C ．x 2＝－4yD ．y 2＝－4x1313解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝＝，a 2－b 25∴抛物线焦点坐标为(0，－)，5∴抛物线方程为x 2＝－4y .故选A.5答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A ．相离 B ．相交C ．相切 D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝(|AA 1|＋|BB 1|)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.1212答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A. B ．5383C. D ．10103解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由Error!解得x 1＝3，x 2＝，13故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于＋1＝.故选B.x 1＋x 2283答案：B5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A. B ．134C. D ．5474解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋＝3，12∴x A ＋x B ＝.52∴线段AB 的中点到y 轴的距离为＝.xA ＋xB 254故选C.答案：C6．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|MF |＝y 0＋2.以F 为圆心、|FM |为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.故选C.答案：C 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，3联立Error!消去y ，得x 2＝2p (x ＋b )，3即x 2－2px －2pb ＝0，3∴x 1＋x 2＝2p ＝3，3∴p ＝，则抛物线的方程为x 2＝y .323答案：x 2＝y38．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ，∴焦点F 的坐标为(1,0)．又∵直线l 倾斜角为60°，∴直线斜率为，3∴直线方程为y ＝(x －1)．3联立方程Error!解得Error!或Error!由已知得A 的坐标为(3,2)，3∴S △OAF ＝|OF |·|y A |＝×1×2＝.121233答案：310．已知点P 是抛物线y 2＝2x上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ，则(72，4)|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－，焦点F 坐标为.12(12，0)求|PA |＋|PM |的最小值，可先求|PA |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时，|PA |＋|PF |有最小值|AF |＝5，所以|PA |＋|PM ′|≥5，又因为|PM ′|＝|PM |＋，12所以|PA |＋|PM |≥5－＝.1292答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－，求实数m 的值．12解：法一 如图所示，连接AB ，∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上．可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由Error!得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.12n2由x 1x 2＝－，得n ＝1.12又x 0＝＝－，x 1＋x 2214y 0＝－x 0＋n ＝＋1＝，1454即点M 为，(－14，54)由点M 在直线l 上，得＝－＋m ，5414∴m ＝.32法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴Error!∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)．设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝＝4x 0.y 1－y 2x 1－x 2又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－.14又点M 在l 上，∴y 0＝x 0＋m ＝m －，14即M ，(－14，m －14)∴AB 的方程是y －＝－，(m －14)(x ＋14)即y ＝－x ＋m －，代入y ＝2x 2，12得2x 2＋x －＝0，∴x 1x 2＝－＝－，∴m ＝.(m －12)m －122123212．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，2B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→ 解：(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，2(x －p2)从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．22设＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)，22即C (4λ＋1,4λ－2)，22所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，2即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.。
上海解析几何综合测试题附答案
22— 13已知F 1 (— 3, 0)、F 2 (3,0)是椭圆 —+^ = 1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当/ F PR =2n时，△ F i PF 2的面积最大，则有(=12, n=3=6, n= —2为双曲线C 上一点， 垂线，设垂足为 QF i 、F 2是双曲线 则Q 点的轨迹是 A.直线三、解答题15.(满分10分)如下图，过抛物线B.圆=24 , n=6 =12 , n=6C 的两个焦点，过双曲线()12.C 的一个焦点F i 作/ F i PF 2的平分线的C.椭圆D.双曲线 y 2=2px (p > 0)上一定点P (x o , y o )—1. F 1、F 2是椭圆y 2 1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则I PF 1 I I PF 2 I 的最大值是42 .若直线mxmy — 3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，贝U m n 满足的关系式为 ________________2 2以(m n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆 —+^ =1的公共点有 __________________73是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3) 2+y 2=1的动点，则丨PQI 的最小值为 .1x 有两个公共点。
则实数a 的范围为28. 双曲线X 2— y 2= 1的左焦点为F ,点P 为左支下半支上任意一点(异于顶点)，则直线PF 的斜率的变化范围是 ____________ .9. ______________________ 已知A ( 0, 7)、B ( 0, — 7 )、C (12, 2),以C 为一个焦点作过 A 、B的椭圆，椭圆的另一个焦 点F 的轨迹方程是 .110. 设P 1( 72, 4—)、R (― V 2,— V —), M 是双曲线y =」上位于第一象限的点，对于命题①x IMP — | MP=2，—:②以线段 MP 为直径的圆与圆 x 2+y 2=2相切；③存在常数 b ,使得M 到直线y=—x+b 的距离等于 —|MP.其中所有正确命题的序号是 ___________________ .—11.到两定点 A (0, 0) , B (3, 4)距离之和为5的点的轨迹是()A.椭圆 所在直线C.线段ABD.无轨迹12 .若点(x , y )在椭圆4x 2+y 2=4上，则—的最小值为()x —B. — 1C. — — -.；334.若圆x 22ax a 21 0与抛物线y 25 .若曲线■. x 2 4与直线y k(x 2)+3 有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围是 _____ ・6.圆心在直线 2x — y — 7=0上的圆 C 与y 轴交于两点 A (0，- 4)、B (0, - 2),则圆C 的方程为7.经过两圆(x+3) 2+y 2=13 和 x+2(y+3) 2=37的交点，且圆心在直线x — y — 4=0上的圆的方程为D.以上都不对(y o > 0),作两条直线分别交抛物线于 A (x i , y i )、B( X 2, y 2).(1 )求该抛物线上纵坐标为 —的点到其焦点F 的距离；2(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求匕一y!的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数y o16.(满分10分)如下图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是 a 和b( a>0, b z 0),2 __________ _ _ ,且交抛物线y =2px ( p>0) 于 M (x i , y i ), N (X 2, y 2)两点.111(1)证明： 一 + 一 =一 ; (2)当 a=2p 时，求/ MON 的大小.|1、|2,过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使I 丄|1,又I 与12交于P 点，设I 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B.(如下图)17.(满分10分) 2 2已知椭圆C 的方程为 二+与=1 a 2b 2(a>b>0),双曲线x 22爲=1的两条渐近线为b 2(1)当11与丨2夹角为60°,双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程;(2)当FA=X AP时，求入的最大值.满足AO BO (如上图).(I)求 AOB 得重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；(n) AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.20.(满分12分)设A B 是椭圆3x 2 y 2上的两点，点 N( 1, 3)是线段AB 的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C 、D 两点•(I)确定 的取值范围，并求直线 AB 的方程；(H)试判断是否存在这样的，使得A B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由 •解析几何综合题2X 21. F i 、F 2是椭圆—y 1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则|PF i | IPF 2I 的最大值是 ___________________1答案：4简解： |PF 1 | | PF 2 |< (|PF 1,2|PF 2')2 a 2 42.若直线mxrny — 3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则 m n 满足的关系式为 __________________ ;以(口 n )2 2为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆 —+^=1的公共点有 _____________________ 个.732 答案：0<吊+n 2<3 ; 222简解：将直线 mxrny — 3=0变形代入圆方程 x +y =3,消去x ，得2 2 2 2(m+n ) y — 6ny+9— 3m=0. 令 A <0 得 m+n 2<3.219.(满分12分)抛物线y =4px ( p>0)的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于 A B 两点•(1) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于N(X o , 0),求证：X o >3p ；10分)在平面直角坐标系2X 上异于坐标原点O 的两不同动点A 、E2, …，当0<p<1时，求的值.小小2| |22| IN 10N 11 |18.(满分 yxOy 中，抛物线yx又m n不同时为零，2 2••• 0<m+n <3.由0<m+n2<3，可知| n|< J3 , | m< J3 ,再由椭圆方程a=.、7 , b==3可知公共点有2个.2 2 2是抛物线y =x上的动点，Q是圆(x-3) +y =1的动点，则丨PQI的最小值为3•答案：』-12简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值八、. 2 2 2 2 14 .若圆x y 2ax a 1 0与抛物线y x有两个公共点。
(完整)上海高考解析几何试题.doc
1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。
3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、 两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。
上海历年高考数学解析几何真题
Ⅰ 点到直线的距离公式（11春17）直线)21(:+=x k y l 与圆1:22=+y x C 的位置关系是的位置关系是的位置关系是 ( ) ( ) （（A ）相交或相切）相交或相切. . . （（B ）相交或相离）相交或相离. . （（C ）相切）相切. . . （（D ）相交）相交. .（10理5文7）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
（06理2）已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．．Ⅰ 圆的方程（04理8）圆心在直线2x 2x－－y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),-2),则圆则圆C 的方程为方程为 . .（04文8）圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, A(0, －－4),B(0, 4),B(0, －－2),2),则圆则圆C 的方程为 .Ⅰ 圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义（12文16）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件、充分不必要条件 B 、必要不充分条件、必要不充分条件 C 、充分必要条件、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件（11理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。
（11春9）若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，的顶点和焦点，则椭圆则椭圆C 的方程是程是_______________________________________。
（10理3文8）动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ______。
（08文6）若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a .（08文12） 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点上的点. . . 若若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于等于 ( ) ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.（07理8）已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07文5）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是程是 ．．（06理7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－（－223，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是则该椭圆的标准方程是 ．． （06文7）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是则双曲线的标准方程是____________________. ____________________.（05文7）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.（05理5）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是____________________。
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1．12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有_______个.3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2=1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 .4．若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
则实数a 的围为 .5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值围是 .6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.7．经过两圆（x+3）2+y 2=13和x+2（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________8.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化围是___________.9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________.10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =－x +b 的距离等于22|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为（ ） A.1B.－1C.－323D.以上都不对13已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝3π2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ）A.m =12，n =3B.m =24，n =6C.m =6，n =23D.m =12，n =6 14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线 三、解答题15．（满分10分）如下图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.16．（满分10分）如下图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.（1）证明：11y +21y =b1；（2）当a =2p 时，求∠MON 的大小.（15题图） （16题图）17．（满分10分） 已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（如下图）（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值.（17题图） （18题图）18．（满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如上图）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．19．（满分12分）抛物线y 2=4px （p >0）的准线与x 轴交于M 点，过点M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点.（1）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于N （x 0，0），求证：x 0>3p ；（2）若直线l 的斜率依次为p ，p 2，p 3，…，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点依次为N 1，N 2，N 3，…，当0<p <1时，求||121N N +||132N N +…+||11110N N 的值.20．（满分12分）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.解析几何综合题1．12F F 、是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．1答案：4简解： 12||||PF PF ⋅≤2212||||()42PF PF a +== 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________；以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有____________个.2答案：0<m 2+n 2<3 ； 2简解：将直线mx +ny －3=0变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去x ，得（m 2+n 2）y 2－6ny +9－3m 2=0.令Δ<0得m 2+n 2<3. 又m 、n 不同时为零，∴0<m 2+n 2<3.由0<m 2+n 2<3，可知|n |<3，|m |<3， 再由椭圆方程a =7，b =3可知公共点有2个.3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2=1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 . 3．答案：211-1 简解：将问题转化为圆心到抛物线一上的动点的最小值4．若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点。
则实数a 为 . 4．答案：817=a 或11<<-a 简解：将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a 或⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之 5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值围是 .5．答案：314k -<≤ 简解：将曲线y =转化为224x y -=时考虑纵坐标的围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.6．答案：（x －2）2+（y+3）2=5 5．简解：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2），∴由垂径定理得圆心在y=－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上， y=－3，2x －y －7=0.∴圆心为（2，－3），半径r=|AC|=22)]4(3[2---+=5.∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y+3）2=5.7．经过两圆（x+3）2+y 2=13和x 2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________..7．答案：（x +21）2+（y +27）2= 289 简解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y 2=13和x+2（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y 2－13+λ［x 2+（y+3）2－37］=0.展开、配方、整理，得（x+λ+13）2+（y+λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为（－λ+13，－λλ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7. 故所求圆的方程为（x+21）2+（y+27）2= 289.8.双曲线x2－y2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化围是___________.8．答案：（－∞，0）∪（1，+∞）简解：解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________.9．答案：.y 2－482x ＝1（y ≤－1）简解：由题意｜AC ｜＝13，｜BC ｜＝15，｜AB ｜＝14，又｜AF ｜＋｜AC ｜＝｜BF ｜＋｜BC ｜， ∴｜AF ｜－｜BF ｜＝｜BC ｜－｜AC ｜＝2.故F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b 2＝48，所以轨迹方程为∴联立解得x =2，y 2－482x ＝1（y ≤－1）.10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y =x1上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线y =－x +b 的距离等于22|MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 10答案：①②③简解：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP 1|可知正确. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆B.AB 所在直线C.线段ABD.无轨迹11．答案：C简解：数形结合易知动点的轨迹是线段AB ：y =34x ，其中0≤x ≤3. 12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为（ ） A.1B.－1C.－323D.以上都不对12．答案：C简解：2-x y的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率.显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y =k （x －2）代入椭圆方程（4+k 2）x 2－4k 2x +4k 2－4=0.令Δ=0，k =±323.∴k min =－323.13．.已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+ny 2＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝3π2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ）A.m =12，n =3B.m =24，n =6C.m =6，n =23D.m =12，n =613．答案：A简解：由条件求出椭圆方程即得m =12，n =3.14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12.A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线14．答案：B简解：延长F 1Q 与PF 2相交点R ，根据双曲线的定义，R 在以F 2为圆心的圆上， 利用代入法得15．如下图，过抛物线y 2=2px （p ＞0）上一定点P （x 0，y 0）（y 0＞0），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）.（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.解：（1）当y =2p 时，x =8p. 又抛物线y 2=2px 的准线方程为x =－2p， 由抛物线定义得所求距离为8p －（－2p）=85p .（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .由y 12=2px 1，y 02=2px 0， 相减得（y 1－y 0）（y 1+y 0）=2p （x 1－x 0），故k PA =0101x x y y --=012y y p+（x 1≠x 0）.同理可得k PB =22y y p+（x 2≠x 0）.由PA 、PB 倾斜角互补知k PA =－k PB ，即012y y p +=－022y y p +，所以y 1+y 2=－2y 0， 故21y y y +=－2. 设直线AB 的斜率为k AB . 由y 22=2px 2，y 12=2px 1，相减得（y 2－y 1）（y 2+y 1）=2p （x 2－x 1），所以k AB =1212x x y y --=212y y p+（x 1≠x 2）.将y 1+y 2=－2y 0（y 0＞0）代入得k AB =212y y p +=－0y p ，所以k AB 是非零常数.16．如图，O 为坐标原点，直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b （a >0，b ≠0），且交抛物线y 2=2px （p >0）于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点.（1）证明：11y +21y =b1； （2）当a =2p 时，求∠MON 的大小.16证明：（1）直线l 的截距式方程为a x +by =1.①，由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay －2pab =0. ②解： 点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根，故y 1+y 2=bpa2-，y 1y 2=－2pa .所以11y +21y =2121y y y y +=pa b pa22--=b1.（2）解：设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2， 则k 1=11x y ，k 2=22x y .当a =2p 时，由（2）知，y 1y 2=－2pa =－4p 2， 由y 12=2px 1，y 22=2px 2，相乘得（y 1y 2）2=4p 2x 1x 2，x 1x 2=22214)(p y y =2224)4(p p =4p 2， 因此k 1k 2=2121x x y y =2244pp -=－1. 所以OM ⊥ON ，即∠MON =90°.17．已知椭圆C 的方程为22a x +22b y =1（a >b >0），双曲线22a x －22by =1的两条渐近线为l 1、l 2，过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l ⊥l 1，又l 与l 2交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B .（如下图）（1）当l 1与l 2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程；（2）当FA =λAP 时，求λ的最大值. 17解：（1）∵双曲线的渐近线为y =±abx ，两渐近线夹角为60°， 又ab<1， ∴∠POx =30°，即ab=tan30°=33.∴a =3b . 又a 2+b 2=4， ∴a 2=3，b 2=1.故椭圆C 的方程为32x +y 2=1.（2）由已知l ：y =b a （x －c ），与y =a b x 解得P （c a 2，c ab），由=λ得A （λλ+⋅+12c a c ，λλ+⋅1c ab ）. 将A 点坐标代入椭圆方程得 （c 2+λa 2）2+λ2a 4=（1+λ）2a 2c 2. ∴（e 2+λ）2+λ2=e 2（1+λ）2. （令ace =）∴λ2=2224--e e e =－［（2－e 2）+222e-］+3≤3－22. ∴λ的最大值为2－1.18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x ...（1） ∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y（II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。