新华师大版 16章分式复习知识点及习题
华东师大版八年级下册数学 第十六章 分式 全章复习
第十六章 分式 全章复习 学案【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数. 练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m n m n m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ； （5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； （7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab abb b a a ----222； （3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）ba b b a ++-22； （5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-； （7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab （4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 （1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ；（2）3423-=--x x x ； （3）22322=--+x x x ； （4）171372222--+=--+x x x x x x（5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： （1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xbb x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
华东师大版八年级下册第十六章分式知识点总结与典型例题讲义(无答案)
目录一、分式的概念1考向1：考查分式的定义2考向2：考查分式有意义的条件2 考向3：考查分式值为0的条件2 考向4：考查分式值为正、负的条件2 考向5：考查分式的值为1，-1的条件2 二、分式的基本性质2考向6：化分数系数、小数系数为整数系数3 考向7：分数的系数变号3 考向8：分式的约分3 考向9：分式的通分3 三、分式的运算3考向10：分式的混合运算4 考向11：化简求值4考向12：求待定字母的值5 四、解分式方程5考向13：用常规方法解分式方程5 考向14：用特殊方法解分式方程5 考向15：分式方程无解忘检验6 考向16：漏乘无分母的项6考向17：由分式方程无解或有增根求未知字母的值6 五、列分式方程应用题6考向18：行程中的应用性问题6 考向19：轮船顺逆水应用问题6 考向20：工程类应用性问题6 考向21：营销类应用性问题7 考向22：浓度应用性问题7 考向23：货物运输应用性问题7分式知识点总结与典型例题一、分式的概念1、定义：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
2、与分式有关的条件：①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 典型例题：考向1：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： 考向2：考查分式有意义的条件2、当有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-考向3：考查分式值为0的条件 3、当取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x考向4：考查分式值为正、负的条件4、当为何值时，分式x-84为正； 5、当为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；6、当为何值时，分式32+-x x 为非负数 考向5：考查分式的值为1，-1的条件 7、若22||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为 二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
华师大版初中数学八年级下册16章 分式
； （4）
2x
4
x y
3
； (5)
；(6)
mn
；(7)
3
+1.
3x 4
4b 2x2 1
同步一试：在代数式－ ，
，x+y， ，
中，分式有（ ）
2 xy3a 兀源自A、2 个B、3 个
C、4 个
问题 2：当 x 取什么值时，下列分式有意义？
1
（1）
；
x3
x 1 x 2
（2）
.
2x 1 2x 3
D、5 个
x
1
1
（2）
与
的最简公分母是：
4x 2x2 x2 4
1
1
1
（3）
,
,
的最简公分母是：
3x(x 2) (x 2)(x 3) 2(x 3)2
x
1
1
（4）
,
,
的最简公分母是：
2x 2 x2 x x2 1
问题
2： 通 分 （ 1）
1 3x2
，
5
（ 2）
12xy
1， x2 x
1 x2 x
1 x2 xy .
为
，
1
所以
＝
x2 y2
1
＝
x2 xy
归纳：求几个分式的最简公分母的步骤？
1．取各分式的分母中系数的
；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最 的；
4．所得的系数的
与各字母（或因式）的最
三、课内巩固训练
次幂的积即为最简公分母。
1
2
通分： （1）
和
2ab3 5a 2b2c
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师大版数学八下第16章《分式》全章复习课件1
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
时,分式
X-7 X2+1
的值是非负数.
10.当x >-1
时,分式
X+1 X2-2x+3
的值为正.
1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以) 一个不为0的整式 分式的值 不变
用式子表示: A = A X M
B
(BXM )
-a-b a+b c-d = ( d-c )
-x +y x+y
x-y = ( -x-y)
4.与分式
２m－３ ４－m
的值相等的分式是（
A
Ａ
３－２m ４－m
Ｂ
２m-３ ４－m
Ｃ
３－２m ４－m
Ｄ
） ３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ A ）
Ａ
－x＋y －x－y ＝
X－y X＋y
Ｂ
－x＋y －x－y ＝
( a2+b2-2ab )
= a2 –b2
(2) ab+b2 = a+b
ab2+b
( ab+1 )
(4)
a+b ab
=
2a2+2ab
( 2a2b )
2.下列变形正确的是(
)
C
a
a2
A b = b2
a-b a2-b
B
a = a2
C 2-x = X-2 X-1 1-x
华师大版八年级下册第16章分式复习材料
11-x 55+x x 2568x x x -++223(1)9x x x ++-121-+x 9313+--xx 1121--x 1-m m 32+-m m 112+-mm 分式复习材料一、分式的概念（一）特征一：分母中含有字母1、在代数式132x +、5a 、26x y 、35y +、23a b +、2325ab c 、π1中，分式有（ ）.个。
2、在π1,0,1,31),(21,32c a b y x x --中，整式有 ，分式有 . 3.在y x x x n m m n a a -+++251,5,1,3,4,4，21-π中,整式有 ,分式有 ； （二）特征二：分母≠01、当取何值时，下列分式有意义？2、当取何值时，下列分式有意义？3、当取何值时，下列分式无意义？（三）拓展一：（分式的值为0的条件：分子=0，分母≠0） 1、当m 为何值时，分式的值为0？2、当x 为何值时，分式的值为0？3.当时，分式的值为零4.当时，分式的值为零5.当式子2545x x x ---的值为零时，x 的值是（ ）x x 57+x x 3217-x x x --221x x 23+x x 7213-xx x --22132+-m m 55+x x A 、6 B 、-5 C 、-1或5 D 、-5或5（四）拓展二：（分式的值为正或负的条件）1、分式 的值为正数，求M 的取值范围。
2、分式 的值是负数，求X 的取值范围。
二、分式的基本性质 1、变形填空（(),232.1-=--x x x (2)()222c b c b a =,(3)1)(112-=-x x .(4))(11132=-++x x x 2、去掉分子和分母中的“—”号； (1)不改变分式的值,使分式xyx y y y 2,2,2----的分子,分母不含“—”号； (2)不改变值,使分式2311xx x-+-分子,分母最高次项系数为正； 3、去掉分子和分母中的小数和分数； （1）不改变值,使分式yx yx 04.03.05.001.0+-的分子,分母各项系数均为整数.（2）不改变分式值,使分式的分子,分母中各项的系数化为整数,=-+y x y x 2434.三、通分和约分（一）确定最大公约数（三定：定系数，定字母，定指数） 1、指出下列分式的最大公约数324232128yz x z y x322423248c b a c b a d b a c b a 32232432-2、指出下列分式的最大公约数()()y x a x y a --271223()()()()b a y x b a y x -+-+23 44422-++x x x（二）约分（分子,分母都是单项式时可直接约分；当分子,分母是多项式时,先做因式分解,然后再约分）22232223244323342396)5()())(()4(42)3(3012)2(1624)1(y xy y xy x a x x a y x x xx c b a c b a y x z y x -+---+--- （三）确定最简公分母（三定：定系数，定字母，字指数） 1、求分式4322361,41,21xy y x z y x 的（最简）公分母；2、求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师大版八年级下册数学知识点总结知识讲解
华师大版八年级下册数学知识点总结八年级华师大版数学（下）第16章分式§ 16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使-=0的条B件是：A=0, B M 0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
单项式整式单项式分类：有理式多项项分式 -单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
一 A AM A宁M用式子表示为：B =丽二，其中M （M工0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幕、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幕；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。
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16章 分式复习（一）一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。
（注意：π表示数，不表示字母） 例、下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（ ）个。
二、 分式的意义：1、分式有意义的条件是 。
分式无意义的条件是 。
分式值为零的条件是 。
例、下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。
A ．121x +B ．21x x +C ．2122++x x D ．1222-x x例、当x______时，分式2134x x +-无意义。
当x_______时，分式12122++-x x x 的值为零。
三、分式的基本性质：分式的分子与分母 ，分式的值不变。
（0≠C ）例：1、如果把分式yx x+10中的y x 、都扩大10倍，则分式的值是（ ）A 、扩大100倍B 、扩大10倍C 、不变D 、缩小10倍2、把分式xyyx 22+中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大2倍C ．扩大4倍D ．缩小2倍四、分式的通分和约分：通分和约分的依据都是 。
关键先是分解因式。
1、约分：分式的约分，就是把分子与分母的 约去。
如何找公因式呢？系数找 ，字母找 ，有多项式要先 ，再找 。
例、计算：（1）、b a ab 2236= = 。
（2）、222b a aba -+= = 。
2、通分：分式的通分，就是把几个异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式。
通分的关键是确定几个异分母的分式的最简公分母。
最简公分母怎样确定？系数找 ，相同字母找 ，不同字母 ，有多项式要先 再找。
例：（1）、分式26x ab ，29ya bc的最简公分母是 ；（2）分式2121a a a -++，261a -的最简公分母是 。
五、最简分式：分式的分子与分母没有 的分式叫做最简分式。
例、分式①434y xa +，②2411x x --，③22x xy y x y -++，④2222a ab ab b +-，⑤2222yx y x -+中是最简分式的有（ ）（填序号）。
五、分式的运算：1、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
最后要约分，化为最简分式。
2、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
最后要约分，化为最简分式。
CB C A B A ⋅⋅=CB C A B A ÷÷=3、分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
5、分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
最后都要化为最简分式。
,a b a b a c ad bc ad bcc c c bd bd bd bd±±±=±=±= 6、混合运算:运算顺序和以前一样，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的。
能用运算率简算的可用运算率简算。
例：计算：（1）x x x x x x -+-÷+-2221211 （2）1112---x xx（3）1)11(2-⋅+x x x （4）ba ab a b b a +÷---)1(22当堂检测：1、下列各式中，属于分式的是（ ） A 、2y x + B 、y x -3 C 、12+x D 、πy2、要使分式15-x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠-13、已知分式112+-x x 的值为零，那么x 的值是 。
4、下列分式中是最简分式的是（ ）A 、122+x xB 、x 24C 、112--x xD 、11--x x5、分式 xyy x x y 41,3,2的最简公分母是（ ） A ．6xy 2B ．24xy 2C ．12xy 2D ．12xy6、一项工程，甲单独做a 小时完成，乙单独做b 小时完成，则甲、乙合做此项工程所需的时间为 小时。
7、先化简22)1111(2-÷+--a aa a ， 然后从1、 2、-1中选取一个你认为合适的数作为a 的值代入求值．bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n nn ba b a =)(16章 分式复习（二）六、1、任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10≠=a a ；如：0)14.3(-π= 。
0)22(-= 。
2、任何不等于零的数的 n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即n naa1=- )0(≠a 。
如：2)3(--= = 。
2)21(-= = 。
（分数的n -次幂也等于这个分数的倒数的n 次幂） 例：计算：（1）220140)31(2)1(9)32(--+------七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n ma a a +=⋅；（2）幂的乘方：mnn m a a =)(;（3）积的乘方：n n nb a ab =)(；（4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)；（5）商的（分式的）乘方：nnn ba b a =)((b ≠0)八、科学记数法：把一个数表示成na 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
1、用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是1-n 。
例：312000000= ；-2060000= 。
2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。
例：-0.00000052= ；0.0076= 。
九、分式方程：含有分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要检验。
（增根就是使分式方程分母为0的根） 3、解分式方程的步骤：（1）、去分母：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（如何确定最简公分母？系数找 ，相同字母找 ，不同字母 ，有多项式要先 再找） （2）、解方程：解这个整式方程。
（3）、检验：把整式方程的根代入最简公分母，①若结果不为零，则是原方程的根；②若结果为零，则是增根，应舍去，原方程无解。
（4）、下结论：写出原方程的解或无解的情况。
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得的整式方程的根。
例26.解方程。
(1)623-=x x （2）1613122-=-++x x x （3）01152=+-+x x （4）212242-=++-x x x x十、列分式方程解应用题（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记答。
（二）应用题的几种类型：1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。
例、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.2、工程问题基本公式：工作量=工时×工效。
例30.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3、顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水； v逆水=v静水-v水。
例31.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米? 当堂检测：1、计算：3181)14.3(2+---π= 。
2、分式方程121=-x的解为；方程112=++xxx的解是。
3、若方程1317-=+-xmx有增根（无解），则增根为，m= 。
4、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为。
5、用换元法解分式方程01131=+---xxxx时，如果设yxx=-1，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．y2+y-3=0 B．y2-3y+1=0 C．3y2-y+1=0 D．3y2-y-1=06、（1）计算224)21()2014(10---+--π（2）解方程5113--=-xxx6、2013年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？。