三.平稳随机过程
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平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程
所以，X(t), Y(t)为联合平稳的。 同样的方法可算得
RYX ( ) AB cos( ) 2
随机分析
引言
一、均方收敛及均方连续 二．随机过程的均方导数 三．随机过程的均方积分
一、均方收敛及均方连续
1.均方收敛的定义：设有二阶矩随机序列
｛Xn,n=1,2,…｝和随机变量X,E(X2)<+,若有
例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B,
, 为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，求RXY()。
解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[ A sin( t )B sin( t )]
0
1
1 1 1 [cos2 m x cos2 ( 2n m ) x ]d x 2 2 0 0
m0 m0
只与m有关，所以 {Xn}为平稳序列。
例4：考虑随机电报信号，信号X t 由只取 I 或 I的电流给出。 P X t I 1 , 2 而正负号在区间 t , t 内变化的次数N t , t 是随机的， 且假设N t , t 服从泊松分布，即： e P N t, t k k 0,1, 2, k! 其中 0是单位时间内变号次数的数学期望，
上述结果与t 无关,故若τ<0时,只需令t=t+τ，则有
E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t ' ) X ( t ' )] E[ X ( t ' ) X ( t ' | |)] I 2e 2| | 故这一过程的自相关函数为
平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳随机过程的概念
具有相同旳分布函数, 则称随机过程{ X (t), t T } 具有平稳性, 并同步称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
第3章 平稳随机过程
上 第三章 平稳随机过程 海 大 上一章讨论的随机过程的数学特征： 学 2 2 E X ( t ) m ( t ) , ( t ) E X ( t ) , ( t ) D X ( t ) , X X X 通 RX ( t1 , t 2 ) , C X ( t1 , t 2 ) , RXY ( t1 , t 2 ) , C XY ( t1 , t 2 ) 。 信 学 1. 它们不仅都是时间的函数，而且相关函数及协方差函数还 院 取决于不同的时刻点。 2 ( t ) 所对应的物理量都是瞬时平均值。 2. 由 mX ( t ) , X ( t ) 和 X 工程上和实际应用中，经常遇到一类广泛存在的所谓“平 稳”随机过程，或在研究相对稳定状态下的物理过程中，其 所 涉及的随机量也都属于“平稳”随机过程。 同样，平稳随机过程是通信系统和各种信号处理中最常遇 到也是最重要的一种特殊类型的随机过程。
一、 互相关函数的性质
（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
一、 互相关函数的性质
（1） RXY (0 ) RYX ( 0 ) （2） RXY ( ) RYX ( ) 2 （3） RXY ( ) RX (0 )RY ( 0 )
1 RXY ( ) [ RX ( 0 ) RY ( 0 )] 2 1 1 2 （4） C XY ( ) [C X (0 ) CY ( 0 )] [ X Y2 ] 2 2
§3.2 平稳过程相关函数的性质
3.2.1 相关函数的性质 设X ( t )为实平稳随机过程，则 EX ( t ) X ( t ) R ( ) （1） R ( ) R ( ) 自相关函数为偶函数。
X
X
X
（2） R ( ) R ( 0 ) ∵ E X ( t ) X ( t ) 0 随机过程在同一时刻点的随机变量的相关性最大。
第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
随机信号分析 第三章平稳随机过程(2)
- -
f(t1 ) X (t2 t1 ) f (t2 )dt1dt2 0 R
3.2.2平稳随机过程互相关函数的性质
性质1:R XY (0)=R YX (0),R XY (0)表随机过程在同一时刻的相关性
性质2：一般情况下，互相关 函数是非奇非偶的函数 RXY ( ) RYX ( ).
如果两个复随机过程各 自平稳且联合平稳，则 RZ1Z 2 (t , t ) RZ1Z 2 ( ) CZ1Z 2 (t , t ) CZ1Z 2 ( )
如果CZ1Z 2 (t , t ) 0, 则称Z1 (t )与Z 2 (t )为不相关过程。 如果RZ1Z 2 (t , t ) 0，则称Z1 (t )与Z 2 (t )为正交过程。
R XY ( )=E[X(t)Y(t+ )]=E[Y(t+ )X(t)]=R YX (- )
性质3 : 互相关函数幅度平方满 | RXY ( ) |2 RX (0) RY (0) 足： 互协方差函数满足： XY ( ) |2 C X (0)CY (0) 2 X 2Y |C
(2)相关时间 | X ( 0 )|=0.05,的时间为相关时间 0。
（3）互相关系数 定义X(t)和Y(t) 的互相关系数为 PXY ( ) R XY ( ) XY ( )= = 1 R X (0)R Y (0) X Y
3.6复随机过程
3.6.1复随机变量 如果X和Y分别是实随机变量，定义Z＝X＋jY 为复随机变量。 复随机变量的数学期望在一般情况下是复数： mZ=E[Z]=E[X]+j E[Y]=mX+jmY
方差则为
2 Z＝E[| ( X mX ) j (Y mY ) |2 ] D[ X ] D[Y ]
平稳随机过程的概念
严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
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2
2 X RX 0 3
1 1
rX 1 ( )
1 0 0
1
2 RX 1 ( ) m X 1 2 X
1
e
2
rX ( )d e d
2 0
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3 t E X sin t Y cost
3
3EXY sin t cos t EX EY 2 EXY EX Y 0
2 2
3 3 2 2
E X 3 sin 3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin 2 t cost
宽平稳随机过程
二维概率密度仅 与时间间隔有关 相关函数仅与时 间间隔有关 均值与时间无关，相关函 数仅与时间间隔有关
5.1.5 平稳过程的相关系数和相关时间
相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
此值在[－1，1]之间。
rX ( ) 1
f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
f X (x ， ， ， 1 x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x 1 x2 ;0, t 2 t1 ) f X ( x 1 x2 ; )
mX mX1 mX 2 10 E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2 2 X RX (0) mX 300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关 均值、均方值、 方差及 E[ X k (t )] 与时间无关
k (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )] 与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程 若随机过程 X(t)满足
mX (t ) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
例4：已知平稳随机过程 X1(t)的自相关函数为 R X ( ) 3e
1 2
2
2 e 1 平稳随机过程 X2(t)的自相关函数为 RX ( ) X
求它们的相关系数和相关时间 X d 0 解：
由 R X 1 ( ) 3e 知 mX 0 1
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2 10cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
5.1.3 循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
2 (t ) E[ X 2 (t )]
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则
此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
方差
协方差
RX (0) RX ()
2 X
CX ( ) RX ( ) RX ()
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100 求X(t)的均值、均方值和方差。 解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ) 式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得 mX 2 RX 2() 10 所以有
E[ X (t )] x1 f X ( x1 )dx1 mX
2 E[ X (t )] x12 f X ( x1 )dx1 X 2
t1
t
2 D[ X (t )] ( x1 mX )2 f X ( x1 )dx1 X
严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( ) 。
证明：
RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
2) 平稳过程的均方值就是自相关函数在
0 时的值
RX (0) E[ X (t )]
rX ( ) 0
表示不相关
表示完全相关
表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个 不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 (1) 相关系数从最大值 1 下降至 0.05 时所经历的时间间 隔 ，记做相关时间, 即:
rX ( 0 ) 0.05
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。 解：
mZ (t ) EZ t EX sin t Y cost
2 lim RX ( ) RX () mX
7) 自相关函数必须满足 并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频
RX ( )e
j
d 0
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
数学期望
均方值
mX RX ()
E[ X 2 (t )] RX (0)
E Z 3 t 2 sin 3 t cos3 t
因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。 解：
2
3) 平稳过程自相关函数的最大值在 0 处，
RX (0) RX ( ) ，同理可得 CX (0) CX ( )
证明：
E[ X (t ) X (t ) ] 0
2
E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 2 RX (0) 2 RX ( ) 0 RX (0) RX ( )
影面积( rX ( ) 积分的一半）来定义相关时间，即 物理意义
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
0
相关时间 0 越小，就意味着相关系数rX ( )随 增加而降 0 落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表示随机过程随时间变化越慢。
平稳随机过程与各态历经过程
2015/10/22
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。 实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起 了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
* 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
t
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 )
t1
t1
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 ) f X ( x1;0) f X ( x1 )
RZ (t1 , t2 ) EZ t1 Z t2 E X sin t1 Y cost1 X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
4) 周期为T的平稳过程 函数也是周期为T的函数
X (t ) X (t T ) ，其自相关
RX ( ) RX ( T )
2 X RX 0 3
1 1
rX 1 ( )
1 0 0
1
2 RX 1 ( ) m X 1 2 X
1
e
2
rX ( )d e d
2 0
因此，Z(t)是宽平稳的。
E Z 3 t E X sin t Y cost
3
3EXY sin t cos t EX EY 2 EXY EX Y 0
2 2
3 3 2 2
E X 3 sin 3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin 2 t cost
宽平稳随机过程
二维概率密度仅 与时间间隔有关 相关函数仅与时 间间隔有关 均值与时间无关，相关函 数仅与时间间隔有关
5.1.5 平稳过程的相关系数和相关时间
相关系数
2 CX ( ) RX ( ) mX rX ( ) 2 CX (0) X
此值在[－1，1]之间。
rX ( ) 1
f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f X ( x1 , x2 ; t1 , t2 )
f X (x ， ， ， 1 x2 ; t1 , t 2 ) f X ( x 1 x2 ;0, t 2 t1 ) f X ( x 1 x2 ; )
mX mX1 mX 2 10 E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2 2 X RX (0) mX 300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关 均值、均方值、 方差及 E[ X k (t )] 与时间无关
k (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X (t )] 与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程 若随机过程 X(t)满足
mX (t ) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
例4：已知平稳随机过程 X1(t)的自相关函数为 R X ( ) 3e
1 2
2
2 e 1 平稳随机过程 X2(t)的自相关函数为 RX ( ) X
求它们的相关系数和相关时间 X d 0 解：
由 R X 1 ( ) 3e 知 mX 0 1
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
除Guass SSS 二阶矩过程 WSS
二阶矩过程 SSCS WSCS
5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2 10cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
5.1.3 循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
5.1.3
循环平稳性
2 (t ) E[ X 2 (t )]
X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则
此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平 稳与宽平稳等价。
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移 动不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻 的影响； 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号； 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中； 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
方差
协方差
RX (0) RX ()
2 X
CX ( ) RX ( ) RX ()
例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100 求X(t)的均值、均方值和方差。 解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ) 式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得 mX 2 RX 2() 10 所以有
E[ X (t )] x1 f X ( x1 )dx1 mX
2 E[ X (t )] x12 f X ( x1 )dx1 X 2
t1
t
2 D[ X (t )] ( x1 mX )2 f X ( x1 )dx1 X
严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关
RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( ) 。
证明：
RX ( ) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
2) 平稳过程的均方值就是自相关函数在
0 时的值
RX (0) E[ X (t )]
rX ( ) 0
表示不相关
表示完全相关
表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。
相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个 不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 (1) 相关系数从最大值 1 下降至 0.05 时所经历的时间间 隔 ，记做相关时间, 即:
rX ( 0 ) 0.05
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。 解：
mZ (t ) EZ t EX sin t Y cost
2 lim RX ( ) RX () mX
7) 自相关函数必须满足 并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频
RX ( )e
j
d 0
率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
数学期望
均方值
mX RX ()
E[ X 2 (t )] RX (0)
E Z 3 t 2 sin 3 t cos3 t
因此，Z(t)不是严平稳的。
例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论 X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。 解：
2
3) 平稳过程自相关函数的最大值在 0 处，
RX (0) RX ( ) ，同理可得 CX (0) CX ( )
证明：
E[ X (t ) X (t ) ] 0
2
E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 2 RX (0) 2 RX ( ) 0 RX (0) RX ( )
影面积( rX ( ) 积分的一半）来定义相关时间，即 物理意义
(2)用钜形（高为 rX (0) 1 ,底为 0 的矩形）面积等于阴
0 rX ( )d
0
相关时间 0 越小，就意味着相关系数rX ( )随 增加而降 0 落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表示随机过程随时间变化越慢。
平稳随机过程与各态历经过程
2015/10/22
1
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。 实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？ * 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起 了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
* 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下
t
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。 严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
(2) 一、二维概率密度及数学特征
严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 )
t1
t1
f X ( x1; t1 ) f X ( x1; t1 ) f X ( x1;0) f X ( x1 )
RZ (t1 , t2 ) EZ t1 Z t2 E X sin t1 Y cost1 X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
4) 周期为T的平稳过程 函数也是周期为T的函数
X (t ) X (t T ) ，其自相关
RX ( ) RX ( T )