调幅调频信号的循环平稳特性分析
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探析信号处理在机械设备故障诊断中的应用
探析信号处理在机械设备故障诊断中的应用作者：谭秋林李双林来源：《科学与财富》2019年第20期摘要：本文以机械设备故障诊断为研究视角，针对信号处理在故障诊断中的应用展开分析讨论，集中探讨了循环平稳信号处理技术如何应用到机械设备故障诊断实践中，希望可以为相关工作的开展提供参考与借鉴。
关键词：信号处理；机械设备；故障诊断0前言在机械设备运行过程中对于机械设备信号的提取与分析主要可以应用两种方法，其一是稳态信处理方法，这一技术如今发展的非常成熟，应用比较广泛。
其二就是非平稳信号处理技术，可以极大程度的提升机械设备故障诊断的效率。
1 循环平稳信号处理概述所谓循环平稳信号是指在统计特征函数之时可以表现出周期性变化的特征。
循环平稳信号在实践应用中表现出非常大的价值与作用。
一般情况下来讲，机械设备运行的实过程中会出现普遍性的平稳信号，在统计系统统计学特征的过程中，可以有效利用单次记录时间的平均数去代替平均的集合，统计的特点是可以随时进行变换的，所以在实践中并没有办法对上述特征实施准确的变化，循环平稳信号自身具备的最大特点就是稳定性和平稳定，所以单独收集的过程中可以得到的数据都是具有一定的普遍性特征的，也正是因为这一特点使得该项技术比较适合应用到数据的分析与处理当中。
现阶段，循环平稳信号已经得到广泛的应用，在通讯行业、机械领域表现出极好的应用效果。
例如当机械设备运行的过程中，机械的滚动轴承显示出了反复性的振动信号[1]。
如果滚动轴承出现了相关的故障，由于受到机械设备运行周期性旋转和周期性因素的影响，使得机械设备将会产生非常复杂的、难以识别的振动信号，此种信号会包含着很多随机信号。
而对于这些随机信号，通常认为其实具有一定规律的，所以对于这种信号实循环平稳信号分析，可以快速的分析出已经被埋没的噪声周期因素。
基于此，将循环信号处理技术应用到机械故障诊断中可以发挥极大的意义，需要引起足够的重视。
如图1 所示。
图 1 循环平稳信号2 循环平稳信号处理技术在机械机械故障诊断中的应用第一，一阶循环统计量的有效应用。
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
们最为关注 的。
循 环平 稳 信号 处 理的 简 单介 绍 循环平稳信号 ， 就是在 统计特征 函数 的时候会出现周期性 的变化 。 这种信 号在实际应 用中有着非 常重要的意 义 。 通常来讲 ， 平 稳信号 的出 现都 有一定 的普遍 性 ， 当统 计系统 统计特 征 函数 的时候 ， 可 以利用单次 记录的时 间平均值代替 平均集合， 这一点很适 用现场生 产数 据的收集 。
藏 落
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
季建胜 浙 江红旗机械有 限公司 ３ １ ３ ２ １ ６
【 摘要 】 循环平稳信号处理技 术的引用， 丰富 了 机械设备 处理 的内 容 谱的 理论 进行补充 。 循 环 密度函数 方法和 平方包络 解调 方法都 可以 通 通过 试验数 据的结果 分析， 指 量。 本文概 括了 循环平穗信号处理的研 究情况和特点， 分析 了 这样的方法存 过引入的循环 平稳信号进行相 关的解调 。 在的部 分问题 ， 最后在结尾部 分 点 明了 这项新技 术的应用问题和在机械 设 出平方包络分 析中因为构造了一定的解析 函数， 使得数 值平方 和循环 导 备 故障中的发展前景。 致 的混 叠效 应得 到了很好 的抑 制 。 第 三种 分析方 法 ： 从机 械振 动信 号 的角度证 明多循 环平稳 、 纯循环 平稳的慨 念， 还有 就是和周期 的过程、 【 关键 词】循环平稳 ； 故障处理 ； 应用 平稳过 程之 间的关 系。 常见的采样 方式有两种 ： 等 时间采样和等 角度 采 这两 种采样方 法分别研 究了他们的 循环的平稳性 ， 得出不一样 的循 机 械 设备 信号 的特征 提取 法一 般分 为两种 ， 第一种是稳 态 信号 的 样。 处 理方法 。 非常典型 的有 离散频 谱分析法和 频率细化 分析 法等。 这种处 环平 稳的 条件。 文 中理论证 明了当旋 转 机械 等角度 采样 得到的 振动 信 理方法相对 很成熟 。 应用 的范围也是非 常广泛 。 第二 种是 非平稳信号 的 号的 时候， 只要是转 速的波 动为循环平 稳的时候 ， 那么等 时间采样 的信 处理 方法 。 非 常典 型的 有转 速跟 踪 法￥ ￣ ］ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ － Ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 分布 法等 ， 循环 号也属于循 环平稳的信号。 鉴于循 环平稳在旋 转机械 中的广泛存在性 ， 平稳 和高 阶谱 等 分析 方法 的引用 ， 使 得循 环平 稳的 分析方 法有 了非 常 应该打 破常规 的平稳１ 陧 设， 在循 环平稳的基础 之上研 究旋转机 械 的振 我们以齿轮 、 内燃机和 滚动轴承 的三种机械 的比 大的进步， 为社 会带来了 一定 的经济 效益 ， 但是其 中存在 的问题 ， 也 是我 动信号更加 切合实际 。
循 环平 稳 信号 处 理的 简 单介 绍 循环平稳信号 ， 就是在 统计特征 函数 的时候会出现周期性 的变化 。 这种信 号在实际应 用中有着非 常重要的意 义 。 通常来讲 ， 平 稳信号 的出 现都 有一定 的普遍 性 ， 当统 计系统 统计特 征 函数 的时候 ， 可 以利用单次 记录的时 间平均值代替 平均集合， 这一点很适 用现场生 产数 据的收集 。
藏 落
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
季建胜 浙 江红旗机械有 限公司 ３ １ ３ ２ １ ６
【 摘要 】 循环平稳信号处理技 术的引用， 丰富 了 机械设备 处理 的内 容 谱的 理论 进行补充 。 循 环 密度函数 方法和 平方包络 解调 方法都 可以 通 通过 试验数 据的结果 分析， 指 量。 本文概 括了 循环平穗信号处理的研 究情况和特点， 分析 了 这样的方法存 过引入的循环 平稳信号进行相 关的解调 。 在的部 分问题 ， 最后在结尾部 分 点 明了 这项新技 术的应用问题和在机械 设 出平方包络分 析中因为构造了一定的解析 函数， 使得数 值平方 和循环 导 备 故障中的发展前景。 致 的混 叠效 应得 到了很好 的抑 制 。 第 三种 分析方 法 ： 从机 械振 动信 号 的角度证 明多循 环平稳 、 纯循环 平稳的慨 念， 还有 就是和周期 的过程、 【 关键 词】循环平稳 ； 故障处理 ； 应用 平稳过 程之 间的关 系。 常见的采样 方式有两种 ： 等 时间采样和等 角度 采 这两 种采样方 法分别研 究了他们的 循环的平稳性 ， 得出不一样 的循 机 械 设备 信号 的特征 提取 法一 般分 为两种 ， 第一种是稳 态 信号 的 样。 处 理方法 。 非常典型 的有 离散频 谱分析法和 频率细化 分析 法等。 这种处 环平 稳的 条件。 文 中理论证 明了当旋 转 机械 等角度 采样 得到的 振动 信 理方法相对 很成熟 。 应用 的范围也是非 常广泛 。 第二 种是 非平稳信号 的 号的 时候， 只要是转 速的波 动为循环平 稳的时候 ， 那么等 时间采样 的信 处理 方法 。 非 常典 型的 有转 速跟 踪 法￥ ￣ ］ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ － Ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 分布 法等 ， 循环 号也属于循 环平稳的信号。 鉴于循 环平稳在旋 转机械 中的广泛存在性 ， 平稳 和高 阶谱 等 分析 方法 的引用 ， 使 得循 环平 稳的 分析方 法有 了非 常 应该打 破常规 的平稳１ 陧 设， 在循 环平稳的基础 之上研 究旋转机 械 的振 我们以齿轮 、 内燃机和 滚动轴承 的三种机械 的比 大的进步， 为社 会带来了 一定 的经济 效益 ， 但是其 中存在 的问题 ， 也 是我 动信号更加 切合实际 。
循环平稳特征的自适应频谱感知算法研究PPT
国外研究现状
国外在循环平稳特征的频谱感知算法方面研究较为深入，已 经取得了一系列重要的研究成果。尤其是在算法优化和实际 应用方面，国外的研究已经取得了一定的进展。
研究内容与目标
研究内容
本研究旨在深入研究循环平稳特征的自适应频谱感知算法，包括算法原理、性能分析和实际应用等方面的内容。 具体研究内容包括：循环平稳特征的基本原理、自适应频谱感知算法的设计与实现、算法性能的仿真分析和实验 验证等。
基于经验模式分解的方法
通过经验模式分解将信号分解成若干个固有模式函数，然后提取各 模式函数的循环平稳特征。
03
自适应频谱感知算法
频谱感知算法概述
01
频谱感知算法是用于检测和识别无线电频谱中信号的
算法。
02
这些算法通常用于无线通信系统，以检测可用频谱中
的空闲频段，并允许动态接入以提高频谱利用率。
03
研究意义
循环平稳特征的频谱感知算法能够有效地检测出频谱中的弱信号，提高频谱利用率，缓解频谱资源紧 张的问题。此外，该算法还可以应用于认知无线电、频谱监测等领域，具有重要的理论和应用价值。
国内外研究现状
国内研究现状
国内在循环平稳特征的频谱感知算法方面取得了一定的研究 成果，但与国际先进水平相比还存在一定的差距。国内的研 究主要集中在算法改进和仿真实验方面，但在实际应用方面 还有待加强。
循环平稳特征在自适应频谱感知算法中的实现
信号预处理
对接收到的信号进行滤波、去噪等预处理操作，以提高信号质量。
特征提取
利用循环平稳特征提取算法，从信号中提取出时域和频域信息。
分类器设计
根据提取出的特征，设计分类器进行信号分类和识别。
自适应调整
根据分类结果和环境变化，自适应调整感知参数和算法参数。
国外在循环平稳特征的频谱感知算法方面研究较为深入，已 经取得了一系列重要的研究成果。尤其是在算法优化和实际 应用方面，国外的研究已经取得了一定的进展。
研究内容与目标
研究内容
本研究旨在深入研究循环平稳特征的自适应频谱感知算法，包括算法原理、性能分析和实际应用等方面的内容。 具体研究内容包括：循环平稳特征的基本原理、自适应频谱感知算法的设计与实现、算法性能的仿真分析和实验 验证等。
基于经验模式分解的方法
通过经验模式分解将信号分解成若干个固有模式函数，然后提取各 模式函数的循环平稳特征。
03
自适应频谱感知算法
频谱感知算法概述
01
频谱感知算法是用于检测和识别无线电频谱中信号的
算法。
02
这些算法通常用于无线通信系统，以检测可用频谱中
的空闲频段，并允许动态接入以提高频谱利用率。
03
研究意义
循环平稳特征的频谱感知算法能够有效地检测出频谱中的弱信号，提高频谱利用率，缓解频谱资源紧 张的问题。此外，该算法还可以应用于认知无线电、频谱监测等领域，具有重要的理论和应用价值。
国内外研究现状
国内研究现状
国内在循环平稳特征的频谱感知算法方面取得了一定的研究 成果，但与国际先进水平相比还存在一定的差距。国内的研 究主要集中在算法改进和仿真实验方面，但在实际应用方面 还有待加强。
循环平稳特征在自适应频谱感知算法中的实现
信号预处理
对接收到的信号进行滤波、去噪等预处理操作，以提高信号质量。
特征提取
利用循环平稳特征提取算法，从信号中提取出时域和频域信息。
分类器设计
根据提取出的特征，设计分类器进行信号分类和识别。
自适应调整
根据分类结果和环境变化，自适应调整感知参数和算法参数。
现代信号处理第4章循环平稳信号分析
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
4.3.1调频信号的解调分析
x(t) Acos[2f zt sin(2fnt)]
4.3.2 多载波调频信号的解调
x(t) cos(2 fc1t sin(2 f0t)) cos(2 fc2t sin(2 f0t))
多载波调频信号的解调
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x(t) 1 cos2 f01t cos2 f02tcos2 fct
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x(t) [1 cos(2 f0t)]cos(2 fc1t) [11.5cos(2 f0t)]cos(2 fc2t) n(t)
多载波调幅信号的解调
多载波调幅信号的解调
4.3.5 循环相关解调法识别信号有用信息
和混频信息的规律
(1) 如果循环频率高频段的循环谱切片图的循环频率信息与 该图片相对应的频率信息具有2倍的关系，并且切片图中相 应的循环频率信息（或频率信息）表现为中心频率，其两边 均有明显的调制边频带，则说明此循环频率（或频率）具有 载波频率特征，循环频率是载波频率的2倍，并且图中所对 应的边频带频率信息就是调制频率信息。
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。
循环平稳信号分析
a(t /2)a(t /2)ejt 0 t
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
循环平稳信号分析剖析
lim
1 j 2t x ( t ) e dt T T T / 2
T /2
x(t )e j 2t t
(4.2.7)
一阶循环统计量—循环均值
4.2.3 二阶循环统计量—循环自相关函数
对于零均值的非平稳复信号，时变自相关函数可以 写成
Rx (t; ) E{x(t ) x (t
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。 (3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
j 2 t
dt (4.2.1)
一阶循环统计量
对于一个循环平稳的时间序列来说，它的循环频率 （包括零循环频率和非零循环频率）可能有多个， 所有循环频率的总体构成循环频率集 循环频率包括零值和非零值，其中零循环频率对应 信号的平稳部分，非零循环频率则描述了信号的循 环平稳特性。 循环基频 N N p ( x, ti ) p ( x, ti nT0 )
i 1 i i 1
i
nT0 )
(4.1.1)
N统计阶数，T0是基本循环平稳周期，n是一个给定的整数
循环平稳信号具有周期时变的矩和统计量，即 N N
E{ x (ti )} E{ x (ti nT0 )}
i 1 i 1
(4.1.2)
阶循环平稳过程的定义： 若随机过程 从一阶到 阶的各阶时变统计量都存 在，并且它们都是时间的周期函数（其中，每阶的 循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同）， 则称该随机过程为 阶循环平稳过程。
幅度调制信号的的解调性能仿真与分析文档
1 需求分析现在的社会越来越发达，科学技术不断的在更新，在信号和模拟通信的中心问题是要把载有消息的信号经系统加工处理后，送入信道进行传送，从而实现消息的相互传递。
消息是声音、图像、文字、数据等多种媒体的集合体。
把消息通过能量转换器件，直接转变过来的电信号称为基带信号。
基带信号有模拟基带信号和数字基带信号。
它们多为低频带限信号(如：音频信号为30—3400Hz ，图像信号为0—6MHz)，易受外来干扰的影响，还受到设备元器件的限制，且不易产生电磁波信号变化越快电磁辐射能力越强)，不能进行无线传输也不能实现多路复用。
为了克服以上缺点通过调制技术就可以把基带信号(也叫调制信号)变为具有一定带宽的适合于信道传输的频带信号。
调制的过程也就是对信号进行频谱搬移的过程。
我们把经过一定加工处理的含有消息的可解读的电信号称之为信息(1nformation)，信息是一个不确定的概率的函数。
信息的加工、处理和相互传递是现代通信的基础，是通信所要解决的实质问题。
模拟信号的载波调制电路里面经常要用到调制与解调，而AM 的调制与解调是最基本的，也是经常用到的。
AM 是调幅（Amplitude Modulation ），用AM 调制与解调可以在电路里面实现很多功能，制造出很多有用又实惠的电子产品，为我们的生活带来便利。
在我们日常生活中用的收音机也是采用了AM 调制方式，而且在军事和民用领域都有十分重要的研究课题。
2 设计概要(1) AM 信号仿真分析设计概要设带限信号)(t f 的频谱为)(ωj F ，现将)(t f 乘以载波信号)cos(0t ω，即得到已调信号：)cos()()(0t t f t y ω=，如下图。
实现信号解调的原理图如下图。
若要从多个已调信号中解调出其中的一个信号，只需将已调信号再乘以该已调信号的载波信号，并进行低通率波即可得到原信号)(t f 。
下图是多路频分复用系统的示意图。
信号设计：5/)5sin(3/)3sin()sin()(0001t t t t f ωωω++=。
多调制源信号的循环平稳分析及仿真
进行时间平均后写成傅里叶级数形式为
｛
ｉ
｛ － …－…． ｝ ．
｛ ；
！ ！
Ｉ ；
Ｒ（丁：∑Ｒ（）２ ＝∑Ｒ（） （） ｘ； ￡） ： ｅ棚 ＿ 『 （ ： ３ ｒ
其中 ，
＿…
．．
●
●
●
●
●
● ●
‘ ＾
● ●●
’ ’
… ｌｉ ｌ ● Ｉ ｌ Ｊ ｉ ： ｌ
参考文献 ： 【】 １ 黄知 涛 ， 周一 宇 ， 文利． 姜 循环平稳 信号处理 与应用 【 ． Ｍ】北
京： 科学出版社 。０ ６ ２０．
在 ａ＝１ ｚ ２Ｈ 的信 息差 不多 ， 同的是此 图在 不 ｆ＝ ４ ｚ ２ ０ 及其一倍边频处 （４ ± ） ｚ 出现了能 Ｈ ２０ ６Ｈ 多 ’ 量较低 的一小组峰值 ，反映了调 幅信号 。 的调制与 载波频率。 （ 从图中还可以清楚地发现 ， ３） 调幅信号与调频 信号切片 图的异同 ： 在 取调制频率频率时 ， 它们低
３
Ｅｑ ｉ ｍｅ ｔ ｕｐ ｎ Ｍａ ｈｃ ｄ ｇ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ． ２ ２ ｎｕ ｔ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎｏ８， ０１
Ｒ（，） ｛（＋＇ ）＊ ｔ＇２ ） ｔ ＝Ｅ ｘ ｔ￣２ ｘ （－ ／） ， ／ ｒ
循环 自相关切片 图
ｉ
＿＿ － － ＾ ● ， … ． ．
第一步 ： 计算信号的循环 自相关函数 ， 做其三维 关图中则可清楚地发现ｆ ｆ ｆ。 小２ ２ ： 及其 边频 ２ ： ｆ。 谱图可勉强观察到， ｆ 、 以及 ，但是信息冗 小２ 厂 ±ｎ ４ ， ｆ ｆ 及其变频 ４ ± ｆ－ ｆ 及其边频 ６ 。 ｔ ｎ ．６ 、 余， 交叉干扰严重 。循环频率 ａ Ｈ ） （ ｚ。 ｎ， 。 ： ｎ ， ３ 取 ２， 第二步 ：作循环 自相关 ， ｒ＝０ 的单切片图如 ± ｆ 等有ｓ∽ 的能量峰值出现（ 取 ｌ ， …， 处 值越大 ， 峰值越小 ） 。 图 １ 。 为 了便 于 比较 ， 又做调 频 信号 可在低频处看出两个频率 ： 调幅信号的， 小调频 （） ｌＡＣＳ１ 订ｔ】ｏ（２ ｒ） ＝【＋ Ｏ（２ ）ｃｓ １０叮ｔ ｌ ￡ 信号的调制频率 。
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关键词 : 循环平稳信号 ;调幅信号 ;调频信号 中图分类号 : TN911 文献标识码 :A
Analysis of the Cyclostationary Properties of AM & FM Signals
LIU Zheng , HUANG Zhi2tao , ZHOU Yi2yu
( School of Electronic Science and Engineering of NUDT , Changsha 410073 , China)
∫ Mαx =
1 T0
T0/ 2 Mx ( t) e - j2παt d t
- T0/ 2
(4)
将 (2) 式代入上式 ,并令 T = (2 N + 1) T0 ,得
∑∫ Mαx =
N
lim
N →∞
(2
n
1 + 1)
T0 n = - N
T0/ 2 x ( t +
- T0/ 2
nT0) e- j2παt d t
τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t + τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t - τ/ 2) ]}
= [1 + m2 Rα(τ) ] ·[cos(4πf0 t) + cos (2πf0τ) ]/ 2 可见信号的自相关函数同样是时间 t 的周期函数 , 且周期为
1/ (2f0) ,同时[1 + m2 Rα(τ) ] ≠0 ,故其中还包含了非零的直 流分量 ,即在循环频率 α = 0 处存在谱线 。对照 (10) 式求出
时满足以上两个条件 ,则信号既是一阶循环平稳 ,又是二阶
循环平稳 。
第1期
调幅调频信号的循环平稳特性分析
·23 ·
5 平稳噪声的循环平稳特性分析
取调制系数值为 011 ,采样率为 fs = 215f0 ,其它条件与实验 1 相同 ,分别作其一阶和二阶循环平稳特性 ,如图 2 所示 。
号 ; n ( t) ———零均值白噪声 。对信号取均值 ,有
Mx ( t) = E{ x ( t) } = αe j(2πf0 t +θ)
(1)
设 T0 ( = 1/ f0) 为复正弦信号的周期 , 由白噪声的遍历性可
得 ,对于任意给定时刻 t , 以 T0 为周期的采样序列 { x ( t +
nT0) } 亦具有遍历性 ,因此用样本均值估计统计均值 ,则有
信号的循环相关函数为
Rαx (τ) =
(1/ 2) [1 + m2 Rα(τ) ] cos (2πf0τ) α = 0 (1/ 4) [1 + m2 Rα(τ) ] α = ±2f0 0 其它
(14) 由(14) 式可知 ,信号存在非零的循环频率 α = ±2f0 使得 Rαx (τ) ≠0 ,因此是二阶循环平稳的 。
x ( t) = (1 + mα( t) ) cos (2πf0 t)
(10)
其中 α( t) ———一个零均值实低通平稳随机过程 ; m ———
调制系数 ; f0 ———载波频率 。显然信号均值
E{ x ( t) } = cos (2πf0 t)
(11)
为一个周期函数 ,因此 x ( t) 是一阶循环平稳信号 。并且在其
傅里叶展开中只有 α = ±f0 处的系数不为零 ,并容易得到其 循环均值
α
1/ 2 α = ±f0
Mx = 0 其它
(12)
对信号取二阶自相关函数 ,有
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
= E{ [1 + mα( t + τ/ 2 ][1 + mα( t -
∫ =
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t) e- j2παt d t =△〈 x ( t) e- j2παt 〉t
- T/ 2
(5)
式中 〈·〉t ———时间平均 ,将时变均值的 α频率分量 Mαx 称
为信号 x ( t) 的循环均值 。上式表明 , 循环均值相当于将信号
收稿日期 :2001 - 01 - 11 修订日期 :2001 - 05 - 29 基金项目 :国防预研基金及国防科技大学基础研究基金资助课题 (JC00 - 04 - 020) 作者简介 :柳征 (1978 - ) ,男 ,博士研究生 ,主要研究方向为雷达信号处理 ,无源探测定位理论与技术 。
α = 2f0 (17)
α = - 2f0 其它
∫ Ψ(ω)
△
=
=
lim
N →∞
1 T
T/ 2
exp{ j<( t) ω} d t
- T/ 2
(18)
Ψτ ———<( t + τ/ 2) 和 <( t - τ/ 2) 的联合特征函数
∫ Ψτ(ω1 , ω2)
△
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2
exp{ j ·
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
(6)
若相关函数关于时间 t 也具有周期为 T0 的周期性 ,则采用与
一阶相类似的方法进行分析 ,对其作傅里叶级数展开 ,得到
∞
∑ Rαx ( t ;τ) =
Rαx (τ) e j2παt
(7)
m=- ∞
式中 α = m/ T0 ,且对应傅里叶系数为
由以上分析可以得到结论 :形如 (12) 式的调幅信号 , 在 保证调制信号为平稳随机过程的情况下 , 既是一阶平稳的 , 又是二阶平稳的 ,对应的循环频率分别为 ±f0 和 ±2f0 ,且这 种特性与信号的调制深度是无关的 。
4 调频信号的循环平稳特性
调频 (调相) 信号模型为
∫t
x ( t) = cos[2πf0 t + <( t) ] = cos[2πf0 t + m z ( u) d u ] 0
环频率才刻画了循环平稳性 。
同理还可以将循环平稳的概念扩展到其它的统计特性
参数上 ,例如将信号的循环自相关函数作傅里叶变换 ,可以
得到循环谱密度的概念 ,即
∫ Sαx ( f ) =
∞ -∞
Rαx (τ)
e-
j2πft dτ
(9)
有关深入的讨论可参考文献[1 ] 。示
∫ Rαx (τ)
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt d t
- T/ 2
=〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(8)
式中 系数 Rαx (τ) ———频率为α的循环自相关强度 ,为τ的
0 其它 Rαx (τ) =〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(1/ 2) Re{ Ψτ(1 , - 1) e j2πf0τ} 0
(1/ 4) Ψτ(1 ,1) =
(1/ 4) Ψτ3 (1 ,1)
0 式中 Ψ ———平稳过程 <( t) 的特征函数
摘 要 : 介绍了循环平稳信号的基本概念 ,对调幅和调频信号的循环平稳特性进行了详细的理论分析 ,计算机 仿真实验也验证了分析得到的结果 ,即在一定条件下 ,调幅调频信号具有一阶和二阶循环平稳特性 。仿真同时说 明了利用信号的循环平稳特性具有较好抑制平稳噪声或 (和) 干扰的能力 。这为实现基于民用调幅 、调频广播信号 的隐身目标探测系统提供了一种较好的信号处理方案 ,具有极大的应用前景 。
N
∑ Mx ( t)
=
E{ x ( t + nT0) }
=
lim
N →∞
2
1 n+
1n
=
-
x
N
(
t
+
nT0)
(2)
可见信号均值是周期为 T0 的周期函数 ,可以将其作傅里叶 级数展开
∞
∑ Mx ( t) =
Mαxe j2παt
(3)
m=- ∞
其中 α = m/ T0 ,为傅里叶展开频率 ,对应傅里叶系数为
·22 ·
系统工程与电子技术
2002 年
x ( t) 的频谱左移频率α后取时间平均 。因此 ,只要信号 x(1(3t) 的功率谱中存在 α频率的谱线 ,则 Mαx ≠0 ,这时称信号是一 阶循环平稳的 ,同时这也是一阶循环平稳的判据 。
同理可以定义信号的二阶循环平稳性 。考虑非平稳信号
x ( t) 的 (时变) 相关函数 (对称形式) 定义为
函数 ,称为循环 (自) 相关函数 。
因此若信号在频率 α处的循环相关函数 Rαx (τ) ≠0 , 就
称该信号是二阶循环平稳的 , 且 α称为信号的循环频率 。一
个循环平稳信号的信号频率可能有多个值 ,当循环频率为零
时 ,循环自相关函数退化为信号的自相关函数 。因此假如 R0x (τ) 存在 ,而 Rαx (τ) = 0 , Πα ≠0 ,则信号为平稳信号 ; 若 至少存在一个非零 α, 使得 Rαx (τ) ≠0 ,则信号是循环平稳 的 ,所以零循环频率刻画了信号的平稳部分 ,只有非零的循
Keywords : Cyclostationary signals ; AM signals ; FM signals
1 引 言
非平稳信号中有一类比较特殊的信号 ,其统计特性随时 间呈周期性的变化 。这类信号广泛存在于雷达 、通信 、遥测 等系统中 。例如雷达系统中 ,由于天线的匀速旋转可能形成 回波信号统计量的周期变化 ;在通信系统中 ,调幅 、调频 、调 相等信号是对周期性载波的参数调制 ,一般也具有循环平稳 特性 ,而对于平稳噪声而言 ,其统计特性常常是非时变的 ,因 此对信号作循环平稳特性分析 ,可以收到抑制噪声的效果 , 对于噪声背景下的信号探测 、同步和分解有着重要的意义 。
Analysis of the Cyclostationary Properties of AM & FM Signals
LIU Zheng , HUANG Zhi2tao , ZHOU Yi2yu
( School of Electronic Science and Engineering of NUDT , Changsha 410073 , China)
∫ Mαx =
1 T0
T0/ 2 Mx ( t) e - j2παt d t
- T0/ 2
(4)
将 (2) 式代入上式 ,并令 T = (2 N + 1) T0 ,得
∑∫ Mαx =
N
lim
N →∞
(2
n
1 + 1)
T0 n = - N
T0/ 2 x ( t +
- T0/ 2
nT0) e- j2παt d t
τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t + τ/ 2) ]cos[2πf0 ( t - τ/ 2) ]}
= [1 + m2 Rα(τ) ] ·[cos(4πf0 t) + cos (2πf0τ) ]/ 2 可见信号的自相关函数同样是时间 t 的周期函数 , 且周期为
1/ (2f0) ,同时[1 + m2 Rα(τ) ] ≠0 ,故其中还包含了非零的直 流分量 ,即在循环频率 α = 0 处存在谱线 。对照 (10) 式求出
时满足以上两个条件 ,则信号既是一阶循环平稳 ,又是二阶
循环平稳 。
第1期
调幅调频信号的循环平稳特性分析
·23 ·
5 平稳噪声的循环平稳特性分析
取调制系数值为 011 ,采样率为 fs = 215f0 ,其它条件与实验 1 相同 ,分别作其一阶和二阶循环平稳特性 ,如图 2 所示 。
号 ; n ( t) ———零均值白噪声 。对信号取均值 ,有
Mx ( t) = E{ x ( t) } = αe j(2πf0 t +θ)
(1)
设 T0 ( = 1/ f0) 为复正弦信号的周期 , 由白噪声的遍历性可
得 ,对于任意给定时刻 t , 以 T0 为周期的采样序列 { x ( t +
nT0) } 亦具有遍历性 ,因此用样本均值估计统计均值 ,则有
信号的循环相关函数为
Rαx (τ) =
(1/ 2) [1 + m2 Rα(τ) ] cos (2πf0τ) α = 0 (1/ 4) [1 + m2 Rα(τ) ] α = ±2f0 0 其它
(14) 由(14) 式可知 ,信号存在非零的循环频率 α = ±2f0 使得 Rαx (τ) ≠0 ,因此是二阶循环平稳的 。
x ( t) = (1 + mα( t) ) cos (2πf0 t)
(10)
其中 α( t) ———一个零均值实低通平稳随机过程 ; m ———
调制系数 ; f0 ———载波频率 。显然信号均值
E{ x ( t) } = cos (2πf0 t)
(11)
为一个周期函数 ,因此 x ( t) 是一阶循环平稳信号 。并且在其
傅里叶展开中只有 α = ±f0 处的系数不为零 ,并容易得到其 循环均值
α
1/ 2 α = ±f0
Mx = 0 其它
(12)
对信号取二阶自相关函数 ,有
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
= E{ [1 + mα( t + τ/ 2 ][1 + mα( t -
∫ =
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t) e- j2παt d t =△〈 x ( t) e- j2παt 〉t
- T/ 2
(5)
式中 〈·〉t ———时间平均 ,将时变均值的 α频率分量 Mαx 称
为信号 x ( t) 的循环均值 。上式表明 , 循环均值相当于将信号
收稿日期 :2001 - 01 - 11 修订日期 :2001 - 05 - 29 基金项目 :国防预研基金及国防科技大学基础研究基金资助课题 (JC00 - 04 - 020) 作者简介 :柳征 (1978 - ) ,男 ,博士研究生 ,主要研究方向为雷达信号处理 ,无源探测定位理论与技术 。
α = 2f0 (17)
α = - 2f0 其它
∫ Ψ(ω)
△
=
=
lim
N →∞
1 T
T/ 2
exp{ j<( t) ω} d t
- T/ 2
(18)
Ψτ ———<( t + τ/ 2) 和 <( t - τ/ 2) 的联合特征函数
∫ Ψτ(ω1 , ω2)
△
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2
exp{ j ·
Rx ( t ;τ) = E{ x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) }
(6)
若相关函数关于时间 t 也具有周期为 T0 的周期性 ,则采用与
一阶相类似的方法进行分析 ,对其作傅里叶级数展开 ,得到
∞
∑ Rαx ( t ;τ) =
Rαx (τ) e j2παt
(7)
m=- ∞
式中 α = m/ T0 ,且对应傅里叶系数为
由以上分析可以得到结论 :形如 (12) 式的调幅信号 , 在 保证调制信号为平稳随机过程的情况下 , 既是一阶平稳的 , 又是二阶平稳的 ,对应的循环频率分别为 ±f0 和 ±2f0 ,且这 种特性与信号的调制深度是无关的 。
4 调频信号的循环平稳特性
调频 (调相) 信号模型为
∫t
x ( t) = cos[2πf0 t + <( t) ] = cos[2πf0 t + m z ( u) d u ] 0
环频率才刻画了循环平稳性 。
同理还可以将循环平稳的概念扩展到其它的统计特性
参数上 ,例如将信号的循环自相关函数作傅里叶变换 ,可以
得到循环谱密度的概念 ,即
∫ Sαx ( f ) =
∞ -∞
Rαx (τ)
e-
j2πft dτ
(9)
有关深入的讨论可参考文献[1 ] 。示
∫ Rαx (τ)
=
lim
T →∞
1 T
T/ 2 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt d t
- T/ 2
=〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(8)
式中 系数 Rαx (τ) ———频率为α的循环自相关强度 ,为τ的
0 其它 Rαx (τ) =〈 x ( t + τ/ 2) x 3 ( t - τ/ 2) e- j2παt〉t
(1/ 2) Re{ Ψτ(1 , - 1) e j2πf0τ} 0
(1/ 4) Ψτ(1 ,1) =
(1/ 4) Ψτ3 (1 ,1)
0 式中 Ψ ———平稳过程 <( t) 的特征函数
摘 要 : 介绍了循环平稳信号的基本概念 ,对调幅和调频信号的循环平稳特性进行了详细的理论分析 ,计算机 仿真实验也验证了分析得到的结果 ,即在一定条件下 ,调幅调频信号具有一阶和二阶循环平稳特性 。仿真同时说 明了利用信号的循环平稳特性具有较好抑制平稳噪声或 (和) 干扰的能力 。这为实现基于民用调幅 、调频广播信号 的隐身目标探测系统提供了一种较好的信号处理方案 ,具有极大的应用前景 。
N
∑ Mx ( t)
=
E{ x ( t + nT0) }
=
lim
N →∞
2
1 n+
1n
=
-
x
N
(
t
+
nT0)
(2)
可见信号均值是周期为 T0 的周期函数 ,可以将其作傅里叶 级数展开
∞
∑ Mx ( t) =
Mαxe j2παt
(3)
m=- ∞
其中 α = m/ T0 ,为傅里叶展开频率 ,对应傅里叶系数为
·22 ·
系统工程与电子技术
2002 年
x ( t) 的频谱左移频率α后取时间平均 。因此 ,只要信号 x(1(3t) 的功率谱中存在 α频率的谱线 ,则 Mαx ≠0 ,这时称信号是一 阶循环平稳的 ,同时这也是一阶循环平稳的判据 。
同理可以定义信号的二阶循环平稳性 。考虑非平稳信号
x ( t) 的 (时变) 相关函数 (对称形式) 定义为
函数 ,称为循环 (自) 相关函数 。
因此若信号在频率 α处的循环相关函数 Rαx (τ) ≠0 , 就
称该信号是二阶循环平稳的 , 且 α称为信号的循环频率 。一
个循环平稳信号的信号频率可能有多个值 ,当循环频率为零
时 ,循环自相关函数退化为信号的自相关函数 。因此假如 R0x (τ) 存在 ,而 Rαx (τ) = 0 , Πα ≠0 ,则信号为平稳信号 ; 若 至少存在一个非零 α, 使得 Rαx (τ) ≠0 ,则信号是循环平稳 的 ,所以零循环频率刻画了信号的平稳部分 ,只有非零的循
Keywords : Cyclostationary signals ; AM signals ; FM signals
1 引 言
非平稳信号中有一类比较特殊的信号 ,其统计特性随时 间呈周期性的变化 。这类信号广泛存在于雷达 、通信 、遥测 等系统中 。例如雷达系统中 ,由于天线的匀速旋转可能形成 回波信号统计量的周期变化 ;在通信系统中 ,调幅 、调频 、调 相等信号是对周期性载波的参数调制 ,一般也具有循环平稳 特性 ,而对于平稳噪声而言 ,其统计特性常常是非时变的 ,因 此对信号作循环平稳特性分析 ,可以收到抑制噪声的效果 , 对于噪声背景下的信号探测 、同步和分解有着重要的意义 。