精品课件-随机过程-第7章
第7章 非平稳随机过程
所谓高阶统计量，通常应理解为高阶矩、高阶累积量以及 它们的谱———高阶矩谱和高阶累积量谱这四种主要统计量。 一般来说 ，在信号处理等中利用高阶统计量和高阶谱具有以 下三个方面的原因:
(1 )在检测、参数估计和信号重建问题中抑制未知谱特 性的高斯噪声(双谱还能抑制具有对称概率密度函数的非高斯 噪声);
第7章 非平稳随机过程 (2 )双谱: n Nhomakorabea3 ，则
其中 cε3 X (τ 1 ， τ 2 )为 X 的三阶累积量函数。
第7章 非平稳随机过程 (3 )三谱: n =4 ，则
其中 Cε4 X ( τ 1 ， τ 2 ， τ 3 )为 X 的四阶累积量函 数。
第7章 非平稳随机过程
7.1.3 线性非正态过程 设线性时不变系统 L 的输入和输出分别为平稳过程 X =
第7章 非平稳随机过程
7.2 非平稳过程的 Wigner-Ville 时频谱分析
在通信、雷达和水声等应用中，传输介质和目标散射的作 用常作为随机时变空变的系统来处理，这时，即使被传输的信 号是确定性的，其接收信号或回波也是随机时变的，甚至是非 平稳的，通过对这种系统输出的 Wigner-Viller ( WV )谱分 析，可获得系统的时频分布的信息特征。因此，很有必要研究 线性随机时变系统的 WV 谱。
第7章 非平稳随机过程
与确定性连续信号的 WVD 定义相比，只是在上式中还需要取 数学期望。将( 7.2.2 )式代入(7.2.3 )式，得
可见随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱是 ( 7.2.2 )式对称型自相关函数R X ( t ， τ )关于 τ 的 Fourier 变换。
第7章 非平稳随机过程
数为
在上式中先以 n - ( m / 2 )代替 n ，并令 k = m / 2 ， 可得对称型自相关函数为
第7章 非平稳随机过程
与确定性离散信号的 WV 分布定义相似(关于确定性离散信号 的 WV 分布定义和性质可参阅参考文献[9 ])，随机时变离散 信号和非平稳随机序列的 WV 谱定义为
同样，它和确定性离散信号的 WVD 定义相比，只是在上式中 还需取数学期望。将( 7.2.6 )式对称型自相关函数代入 (7.2.7 )式 WV 谱，得它们的关系为
第7章 非平稳随机过程 性质 7.1.3 (可加性)如果 X ik ， i =1 ， 2 ，…，
m ， k =1 ， 2 ，…， n 为独立复随机变量，则
可加性是累积量的一个非常重要的性质，但这一性质对高 阶矩并不成立。
第7章 非平稳随机过程 性质 7.1.4 (盲高斯性)设( X 1 ， X 2 ，…， X n )为
第7章 非平稳随机过程
第二个原因是因为高阶谱保持了信号的真实相位特性。由 于二阶统计量一般是由最小二乘优化准则得到的，故对于信号 处理问题中的时间序列数据的处理几乎毫无例外地使用了二阶 统计量。然而，自相关域中相位信息受到抑制，在自相关域 (或功率谱域)中进行准确的相位重建仅对最小相位信号才能实 现。另一方面，由于多谱既保持了正确的振幅信息，也保持了 正确的非最小相位信息，因此可在高阶谱域内进行非最小相位 信号的重建或系统识别。
X i ， i =1 ， 2 ，…， n 为复随机变量，则
第7章 非平稳随机过程
7.1.2 多谱(累积量谱)
如果平稳过程 X = { X (t )， t ∈ T }的 n 阶累积量
函数 c
ε nX
(τ
1
，…，
τ
n
-1
)绝对可积，即
则 cεnX(τ 1 ，…， τ n -1 )的 n -1 维 Fourier 变换存在 且连续，称之为 X 的 n 阶谱或 n -1 谱，即
q }为 I 的一种分割( Partition )，求和符号
示对
I 所有可能的分割求和。
第7章 非平稳随机过程
利用( M－C )公式知，复严平稳过程 X ( t )的一、二、 三和四阶累积量(假设存在)分别为
第7章 非平稳随机过程
第7章 非平稳随机过程
特别地，若 X (t )为实的严平稳过程，则在( 7.1.6 )式中 取 τ =0 得
这种 WV 谱也具有确定性离散信号 WVD 的很多性质。
第7章 非平稳随机过程
7.2.3 线性随机时变系统输出的 WV 谱 由上述研究可知，只要对线性非随机时变系统输出的
WVD 式中有关量取数学期望即得线性随机时变系统输出的 WV 谱。因此，若输入 x (t )是确定性信号，系统是线性随机时 变的，则输出 Y 的 WV 谱定义为
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质
平稳过程的自相关函数和功率谱密度只含有信号的二阶统 计量中所包含的信息。因此，自相关函数和功率谱密度足以完 全地统计描述具有已知均值的平稳正态过程。但由于平稳过程 的自相关函数和功率谱密度不包含该平稳过程的相位信息，而 在实际应用中往往需要提取信号的相位信息。随机过程的高于 二阶的统计量及其 Fourier 变换———高阶谱则含有过程的 相位信息和由于偏离高斯性的有关信息。
WV 谱具有确定性连续信号 WVD 的很多性质，和其它谱 表示(如周期图等)比较， WV谱不要求过程的能量有限，也不 受分析时间的限制，因此，它特别适合随机时变和非平稳随机 过程的分析。
第7章 非平稳随机过程
7.2.2 随机时变离散信号和非平稳随机序列的 WV 谱 随机时变离散信号和非平稳随机序列 X (n )的自相关函
n 维复高斯随机变量，且 n >2 ，则
该性质是累积量的另一个重要性质，它对高阶矩也不成立。
第7章 非平稳随机过程
性质 7.1.5 如果复随机变量 X i (i =1 ， 2 ，…， n )的一个子集与其余的随机变量独立，则
这一性质对高阶矩也不成立。 性质 7.1.6 设 αi ， i =1 ， 2 ，…， n 为复常数，
每个随机变量都有共轭和非共轭两种选择，因此其 k 阶矩和 其 k 阶累积量有 2k种形式。为使之具有一般性，我们定义
第7章 非平稳随机过程
分别为 X 的 k 阶矩和 k 阶累积量，其中
而 ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k ) = E { exp [ j ( ω 1 X( ε 0 ) (t ) + ω 2 X ( ε 1 ) (t + τ 1 ) + … + ω k X( ε k -1 ) (t + τ k -1 )]}为 k 维 随机向量( X ( ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…， X( ε k -1 ) (t + τ k -1 ))的 特征函数(也称为矩生成函数)，其对数 ln ΦεX ( ω 1 ， ω 2 ，…， ω k )通常称为 k 维随机向量( X( ε 0 ) (t )， X( ε 1 ) (t + τ 1 )，…，X( ε k -1 ) (t + τ k -1 )的第二特征函数(或
第7章 非平稳随机过程
最后，高阶谱对于我们识别在随机输入工作下系统的非线 性性是非常有用的，高阶谱在利用输出数据来检测和刻画系统 的非线性性中起着至关重要的作用。
本节简要介绍复随机过程的高阶统计量的定义及性质。
第7章 非平稳随机过程
7.1.1 矩与累积量 设 X = { X (t )， t ∈ T }为一复随机过程，由于其
第7章 非平稳随机过程 特别地，若 X 为非正态的独立过程，则其 n 阶累积量
谱为
从而输出过程 Y 的 n 阶累积量谱为
第7章 非平稳随机过程 可见， Y 的 n 阶累积量谱与 n -1 阶累积量谱具有关系
因此，除了一个常数因子外，可由非正态的线性过程的双谱得 到其功率谱，即
由于高阶谱能够保持相位信息，因此可将之用于非最小相 位系统的识别。
{ X (t )， t ∈ ( -∞ ， ∞ )}和 Y ={Y ( t )， t ∈ ( -∞ ， ∞ )}，且线性时不变系统 L 是稳定的，即其脉冲 响应函数绝对可积，若输入过程 X 的 n 阶累积量谱存在， 则输出过程 Y 的 n 阶累积量谱也存在且为
其中 H (ω )为线性时不变系统 L 的频率响应。
一般地，对 n >2 ， CεnX ( ω 1 ，…， ω n -1 )是复的，它 存在振幅和相位。
第7章 非平稳随机过程 累积量谱还是一个周期为 2π 的周期函数:
我们设功率谱、双谱和三谱为累积量的特例，具体说明如下: (1 )功率谱: n =2 ，则
其中 c2 X (τ )为 X 的协方差函数。
第7章 非平稳随机过程
7.2.1 随机时变连续信号和非平稳随机过程的 WV 谱 随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的自相关函数为
若用 t - (τ / 2 )代替上式中的 t ，可得其对称型的自相关 函数为(仍记为 R X ( t ， τ ))
第7章 非平稳随机过程
与确定性连续信号的 Wigner-Ville 分布( WVD )定义相似 (关于确定性连续信号的 WV 分布定义与性质，可参阅参考文 献[9 ])，随机时变连续信号和非平稳随机过程 X 的 WV 谱 定义为
(2 )重建信号或系统的相位与振幅响应; (3 )识别非线性系统或检测与刻画时间序列的非线性性。
第7章 非平稳随机过程
其中第一个原因的根据是只有正态过程的所有阶数大于 2 的高阶累积量恒为 0 。若接收到的是伴有加性正态噪声的非 正态信号，则在高阶累积量域中处理便可去掉噪声。可见，在 类似这样的信号处理应用中，在观测数据的高阶谱域中进行检 测与估计信号参数，便有某些优势。特别地，高阶谱域可以变 为高信噪比(SNR )域，因此在高阶谱域可以进行检测、参数 估计，甚至于整个信号的重建。
第7章 非平稳随机过程
第7章 非平稳随机过程
7.1 随机过程的高阶统计量的定义和性质 7.2 非平稳过程的 Wigner-Ville时频谱分析 7.3 循环平稳过程 7.4 二阶循环平稳过程的循环相关函数与循环谱 7.5 高阶循环平稳过程的循环累积量与循环谱 习题七
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通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
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随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
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随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
随机过程及其统计描述ppt课件.ppt
任意时刻下，观测目的是X取什么值；全程的情况下， 观测目的是X(t)的函数形式.
7
12.1 随机过程的概念
随机相位正弦波
随机过程举例
考虑： X (t) a cos(t ), t (,)
式中 a,是正常数，是 (0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
当 在(0, 2 ) 内随机的取一个值 i ，可得样本函数：
2
0 cos(t1 ) cos(t2 ) f ( )d
a2
2
2
0 cos(t1 ) cos(t2 )d
a2
4
2
0 {cos[(t1 t2 ) 2 ] cos(t1 t2 )}d
a2 2
cos (t1
t2 )
方差函数
2 X
(t)
RX
(t , t )
2 X
(t)
a2 2
18
12.2 随机过程的统计描述
随机过程举例
抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}, 现借此定义随机过程：
cos t,
X (t) t，
当出现H, 当出现T,
t (, )
可将此随机过程改写为
X (t) Y cost (1Y )t ,
其中
Y
1, 0,
出现H 出现T
,
t (, )
X对Y和t的依赖，决定了X是一个随机过程. 确定了 Y之后，即可确定任意时刻和全程的观测结果.
集平均(统计平均)
X (t)是随机过程的所有样本函数在时刻 t 的函数值的平均值，通常称
这种平均为集平均或统计平均。
12
12.2 随机过程的统计描述
(二) 随机过程的数字特征
均方值函数
Ψ
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2010-7-30 理学院 施三支
五、有漂移的布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个标准布朗运动， X (t ) B (t ) t ， 我 们称 { X (t ), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t 0 可以算出
2010-7-30
理学院 施三支
7.5
可以计算出
布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx inf{t 0 : B (t ) x} ，我们
x 0 时 P{Tx t} 2 P{B (t ) x}
从而 P{Tx } lim P{Tx t} 1 ，但是
随机过程课件
1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x
1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12
2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。
随机过程的基本概念ppt课件
求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数： rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间：
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征（连续）
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } （1）如果 KX(t1,t2)0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度： fX(x,t)fX(x)
二维概率密度： fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0
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随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
《数学随机过程》PPT课件
所以X与Y不相关。 故 (X,Y )=0 X与Y不相关
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
几何直观意义
3.3 随机分析初步
附注C—关于赋范线性空间概念的回顾
设V是一个线性空间，若 V，存在一个实数|| ||与
之对应，且具有下列性质：
(1) || ||0 , 且|| ||=0 =0 ； (2) ||c· ||= |c|·|| || , 特别 ||- ||= || ||； c R (3) || + || || ||+ || ||； V 则称|| || 为V中元素 的范数(norm)(模、长度)，此时线
CXX (t1, t2 ) cov{ X (t1), X (t2 )} E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} | CXX (t1, t2 ) |2 | cov{ X (t1), X (t2 )} |2 | E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]} |2 {E | [ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )] |}2 E | X (t1) mX (t1) |2 E | X (t2 ) mX (t2 ) |2 D[ X (t1)]D[ X (t2 )]
3.3 随机分析初步
附注A—关于线性空间概念的回顾
设V是一个非空的集合，K是一个数域，又设
(a)在V中定义加法： , V : + V ; (b)在V中定义数乘： V, k K: k · V ; 且 , , V , k,l K , 满足 (1) k ,l K, , V : (2) +( +)= ( + )+ ; (3) + = + ; (4)0V, V: +0= ; (5) V, V: +=0 (6) 1 K: 1· = ; (7) k ,l K, V: (kl)· =k·(l) ; (8)k ,l K, V: (k+l) = k +l ; (9) k K, , V : k( + )= k + k .
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT
主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位， 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月，作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月，作为工程技术负责人， 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月，作为工程负责人，完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象
第7章 窄带随机过程
h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
90
0 0
H ( ) 的相移
1
0
0
H () 1
90
2
解析信号（用信号的希尔伯特变换构造解析信号）
• 由实信号 x(t ) 作为复信号 z(t ) 的实部， x(t ) 的希尔伯特变 换作为复信号 z(t ) 的虚部，即
H () 1
/ 2 0 ( ) /2 0
相频特性为：
正 交 滤 波 器
1 希尔伯特变换 希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
什么叫窄带？当信号的带宽远小于载波频率时， 则该信号称为窄带信号，如通信系统中的调幅信号 和调频信号。正弦信号或余弦信号为单频信号（谱线）， 是最窄的一种窄带信号，实际上它的带宽等于 0 ， 而扩频信号则为宽带信号。这些概念对于理解 窄带随机过程是很重要的。
窄带随机过程
高斯白噪声是一种典型的随机过程，它的概率密度函数为正 态分布（又称高斯分布） ，它的功率谱在整个频率范围内为常数， 故称之为“白” 。当它通过一个窄带滤波器后，就形成了一种窄带 高斯噪声， 它是一种典型的窄带随机过程， 如图所示。 图中 ni (t ) 为 输入高斯白噪声， n0 (t ) 为输出窄带高斯噪声，NBPF 为窄带滤波 器，根据前面随机信号通过线性系统的结论，得输出窄带高斯噪 声的功率谱及窄带随机过程的时域波形如下页图所示。
5
1. 窄带随机过程的定义
一个实平稳随机过程X(t)，若它的功率谱密度：