刘玉兰2011-2012-1高等数学B大学城缓考试题(答案)
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
11高数B1城A卷答案
广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 4 页，第 3 页
七、设函数 f ( x) 在 [0, a ] 上连续,在 (0, a ) 内可导，且 f (a) 0 ，证明：在 (0, a ) 内至 少存在一点 ,使得 3 f ( ) f ( ) 0 ．(6 分)
证明：设函数 F ( x) x 3 f ( x) ………………………………………………3 分 显然 1） F ( x ) 在 [0, a ] 连续； 2） F ( x ) 在 (0, a ) 可导； 3）由于 f (a) 0 ,所以 F (0) 0 F (a) ； 满足罗尔定理的 3 个条件。 则
广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( B )
课程名称: 考试时间: 高等数学 B（1） 2012 年 1 月 4 日 。 (第 19 周 星期 三)
一、填空题： （每小题 4 分，共 20 分）
1．
ln 8 3
1 cos x 2 1 cos x 2 3 ( ) c 2 x 2.x( y )
2
2 2 sin 2 xdx ………………………………………………… 4 分
0
2 (1 cos 2 x)dx
0
2
………………………………………………………………8 分
注：奇偶函数对称性使用 3 分，没有使用的酌情评阅。
3． f(x) 解：
π 0
x 0
sint dt π t
ln(1 x 2 ) 【本题方法不唯一，也可以直接利用罗比达法则】 x 0 sec x cos x
x2 解：原式= lim ………………………………3 分 x 0 1 cos2 x cos x lim
大一第二学期高数期末考试题(含答案)
大一第二学期高数期末测验之青柳念文创作一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不成导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点.（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）4. =+→xx x sin 2)31(l i m .5.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.6.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnnππππ.7.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .9.设函数)(x f 持续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的持续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=知足=-1(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上持续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上持续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个分歧的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程双方求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12.解：由(0)0f =，知(0)0g =.2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处持续.13. 解：2ln dy y x dx x +=1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题10分）14.解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所求曲线方程为：x x e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V 2D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16.证明：1()()qf x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())qqqf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰故有：1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx证毕.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0.其知足在],0[π上持续，在),0(π上可导.)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。
高等数学B-下册-历年考试题目及答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2004学年第2学期 考试科目 高等数学（经济类）考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 专业年级一、填空题（每空2分）1．设函数()f x 可微，若()()01,11,1lim2x f x f x x →+--=，则11x y fx==∂∂= 。
2．设(){}22,4D x y xy y =+≤，则(),Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下的二次积分为。
3．()200sin limx y xy x→→= 。
4．级数1025n n +∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑= 。
5．设2x xy z y e =+，则()1,2z y∂∂= 。
6．320y y y '''-+=的通解为 。
7．设收益函数()260R x x x =-（元），当产量10x =时，其边际收益是 。
8. 差分方程12n n n y y n +-=⋅的通解为 。
9. 函数()sin 2x z e x y -=+在点04π⎛⎫⎪⎝⎭，处的全微分为 。
10. 若级数211p n n∞+=∑发散，则p ≤ 。
二、选择题（每题3分）1. 若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑（ ）A 条件收敛B 发散C 不能确定D 收敛2. 设22D 14x y ≤+≤：，则二重积分Ddxdy ⎰⎰=（ ） A π B 4π C 3π D 15π3. 微分方程3xy y '+=满足条件()10y =的特解是（ ）()11313111A B x C D x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ） A 必有极大值 B 可能有极值，也可能无极值 C 必有极小值 D 必无极值5. 若级数1n n u ∞=∑及1n n v ∞=∑都发散，则（ ）A()1nn n uv ∞=+∑必发散 B ()1n n n u v ∞=∑必发散C()1nn n uv ∞=+∑必发散 D ()221n n n u v ∞=+∑必发散三、计算题（每题8分） 1. ()arctan z xy =，求dz2. 设()22,z f x y xy =-，f 可微，求zx∂∂ 3. 求级数13nnn x n ∞=⋅∑的收敛域 4. 将函数()14f x x=-展开成()2x -的幂级数，并确定收敛区间 5. 求由抛物面225z x y =--与平面1z =所围成的立体的体积。
最新同济高数b下期末考试试卷(含答案)
2011学年高数B 第二学期期末考试试卷一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( )A ．(,)f x y 在P 连续B ．(,)f x y 在P 可微C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在2．若xyz ln =，则dz 等于（ ）．ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y yB xln ln ln .ln x xy yC yydx dy x+ ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ）． 212cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰ 212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰21202cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz πθπθθθ-⎰⎰⎰ 21cos .(cos ,sin ,)xD d rdr f r r z dzπθθθ⎰⎰⎰4．若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）1．设220x y xyz +-=，则'(1,1)x z = . 2．交 换ln 1(,)e xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后，I =_____________________．3．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为 .4. 已知0!n xn x e n ∞==∑，则xxe -= .5. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6--7分）1. （本小题满分6分）设arctany z y x =, 求z x ∂∂,z y∂∂. 2. （本小题满分6分）求椭球面222239x y z ++=的平行于平面23210x y z -++=的切平面方程，并求切点处的法线方程.3. （本小题满分7分）求函数22z x y =+在点(1,2)处沿向量1322l i j =+方向的方向导数。
高等数学B期末考试试卷 A 参考答案及评分标准
3. 已知两条直线 x −1 = y + 2 = z −1 与 x = y = 3z 相交， m = 1 ；
1 2m
9
1
1− x2
0
y +1
1
1− y2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4. 交换积分次序 dx
f (x, y)dy = dy f (x, y)dx + dy
f (x, y)dx ；
0
x−1
−1
0
解 ∂z (1+ z)ez = ey + yex ，（2 分） ∂z = ey−z + yex−z ，（2 分） ∂z = ex−z + xe y−z （3 分）
∂x
∂x 1+ z
∂y 1+ z
共3页
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∫∫ { } 11．计算二重积分 ydxdy ，其中 D = (x, y) x2 + y2 ≥ 2, x2 + y2 ≤ 2 y . D
0
0
2
0
{ } 解 D = (x, y) x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y ，（1 分）
∫∫ ∫ ∫ ( ) 原式 = e−(x2+y2 )dxdy = D
π
2 π
dθ
4
e2 −ρ2 ρdρ = π
0
8
1− e−4
（1+3+2 分）
∫∫∫ 13. 计算三重积分 eydxdydz ，其中 Ω 由曲面 x2 − y2 + z2 = 1, y = 0, y = 2 所围成. Ω
0 9 - 1 0 - 3 高数 B 期末试卷（A）参考答案及评分标准 10.6.29
临沂大学2021年《高等数学B》上学期期末考试试题
一、选择题1、下列函数中，在0x =处可导的是 、 A 、||y x = B 、|sin |y x = C 、ln y x = D 、|cos |y x =2、若)(u f 可导，且)e (xf y =，则有（ ）；A 、x f y xd )e ('d =； B 、xf y xx d e )e ('d =； C 、x f y xx d e )e (d =； D 、x f y xx d e )]'e ([d =3、设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()lim x f x x f x x x→+--=（ ）A 、6B 、6-C 、16D 、16-4、设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的（ ）A 、间断点B 、连续而不可导的点C 、可导的点，且(0)0f '=D 、可导的点，且(0)0f '≠5、设2sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在6、设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x =-时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f '=（ ）A 、1-B 、0.1C 、1D 、0.57、设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ） A 、0lim 0x y ∆→∆= B 、0y ∆=C 、0dy =D 、y dy ∆=8、设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A 、不连续B 、连续但左、右导数不存在C 、连续但不可导D 、 可导9、曲线2y x =在1x =处的切线斜率为（ ）A 、k=0B 、k=1C 、k=2D 、-1/210、曲线ln y x =平行于直线10x y -+=的法线方程是（ ）A 、10x y --=B 、230x y e--+= C 、230x y e---=D 、230x y e ---+=11、设直线y x a =+与曲线2arctan y x =相切，则a =（ ）A 、1±B 、2π±C 、(1)2π±+D 、(1)2π±-12、设()f x 为可导的奇函数，且0()f x a '=， 则0()f x '-=（ ）A 、aB 、a -C 、aD 、013、设lny =0x y =' =（ ）A 、12-B 、12C 、-1D 、014、设cos(sin )y x =，则0x y ='=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在15、设()ln(1)yf x x =+，(())y f f x =,则0x y ='（ ）A 、0B 、1ln 2C 、1D 、ln216、已知sin y x =，则(10)y=（ ）A 、sin xB 、cos xC 、sin x -D 、cos x -17、已知ln y x x =，则(10)y=（ ）A 、98x -！B 、98x！C 、98x ！D 、 98x -！ 18、若函数()sin f x x x =，则（ ）A 、(0)f ''不存在B 、(0)f ''=0C 、(0)f ''=∞D 、 (0)f π''= 19、圆2cos x θ=，2sin y θ=上相应于4πθ=处的切线斜率，K=（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、 220、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件 21、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在点x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件 22、函数()f x x =在x =0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在23、曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）、 A 、1y x =- B 、(1)y x =-+ C 、()()ln 11y x x =-- D 、y x = 24、设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）、A 、连续且可导B 、连续且可微C 、连续不可导D 、不连续不可微 二、填空题1、设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭、 2、设21cos f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x '= 、3d x = 、4、设sin (e )xy f =，其中()f x 可导，则d y = 、5、设y =12y ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ 、 6、已知sin cos y x x =-，求6x y π='=（ ）7、已知sin cos2ϕρϕϕ=+，求6d d πϕρϕ==（ ）8、已知23()55x f x x =+，求(0)f '=（ ）9、设直线y x a =+与曲线2arctan y x =相切，则a =（ ）10、曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率 三、计算题求下列各函数的导数：1、231251y x x x =-++，求y '； 2、31πcos 3y x =+，求y '；3、2sin y x x =，求y '；4、ln ln xy x x x=+，求y '； 5、(sin cos )ln y x x x =-，求y '；6、sin 1cos xy x =+，求y '；7、2tan 1x xy x=+，求y '； 8、(2sec )sin y x x =+，求y '； 求下列各函数在指定点处的导数值： 9、求()sin f x x x =+在2πx =处的导数值；10、求sin ()sin t t f t t t -=+在π2x =处的导数值；11、求321(1)(5)y x x=+-在1x =处的导数值；12、求3cos 23x y x =+在π2x =处的导数值； 求下列函数的导数：13、36()y x x =-，求y '；14、y =，求y '；15、1cot()y x =，求y '；16、21sin()y x x =，求y '；17、ln 1xy x=-，求y '；18、2sin (cos3)y x =，求y '；19、ln[ln(ln )]y x =，求y '；20、22sin sin xy x =，求y '；21、arcsin(1)y x =-，求y '； 22、arctan(ln )y x =，求y '；24、求(ln e x y =+的导数25、求)11y⎫=+-⎪⎭的导数26、求aa xa x ay x a a =++的导数27、设xx x f e )(=，求)('x f 、求下列函数的高阶导数：28、32(1)y x =+，求y ''； 29、2sin 2y x x =，求y '''；30、求2cos ln y x x =的二阶导数31、求11xy x-=+的二阶导数； 求下列函数的n 阶导数：32、求e xy x =的n 阶导数；33、求2sin y x =的n 阶导数；求下列方程所确定的隐函数的导数y '：34、求方程3330y x xy +-=所确定的隐函数的导数y '；35、求方程arctanyx=y '： 用对数求导法求下列函数的导数：36、求y =的导数； 37、求cos (sin )xy x = (sin 0)x >的导数；求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数d d y x： 38、求由参数方程21,1;(1)x t t y t ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩所确定的函数()y y x =的导数d d y x ：39、参数方程e cos ,e sin ,t tx t y t ⎧=⎨=⎩求π2d d t yx =、40、求曲线ln sin ,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在π2t =处的切线方程、求下列函数的微分： 41、求函数ln sin2xy =的微分： 42、求函数e 0xyxy -=的微分； 4、3求2ln sin y x x x =+的微分 44、求21cot exy =的微分45、求y x=的微分 46、利用微分求近似值：arctan1、02； 47、利用微分求近似值：0330sin ' ； 48、利用微分求近似值：ln1.01； 49、利用微分求近似值：665、50、求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y ' 四、解答题1、水管壁的横截面是一个圆环，设它的内径为0R ，壁厚为h ，试利用微分来计算这个圆环面积的近似值、（提示：半径为r 的圆面积2()πS S r r ==，圆环面积000()()d r R r hS S R h S R S=∆=∆=+-≈）2、如果半径为15cm 的球的半径伸长2mm ，球的体积约扩大多少？3、已知单摆的振动周期2T =，其中980=g cm/s 2，l 为摆长（单位为：cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大05.0s ，摆长需加长多少？（提示：求d 0.0520d T l l==）4、设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b 、5、设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x 、6、设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y 、7、设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，求22d d ,d d y yx x 、8、求曲线3213122t x ty t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程、。
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广东工业大学试卷用纸，共2页，第1页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )
课程名称: 高等数学B （1） 。
考试时间: 2012 年 1 月 4 日 (第 19 周 星期 三)
一、填空题：（每小题4分，共20分）
1、 2e
2、992
3、12
4、1x -
5、42(1)32
- 二、选择题：（每小题4分，共20分）
1、 C
2、C
3、D
4、A
5、B
三、计算题（每小题7分，共28分）
1、解：设(1)(3)(2)(4)
x x y x x --=--，两边同时取自然对数可得 []1(1)(3)1ln ln ln(1)ln(3)ln(2)ln(4)2(2)(4)2
x x y x x x x x x --==-+------- 利用复合函数求导法可以求得
1(1)(3)1111'2(2)(4)1324x x y x x x x x x --⎡⎤=+--⎢⎥------⎣⎦
2、解:原式23(1)2
320110000d 2612lim lim lim lim 12sin 1cos sin (sin )d x x x t t t t t t t t t t t t t t t t --→→→→=====---⎰⎰. 3、解：令3x t +=，则2
3,d 2d x t x t t +== d 2d 113(11)d 21121d 122ln(1)232ln(13)x t t t x t t t t t t t c
x x c =++++-=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-++=+-+++⎰⎰⎰⎰
广东工业大学试卷用纸，共2页，第2页
4、解:⎰+10)1ln(dx x x 21|)1ln(22)1ln(102102-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x x d x ⎰+1021
dx x x 212ln 21-=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-1
0111dx x x 212ln 21-=41)1ln(2102=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-x x x ； 四、（8分）
解:001(00)lim ()lim sin 1;x x f f x x x --→→-===001(00)lim ()lim(sin 1)1;x x f f x x x
++→→+==+= 由(00)(00)12(0)f f f -=+=≠=可知0x =是()f x 的间断点.0x =是()f x 的可去间断点。
五、（8分）
解: 对方程222x y xy e ++=两端同时关于变量x 求导,将y 视为x 的函数,利用隐函数
求导法则可得:2'22'0x
yy y xy e +++=,由此可得2'22x
y e y x y
--=+. 当(,)(0,1)x y =时, (0,1)(0,1)23'222
x y e y x y --==-+. 所以过点(0,1)处的切线方程为：312y x -=-,即312
y x =-; 过(0,1)处的法线方程为：213y x -=,即213
y x =+. 六、 解：因为(1)1y =-，所以有2-=++c b a ；同时(0)1y =，由此可得1c =；2'32y x ax b =++，''62y x a =+。
由'(0)0y =得0b =；由此可得3-=a 。
所以， 由2'363(2)y x x x x =-=-，易得2x =是()y x 的极小值点，(2)3y =-。
七、（8分）
证明：()F x 显然连续,且1()d 0,()()d 0,()
b
b a a F a t F b f t t f t =-<=>⎰⎰由零点定理,()F x 在区间[,]a b 上至少有一个根.
又因为1'()()0()
F x f x f x =+>,所以()F x 单调增.因此方程()0F x =在区间[,]a b 上有且仅有一个根.
注解：根的唯一性证明也可以利用反证法(略).。