高考数学组合

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高考数学排列组合问题解题技巧

高考数学排列组合问题解题技巧

高考数学排列组合问题解题技巧随着时代的发展,高考数学的题型越来越多样化,而排列组合作为其中的一种重要题型,势必会在高考中频繁出现。

本文将介绍一些高考数学排列组合问题解题技巧,以供广大考生参考。

一、排列组合的基本概念排列数是指从n 个不同的元素中取出m 个元素,按顺序排列出所有可能情况的个数。

用符号 A m^n 表示。

组合数是指从n 个不同的元素中取出m 个元素,所有不考虑顺序的情况下,所有可能的情况个数。

用符号 C m^n 表示。

二、排列组合的解题方法1.全排列法当出现一道排列数的题目时,可以使用全排列法。

全排列可以采用迭代或递归的方式进行解答,迭代代码如下:void permutation(string str, int start, vector<string>& result) { if (start == str.length() - 1){ result.push_back(str); } else { for (int i = start; i < str.length(); i++) { swap(str[start], str[i]); permutation(str, start + 1, result); swap(str[start], str[i]); } }}递归代码如下:void permutation(string str, string result) { if (str == "") { cout << result << endl; } else { for (int i = 0;i < str.length(); i++) { string s = str.substr(0, i) +str.substr(i + 1); permutation(s, result +str[i]); } }}2.逆推法当出现一道组合数的题目时,可以使用逆推法。

2024全国高考真题数学汇编:排列、组合与二项式定理章节综合

2024全国高考真题数学汇编:排列、组合与二项式定理章节综合

2024全国高考真题数学汇编排列、组合与二项式定理章节综合一、单选题1.(2024全国高考真题)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.232.(2024北京高考真题)在 4x的展开式中,3x的系数为()A.6B.6 C.12D.12二、填空题3.(2024天津高考真题)在63333xx的展开式中,常数项为.4.(2024上海高考真题)在(1)nx 的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x项的系数为.5.(2024全国高考真题)1013x的展开式中,各项系数中的最大值为.6.(2024全国高考真题)有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于12的概率为.7.(2024全国高考真题)在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.参考答案1.B【分析】解法一:画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.解法二:分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】解法一:画出树状图,如图,由树状图可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,故所求概率81=243P.解法二:当甲排在排尾,乙排第一位,丙有2种排法,丁就1种,共2种;当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁就1种,共2种;于是甲排在排尾共4种方法,同理乙排在排尾共4种方法,于是共8种排法符合题意;基本事件总数显然是44A 24 ,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为81243.故选:B 2.A【分析】写出二项展开式,令432r,解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】 4x 的二项展开式为 442144C C1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr,令432r,解得2r ,故所求即为 224C 16 .故选:A.3.20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x的展开式的通项为63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x,令 630r ,可得3r ,所以常数项为0363C 20 .故答案为:20.4.10【分析】令1x ,解出5n ,再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令1x ,(11)32n ,即232n ,解得5n ,所以5(1)x 的展开式通项公式为515C rr r T x ,令52r -=,则3r ,32245C 10T x x .故答案为:10.5.5【分析】先设展开式中第1r 项系数最大,则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r,进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x,010r 且r Z ,设展开式中第1r 项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r,294334r r,即293344r ,又r Z ,故8r ,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53.故答案为:5.6.715【分析】根据排列可求基本事件的总数,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则323a b c a b ,就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120 种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b ,故2()3c a b ,故32()3c a b ,故323a b c a b ,若1c ,则5a b ,则 ,a b 为: 2,3,3,2,故有2种,若2c ,则17a b ,则 ,a b 为: 1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c ,则39a b ,则 ,a b 为:1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5, 2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c ,则511a b ,同理有16种,当5c ,则713a b ,同理有10种,当6c ,则915a b ,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为 22101656 ,故所求概率为56712015.故答案为:7157.24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果,即可求解.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124 种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152******** .故答案为:24;112【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选,利用列举法写出所有的可能结果.。

高考数学中的组合数学及相关概念

高考数学中的组合数学及相关概念

高考数学中的组合数学及相关概念在高中的数学学习中,组合数学是一个重要的分支,也是高考中的重点之一。

组合数学指的是在数学中对无序集合的处理,包括组合数、排列数、多重组合数等相关概念。

在本文中,我们将探讨组合数学及其相关概念在高考数学中的应用和实践。

一、基本概念1. 排列数:指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的个数。

排列数的计算公式为:P(n, m) = n! / (n-m)!其中,n!表示n的阶乘,即n(n-1)(n-2)…1。

2. 组合数:指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的个数。

组合数的计算公式为:C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]组合数与排列数的区别在于组合数是无序的,即组合数中的元素排列顺序不重要,只要包含指定的元素个数即可。

3. 二项式定理:指对于任意的实数a和b以及非负整数n,有:(a + b)^n = C(n, 0) a^n b^0 + C(n, 1) a^(n-1) b^1 + … + C(n, n) a^0 b^n二项式定理将(a + b)^n表示为n+1个组合数的和,其中系数为C(n, k)。

二、应用实例1. 从整数1,2,3,4,5中任意取出3个数,不放回地排成一排,问有多少种排法?这个问题可以看作是从5个元素中取出3个元素进行排列,因此答案为:P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 602. 从完整的扑克牌中任意取出5张牌,问有多少种取法?这个问题可以看作是从52张牌中取出5张牌进行排列,因此答案为:C(52, 5) = 52! / [5! (52-5)!] = 2,598,960需要注意的是,这里的牌是无序的组合数而不是有序的排列数。

3. 一个学校招生,要求录取n个男生和m个女生,其中男生必须在同一班,女生也必须在同一班,问能够招多少个班级?这个问题可以看作是将n个男生分在k个班级,m个女生分在k个班级的问题,因此答案为:C(n-1, k-1) * C(m-1, k-1)其中,n-1和m-1是因为每个班级中至少有一个学生,组合数的系数用于选择班级。

高考数学中的排列组合问题

高考数学中的排列组合问题

高考数学中的排列组合问题在高考数学中,排列组合是一个必考的章节,也是一个相对来说较为重要的部分。

排列组合问题设计到数学中常见的一种基本计数方法,用来解决多种实际问题。

如果掌握了排列组合的知识,不仅可以顺利通过高考数学的考试,更可以在数学学习和未来的实际生活中受益。

一、排列问题排列问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素,按照一定的顺序排列出来的所有情况数,其运算规则是:A(n, m) = n!/(n - m)!其中,n 表示选取元素的个数,m 表示排列出来元素的个数,n! 表示数学中的阶乘,即 n! = n*(n-1)*(n-2)* (1)在实际生活中,排列问题的应用极为广泛。

比如在一只篮球队中,从 10 名队员中选取 5 名队员排列出比赛阵容的所有情况,就是一个排列问题。

再如,在一个电子密码锁中,可以通过排列问题来计算所有可能的密码组合,以防止密码被人轻易破解。

二、组合问题组合问题指的是从 n 个不同元素中任选 m 个元素,但是不考虑选取元素的顺序,求出所有情况的总数,其运算规则是:C(n,m) = A(n,m) / m! = n! / [m!*(n-m)!]组合问题其实就是在排列问题的基础上去掉了顺序这个限制。

组合问题的应用也很广泛。

比如在一次抽奖活动中,从 50 份礼物中随机抽出 5 份给获奖者,就是一个组合问题。

再如,对于一篇文章中的多个字母或单词的排列组合,也可以使用组合问题来解决。

三、应用举例排列组合问题在实际生活中的应用非常广泛。

下面我们通过几个例子来具体说明一下。

1.在一家商场内销售了 4 种不同的商品,其中商品 A 的售价为10 元,商品 B 的售价为 15 元,商品 C 的售价为 20 元,商品 D 的售价为 25 元。

假设小明手上有 100 元钱,他想从这四种商品中买 3 种不同的商品,每种商品只买一个,并且不超过 100 元。

问小明有多少种选择方案?此题是一个排列组合问题。

高考数学排列组合与概率计算重点清单

高考数学排列组合与概率计算重点清单

高考数学排列组合与概率计算重点清单一、背景介绍在高考数学中,排列组合和概率计算是不可忽视的重要内容。

掌握了这两个知识点,可以帮助学生在考试中获得更好的成绩。

本文将为大家列出高考数学排列组合与概率计算的重点清单,帮助大家快速掌握这些知识点。

二、排列组合的重点1. 排列的定义和运算法则- 不重复元素的全排列:n!- 重复元素的全排列:n!/(n1!×n2!×...)- 部分相同元素的排列:n!/(n1!×n2!×...),其中n1、n2等表示重复出现的元素个数2. 组合的定义和运算法则- 不重复元素的组合:C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)- 重复元素的组合:C(n+k-1, k-1)- 全部选或全不选的方案数:2^n3. 排列组合的应用- 在几何问题中,通过排列组合可以确定数量关系、判断位置关系等- 在概率问题中,通过排列组合可以计算事件发生的概率- 在工程问题中,通过排列组合可以计算不重复的方案数三、概率计算的重点1. 事件的概率定义- 事件发生的概率:P(A) = n(A)/n(S),其中n(A)为事件A发生的可能性,n(S)为样本空间中的所有可能性数- 事件的对立事件:P(A') = 1-P(A)- 事件的必然事件:P(S) = 1,其中S为样本空间2. 概率的运算性质- 事件的和事件概率:P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)- 事件的积事件概率:P(A∩B) = P(A) × P(B|A),其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率3. 条件概率与独立事件- 条件概率的计算:P(A|B) = P(A∩B)/P(B)- 事件的独立性:如果P(A∩B) = P(A) × P(B),则事件A与事件B 相互独立4. 一些常见的概率问题- 排列组合与概率计算相结合的问题- 球与盒子问题、扑克牌问题等四、总结通过本文的介绍,我们了解到高考数学中排列组合与概率计算的重点知识点,这些内容对于考生来说至关重要。

新高考数学复习考点知识讲解2---排列与组合

新高考数学复习考点知识讲解2---排列与组合
【精彩点拨】第(1)题可直接运用排列数公式,也可采用阶乘式;第(2)题首先分析各项的关系,利用A = 进行变形推导.
【自主解答】(1)法一: = = = .
法二: = = = = .
(2)∵A -A = -
= ·
= ·
=m·
=mA ,
∴A -A =mA .
给出下列四个关系式:
① ② ③ ④
其中正确的个数为()
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有 个三角形,
从中任选两个,共有 种情况,
因为平行六面体有六个面,六个对角面,
从8个顶点中4点共面共有12种情况,
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形,
故任取出2个三角形,则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种,
故选:B.
8、5个男同学和4个女同学站成一排
(2)由题意作树形图,如图.
故所有的排列为:abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,共有24个
题型二排列公式计算
例2 (1)计算: ;(2)证明:A -A =mA .
(1)4个女同学必须站在一起,有多少种不同的排法?
(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?
(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人,有多少种不同的排法?
(4)男生和女生相间排列方法有多少种?
【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
【分析】
(1)捆绑法求解即可;
(2)插空法求解即可;
(3)特殊位置法求解即可;
,D正确.
故选:BCD.

高考排列组合专题整理

高考排列组合专题整理

高考排列组合专题整理高考是每个学生的重要节点,而排列组合作为高考数学中的重要知识点,也是考生必须掌握的内容之一。

本文旨在对高考排列组合专题进行整理,帮助考生理解和掌握这一知识点。

一、基本概念及定义1. 排列:排列是指从已知的n个不同元素中,按照一定的顺序取出m个元素进行组合。

排列通常用P表示,可以记作P(n, m)。

2. 组合:组合是指从已知的n个不同元素中,任取m个元素进行组合,不考虑顺序。

组合通常用C表示,可以记作C(n, m)。

二、排列的计算方法1. 全排列:全排列是指将n个元素进行全面的排列,即n个元素全排列的个数为n!。

2. 圆排列:圆排列是指将n个元素进行循环排列,即n个元素圆排列的个数为(n-1)!。

3. 有重复元素的排列:当n个元素中包含重复元素时,排列的个数应除以重复元素的阶乘。

三、组合的计算方法1. 组合的计算公式:组合数C(n, m)等于排列数P(n, m)除以m!。

2. 组合的性质:组合数C(n, m)等于C(n, n-m),即从n个元素中选m个元素的组合数等于从n个元素中选出n-m个元素的组合数。

四、应用场景1. 列车乘客座位的排列问题:假设一列列车有n个座位,共有m名乘客需要上车,求不同乘客的座位组合数。

2. 字符串的排列问题:给定一个字符串,求所有可能的排列组合。

3. 选择班级干部问题:某班级有n名同学参加干部选举,从中选出m名同学担任干部,求所有可能的组合数。

五、排列组合的思维方法1. 排列组合题目的解法步骤:明确题目中的已知条件和要求,根据题目特点确定是排列问题还是组合问题,应用相应的计算方法求解。

2. 注意特殊情况:在解答排列组合问题时,要特别注意重复元素、边界条件等特殊情况的处理,避免出现错误答案。

本文对高考排列组合专题进行了基本的概念介绍、计算方法的讲解,以及应用场景的举例。

希望通过本文的整理,考生们能够更好地理解和掌握排列组合知识,为高考数学顺利过关提供帮助。

高考数学专题:排列与组合

高考数学专题:排列与组合

高考数学专题:排列与组合在高考数学中,排列与组合是一个重要的知识点,也是很多同学感到头疼的部分。

但别担心,让我们一起来深入了解它,掌握解题的关键。

首先,我们要明白什么是排列,什么是组合。

排列,简单来说,就是从给定的元素中取出一些,然后按照一定的顺序排成一列。

比如说,从 5 个不同的数字中选出 3 个排成三位数,这就是排列问题。

而组合呢,只关注选取的元素,不考虑它们的顺序。

比如,从 5 个不同的水果中选出 3 个,这就是组合问题。

那为什么要区分这两者呢?因为在计算方法上,它们是不同的。

排列的计算方法是用排列数公式:A(n, m) = n! /(n m)!。

这里的“!”表示阶乘,比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

组合的计算方法是用组合数公式:C(n, m) = n! / m! ×(n m)!。

我们通过一些具体的例子来理解。

比如,有 5 个不同的球,分别标有数字 1、2、3、4、5 。

从中取出 3 个排成一排,有多少种排法?这就是一个排列问题。

第一步,从 5 个球中选 3 个,有 C(5, 3) 种选法;第二步,选出的 3 个球进行排列,有 A(3, 3) 种排法。

所以总的排法就是 C(5, 3) × A(3, 3) = 60 种。

再比如,从 5 个不同的球中选出 3 个组成一组,有多少种选法?这就是组合问题,直接用组合数公式 C(5, 3) = 10 种。

在解决排列组合问题时,有几个重要的原则和方法需要掌握。

一个是分类加法原则。

如果完成一件事情有 n 类不同的办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m1 + m2 +… + mn 种不同的方法。

举个例子,从甲地到乙地,有 3 条陆路可走,2 条水路可走。

那么从甲地到乙地共有 3 + 2 = 5 种走法。

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从n个元素中抽取 m(m≦n)个元素的排列, 可以看作先从n个元素 中抽取m个进行组合, 再对m个元素进行全 排列.Cnmຫໍສະໝຸດ An m Am m

n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
n! m!(n m)!
高中部11个班进行篮 球单循环比赛,需要 进行多少场比赛?
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我们就成了虚伪的坏蛋。 你骗了别人的钱,可以退赔,你骗了别人的爱,就成了无赦的罪人。假如别人不曾识破,那就更惨。除非你已良心丧尽,否则便要承诺爱的假象,那心灵深处的绞杀,永无宁日。 爱怕沉默。太多的人,以为爱到深处是无言。其实,爱是很难描述的一种情感,需要详 尽的表达和传递。爱需要行动,但爱绝不仅仅是行动,或者说语言和温情的流露,也是行动不可或缺的部分。 爱是需要表达的,就像耗费太快的电器,每日都得充电。重复而新鲜地描述爱意吧,它是一种勇敢和智慧的艺术。 ? 爱怕犹豫。爱是羞怯和机灵的,一不留神它就吃了鱼饵闪去。爱的 初起往往是柔弱无骨的碰撞和翩若惊鸿的引力。在爱的极早期,就敏锐地识别自己的真爱,是一种能力更是一种果敢。爱一桩事业,就奋不顾身地投入。爱一个人,就斩钉截铁地追求。爱一个民族,就挫骨扬灰地献身。爱一桩事业,就呕心沥血。爱一种信仰,就至死不悔。 爱怕模棱两可。要 么爱这一个,要么爱那一个,遵循一种“全或无”的铁则。爱,就铺天盖地,不遗下一个角落。不爱就抽刀断水,金盆洗手。迟疑延宕是对他人和自己的不负责任。 爱怕沙上建塔。那样的爱,无论多么玲珑剔透,潮起潮落,遗下的只是无珠的蚌壳和断根的水草。 爱怕无源之水。沙漠里的河啊, 即便不是海市蜃楼,波光粼粼又能坚持几天?当沙暴袭来的时候,最先干涸的正是泪水积聚的咸水湖。 爱怕假冒伪劣。真的爱也许不那么外表光滑,色彩艳丽,没有精致的包装,没有夸口的广告,但是它有内在的质量保。真爱并非不会发生短路与损伤,但是它有保修单,那是两颗心的承诺, 写在天地间。 爱是一个有机整体,怕分割。好似钢化玻璃,据说坦克轧上也不会碎,可惜它的弱点是宁折不弯,脆不可裁。一旦破碎,就裂成了无数蚕豆大的渣滓,流淌一地,闪着凄楚的冷光。再也无法复原。 ?爱的脚力不健,怕远。距离会漂淡彼此相思的颜色,假如有可能,就靠得近一点, 再近一点,直到水乳交融亲密无间。万万不要人为地以分离考验它的强度,那你也许后悔莫及。尽量地创造并肩携手天人合一的时光。 爱像仙人掌类的花朵,怕转瞬即逝。爱可以不朝朝暮暮,爱可以不卿卿我我,但爱要铁杵磨针,恒远久长。 ?爱怕刻意求工。爱可以披头散发,爱可以荆钗布 裙,爱可以粗茶淡饭,爱可以餐风宿露。只要一腔真情,爱就有了依傍。 爱的时候,眼珠近视散光,只爱看江山如画。耳是聋的,只爱听莺歌燕舞。爱让人片面,爱让人轻信。爱让人智商下降,爱让人一厢情愿。爱最怕的,是腐败。爱需要天天注入激情的活力,但又如深潭,波澜不惊。 ?说了 爱的这许多毛病,爱岂不一无是处? ?爱是世上最坚固的记忆金属,高温下不融化,冰冻不脆裂。造一艘爱的航天飞机,你就可以驾驶着它,遨游九天。 爱是比天空和海洋更博大的宇宙,在那个独特的穹隆中,有着亿万颗爱的星斗,闪烁光芒。一粒小行星划下,就是爱的雨丝,缀起满天清 光。 ? 爱是神奇的化学试剂,能让苦难变得香甜,能让一分钟永驻成永远,能让平凡的容颜貌若天仙,能让喃喃细语压过雷鸣电闪。 ? 爱是孕育万物的草原。在这里,能生长出能力、勇气、智慧、才干、友谊、关怀……所有人间的美德和属于大自然的美丽天分,爱都会给赠予你。 在生和死 之间,是孤独的人生旅程。保有一份真爱,就是照耀人生得以温暖的灯。 ? 2005年12月版《智慧》 人生有三件事不可俭省 ?无论世界变得如何奢华,我还是喜欢俭省。这已经变得和金钱没有很密切的关系,只是一个习惯。我这样说,实在是因为俭省的机会其实很廉价,俯拾即是遍地滋生。比 如不论牙膏管子多么丰满,但你只能在牙刷毛上挤出1.5到2厘米的膏条,而不是1尺长。因为你用不了那么多,你不能把自己的嘴巴变成螃蟹聚会的洞穴。再比如无论你坐拥多少橱柜的衣服,当暑气蒸人的时候,你只能穿一件纯棉的T恤衫。如果把貂皮大衣捂在身上,轻者长满红肿热痛的痱毒,重 了就会中暑倒地一命呜呼。俭省比奢华要容易得多,是偷懒人的好伴侣——用最直截了当的方式和最小的花费直抵目标。 然而有三件事你不能俭省。 第一件事是学习。学习是需要费用的,就算圣人孔子,答疑解惑也要收干肉为礼。学习费用支出的时候,和买卖其他货物略有不同。你 不知道究竟能得到多少知识,这不单决定于老师的水平,也决定于你自己的状态。这在某种情况下就有点隔山买牛的味道,甚至比股票的风险还大。谁也不能保你在付出了学费之后一定能考上大学,你只能先期投入。机遇是牵着婚纱的小童,如果你不学习,新娘就永远不会出现在你人生的殿堂。 第二件事是旅游。每个人出生的时候都是蝌蚪,长大了都变作井底之蛙。这不是你的过错,只是你的限制,但你要想法弥补。要了解世界,必须到远方去。旅游是需要花钱的,谁都知道。旅游的好处却不是一眼就能看到的,常常需要日积月累潜移默化地蓄积。有人以为旅游只是照一些相片买一 些小小的工艺品,其实不然。旅行让我们的身体感悟到不同的风和水,我们的头脑也在不同风情的滋养下变得机敏和多彩。目光因此老辣,谈吐因此谦逊。 第三件事是锻炼身体。古代的人没有专门锻炼身体的习惯,饥一顿饱一顿全无赘肉。生存的需要逼得他们不停奔跑狩猎,闲暇的时候就 装神弄鬼,在岩壁上凿画,在篝火边跳舞,都不是轻体力劳动,积攒不下多余的卡路里。社会进步了,物质丰富了,用不完的热量成了我们挥之不去的负担。于是要人为地在机器上跋涉,在充满氯气的池子里浮沉,在人造的雪花和冰面上打滚,在矫揉造作的水泥峭壁上攀爬……这真是愚蠢的奢 侈啊,可我们没有办法,只有不间断地投入金钱,操练贫瘠的肌肉和骨骼,以保持最起码的力量和最基本的敏捷。 有没有省钱的方法呢?其实也是有的。把人生当作课堂,向一切人学习,就省了上学的钱。徒步到远方去,就省了旅游的钱。不用任何健身器械,就在家里踢毽子高抬腿做广播 体操……就省了健身的钱。 然而,这也是破费,因为我们付出了时间。 让女人丑陋的最根本原因 对一个女性最有害的东西,就是怨恨和内疚。前者让我们把恶毒的能量对准他人;后者则是掉转枪口,把这种负面的情绪对准了自身。你可以愤怒,然后采取行动;你也可以懊悔,然后改善 自我。但是请你放弃怨恨和内疚,它们除了让女性丑陋以外,就是带来疾病。 我有一个面目清秀的女友,多年没见,再相见时,吓了我一跳。一时间张口结舌,不知说什么好。她倒很平静,说,我变老了,是吧?我嗫嚅着说,我也老了。咱们都老了,岁月不饶人嘛!她苦笑了一下说,我不仅是 变老了,更重要的是变丑了。对吧? 在这样犀利洞见的女子面前,你无法掩饰。我说,好像也不是丑,只是你和原来不一样了,好像换了一个人似的,整个面目都不同了。 她说,你不知道我的婚姻很不幸吗? 我说,知道一点。 她说,我告诉你一件事,一个不幸福的女人是挂相的。我们常常 说,某女人一脸苦相。其实,你到小姑娘那里看看,并没有多少女孩子就是这种相貌的。女子年轻的时候,基本上都是天真烂漫的。但是你去看中年妇女,就能看出幸福和不幸福两大阵营。 我说,生活是可以雕塑一个人的相貌的,这我知道。但是,好像也没有你说得这样绝对吧? 她坚持道, 是这样的,不信你以后多留意。到了老年妇女那里,差异就更大了。基本上就分为两类:一种是慈祥的,一种是狞恶的。我就是属于狞恶的那一种。 我不知如何接下茬,避重就轻说,不过,我们在照片上看到的老年人,都是慈祥的。 她说,对啊。那些不慈祥的,根本活不了太久。比如我,很 可能早早就告别人世。 话说到这份上,我只好不再躲避。我说,那么你怎样看待自己的相貌变化? 她说,我之所以同你讲得这样肯定,就是从我自己身上得出的结论。因为我的婚姻不幸福,我又没有法子离婚,所以一直在怨恨和后悔中生活、煎熬着。对着镜子,我一天天地发现自己变得尖刻 和狞厉起来。当然,这不是一天发生的,别人看不出来,但我自己能够看出来。我用从自己身上得到的经验去看别人,竟是百分之百地准确…… 我看着她,说不出话来。在这样透彻冷静的智慧面前,你只能沉默。 每当我想起她来,心中都漾过竹签扎进甲床般的痛。她所具有的智慧,是一种波 光诡谲入木三分的聪明,犹如冰河中的一缕红绳,鲜艳地冻结在那里,却无法捆绑住任何东西。 我愿意把她的心得转述在这里。女人会不会因为心理不健康而变丑,我不敢打包票。因为心理不健康而导致身体上的病患,却是千真万确的。 为了不得病,为了不变丑,人们只有更多地让爱意充满 心扉。 冻顶百合 ?世界上有没有冻顶百合这种花呢?在我写这篇文章之前是没有的,虽然它很容易逗起一种关于晶莹香花的联想,其实是一个拼凑起来的蹩脚词语。 记得那一年到台湾访问,去台湾岛内的第一高峰玉山。陪同的女作家不断向我介绍沿路风景,时不时插入“玉山可真美啊”的感 叹。玉山诚然美,我却无法附和。对于山,实在是“曾经沧海难为水”啊!十几岁时,当我还未曾见过中国五岳当中的任何一岳,爬过的山峰只限于近郊500米高的香山时,就在猝不及防中,被甩到了世界最宏大山系的祖籍—青藏高原,一住十几年,直到红颜老去。朋友,请原谅我心如止水,我 已经在少女时代就把惊骇和称誉献给了藏北。 ? 由于没有恰如其分的回应,女作家也悄了声。山势越来越高了,蜿蜒公路旁突然出现了密集的房屋和人群,原来是众多的游客围着当地的山民在买茶。也许是为了挽救刚才的索然,我夸张地显示好奇:“什么茶?”“冻顶乌龙。“女作家表情淡然。 我猜疑她的淡然可能是对我的小小惩罚,很想弥补刚才对玉山的不恭,马上兴致勃勃地说:“冻顶乌龙可是台湾的名产啊,前些年,大陆很有些人以能喝到台湾正宗的冻顶乌龙为时髦呢!”说着,我拿出手袋,预备下车去买冻顶乌龙。 女作家看着我,叹了一口气说:“就是爱喝冻顶乌龙的人, 才给玉山带来了莫大的危险。”她面色忧郁,目光黯淡。 为什么呀?我疑窦丛生。 女作家说,台湾的纬度低,通常不下雪也不结霜。玉山峰顶,由于海拔高,有时会落雪挂霜,台湾话就称其“冻顶”。乌龙本是寻常半发酵茶的一种,整个台湾都有出产,但标上了“冻顶”,就说明这茶来自高 山。云雾缭绕,人迹罕至,泉水清冽,日照时短,茶品自然上乘。冻顶乌龙可卖高价,很
从全班54人中选出3 人参加某项劳动,有 多少种不同的选法?
平面内有10个点,无 任何3点共线,由这 些点可连射线多少 条?
平面内有10个点, 无任何3点共线,由 这些点可连直线 多少条?
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