第十一章 柱函数
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3.4 特殊函数及其应用(柱函数)
阶贝塞尔方程
二 阶贝塞尔方程的解
• x 2 y xy ( x 2 v 2 ) y 0 两个线性无关的解：
y( x) C1 J ( x) C2 J ( x),
v 整数或半整数
• x 2 y xy ( x 2 m 2 ) y 0 两个线性无关的解：
d x n J n ( x) x n J n 1 ( x) dx d n x J n ( x) x n J n1 ( x) dx 2n J n 1 ( x) J n 1 ( x) J n ( x) x J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
例1 求下列微积分
(1)
d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx d n x N n ( x) x n N n 1 ( x) dx 2n N n 1 ( x) N n 1 ( x) N n ( x) x ' N n 1 ( x) N n 1 ( x) 2 N n ( x)
xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) xJ n ( x) nJ n ( x) xJ n 1 ( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2 J n ( x)
J n 1 ( x) J n 1 ( x)
2n J n ( x) x
n 1
J n ( x)
(1) x m 0 m! ( n m 1) 2
m
n2m
J ( x) cos J ( x) N n ( x) lim n sin
性质4 初值
贝塞尔函数 柱函数
再令 U ( r , j ) = R ( r ) F (j ) ，得到
（14.1.2）
F ¢¢ + n 2 F = 0 (14.1.3) 2 2 2 2 r R¢¢ + r R¢ + (k r -n ) R = 0
令 k r = x, R ( r ) = y ( x ) 于是(14.1.5)得到
) 与 是我们应该注意到：当 n = n 整数时，有 J - n ( x ) = ( -1) J n ( x ) ，故上述解中的 J n ( x J - n ( x ) 是线性相关的，所以(14.1.6)成为通解必须是n ¹ 整数. （2）当n 取任意值时： N ( x ) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为 定义第二类贝塞尔函数 n y ( x) = AJn ( x) + BNn ( x )
(14.2.3) （14.2.4） （14.2.5） （14.2.6）
= ( -1) n å ( -1) l
l = 0
所以
J - n ( x ) = ( -1) n J n ( x )
同理可证
J - n ( x ) = J n (- x )
因此有重要关系
J n ( - x) = ( -1) n J n ( x )
d - v [ x Z v ( x)] = - x - v Z v +1 ( x ) dx
把两式左端展开, 又可改写为 (14.3.3) (14.3.4)
v Z v ( x ) = - Z v +1 ( x ) x v Zn¢ + Z v ( x) = Z v -1 ( x ) x 从(14.3.5)和(14.3.6)消去 Zn 或消去 Zn¢ 可得 Zn ¢ ( x) ¢ ( x) Z v +1 ( x ) = Z v -1 ( x ) - 2 Z v 2 v Z v +1 ( x) = - Z v -1 ( x) + Z v ( x ) x
（14.1.2）
F ¢¢ + n 2 F = 0 (14.1.3) 2 2 2 2 r R¢¢ + r R¢ + (k r -n ) R = 0
令 k r = x, R ( r ) = y ( x ) 于是(14.1.5)得到
) 与 是我们应该注意到：当 n = n 整数时，有 J - n ( x ) = ( -1) J n ( x ) ，故上述解中的 J n ( x J - n ( x ) 是线性相关的，所以(14.1.6)成为通解必须是n ¹ 整数. （2）当n 取任意值时： N ( x ) ，这样贝塞尔方程的通解可表示为 定义第二类贝塞尔函数 n y ( x) = AJn ( x) + BNn ( x )
(14.2.3) （14.2.4） （14.2.5） （14.2.6）
= ( -1) n å ( -1) l
l = 0
所以
J - n ( x ) = ( -1) n J n ( x )
同理可证
J - n ( x ) = J n (- x )
因此有重要关系
J n ( - x) = ( -1) n J n ( x )
d - v [ x Z v ( x)] = - x - v Z v +1 ( x ) dx
把两式左端展开, 又可改写为 (14.3.3) (14.3.4)
v Z v ( x ) = - Z v +1 ( x ) x v Zn¢ + Z v ( x) = Z v -1 ( x ) x 从(14.3.5)和(14.3.6)消去 Zn 或消去 Zn¢ 可得 Zn ¢ ( x) ¢ ( x) Z v +1 ( x ) = Z v -1 ( x ) - 2 Z v 2 v Z v +1 ( x) = - Z v -1 ( x) + Z v ( x ) x
第十一章 柱函数
( xn0 ) z J 0 R ρ .(1) ( xn1) z J 0 R ρ .(2)
侧面为第二类齐次边界 条件时
( xn1) u (ρ , z ) = A0 + B0 z + ∑ An ch R n =1
∞
( xn1) z + Bn sh R
,
I 0 (0 ) = 1, I m (0 ) = 0 (m = 1, 2 ,3, ), x → ∞ , I m (x ) → ∞ , K m (x ) → 0
11.5 输运方程与波动方程在柱坐标下的解
1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) V满足亥姆霍兹方程. v = R (ρ )Φ ( )Z ( z ), R (ρ )为m阶Bessel函 数 , 在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本 征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件
(1)
mπ π i x 2 4
lim N m ( x ) → ∞, lim J m (x ) → ∞
2 , lim H m ( x ) = e x →∞ πx
(2 )
mπ π i x 2 4
3) 贝塞尔函数的模 计算
[N
(m )
n
] =
2
∫
ρ0
0
[J (
m x0 0
n
(m )
虚宗量汉克尔函数记为 Km (x) 当m为整数时,虚宗量贝塞尔方程的解 应为虚宗量汉克尔函数与虚宗量贝塞 尔函数的迭加,
K m (x ) =
π I m (x ) I m (x )
2 sin mx R = C 1 I m (x ) + C 2 K m (x ) x → 0 , K m (x ) → ∞ ,
数学物理方程教案-柱函数(二)
C. S. Wu ( )
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
1
Hankel
2
Bessel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
10.1 Bessel
−−−
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
(1) (2) (2)
(1)
Hankel Hankel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
Hν (z ) Hν (z ) Hν (z ) Hν (z )
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
10.1
∂ 2u 2 1 ∂ − c ∂t2 r ∂r u r=0 u
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
1
Hankel
2
Bessel Bessel
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
10.1 Bessel
−−−
C. S. Wu
(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
(1) (2) (2)
(1)
Hankel Hankel Bessel
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(
)
Cylindrical Functions Applications of Bessel ftns
Definition of Cylindrical Functions Hankel Functions
Hν (z ) Hν (z ) Hν (z ) Hν (z )
Eigenproblems Involving Bessel Eq Cooling of Cylindrical Body Plane Radial Oscillation of Circular Ring
10.1
∂ 2u 2 1 ∂ − c ∂t2 r ∂r u r=0 u
柱函数
(k )
k 0
2
2 ck x k ck x k 2 0
k 0
k (k 2 )ck x k ck 2 x k 0
k 0
(1 2 )c1 x1 k (k 2 )ck ck 2 x k 0
y ' ' ( x) x 1 p( x) x y ' ( x) x
2
y ( x) 0
x 2 2 q( x) x2
x=0是方程的正则奇点，在x=0的邻域内有如下形式的解：
y ( x) x s c k x k c k x k s
k 0 k 0
代入方程，得
n 2 n
x0
0
x 0
(1) x J ( x) n 1) 2 n 0 n!(
x0
1 x 2 ( 1)
x 2
(1) x n 1) 2 n 0 n!(
m k
2 nm
令n=m+k（k为整数），则
2 k m
(1) x J m ( x) k 0 (m k )!(k 1) 2
m k
2 k m
(1) x (1) k 0 (m k )!(k 1) 2
m k
2k m
(1) m
m
(1) x n0 (m n)!(n 1) 2
n
2 nm
(1) x (1) n0 n!(m n 1) 2
chenpc_文件下载_数理方法_第十一章+贝塞尔函数
m Am cos m Bm sin m
m 0,1, 2,
Ce z De z 0 Z z C z D 0 C cos z D sin z
0
E J m F Nm 0 R m E m F m 0 E Im F Km 0
u , , z Rm Z z m
二、柱函数：
m
1、分类： k 第一类柱函数：J m x = 1
k 0
1 x k ! m k 1 2
m2k
二、柱函数：
第二类柱函数：
二、柱函数： M=max(u(:)); m=min(u(:)); axis([min(x(:)) max(x(:)) min(y(:)) max(y(:)) m M]) caxis([-1 1]) %%指定颜色值的范围 s=ones(size(z)); mesh(x,y,m*s,blue*s) %%画投影图 hold on surf(x,y,u,v) %%画表面图 hold off colormap(hsv(64)) %%画色轴
二、柱函数：
%%如果输入变量数大于两个，即指定了函数值的范围，就将 不需要的函数值去掉. if nargin>2 %%指令nargin是输入的变量数目 k=find((abs(w)>B)|isnan(abs(w))); %%找出绝对值大于B或者为非数的函数值的元素足标. if length(k)>0 %%如果存在这样的元素，就要作如下处理. u(k)=B*sign(u(k)); %%将范围以外的函数值实部都设为B v(k)=zeros(size(k)); %%将范围以外的函数值虚部都设为0 v=v/max(max(abs(v))); %%函数值虚部归一化 v(k)=NaN*ones(size(k)); %%设为非数就可以不对它们作图 end end
数学物理方法：第十三章-柱函数-1
2
c2k 2
22
k
1 (k
)
c2k
2
(k 1)
由此可递推出：
c2k
22 k
1
k
c2k 2
1
22 k k
22
k
1
1 k
1
c2k 4
=
22
k
1
k
22
k
1
1 k
1
......
22
1
1
1
c0
c2k
22k k !(k
)(k
(1)k
1)...(
2)(
1)
第十一章 柱函数
引言：柱函数的引出（见第八章）
（1）在平面极坐标系中，对亥姆霍兹方程进行分离变量： x kr
2u(r, ) k 2u(r, ) 0 u(r,) R(r)()
r
d dr
r
dR dr
k2r2
R0
（2）在柱坐标系中，对拉普拉斯方程进行分离变量：
2u(r,, z) 0
u(r,) R(r)()Z (z)
k 0
(1)k
k !(k
1)
x 2
2k
y(x) cn xn n0
阶贝塞尔函数
（2）当 时，采用类似的方法，可以得到贝塞尔方程的另一个特解：
y2 (x)
Jv (x)
k 0
(1)k
k !(k
1)
x 2
2k
讨论：
(a) 当不是整数时，J (x) 与 J- (x) 线性无关。
因为当 x 0 时， J (0) 的值有限，而 J- (0) 的值则为无穷，因此 J (x) / J- (x) 不可能是一个常数。 例如：当取 或 时，有：
柱函数
n n n 1 2 0 1 0 n n m m 1 n 1 m 1 m m 1 m m 0 1
n2
J 0 dx
例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
x 3 J 0 dx x 3 J 1 2 x 2 J 0 4 xJ 0 dx
1 0
J dx J
xJ
x 2 J 1dx x 2 J 0 2 xJ 0 dx
本征函数为：
( ( Rn ( ) y n ( x ) Cn J m ( nm ) / b) Dn N m ( nm ) / b), n 0，2,3, 1,
正交性和完备性
正交性
模
b
0
m Rn ( ) Pl ( ) dx n ,l ( N n ) 2
x 2 2 k m
[ J m ( x ) / x ]'
k 0
( 1) k k! ( k m 1)
1 2k m ( x 2k )' 2
k 1
2 k ( 1) k k! ( k m 1)
1 2 k m x 2 k 1 2
l k 1
有界和第一类边界条件
例2：把函数 f = ρm 在[0,b] 区间用m阶贝塞尔函数展开。
m
n 1
f n Rn ( )
n 1
( f n J m ( x nm ) / b )
fn
1
m (Nn
)
2
b
0
m Rn ( ) d
( x xnm ) / b
J m 0 ( x )
n2
J 0 dx
例题 2 例题 3 例题 4 例题 5
x 3 J 0 dx x 3 J 1 2 x 2 J 0 4 xJ 0 dx
1 0
J dx J
xJ
x 2 J 1dx x 2 J 0 2 xJ 0 dx
本征函数为：
( ( Rn ( ) y n ( x ) Cn J m ( nm ) / b) Dn N m ( nm ) / b), n 0，2,3, 1,
正交性和完备性
正交性
模
b
0
m Rn ( ) Pl ( ) dx n ,l ( N n ) 2
x 2 2 k m
[ J m ( x ) / x ]'
k 0
( 1) k k! ( k m 1)
1 2k m ( x 2k )' 2
k 1
2 k ( 1) k k! ( k m 1)
1 2 k m x 2 k 1 2
l k 1
有界和第一类边界条件
例2：把函数 f = ρm 在[0,b] 区间用m阶贝塞尔函数展开。
m
n 1
f n Rn ( )
n 1
( f n J m ( x nm ) / b )
fn
1
m (Nn
)
2
b
0
m Rn ( ) d
( x xnm ) / b
J m 0 ( x )
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• 轴对称m=0,柱内解为 • 在侧面为第一类齐次边界条件时
( xn0 ) u (ρ , z ) = ∑ An sh R n =1
∞
( xn0 ) z + Bn ch R
( xn0 ) z J 0 R ρ .(1) ( xn1) z J 0 R ρ .(2)
0
[x [x
2 J m (x ) 0 − x0
]
µ
由Bessel方程
= =
2
" : x 2 J m ( x ) = − x 2 J m ( x ) + xJ 2 m
m n
∫ [x
0
2
' J m ( x ) J m ( x ) dx ' m
]
[
2
(x ) −
m 2 J m (x )
]
J
2
( x )]0
∞
u (ρ , z ) =
∑
∞
n=0
nπz n πρ .(3 ) An I 0 cos H H
11.5 输运方程与波动方程在柱坐标下的解
• 1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) • V满足亥姆霍兹方程. v = R (ρ )Φ (ϕ )Z ( z ), R (ρ )为m阶Bessel函 数 , 在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本 征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件
• 而上述递推公式对三类柱函数都适用.
11.2 贝塞尔方程
• 对m阶贝塞尔方程
2
d 2R dR +x + x 2 − m 2 R = 0. x = µρ x dx 2 dx 当 µ 〉 0时 , 对柱侧面的齐次边界条 件 . R (ρ ) = J m
(
)
(
)
• 对第一类齐次边界条件 J m ( • 得出第n个零点 记 : x nm )
( µρ) ( µ ρ ) = 0.(1)
0
本征 值 : 对第二类齐次边界条件 J ' m
(
µ ρ0 = 0
)
ρ0
)2
2) 贝塞尔函数的正交关系
• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.
ρ0
∫ Jm
0
(
( µ nm ) ρ J m
(1)
mπ π i x− − 2 4
lim N m ( x ) → ∞, lim J −m (x ) → ∞
2 , lim H m ( x ) = e x →∞ πx
(2 )
mπ π −i x − − 2 4
3) 递推公式
• 对Bessel函数Jm(x)的表示式
2
(m )
ρ0
0
[J ( µ ρ )] ρdρ .(1)
(m )
2 m n x0 2
( ( 令 ; x = µ nm ) ρ , x0 = µ nm ) ρ 0 .
[Nn ] =
2
(m )
[J m (x )] xdx = (m ) ∫0 [J m (x )] d ( x 2 ) ( µ nm ) ∫0 2µn
1 1
x0 2 2 2 m
= = =
( 2 µ nm ( 2 µ nm ( 2 µ nm
1
) [x J ) [x J
2
(x )]0 (x )]0
x0
− +
( µ nm ( µ nm
1
) ∫ [x J
x0 2 0
' (x )]J m (x )dx m ' ' (x ) + xJ m (x ) − m 2 J m (x )]J m (x )dx
(x ) = ( H m2 ) ( x ) =
H
(1 )
m
J m ( x ) + iN
J m ( x ) − iN
m
( x )(5 ) . . m ( x )(6 )
• 称为第一种与第二种汉克尔函数. • 汉克尔函数称为第三类柱函数 .
2) x→0和x→∞时的行为
• 当x→0和x→∞时,
x →0 x →0 x →0 x →0
1
2 m
x0
1
) ∫ [x J
x0 2 0
'' m
1
) [( x
2
2 − m 2 ) J m (x ) 0 + x0
]
1 2 m2 = ρ 0 − (m ) J m 2 µn
[ ( µ ρ )]
(m )
n
( 2 µ nm
2
1
) [x J '
2
2 m
(x )]0x
0
1 ' + ρ 02 J m 2
∞ 0 0 n =1 n 1 n n
1 n
1 at J 0 k n ρ .(3 )
] (
)
11.6 球贝塞尔方程 • 对亥姆霍兹方程: ∆u + k 2u = 0 (1) • 在球坐标下分离变量 u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ) • Y为球函数,而R(r)满足l阶球贝塞尔方程:
d 2R dR r + 2r + k 2 r 2 − l (l + 1) R = 0 .(2 ) dr 2 dr
x0
+
1
x0
µ nm
∫ [x
0
" J m ( x ) + xJ
' m
' ( x ) − m 2 J m (x )]J m ( x ) dx
[( x
2 − m 2 ) J m (x ) 0 + x0
]
1 2 µ nm
[x
2
' J m2
]
x0
0
1)三类柱函数 • 一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数. • 而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 . • 对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
lim J 0 (x ) = 1, lim J m ( x ) = 0.(m〉 0) 2 mπ π cos x − lim J m (x ) = − , x →∞ 2 4 πx 2 mπ π lim N m ( x ) = sin x − − x →∞ 2 4 πx 2 lim H m ( x ) = e x →∞ πx
) (
m n 2
( µ k(m ) ρ ρ d ρ = [ N n m ) ] 2 δ nk .(1)
)
( N n m ) 称为贝塞尔函数的模. •
•
(1 )令x
= 1 2µ 1 2 µ nm 1 2 µ nm
m n
=
µ
2
m n
ρ ,(N
) = 1
1 2 µ nm
x0
x0
[J m ( x )]2 d ( x 2 ) ∫
1 x I m (x ) = ∑ k ! (m + k )! 2 k =0 I m ( x ) = i − m J m ( x ).
∞ m+2k
.(1 )
• 同样可得Laplace方程在柱内解 • 当轴对称时m=0 • 上下底满足第一类齐次边界条件时解为
u (ρ , z ) = nπz n πρ .(2 ) An I 0 sin ∑1 H H n= : 对第二类齐次边界条件
(x ) = ( H m2 ) ( x ) =
H
(1 )
m
J m ( x ) + iN
J m ( x ) − iN
m
( x )(5 ) . . m ( x )(6 )
• 称为第一种与第二种汉克尔函数. • 汉克尔函数称为第三类柱函数 .
2) x→0和x→∞时的行为
• 当x→0和x→∞时,
x →0 x →0 x →0 x →0
(
)
• (1)的解为 y(x)=c1Jm(x)+c2J-m(x) (3) • 当m为整数和半整数时, Jm(x)与J-m(x)线性相关, • (1)的解为 y(x)=c1Jm(x)+c2Nm(x) (4)
1)三类柱函数 • 一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数. • 而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 . • 对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
0 xn lπ z u (ρ , z , t ) = ∑ a nl J 0 e ρ sin ρ H n =1 ,l =1 0 ∞ −a
2
Z '' − µZ = 0, Φ = a m cos m ϕ + bm sin m ϕ ,
m nπz xn 2 lπ 2 lπ Z (z ) = sin ,−µ = , knlm = + ( ) H ρ0 H H 2 2
侧面为第二类齐次边界 条件时
( xn1) u (ρ , z ) = A0 + B0 z + ∑ An ch R n =1
∞
( xn1) z + Bn sh R
• 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.
11.4 虚宗量贝塞尔方程
• 当上下底为齐次边界条件时,µ≤ 0,R的解 为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)
lim J 0 (x ) = 1, lim J m ( x ) = 0.(m〉 0) 2 mπ π cos x − lim J m (x ) = − , x →∞ 2 4 πx 2 mπ π lim N m ( x ) = sin x − − x →∞ 2 4 πx 2 lim H m ( x ) = e x →∞ πx
( xn0 ) u (ρ , z ) = ∑ An sh R n =1
∞
( xn0 ) z + Bn ch R
( xn0 ) z J 0 R ρ .(1) ( xn1) z J 0 R ρ .(2)
0
[x [x
2 J m (x ) 0 − x0
]
µ
由Bessel方程
= =
2
" : x 2 J m ( x ) = − x 2 J m ( x ) + xJ 2 m
m n
∫ [x
0
2
' J m ( x ) J m ( x ) dx ' m
]
[
2
(x ) −
m 2 J m (x )
]
J
2
( x )]0
∞
u (ρ , z ) =
∑
∞
n=0
nπz n πρ .(3 ) An I 0 cos H H
11.5 输运方程与波动方程在柱坐标下的解
• 1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) • V满足亥姆霍兹方程. v = R (ρ )Φ (ϕ )Z ( z ), R (ρ )为m阶Bessel函 数 , 在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本 征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解: 上下底满足第一类齐次边界条件
• 而上述递推公式对三类柱函数都适用.
11.2 贝塞尔方程
• 对m阶贝塞尔方程
2
d 2R dR +x + x 2 − m 2 R = 0. x = µρ x dx 2 dx 当 µ 〉 0时 , 对柱侧面的齐次边界条 件 . R (ρ ) = J m
(
)
(
)
• 对第一类齐次边界条件 J m ( • 得出第n个零点 记 : x nm )
( µρ) ( µ ρ ) = 0.(1)
0
本征 值 : 对第二类齐次边界条件 J ' m
(
µ ρ0 = 0
)
ρ0
)2
2) 贝塞尔函数的正交关系
• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.
ρ0
∫ Jm
0
(
( µ nm ) ρ J m
(1)
mπ π i x− − 2 4
lim N m ( x ) → ∞, lim J −m (x ) → ∞
2 , lim H m ( x ) = e x →∞ πx
(2 )
mπ π −i x − − 2 4
3) 递推公式
• 对Bessel函数Jm(x)的表示式
2
(m )
ρ0
0
[J ( µ ρ )] ρdρ .(1)
(m )
2 m n x0 2
( ( 令 ; x = µ nm ) ρ , x0 = µ nm ) ρ 0 .
[Nn ] =
2
(m )
[J m (x )] xdx = (m ) ∫0 [J m (x )] d ( x 2 ) ( µ nm ) ∫0 2µn
1 1
x0 2 2 2 m
= = =
( 2 µ nm ( 2 µ nm ( 2 µ nm
1
) [x J ) [x J
2
(x )]0 (x )]0
x0
− +
( µ nm ( µ nm
1
) ∫ [x J
x0 2 0
' (x )]J m (x )dx m ' ' (x ) + xJ m (x ) − m 2 J m (x )]J m (x )dx
(x ) = ( H m2 ) ( x ) =
H
(1 )
m
J m ( x ) + iN
J m ( x ) − iN
m
( x )(5 ) . . m ( x )(6 )
• 称为第一种与第二种汉克尔函数. • 汉克尔函数称为第三类柱函数 .
2) x→0和x→∞时的行为
• 当x→0和x→∞时,
x →0 x →0 x →0 x →0
1
2 m
x0
1
) ∫ [x J
x0 2 0
'' m
1
) [( x
2
2 − m 2 ) J m (x ) 0 + x0
]
1 2 m2 = ρ 0 − (m ) J m 2 µn
[ ( µ ρ )]
(m )
n
( 2 µ nm
2
1
) [x J '
2
2 m
(x )]0x
0
1 ' + ρ 02 J m 2
∞ 0 0 n =1 n 1 n n
1 n
1 at J 0 k n ρ .(3 )
] (
)
11.6 球贝塞尔方程 • 对亥姆霍兹方程: ∆u + k 2u = 0 (1) • 在球坐标下分离变量 u(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ) • Y为球函数,而R(r)满足l阶球贝塞尔方程:
d 2R dR r + 2r + k 2 r 2 − l (l + 1) R = 0 .(2 ) dr 2 dr
x0
+
1
x0
µ nm
∫ [x
0
" J m ( x ) + xJ
' m
' ( x ) − m 2 J m (x )]J m ( x ) dx
[( x
2 − m 2 ) J m (x ) 0 + x0
]
1 2 µ nm
[x
2
' J m2
]
x0
0
1)三类柱函数 • 一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数. • 而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 . • 对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
lim J 0 (x ) = 1, lim J m ( x ) = 0.(m〉 0) 2 mπ π cos x − lim J m (x ) = − , x →∞ 2 4 πx 2 mπ π lim N m ( x ) = sin x − − x →∞ 2 4 πx 2 lim H m ( x ) = e x →∞ πx
) (
m n 2
( µ k(m ) ρ ρ d ρ = [ N n m ) ] 2 δ nk .(1)
)
( N n m ) 称为贝塞尔函数的模. •
•
(1 )令x
= 1 2µ 1 2 µ nm 1 2 µ nm
m n
=
µ
2
m n
ρ ,(N
) = 1
1 2 µ nm
x0
x0
[J m ( x )]2 d ( x 2 ) ∫
1 x I m (x ) = ∑ k ! (m + k )! 2 k =0 I m ( x ) = i − m J m ( x ).
∞ m+2k
.(1 )
• 同样可得Laplace方程在柱内解 • 当轴对称时m=0 • 上下底满足第一类齐次边界条件时解为
u (ρ , z ) = nπz n πρ .(2 ) An I 0 sin ∑1 H H n= : 对第二类齐次边界条件
(x ) = ( H m2 ) ( x ) =
H
(1 )
m
J m ( x ) + iN
J m ( x ) − iN
m
( x )(5 ) . . m ( x )(6 )
• 称为第一种与第二种汉克尔函数. • 汉克尔函数称为第三类柱函数 .
2) x→0和x→∞时的行为
• 当x→0和x→∞时,
x →0 x →0 x →0 x →0
(
)
• (1)的解为 y(x)=c1Jm(x)+c2J-m(x) (3) • 当m为整数和半整数时, Jm(x)与J-m(x)线性相关, • (1)的解为 y(x)=c1Jm(x)+c2Nm(x) (4)
1)三类柱函数 • 一般我们称Bessel函数Jm(x)为第一类柱函数. • 而把Neumann函数Nm(x)称为第二类柱函数 . • 对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.
0 xn lπ z u (ρ , z , t ) = ∑ a nl J 0 e ρ sin ρ H n =1 ,l =1 0 ∞ −a
2
Z '' − µZ = 0, Φ = a m cos m ϕ + bm sin m ϕ ,
m nπz xn 2 lπ 2 lπ Z (z ) = sin ,−µ = , knlm = + ( ) H ρ0 H H 2 2
侧面为第二类齐次边界 条件时
( xn1) u (ρ , z ) = A0 + B0 z + ∑ An ch R n =1
∞
( xn1) z + Bn sh R
• 其中系数An,Bn由上下底边界条件确定.
11.4 虚宗量贝塞尔方程
• 当上下底为齐次边界条件时,µ≤ 0,R的解 为虚宗量贝塞尔函数.记为Im(x)
lim J 0 (x ) = 1, lim J m ( x ) = 0.(m〉 0) 2 mπ π cos x − lim J m (x ) = − , x →∞ 2 4 πx 2 mπ π lim N m ( x ) = sin x − − x →∞ 2 4 πx 2 lim H m ( x ) = e x →∞ πx