循环平稳过程以及信号处理理论
《脉冲噪声环境下循环平稳信号的多径DOA估计》范文
《脉冲噪声环境下循环平稳信号的多径DOA估计》篇一一、引言在无线通信和雷达系统中，信号的到达方向（Direction of Arrival，DOA）估计是一项关键技术。
特别是在脉冲噪声环境下，多径效应使得信号传播路径复杂多变，从而对DOA估计的准确性和稳定性提出了更高的要求。
本文针对脉冲噪声环境下的循环平稳信号，提出了一种多径DOA估计方法，以提高在复杂环境下的信号处理能力。
二、循环平稳信号与多径效应循环平稳信号是指在一定时间范围内，其统计特性呈现周期性变化的信号。
在无线通信中，循环平稳信号常用于抵抗噪声干扰，提高信号的信噪比。
然而，在多径传播的环境下，信号经过不同路径传播后，其到达接收端的相位、幅度和时延都会发生变化，从而产生多径效应。
这种效应会严重影响DOA估计的准确性。
三、现有DOA估计方法及不足目前，常用的DOA估计方法包括基于子空间的算法、基于最大熵的算法等。
这些方法在理想环境下具有较好的性能，但在脉冲噪声环境下，由于噪声的突发性和强干扰性，导致估计结果的准确性和稳定性受到严重影响。
因此，如何在脉冲噪声环境下有效地进行多径DOA估计是亟待解决的问题。
四、多径DOA估计方法针对脉冲噪声环境下的多径DOA估计问题，本文提出了一种基于循环平稳特性的多径DOA估计方法。
该方法利用信号的循环平稳特性，在多个频率段上对接收到的信号进行分频处理，以消除噪声的干扰。
然后，通过分析各频率段上信号的到达时间差（TDOA）和相位差等信息，结合多径传播模型，实现对多径信号的DOA估计。
五、算法实现与性能分析本文所提方法通过仿真实验进行了验证。
实验结果表明，在脉冲噪声环境下，该方法能够有效地消除噪声干扰，提高DOA 估计的准确性和稳定性。
与现有方法相比，该方法在信噪比较低、多径效应严重的情况下具有更好的性能表现。
此外，该方法还具有较低的计算复杂度和较好的实时性，适用于实际无线通信和雷达系统中的应用。
六、结论本文针对脉冲噪声环境下的循环平稳信号的多径DOA估计问题进行了研究。
现代信号处理第4章循环平稳信号分析-讲义
4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直 接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量， 并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号， 抽取信号时变统计量中的周期信息。 循环统计量的一般表达式为
C x ()kT li m T 10 Tcx(t, )kej2 td t (4.2.1)
可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信 号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。
对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样 的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均 来估计其均值
M x(t)N li m 2N 11n N Nx(tnT0)
(4.2.4)
一阶循环统计量—循环均值
可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,
将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得
（4.2.11）
Rx (
)1 T0
TT 00//22N li m 2N 11nN Nx(tnT0)x*(tnT0)ej2tdt
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计 量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现 周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法， 对机械故障诊断具有重要的意义。
精品
现代信号处理第4 章循环平稳信号分 析
第四章 循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
引言
在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用， 最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数 与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、 四阶等高阶统计量。 在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量 随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循 环平稳信号。 具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环 平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。 雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。
现代信号处理循环平稳信号分析课件
循环相关函数和循环特征
循环相关函数
描述两个信号在时间上的相似程 度，可以用于信号识别和分类。
循环特征
提取信号中的周期性特征，如频率 、相位等，用于信号分类和识别。
循环平稳性质
信号经过滤波器后，其输出的信号 仍然是循环平稳的，可以用于滤波 器的设计和分析。
05
CATALOGUE
循环平稳信号的应用
在通信和雷达信号处理中的应用
短时傅里叶分析是一种改进的傅里叶分析方法，通过将信 号分割成多个短的段，并计算每个段的傅里叶变换，能够 提供信号的时频信息。短时傅里叶分析适用于循环平稳信 号的分析，可以有效地提取信号中的周期性成分。
滤波器和匹配滤波器在循环平稳信号处理中的应用
滤波器
滤波器是一种用于提取信号中特定频率成分的工具。在 循环平稳信号处理中，滤波器可以用于提取信号中的周 期性成分或消除噪声。常用的滤波器包括巴特沃斯滤波 器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
在语音和生物医学信号处理中的应用
语音分析
语音信号是一种具有强烈循环平稳性的信号。通过对语音信号进行分析和处理，可以实现语音识别、 语音合成、语音降噪等功能。
生物医学信号处理
在生物医学信号处理中，循环平稳信号分析可以用于处理心电信号、脑电信号、肌电信号等，以提取 有用的生物医学信息。
在图像和视频信号处理中的应用
THANKS
感谢观看
信号的分类
根据不同的特征和属性，信号可 以分为离散信号和连续信号、确 定信号和随机信号、周期信号和 非周期信号等。
信号的数学描述
信号的数学表示
使用数学符号和公式来描述信号的特 征和属性，如时间函数、空间分布等 。
信号的数学变换
通过数学变换如傅里叶变换、拉普拉 斯变换等，将信号从时域转换到频域 或其他域，以便更好地分析信号的特 性和属性。
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
循 环平 稳 信号 处 理的 简 单介 绍 循环平稳信号 ， 就是在 统计特征 函数 的时候会出现周期性 的变化 。 这种信 号在实际应 用中有着非 常重要的意 义 。 通常来讲 ， 平 稳信号 的出 现都 有一定 的普遍 性 ， 当统 计系统 统计特 征 函数 的时候 ， 可 以利用单次 记录的时 间平均值代替 平均集合， 这一点很适 用现场生 产数 据的收集 。
藏 落
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
季建胜 浙 江红旗机械有 限公司 ３ １ ３ ２ １ ６
【 摘要 】 循环平稳信号处理技 术的引用， 丰富 了 机械设备 处理 的内 容 谱的 理论 进行补充 。 循 环 密度函数 方法和 平方包络 解调 方法都 可以 通 通过 试验数 据的结果 分析， 指 量。 本文概 括了 循环平穗信号处理的研 究情况和特点， 分析 了 这样的方法存 过引入的循环 平稳信号进行相 关的解调 。 在的部 分问题 ， 最后在结尾部 分 点 明了 这项新技 术的应用问题和在机械 设 出平方包络分 析中因为构造了一定的解析 函数， 使得数 值平方 和循环 导 备 故障中的发展前景。 致 的混 叠效 应得 到了很好 的抑 制 。 第 三种 分析方 法 ： 从机 械振 动信 号 的角度证 明多循 环平稳 、 纯循环 平稳的慨 念， 还有 就是和周期 的过程、 【 关键 词】循环平稳 ； 故障处理 ； 应用 平稳过 程之 间的关 系。 常见的采样 方式有两种 ： 等 时间采样和等 角度 采 这两 种采样方 法分别研 究了他们的 循环的平稳性 ， 得出不一样 的循 机 械 设备 信号 的特征 提取 法一 般分 为两种 ， 第一种是稳 态 信号 的 样。 处 理方法 。 非常典型 的有 离散频 谱分析法和 频率细化 分析 法等。 这种处 环平 稳的 条件。 文 中理论证 明了当旋 转 机械 等角度 采样 得到的 振动 信 理方法相对 很成熟 。 应用 的范围也是非 常广泛 。 第二 种是 非平稳信号 的 号的 时候， 只要是转 速的波 动为循环平 稳的时候 ， 那么等 时间采样 的信 处理 方法 。 非 常典 型的 有转 速跟 踪 法￥ ￣ ］ Ｗｉ ｇ ｎ ｅ ｒ － Ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 分布 法等 ， 循环 号也属于循 环平稳的信号。 鉴于循 环平稳在旋 转机械 中的广泛存在性 ， 平稳 和高 阶谱 等 分析 方法 的引用 ， 使 得循 环平 稳的 分析方 法有 了非 常 应该打 破常规 的平稳１ 陧 设， 在循 环平稳的基础 之上研 究旋转机 械 的振 我们以齿轮 、 内燃机和 滚动轴承 的三种机械 的比 大的进步， 为社 会带来了 一定 的经济 效益 ， 但是其 中存在 的问题 ， 也 是我 动信号更加 切合实际 。
循环平稳信号分析
0
A
21
功率谱密度函数
由式（4.2.17）可以求出该仿真信号的循环谱密度 为
14Sa(f f0)14Sa(f f0) Sx(f ) 14ej2Sa(f )
0
=0;
=2f0; 其它
A
22
功率谱密度函数
给式（4.2.14）所示仿真信号叠加平稳遍历白噪声 n(t),各参数取值与上述计算二阶循环自相关函数 时的取值完全相同。循环谱如图4.2.4所示
A
27
4.3.1调频信号的解调分析
x ( t) A c2 o fz t ss [2 ifn n t)] (
A
28
4.3.2 多载波调频信号的解调
x ( t ) c o s ( 2 f c 1 t s i n ( 2 f 0 t ) ) c o s ( 2 f c 2 t s i n ( 2 f 0 t ) )
A
29
多载波调频信号的解调
A
30
4.3.3 多调制源调幅信号的解调
x ( t ) 1 c o s 2 f 0 1 t c o s 2 f 0 2 t c o s 2 f c t
A
31
A
32
4.3.4 多载波调幅信号的解调
x ( t ) [ 1 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 1 t ) [ 1 1 . 5 c o s ( 2 f 0 t ) ] c o s ( 2 f c 2 t ) n ( t )
lim 1 N(2N1)T0
N nN
TT00//22x(tnT0)ej2tdt
lim1
TT
T/2 x(t)ej2tdt
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用
机械设备故障诊断中循环平稳信号处理的应用【摘要】循环平稳信号处理技术的引用，丰富了机械设备处理的内容量。
本文概括了循环平稳信号处理的研究情况和特点，分析了这样的方法存在的部分问题，最后在结尾部分点明了这项新技术的应用问题和在机械设备故障中的发展前景。
【关键词】循环平稳；故障处理；应用机械设备信号的特征提取法一般分为两种，第一种是稳态信号的处理方法。
非常典型的有离散频谱分析法和频率细化分析法等。
这种处理方法相对很成熟，应用的范围也是非常广泛。
第二种是非平稳信号的处理方法。
非常典型的有转速跟踪法和Wigner-Ville分布法等，循环平稳和高阶谱等分析方法的引用，使得循环平稳的分析方法有了非常大的进步，为社会带来了一定的经济效益，但是其中存在的问题，也是我们最为关注的。
一、循环平稳信号处理的简单介绍循环平稳信号，就是在统计特征函数的时候会出现周期性的变化。
这种信号在实际应用中有着非常重要的意义。
通常来讲，平稳信号的出现都有一定的普遍性，当统计系统统计特征函数的时候，可以利用单次记录的时间平均值代替平均集合，这一点很适用现场生产数据的收集。
但是对于非平稳的时间序列，统计特征是随意变换的，因此我们就没有办法用上述特征判断。
循环平稳信号因为自身独特的平稳特征，使得单次收集到的数据都有一定的普遍性，因此适合现场数据的处理和分析。
循环平稳信号广泛应用在通讯、机械等系统中。
比如在机械滚动轴承中出现的反复机械的振动的信号。
我们以滚动轴承为例子，当滚动轴承发生故障的时候，因为机器周期性的旋转和周围因素的干扰，使其产生复杂的震动信号，这种振动信号也存在部分的随机信号。
对于随机信号，我们通常认为是有规律的，因此对这种随机信号进行循环平稳的分析，有效的提取出被噪声埋没的周期成分。
循环信号处理技术在机械中的应用，对于机械故障诊断有着至关重要的意义。
二、循环平稳信号的具体应用1、一阶循环统计量的应用。
这项内容主要包括了一阶循环矩。
循环平稳信号分析课件
提高模型的通用性和泛化能力、结合先验知识进行模型优化、探索更有效的优化算法等
CHAPTER 07
参考文献
参考文献
《信号与系统》，作者
XXX，出版时间：XXXX年，出版社：XXX出版社
《信号与线性系统分析》，作者
XXX，出版时间：XXXX年，出版社：XXX出版社
域特征转化为小波域特征，方便我们对信号进行分析和理解。
02
基于小波变换的信号检测
对于循环平稳信号，其小波变换后的结果呈现出特定的频率成分，通过
对频率成分的分析，我们可以实现对信号的检测。
03
基于小波变换的信号分类
通过对不同类型信号的小波变换结果进行比较和分析，我们可以实现对
不同类型信号的分类。
基于循环统计特征提取的检测与分类
循环平稳信号处理的应用
信号去噪、信号压缩、信号加密等
循环平稳信号分析的限制与挑战
存在交叉项干扰、计算复杂度高、对噪声 敏感等问题
基于深度学习的循环平稳信号分析展望
深度学习在循环平稳信号分析中的潜力
强大的非线性映射能力、自动提取特征的能力、对复杂模型的优化能力等
基于深度学习的循环平稳信号分析算法
循环神经网络（RNN）、卷积神经网络（CNN）、自编码器（AE）等
信号分类
在一些应用中，需要对大量的信号进行分类，例如在雷达图 像处理或语音识别中，循环平稳信号处理可以用于区分不同 类别的信号，提高分类的准确度。
CHAPTER 06
总结与展望
循环平稳信号分析的总结
循环平稳信号的基本概念
定义、性质、特点和应用场景
循环平稳信号的分析方法
时域分析、频域分析和时频分析等
《基于循环平衡理论的盲源分离算法》
《基于循环平衡理论的盲源分离算法》篇一一、引言随着科技的飞速发展，信号处理领域中的盲源分离技术越来越受到关注。
盲源分离（BSS）是一种从混合信号中恢复原始信号的技术，广泛应用于通信、生物医学、音频处理等领域。
本文将介绍一种基于循环平衡理论的盲源分离算法，并对其原理、应用及优势进行详细阐述。
二、循环平衡理论概述循环平衡理论是一种基于统计学的信号处理理论，它通过分析信号的循环统计特性，实现信号的分离与恢复。
该理论认为，在一定的条件下，混合信号中的各个源信号之间存在一种循环平稳关系，通过捕捉这种关系，可以实现源信号的分离。
三、基于循环平衡理论的盲源分离算法1. 算法原理基于循环平衡理论的盲源分离算法主要利用混合信号的循环统计特性，通过设计合适的滤波器，使得滤波器的输出与源信号之间建立一种循环平稳关系。
然后，通过优化算法，逐步调整滤波器的参数，使得滤波器的输出尽可能接近源信号。
2. 算法步骤（1）对混合信号进行预处理，包括去噪、归一化等操作；（2）设计合适的滤波器，如自适应滤波器、小波滤波器等；（3）通过优化算法，调整滤波器的参数，使得滤波器的输出与源信号之间建立循环平稳关系；（4）重复步骤（3），直到滤波器的输出尽可能接近源信号；（5）对滤波器的输出进行后处理，如重构、去伪等操作，得到恢复的源信号。
四、算法应用基于循环平衡理论的盲源分离算法具有广泛的应用领域。
在通信领域，该算法可以用于多用户检测、信道均衡等；在生物医学领域，该算法可以用于脑电信号、心电信号的分离与恢复；在音频处理领域，该算法可以用于音频混响分离、语音增强等。
此外，该算法还可以应用于雷达、声纳等领域的信号处理。
五、算法优势基于循环平衡理论的盲源分离算法具有以下优势：1. 具有较强的抗干扰能力，能够有效地抑制噪声和干扰对源信号的影响；2. 无需知道混合过程的先验信息，具有较好的盲源性；3. 通过优化算法调整滤波器参数，可以逐步提高源信号的恢复质量；4. 适用于多种领域的信号处理，具有广泛的应用前景。
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循环平稳过程以及信号处理理论绪论• 通信、遥测、雷达、声呐等系统中许多信号，其统计特征参数是时间变化的，这类信号称为循环平稳信号(cyclostationary signal)• 例如调制信号，雷达扫描信号，还有一些自然的，如水文数据，海洋数据，人体心电图等都具有循环平稳性质。
• W. A. Gardner*的谱相关理论是标志循环平稳信号处理理论的成熟，其数学工具是循环相关函数和循环谱相关函数。
• *W. A. Gardner, L. E. Franks, Characterization of cyclostationary random signal processes, IEEE Trans Information Theory, 21: 4-14, 1975.• F. Chapeau-Blondeau, X. Godivier; "Theory of stochastic resonance in signaltransmission by static nonlinear systems"; Physical Review E 55, 1478-1495 (1997).• X. Godivier, F. Chapeau-Blondeau; "Noise-assisted signal transmission by a nonlinearelectronic comparator: Experiment and Theory"; Signal Processing 56, 293-303 (1997).• F. Duan, F. Chapeau-Blondeau, D. Abbott; "Noise-enhanced SNR gain in parallel array ofbistable oscillators"; Electronics Letters 42, 1008-1009 (2006).2.1一般理论框架（动态静态系统都适合）强调我们的系统划分规则静态指无记忆系统，而动态指有记忆的系统。
这里设任意一系统的输入为)()()(t t s t x η+=，)(t s 表示周期为s T 的周期信号，而)(t η是稳态随机噪声。
我们把系统输出)(t y 看成是它的非稳态均值)]([t y E 与围绕均值的稳定波动)(ˆt y的和，即 )]([)(ˆ)(t y E t yt y += 2-1 由于输入信号)(t s 的周期性，系统输出)(t y 一般也是周期为s T 的循环平稳信号，非稳态均值)]([t y E 是周期s T 的确定性信号，那么引入傅里叶变换系数n Y这里整数,...2,1,0=n ，表示了谐波频率倍数。
为计算自相关函数，固定时间t 和时间延迟τ，得二阶非稳态相关函数)]([)]([)](~)(~[)]()([τττ+++=+t y E t y E t y t y E t y t y E 2-3此期望函数含有两个变量时间t 和时间延迟τ，同样具有周期性。
为构造稳态的自相关函数，我们进行时间平均可以得到)(ty 的自相关函数)(τyy R其中，自协方差)(τyy C 为那么，依据维纳辛钦定理，)(t y 的功率谱密度)(v P yy ,即是)(τyy R 的傅里叶变换其中τττττπτπππτπτππτπd e dteeY eY T d e dt eY eY T d e dt t y E t y E T v j j ktj k T ntj n sv j kt j k T ntj n sv j T ssk sk ssn sT k ssT n s222022)(2022011)]([)]([1-∞∞--+∞∞--∞∞-∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑⎰⎰==+由Parseval 定理，当k n =时，*2022||||1n n n T t j n sY Y Y dt eY T sT n ==⎰π而当k n ≠时，t j Tn eπ2与tj keπ2是正交基，0122=⎰dt eeT sT kT n T tj tj sππ而对于信号t j Tn eπ2的Fourier 变换为)(22T nv j j v d een-=-∞∞-⎰δττπτπ由此得出2-6式。
由式2-6可以看出)(t y 的功率谱密度为在宽带噪声谱)]([τyy C F 背景下，在s T /1的整数倍值上（谐频上）叠加了相关谱线。
其次分析)(τyy C ，由于自协方差0)](~)(~[lim ||=+∞→ττt y t y E那么由于)(t y 的非稳态方差)](ˆ)(ˆ[)](var[t y t yE t y =，进行时间平均则为)](var[)](var[1)0(0t y dt t y T C Tsyy ==⎰，那么)(τyy C 可以写为2-7)(τh =)(τyy C /)0(yy C 为归一化稳态自相关函数，是偶函数，其Fourier 变换为)()]([v H h F =τ。
那么2-6式可以重新写为输出信噪比)/(s out T n R 定义为谱线s T n /上的信号功率与以谱线s T n /为中心的附近频带B ∆内噪声功率的比值，即2.2静态系统的离散实现考虑无记忆的静态系统，其输入输出转换为)],()([)(t t s g t y η+= 2-10这里g 是任意实函数，设)(t η是白噪声，概率密度为ηf ，分布函数为⎰∞-=udx x f u F )()(ηη。
噪声的自相关函数为)(2)]()([)(τδτηητηηD t t E R =+=这样导致噪声具有无限大的功率)0(ηηR ，实际上，白噪声近似有一个小但是非零的相关时间c τ，这样其功率很大但是有限，使得D R c 2~)0(τηη条件成立。
这里对于输入为白噪声来说，数值模拟中，若采样时间步长为s T t <<∆，s T t N =∆，对于离散采样白噪声)(t j ∆η，其自相关函数变为)()]()([)(2t k t t k t j t j E t k R ∆∆=∆+∆∆=∆δσηηηηη 2-11离散的Dirac 函数定义为⎩⎨⎧≠=∆=∆0,00,/1)(k k t t k δ 那么功率谱密度为t D ∆=22ησ由于噪声为白噪声，那么静态非线性)(x g 的输出)(t y 和)(τ+t y 也具有非相关性，0≠τ。
那么，当0≠k 时二阶矩)]([)]([)]()([t k t j y E t j y E t k t j y t j y E ∆+∆∆=∆+∆∆当0=k 时，二阶矩)]([)](~[)]()([22t j y E t j y E t j y t j y E ∆+∆=∆∆在任意给定时刻t j t ∆=，输入)()(t t s η+的概率密度函数可以表示为)(s u f -η，那么我们可以求解一阶矩⎰∞∞--=du t s u f u g t y E )]([)()]([η二阶矩⎰∞∞--=du t s u f u g t y E )]([)()]([22η非稳态方差)]([)]([)](ˆ)(ˆ[)](var[22t y E t y E t y t yE t y -==， 因此，我们将)]()([t k t j y t j y E ∆+∆∆可以写成)]([)]([)()](var[)]()([t k t j y E t j y E t k t t j y t k t j y t j y E ∆+∆∆+∆∆∆=∆+∆∆δ 2-12对于时间t j t ∆=求时间平均得到稳态自相关函数)]([)]([1)()var()]([)]([1)()](var[1)(111111t k t j y E t j y E Nt k t y t k t j y E t j y E Nt k t t j y Nt k R N j N j N j y ∆+∆∆+∆∆=∆+∆∆+∆∆∆=∆∑∑∑-=-=-=δδ2-13这里时间积分∑∑⎰-=-==∆*∆=*11110*111N j N j T Nt t N dt T ，因此稳态自协方差)()var()()var()(t k h y t k t y t k C y ∆=∆∆=∆δ同样地，为了观测频域特征，将均值的Fourier 系数表示为∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∆=112exp )]([1N j n N jn i t j y E NY π 这里离散周期Fourier 变换]2exp[*1]2exp[1]2exp[111110Njni N t t j t N n i t N dt t T n i T N j N j T πππ-=∆∆∆-*∆=-*∑∑⎰-=-= 同样将自相关函数)(t k R y ∆进行离散Fourier 变换t MNkli t k R t k R DFT MN MNk y y ∆-∆=∆∑--=1]22exp[)()]([π这里Fourier 变换为t t k tMN li d v i MN MNk ∆∆∆-=-∑⎰--=∞∞-1]22exp[*]2exp[*πττπ这里无穷积分上下限用MT 2周期来代替，那么频率分辨率为)2/(1)2/(1t MN MT v ∆==∆，]1,[--∈MN MN l ，v l v ∆=。
那么v Y t y Y Y t MN t y T n P t MN jljl kl i t k t j y E t j y E Nt MNkli t k y t MN kli t k R t k R DFT n n n MN MNk N j MN MN k MN MNk y y ∆+∆=∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆-+-∆+∆∆+∆-∆=∆-∆=∆∑∑∑∑--=-=--=--=1||]var[2]var[]22exp[)]([)]([1]22exp[)(]var[]22exp[)()]([2*1111ππδπ2-14第一项是由于只有0=k 时，t t k ∆=∆/1)(δ，后面的项计算参考文献[XGodivier, F. Chapeau-Blondeau, Noise-assisted signal transmission in a nonlinear electronic comparator, Signal Processing, 56:293-303, 1997]中利用∑--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=122exp MN MNk MN kl i W π的一些性质证明。
由公式2-14可以看出，功率谱为一个常数背景t y ∆]var[上，谱线T /1以及其谐频T n /。