第11章 - 平稳过程

下面来考虑平稳过程的一、二维概
率密度及数字特征。 利用定义式，令 h t1 有
f1 x1 ; t1 f1 x1 ;t 1 h f1 x1 ;0 f1 x1 f 2 x1 , x 2 ; t1 ,t 2 f 2 x1 , x2 ;t 1 h,t 2 h
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
RX ( n, n ) E[ X n X n ]
2 E ( X n ), E ( X n ) E ( X n ),
0 0
D( X n ) [ E ( X n )] , 0 , 0 0
2
, 0 0 , 0
第十一章
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平稳过程
序言
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 平稳过程的概念 平稳过程相关函数性质 各态历经性 随机过程的功率谱密度 随机过程通过线性系统分析
序
言
平稳过程是很重要、应用很广的一类过 程，工程领域中所遇到的过程很多可以认为 是平稳的。例如：实际场合中的各种噪声和 干扰，都可以认为是平稳的。平稳过程是随 机过程重点内容之一。 本章在相关理论范围内主要讨论平稳过 程的数字特征；各态历经性；相关函数的性 质和功率谱密度。
X ( t ) N ( t h) N ( t )
只需证明 X ( t ) 是平稳过程。 事实上 E[ X ( t )] E[ N ( t h) N ( t )]
( t h) t h
是常数；
而
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )]
而自相关函数
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )]
E[ S ( t ) S ( t )]
0
T
1 S ( t ) S ( t ) d T
1 T t t S ( )S ( )d T
X ( t ) 的均值函数 E[ X ( t )] E[ S ( t )] T 1 0 S ( t ) d T 1 T t t S ( )d T 利用S ( ) 的周期性, 可得 1 T E[ X ( t )] 0 S ( )d 常数; T
{ N ( t ) , t 0} 为泊松过程。
试讨论平稳Leabharlann 。X(t)+I
t
-I
解: X ( t ) 的均值函数
E[ X ( t )] I P{ X ( t ) I } ( I ) P{ X ( t ) I } I I 0 是常数 ； 2 2 若 X ( t ) 在 [t, t ) 内变化偶数次，
x1 X

2
f1 x1 dx1
2 X
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )]
x1 x2 f 2 x1 , x2 ; dx1dx2 RX ( )
C X ( t , t ) RX t , t X ( t ) X ( t ) RX C X
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
严平稳的含义：过程的统计特性与所 选取的时间起点无关。换句话说，整个过 程的统计特征不随时间的推移而变化。 若随机过程为连续型的，定义也等价 于其密度函数满足：
fn x1 , x2 , xn ; t1 , t2 ,, tn
fn x1 ,, xn; t1 h, t2 h,, tn h
2 X
由一、二维概率密度的特性可知：
• 严平稳过程的均值函数，均方值函数和方差函 数（如果存在）均为常数 • 严平稳过程的自相关函数及协方差函数只依赖 于参数间距 而与起点无关

二、宽平稳随机过程 要确定一个随机过程的概率分布函数 族，并且判定严平稳条件式对一切n成立， 这在实际上是很困难的，而了解它的某些 数字特征却是可能的，因而工程上根据实 际需要往往只在相关理论范围内考虑平稳 过程问题。所谓相关理论是指：只限于研 究随机过程一、二阶矩的理论。
~ U (0,2 )
, ,
其密度函数为： 1 f ( ) 2 0
(0,2 )
其它
E[ X ( t )] 0
2
RX ( t , t )
1 a cos( 0 t ) d 0 2 是常数 ；
E[a cos( 0 t ) a cos( 0 t 0 )] 2 2 1 0 a cos( 0 t ) cos( 0 t 0 ) d 2 2 a cos( 0 ) 仅依赖于 。 2
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X ( t )是 平稳过程。 证: 由于
不相重叠，根据 N ( t )是独立增量，
X ( t ) 的自相关函数为：
RX ( t , t ) E[ N ( t h) N ( t )] E[ N ( t h) N ( t )]
因此, X ( t ) 是平稳过程。
例：设 S ( t ) 是一周期为T 的函数， 是 在 (0 , T )上服从均匀分布的随机变量。 称 X ( t ) S ( t ) 为随机相位周期过程。 试讨论它的平稳性。 解： 的密度函数为：
1 , ( 0, T ) f ( ) T 其它 0 ,
若对任意整数，有
E X n X
是常数；
E X n X n RX
仅依赖τ，而与 n 无关；
则称 X ( n)为平稳序列。
顺便指出：今后凡是提到“平稳过程”除特别 指明外，通常都是指宽平稳过程。
由于宽平稳过程的定义只涉及到一、 二维概率密度有关的数字特征，所以一个 严平稳过程只要均方值有界，就是宽平稳 的。但反之则不一定。
由此可导出严平稳过程的数字特征：
X (t ) E X t


x1 f1 x1 dx1 X
(t ) E X
2 X
2 X
2
2 2 t x1 f1 x1 dx1 X

( t ) D X ( t )
I 2 P{ X ( t ) X ( t ) I 2 } ( I ) P{ X ( t ) X ( t ) I }
2 2
I
2
n 0
P { N ( t , t ) 2 n}
2 n 0

( I )
P{ N ( t , t ) 2n 1}
则 X ( t ) 和 X ( t ) 必同号, 且乘积为I 2； 若变号奇数次, 则乘积为 I 2 。
即：
I 2 , N ( t , t ) 偶数 X (t ) X (t ) 2 I , N ( t , t ) 奇数
而自相关函数：
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )]
2n 2 n 1
I e
2
( )k 2 2 k! I e n 0

自相关函数仅与 有关。 所以 { X ( t ) , t 0} 是平稳过程。
X ( t ) 的相关函数图如下：
RX ( )
I
2
0

例: 证明泊松过程是平稳增量过程。 证：设 { N ( t ) , t 0} 为泊松过程， 强度为 ，对任意实数 h ， 令：
利用 S ( ) S ( ) 的周期性, 可得
1 T RX ( t , t ) 0 S ( )S ( )d T RX ( )
自相关函数仅与 有关。 因此, X ( t ) 是平稳过程。
例：随机电报信号 若随机过程
{ X ( t ) , t ( , )}
定义: 若随机过程 X t , t T 满足
E X t X
是常数；
E X t X t RX
仅依赖τ ，而与ｔ无关；
E[ X 2 ( t )]
二阶矩存在。
则称 X t 为宽平稳过程。 （或称广义平稳过程。）
特别，若 { X ( n), n 0,1,2,}