第七章马尔可夫过程简介
马尔可夫决策过程简介
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种在人工智能和运筹学领域广泛应用的数学模型。
它可以描述一类随机决策问题，并提供了一种优化决策的框架。
在现实世界中，许多问题都可以被建模为马尔可夫决策过程，比如自动驾驶车辆的路径规划、机器人的行为控制和资源分配等。
1. 马尔可夫决策过程的基本概念在马尔可夫决策过程中，问题被建模为一个五元组（S, A, P, R, γ）：- S 表示状态空间，包括所有可能的状态；- A 表示动作空间，包括所有可能的动作；- P 表示状态转移概率，描述了在某个状态下采取某个动作后转移到下一个状态的概率分布；- R 表示奖励函数，描述了在某个状态下采取某个动作后获得的即时奖励；- γ（gamma）表示折扣因子，用于平衡当前奖励和未来奖励的重要性。
2. 马尔可夫决策过程的模型马尔可夫决策过程的模型可以用有向图表示，其中节点表示状态，边表示从一个状态到另一个状态的动作，边上的权重表示状态转移概率和即时奖励。
通过对模型进行分析和计算，可以找到最优的决策策略，使得在长期累积奖励最大化的情况下，系统能够做出最优的决策。
3. 马尔可夫决策过程的求解方法对于小规模的马尔可夫决策过程，可以直接使用动态规划方法进行求解，比如值迭代和策略迭代。
值迭代是一种迭代算法，通过不断更新状态值函数来找到最优策略；策略迭代则是一种迭代算法，通过不断更新策略函数来找到最优策略。
这些方法可以保证最终收敛到最优解，但是计算复杂度较高。
对于大规模的马尔可夫决策过程，通常采用近似求解的方法，比如蒙特卡洛方法、时序差分学习方法和深度强化学习方法。
蒙特卡洛方法通过对大量样本进行采样和统计来估计状态值函数和策略函数；时序差分学习方法则是一种在线学习算法，通过不断更新估计值函数来逼近真实值函数；深度强化学习方法则是一种基于神经网络的方法，通过端到端的学习来直接从环境中学习最优策略。
马尔可夫过程简介
1第七章 马尔可夫过程简介§7.1 马尔可夫过程定义对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻k t 所处的状态为已知的条件下，过程在将来时刻k t t >处的状态，只与过程在k t 时刻的状态有关，而与过程在k t 时刻以前所处的状态无关，则具具有此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。
上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。
无后效应也理解为：过程)(t X 在现在时刻k t 的状态，k k i t X =)(已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来”和“过去”就无关了。
严格定义如下：定义马尔可夫过程：考虑随机过程)(t X ，并设1110+<<<<k k t t t t t ，如果它的条件概率密度函数满足)]()([)](,),(),()([1011k k k k k t x t x f t x t x t x t x f +-+= 则称为)(t X 为马尔可夫过程。
定义表明，)1(+k t x 的概率密度函数只取决于)(k t x 的状态，而与前)(,),(01t x t x k -个状态无关。
也就是“现在”的状态)(k t x 才对“将来”的状态)(1+k t x 有影响，而“过去”的状态)(,),(),(021t x t x t x k k --对“将来”没有影响。
由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。
∵ ])(,),()([01t x t x t x f k k +)](,),(),([)](,),(),(),([01011t x t x t x f t x t x t x t x f k k k k k --+=)](,),(),(),([011t x t x t x t x f k k k -+2)](,),(),([)](,),(|)([0101t x t x t x f t x t x t x f k k k k -+= )](,),(),([)](|)([011t x t x t x f t x t x f k k k k -+=∏=+=ki i i t f t x t x f 01)()](|)([由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
7.1.1第七章马尔可夫决策
• 如果已知系统在初始阶段的分布，即系统在初始阶段处于各状态
(0)
的概率 , i = 1, 2, ⋯ , 以及转移概率矩阵P，则在步后处于状
()
态j的概率 可以由下式计算得出：
= = = = 0 = (0 = ) =
集。如果状态空间也是离散的，则我们一般用 = 1, 2, 3, … 来
表示状态空间。
• 条件概率P = j −1 = 表示已知马尔可夫过程 X , ∈ T 在
第 − 1步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
转移概率。由于它表示的是从第 − 1步到第步的转移概率，因
→∞
马尔可夫链的极限分布。
• 注意：平稳分布和极限分布是两个不同的概念，而且确实存在两
者不一致的情况。
• 在本课程中，我们只考虑二者一致的情况。
• 定理： X , ∈ T 是不可约非周期的马尔可夫链，转移概率矩阵，则
该马尔可夫链存在极限分布当且仅当存在平稳分布，并且此时两者相
等。
• 这时，平稳分布可以通过求解稳态方程
此是一步转移概率。
• 如果条件概率P = j −1 = 只与状态和j有关，而与时刻无
关，则称之为平稳转移概率，记为pij = P = j −1 = 。
• 如果马尔可夫过程 X , ∈ T 的时间集T是离散的，状态空间也
是离散的，而且转移概率是平稳的，则称 X , ∈ T 为（齐次）马
− 步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
()
步转移概率，记为 。相应的步转移概率矩阵为
()
()
p11
… p1n
=
⋮
第7章 马尔可夫过程与泊松过程
第7章 马尔可夫过程与泊松过程7.1 马尔可夫过程1．引例例1：随机游动问题。
质点在一直线上作随机游动，如果某一时刻质点位于点i ，则下一步质点以概率p 向左移动一格达到点1-i ，以概率)1(p -向右移动一格达到点1+i 。
用)(n X 表示时刻n 质点的位置，则)(n X 是一随机过程。
在时刻1+n 质点所处的位置)1(+n X 只与时刻n 质点的位置)(n X 有关，而与n 以前的位置)1(-n X …)2(X 、)1(X 无关。
例2：遗传病问题。
某些疾病常遗传给下一代，但不隔代遗传。
第1+n 代是否有此种疾病只与第n 代是否有此疾病有关，而与n 代以前的健康状况无关。
2．马尔可夫过程描述性概念一般而言，若随机过程在时刻n t 所处的状态)(n t X 为已知的条件下，过程在时刻t （n t t >）所处的状态)(t X 只与过程在时刻n t 的状态)(n t X 有关，而与n t 以前的状态无关，则称此过程为马尔可夫过程。
3．马尔可夫过程分类马尔可夫过程分为四类：（1） 离散马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，可直接记为 ,,2,1n t =。
状态)(n X 取离散值1a ， ,2a ,n a ，可直接记为 ,,2,1n X =。
（2） 连续马尔可夫链：时间t 取离散值1t ， ,2t ,n t ，状态)(n X 取连续值。
（3） 离散马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取离散值。
（4） 连续马尔可夫过程：时间t 取连续值，状态)(t X 取连续值。
.4．马尔可夫过程的研究与应用概况在随机过程的研究领域，马尔可夫过程是主要的研究对象，有关的专著、专题无计其数，其原因是马尔可夫过程与众多的应用领域有关联。
5．马尔可夫链（1）定义设时间t 取离散值 ,,2,1n t =，记)(n X X n =，设状态n X 取有限个离散值N X ,2,1=，若{}{}i X j X P i X i X i X j X P n n n n n n =======+--+111111,,称n X 马尔可夫链。
马尔可夫过程
P{将来|现在、过去}=P{将来|现在}
马尔可夫过程分类 按其状态空间I和时间参数集T是连续还是离散可分成四类(如表1)。 讨论的内容： 定义：转移概率及转移概率矩阵；齐次性；平稳分布；遍历性； 其他性质。
2
表1 马尔可夫过程的分类
分类名称 时间参数集T 状态空间I
离散
连续
离散 (n=0,1,2,…)
1、马尔可夫过程的一般概念 （1）、定义 t T ，若在 t1, t2 , 设有一随机过程X(t)，
时刻对X(t)观测得到相应的观测值
x1, x2 ,
, tn 1, tn t1 t2
, xn 1, xn
tn 1 tn T
满足条件
（7-61）
或
（7-62）
则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中
连续 (t≥0)
马尔可夫链
马尔可夫序列
可列马尔可夫过程
马尔可夫过程
3
1.1
马尔可夫序列
1、马尔可夫序列的定义 定义：若对于任意的n，随机序列{X(n)}的条件分布函数满足 则称此随机序列{X(n)}为马尔可夫序列。 条件分布函数FX(xn|xn-1)常被称为转移分布。 对于连续型随机变量，由上式可得
f X ( xn | xn 1, xn 2 , , x1 ) f X ( xn | xn1 )
因此，利用条件概率的性质
(2)
f X ( x1, x2
, xn ) f X ( xn | xn 1, xn 2 ,
, x1 )
f X ( x2 | x1 ) f X ( x1 ) (3)
结合式(2)可得
14
2）一维分布
马氏链在第n步所处状态为aj的无条件概率称为马氏链的“一维分布”， 也称为“状态概率”。表示为
机器学习中的马尔可夫决策过程详解
机器学习中的马尔可夫决策过程详解马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是机器学习中重要的数学模型之一，广泛应用于强化学习问题的建模和求解。
MDP提供了一种形式化的方式来描述具有时序关联的决策问题，通过定义状态空间、动作空间、状态转移概率和奖励函数等元素，可以找到在不确定环境下最优的决策策略。
首先，我们来了解一下MDP的基本概念。
MDP由一个五元组<S, S, S, S, S>构成，其中：- S表示状态空间，包含所有可能的状态。
- S表示动作空间，包含所有可能的动作。
- S(S'|S, S)表示从状态S执行动作S后的状态转移概率，即在状态S下执行动作S后转移到状态S'的概率。
- S(S, S, S')表示在状态S下执行动作S后转移到状态S'获得的奖励。
- S是一个折扣因子，用于调整未来奖励的重要性。
在MDP中，决策是根据当前的状态选择一个动作，然后将系统转移到下一个状态，并根据奖励函数获得相应的奖励。
决策的目标是找到一个策略S，使得在当前状态下选择动作时能够最大化预期总奖励。
为了形式化地描述MDP的决策过程，我们引入了价值函数和策略函数。
价值函数S(S)表示在状态S下按照策略S执行动作所获得的预期总奖励。
策略函数S(S|S)表示在状态S下选择动作S的概率。
根据马尔可夫性质，一个好的策略应该只依赖于当前的状态，而不受之前的状态和动作的影响。
马尔可夫决策过程的求解通常采用动态规划的方法，其中最著名的方法是价值迭代和策略迭代。
价值迭代是一种基于价值函数的迭代方法。
它通过不断更新状态的价值函数来逐步优化策略。
在每一次迭代中，我们根据贝尔曼方程S(S) = max S∑S' S(S'|S, S) (S(S, S, S') + SS(S'))来更新每个状态的价值函数。
其中max运算表示在当前状态下选择能够最大化预期总奖励的动作，S(S'|S, S)表示从状态S执行动作S后转移到状态S'的概率，S(S, S, S')表示在状态S下执行动作S后转移到状态S'获得的奖励，S是折扣因子，S(S')表示状态S'的价值函数。
经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法
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安全在于心细，事故出在麻痹。21.1.1 321.1.1 301:42:3101:4 2:31Jan uary 13, 2021
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加强自身建设，增强个人的休养。202 1年1月 13日上 午1时4 2分21. 1.1321. 1.13
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感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。21. 1.13202 1年1月 13日星 期三1 时42分3 1秒21. 1.13
谢谢大家！
4、预测第21月的销售情况
由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次 转移到达三种状态的概率是：
P31
2 7
P32＝0 P33＝
5 7
P33 P31 P32
因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。
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每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。21.1.1 321.1.1 3Wedn esday , January 13, 2021
P(n) P PP Pn
n个
即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。
定理2：若记Pn的元素为Pij(n) 则有
lim
n
p (n) ij
pj
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
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做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 021年1 月上午 1时42 分21.1.1 301:42 January 13, 2021
马尔可夫过程 鞅过程 通俗
马尔可夫过程鞅过程通俗
马尔可夫过程和鞅过程是概率论和随机过程中两个重要的概念，以下是它们的通俗解释：
1. 马尔可夫过程：
马尔可夫过程是一种随机过程，它的未来状态只取决于当前状态，而与过去的历史无关。
换句话说，给定当前时刻的状态，未来的状态是独立于过去的状态的。
这就像是一个“健忘”的过程，它不记得过去发生了什么，只根据当前的情况来决定未来。
举个例子，考虑一个人在城市中行走的过程。
假设他当前所在的位置决定了他下一步可能去的地方，而他过去的位置对他的未来路径没有影响。
那么这个行走过程可以被建模为马尔可夫过程。
2. 鞅过程：
鞅过程是一种特殊的马尔可夫过程，它满足“鞅性”，即在任何时刻，过程的期望等于其当前值。
这意味着，从长远来看，过程的平均变化是零。
再举个例子，假设你在玩一个抛硬币的游戏，每次抛硬币都有一半的概率正面朝上，一半的概率反面朝上。
如果你把每次抛硬币的结果加起来，那么从长远来看，你的总和应该接近于零，因为正面和反面出现的次数大致相等。
这个游戏的过程可以被建模为鞅过程。
总的来说，马尔可夫过程和鞅过程是随机过程的两种重要类型，它们在金融、统计、物理等领域都有广泛的应用。
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随机过程教案
第七章 马尔可夫过程简介
§7.1 马尔可夫过程定义
对于一个随机过程，如果它具有以下特性：即当过程在现在时刻 tk 所处的状态为已知的条件下，过程在 将来时刻 t tk 处的状态，只与过程在 tk 时刻的状态有关，而与过程在 tk 时刻以前所处的状态无关，则具具有 此种特性的随机过程称为马尔可夫过程。上述随机过程所具有的特性又称为无后效应。无后效应也理解为：过 程 X (t ) 在现在时刻 tk 的状态， X (tk ) ik 已知的条件下，过程“将来”的情况与“过去”的情况是无关的。或 者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么“将来” 和“过去”就无关了。 或者说，这种随机过程的“将来”只是通过“现在”与“过去”发生联系，如果一旦“现在”已知，那么 “将来”和“过去”就无关了。 严格定义如下： 定义马尔可夫过程：考虑随机过程 X (t ) ，并设 t0 t1 t1 tk t k 1 ，如果它的条件概率密度函数满 足 f [ x (tk 1 ) x (t k ), x(tk 1 ),, x (t0 )] f [ x(tk 1 ) x (tk )] 则称为 X (t ) 为马尔可夫过程。 定义表明，x(tk 1) 的概率密度函数只取决于 x(tk ) 的状态， 而与前 x(tk 1 ),, x(t0 ) 个状态无关。 也就是 “现 在”的状态 x(tk ) 才对“将来”的状态 x(t k 1 ) 有影响，而“过去”的状态 x(tk 1 ), x(t k 2 ),, x(t0 ) 对“将来” 没有影响。 由马尔要夫定义再根据条件密度函数公式，可写出马乐可夫过程的联合概率密度。 ∵
1
沈阳理工大学
随机过程教案
f [ x(tk 1 ) | x(tk ),, x(t0 )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk 1 ) | x(tk )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )]
i 0 kຫໍສະໝຸດ f [ x(tk 1 ) x(tk ),, x(t0 ) ]
f [ x(tk 1 ), x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )] f [ x(tk 1 ), x(tk ), x(tk 1 ),, x(t0 )]
S1 , S 2 ,, S m 之一，显然事先我们并不能断言岩性到底应转移到哪个状态，只能给出岩性可能转移到某个状态
的概率，这个概率称为转移概率。应用转移概率可以对未来时刻出现的状态种类进行预测。 1. 一阶转移概率 马氏链要以看作是不同状态间的转移过程，当过程在 t n 时刻处于状态 i 条件下，在 t n 1 时刻转移 到状态 j 的概率称为转移概率，记为 P ( xn 1 j | xn i ) Pij (n, n 1) ，这里 i, j 并非一般足标，而是表示两种 状态，并且是从状态 i 向状态 j 转移。 如果状态个数是有限的 m 个，则由转移概率组成的矩阵为 m m 的矩阵，称该矩阵为转移概率矩阵，特 别当马氏链的转移概率 Pij (n, n 1) 只与状态 i, j 有关，而与 n 无关，则称这种马氏链为齐次（或平稳的）马氏 链，此时的转移概率记为 Pij 。其转移概率矩阵可写为
马尔可夫链是一个时间离散、状态离散的时间序列，它的特点是具有无后效应，序列中它在某一时刻的某 一种状态变为另一时刻的某种状态称为状态的转移。 例如在地质工作中，我们可以把岩性看成一个随机运动着的量，而地层剖面上的岩性种类有砂岩、泥岩、 页岩、石灰岩等，设地层剖面岩性种类有 m 种，这 m 个岩性可看成 m 个不同的状态，记为 S1 , S 2 , , S m ，岩 性每经过一个单位时间作一次随机转移，不妨假设岩性现在处于状态 S5 ，那么下次岩性的状态转移可能是
f [ x(ti 1 ) | x(ti )] f (t0 )
由上式要知，马尔可夫过程的联合概率密度函数等于各个转移概率密度和初始概率密度的乘积。
一般地，马尔可夫过程按照其状态和时间参数是连续还是离散，常划分成以下三个讨论和研究。
①时间离散、状态离散的马尔可夫过程，常被称为马尔可夫链；
②时间连续、状态离散的马尔可夫过程；
例如，一个柱状图，如果第 n 1 层岩性只与第 n 层岩性有关，而与更早的岩层无关，则此岩性系列构成 一个马氏链。
2
沈阳理工大学
随机过程教案
由上可知马尔可夫链实际上是当马尔可夫过程时间离散、状态离散的一个特殊过程。因此，马尔可夫链同 样具有马氏过程的重要特性“无后效益” 。所谓无后效应对于马氏链来说就是已知现在质点所处的状态条件下， 将来质点所处的状态，只与现在质点所处状态有关，而与质点过去所处的状态无关。可以理解秋，这个过程的 历史对未来的全部影响集中在最时刻的状态中，即认为系统的任何观测结果只和紧接前面的观测结果有关。
③时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章重点介绍马尔可夫链。
§7.2 马尔可夫链及其转移概率
设有一质点 P，它在状态 S1 , S 2 , S3 , , S m 上随机地运动，每隔一个单位时间改变一次状态。如果我们把 “质点 P 在时刻 t 所处的状态 S e (i 1,2,, m) ”这一随机事件记为 xt it 那么当上述质点 P 的运动过程具有 下述性质。
P [ xt 1 it 1 | xt tt , xt 1 it 1 ,, x0 i0 ] P [ xt 1 it 1 | xi it ]
时，则称系统状态 {x1} 为一个马尔可失过程，特别地，如果时章离散的 (t 0, 1, 2, ) ，状态也是离散的 。此时系统状态 {x1} 称为一个马尔可夫链，简称马氏链。马氏链中状态数目可以是有限工无 （ S1 , S 2 ,, S m ） 限。