第五讲-平稳随机过程
E[ X 2 (t )] = RX (0) = 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数： 相关系数：
rX (τ ) =
K X (τ )
σ
2 X
=
2 RX (τ ) − mX 2 σX
相关时间： 相关时间：
τ 0 = ∫ rX (τ )dτ
(4) 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量， 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，
X (t ) = A cos( ω 0 t + Φ ) + N (t )
A2 R X (τ ) = cos ω 0τ + RN (τ ) 2
(5)
2 2 RX (0) = σ X + mX
3 2 3
E ( XY ) = E (YX ) = E ( X ) E (Y ) = 0
mZ (t ) = E[ Z (t )] = E[ X ]cos t + E[Y ]sin t = 0
RZ (t1 , t2 ) = E[ Z (t1 ) Z (t2 )] = E{[ X cos t1 + Y sin t1 ][ X cos t2 + Y sin t2 ]} = E[ X 2 ]cos t1 cos t2 + E[Y 2 ]sin t1 sin t2 + E[ XY ]cos t1 sin t2 + E[YX ]sin t1 cos t2 = 2 cos t1 cos t2 + 2 sin t1 sin t2 = 2 cos(t1 − t2 ) = 2 cos τ
RX (τ ) = 100 cos10τ + (100e −10|τ | + 100)
= R X 1 (τ ) + R X 2 (τ )
R X 1 (τ ) ⇔ 10 2 cos(10t + φ )
2 mX 2 = RX 2 (∞) = 100
2 2 σ X = RX (0) − m X = 200
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变， 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。 程或称为狭义平稳随机过程。
设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint Z(t)=Xcost+Ysint， 其中X 例、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-∞<t< ∞。其中X，Y为 相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试 相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1/3取值2/3 取值 讨论随机过程Z(t)的平稳性。 讨论随机过程Z(t)的平稳性。 Z(t)的平稳性 解、
f X ( x1 , ⋯ , x n , t1 + ∆t , ⋯ , t n + ∆t ) = f X ( x1 , ⋯ , x n , t1 , ⋯ , t n )
f X ( x, t ) = f X ( x )
f X ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) = f X ( x1 , x 2 ,τ )
2.3 平稳随机过程
对于严格平稳的随机过程， 对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间 无关的常数，而自相关函数只与 和 的差值有关 的差值有关， 无关的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关， 而与本身的取值是无关的。 而与本身的取值是无关的。 严平稳最基本的特征是时间起点的平移不影响它的统 计特性， 具有相同的统计特性。 计特性，即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。 与 ∆ 具有相同的统计特性
0
∞
rX (τ )
1
rX (τ 0 ) ≤ 0.05
0
τ0
τ
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50
100
τ0 =1
两个不同相关时间随机过程的样本函数
τ 0 = 100
相关时间越长， 相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小， 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱， 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
Z(t)是广义平稳的 是广义平稳的
E [ Z 3 ( t )] = E {[ X cos t + Y sin t ]3 } = E [ X 3 cos 3 t + Y 3 sin 3 t + 3 X 2Y cos 2 t sin t + 3Y 2 X cos t sin t ] = 2 ⋅ ( cos 3 t + sin 3 t )
2 m X = RX (∞) = 36
mX = ±6
2 σ X = RX (0) − RX (∞) = 40 − 36 = 4
2.3 平稳随机过程
例、 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为
R X (τ ) = 100 e −10|τ | + 100 cos 10τ + 100
求X(t)的均值、均方值和方差。 解、
τ = t1 − t2
Z(t)不是严格平稳的 不是严格平稳的
2.3 平稳随机过程
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论( 由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩) 二阶矩) 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相 关理论之所以重要，是因为在实际中， 关理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如， 关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，比如，如果随机 过程如果代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以 过程如果代表噪声电压信号， 给出直流分量、交流分量， 给出直流分量、交流分量，平均功率及功率在频域上的分布 (我们将在后面讨论功率谱密度)等。另外，在电子系统中经 我们将在后面讨论功率谱密度) 另外， 常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言， 常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它 的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定， 的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正 态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中， 态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常 只考虑广义平稳性，今后除特别声明外， 只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义 平稳。 平稳。
相关函数遍历性：
∫
2T
0
(1 −
τ
2T
2 )[ RΦ (τ ) − R X (τ )]dτ = 0
Φ (t ) = X (t + τ ) X (t )
零均值平稳正态随机信号：
∫
∞
0
R X (τ ) d τ < ∞
2.3 平稳随机过程
均值和自相关函数估计： 均值和自相关函数估计： 连续随机过程： 连续随机过程：
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N
∑ x(n)
n=0
N −1
1 N −1 ˆ = ∑0 [ x ( n ) − m X N − 1 n=
]
2
N − m −1 1 ˆ RX (m ) = ∑0 x ( n ) x ( n + m ) N − m − 1 n=
2.3 平稳随机过程
X (t )
X (t )
t
t
(a)
(b)
各态历经过程与非各态历经过程示意图
2.3 平稳随机过程
遍历性判断： 遍历性判断：
1 2T τ 2 lim ∫ (1 − )[ RX (τ ) − m X ]dτ = 0 T →∞ T 0 2T
1 lim T →∞ T
均值遍历性： 均值遍历性：
2.3 平稳随机过程
随机过程的遍历性（ergodic） 4 随机过程的遍历性（ergodic） 定义：对于平稳随机过程X(t)， 定义：对于平稳随机过程X(t)，若有 X(t) 均值遍 历性 相关函数 遍历性
RX (τ ) = RX (τ )
P
遍历过程。 X(t)为遍历过程。
2.3 平稳随机过程
R X (0)
R X (τ )
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
随机过程课程第五章 平稳过程
（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
首页
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第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
平稳随机过程
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]
T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0
平稳随机过程及其遍历性
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
第五讲平稳随机过程与各态历经过程
第五讲 平稳随机过程与各态历经过程5．1 平稳随机过程在通信与信息领域，很多随机过程都是平稳的或近似平稳的，这是最简单的一类随机过程。
观察随机过程：)cos()(Φ+Ω=t A t X ：)cos()(Φ+=t a t X ω： )cos()(ϕω+=t A t X ： )cos()(ϕ+Ω=t a t X ：当（a）（d）中的Φ服从某种分布时，它们的数学期望和方差很可能2,0[π均匀分布不随时间而改变（平稳的概念）；当（a）中的Φ服从]时，任何一个样本都可代表这个过程（各态历经的概念）。
5.1.1严平稳过程性质：5.1.2宽（广义）平稳过程例题：3.1.3 各态历经过程例题：例2：5.2 平稳随机过程相关性分析5.2.1 自相关函数的性质性质1 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 )()(ττ-=X X R R 同样可得 )()(ττ-=X X C C性质2 平稳过程的均方值就是自相关函数在0=τ时的非负值0)]([)0(2≥=t X E R X性质3 平稳过程X(t)自相关函数的最大值在0=τ处 )()0(τX X R R ≥ 同理可证 )()0(τX X C C ≥性质4 周期平稳过程X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同 )()(ττX X R T R =+注：若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T 为过程的周期。
性质5 非周期平稳过程X(t)的自相关函数满足)()0()()(lim 22∞-==∞=∞→X X X XX X R R m R R σττ从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程，自相关函数是它的最重要的数字特征，由它可得到其它的数字特征：数学期望 )(∞±=X X R m 均方值 )0()]([2X R t X E = 方差 )()0(2∞-=X X X R R σ 协方差 )()()(∞-=X X X R R C ττ例：已知非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数为231916)(ττ++=X R求：X(t)的均值和方差。
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
随机过程第五章 平稳随机过程
1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,
),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0