北师版新课标高中数学必修一 《对数函数及其性质》课件
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对数函数及其性质课件ppt
统计学
决策理论
在决策理论中，对数函数用于构建效 用函数，以评估不同选项的风险和收 益。
在统计学中，对数函数用于描述概率 分布，如泊松分布和二项分布。
05 练习与思考
基础练习题
01
02
03
04
基础练习题1
请计算以2为底9的对数。
基础练习题2
请计算以3为底8的对数。
基础练习题3
请计算以10为底7的对数奇函数也不是偶 函数。
周期性
• 无周期性：对数函数没有周期性，因为其图像不会重复出 现。
03 对数函数的运算性质
换底公式
总结词
换底公式是用来转换对数的底数的公 式，它对于解决对数问题非常有用。
详细描述
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中a、b、c是正实数，且b 和c都不等于1。通过换底公式，我们可 以将对数函数转换为任意底数的对数函 数，从而简化计算过程。
图像绘制
对数函数的图像通常在直角坐标系 中绘制，随着底数$a$的取值不同， 图像的形状和位置也会有所变化。
单调性
单调递增
当底数$a > 1$时，对数函数是单调递增的，即随着$x$的增 大，$y$的值也增大。
单调递减
当$0 < a < 1$时，对数函数是单调递减的，即随着$x$的增 大，$y$的值减小。
对数函数的乘法性质
总结词
对数函数的乘法性质是指当两个对数 函数相乘时，其结果的对数等于两个 对数函数分别取对数后的积。
详细描述
对数函数的乘法性质公式为log_b(m) * log_b(n) = log_b(m * n)，其中m 和n是正实数。这个性质在对数运算 中也非常有用，因为它可以简化对数 的计算过程。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 对数函数y=loga的图象和性质
(2)已知 lo b<lo a<lo c,比较 2b,2a,2c 的大小.
解:(1)①∵log3<log31=0,
而 log5>log51=0,
∴log3<log5.
②方法 1:∵0<0.7<1,1.1<1.2,
∴log0.71.2<log0.71.1<0.
提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标
系中,沿直线y=1自左向右看对数函数的底数逐渐增大.
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
图象和
a>1
性质
图
象
0<a<1
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0),即 x=1 时,y=0
(6)当 x>1 时,y<0;
f(g(x))=log2(x2+x)中需有g(x)>0;g(f(x))=(log2x)2+log2x中需有
x>0.
(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意
函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.
分类讨论思想在对数函数中的应用
【典例】 已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大
(2)运用分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对
数的底数a的取值是a>1,还是0<a<1.
(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点
(1,0),(a,1)和
解:(1)①∵log3<log31=0,
而 log5>log51=0,
∴log3<log5.
②方法 1:∵0<0.7<1,1.1<1.2,
∴log0.71.2<log0.71.1<0.
提示:将不同底数的对数函数的图象画在同一平面直角坐标
系中,沿直线y=1自左向右看对数函数的底数逐渐增大.
5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
图象和
a>1
性质
图
象
0<a<1
(1)定义域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)图象过定点(1,0),即 x=1 时,y=0
(6)当 x>1 时,y<0;
f(g(x))=log2(x2+x)中需有g(x)>0;g(f(x))=(log2x)2+log2x中需有
x>0.
(2)判断y=logaf(x)型或y=f(logax)型函数的奇偶性,首先要注意
函数中自变量的范围,再利用奇偶性的定义判断.
分类讨论思想在对数函数中的应用
【典例】 已知函数y=logax(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大
(2)运用分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对
数的底数a的取值是a>1,还是0<a<1.
(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点
(1,0),(a,1)和
高中数学：5.3《对数函数的图像和性质》课件(北师大版必修1)
对数函数图象和性质
抽象概括 y=logax(0<a≠1)在底数a>1及0<a<1 这两种情况下的图象和性质总结如表3-10
a>1
3
3
0<a<1
2.5 2 1.5
2.5
2
1.5
图 象
1
-1
1
1
-1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
； 支付宝红包群 / 支付宝红包群 ；
有圣水这种东西/才能让马开有着如此变化/ 当马开壹口壹口大喝圣水/白发渐渐变黑发/枯皮般の脸皮也恢复の时候/众人都嫉妒の着马开/它居然又得到咯壹种圣液/这东西难道确定红尘囡圣特意留给它の抪成/为什么圣者都难以取到の东西/被马开接二连三轻易の取走/ 着喝着圣水精气神恢复到巅峰の 马开/很多人艳羡抪已/其中包括冰凌王/没有人面对红尘囡圣留下の至宝能平静の/ 此刻の马开/取出咯很多の容器/开始装取着圣水/壹佫佫容器被它装满收起来/这让の很多人眼睛壹跳壹跳/ "这混蛋/" 连冰凌王都抪下去咯/这太打击人咯/它们求壹滴抪可得/但人家就当确定水/随手就装の满满の/ 为 咯（正文第壹壹五八部分又壹种圣水） 第壹壹五九部分老疯子雕塑 "圣水啊/" 很多人到哀嚎/着马开喝几口/吐几口/甚至还到其中用来洗咯壹把脸/这让它们恨の咬牙切齿/ "混蛋啊/它居然如此对待圣水/" "这可确定圣水啊/我们得到
抽象概括 y=logax(0<a≠1)在底数a>1及0<a<1 这两种情况下的图象和性质总结如表3-10
a>1
3
3
0<a<1
2.5 2 1.5
2.5
2
1.5
图 象
1
-1
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； 支付宝红包群 / 支付宝红包群 ；
有圣水这种东西/才能让马开有着如此变化/ 当马开壹口壹口大喝圣水/白发渐渐变黑发/枯皮般の脸皮也恢复の时候/众人都嫉妒の着马开/它居然又得到咯壹种圣液/这东西难道确定红尘囡圣特意留给它の抪成/为什么圣者都难以取到の东西/被马开接二连三轻易の取走/ 着喝着圣水精气神恢复到巅峰の 马开/很多人艳羡抪已/其中包括冰凌王/没有人面对红尘囡圣留下の至宝能平静の/ 此刻の马开/取出咯很多の容器/开始装取着圣水/壹佫佫容器被它装满收起来/这让の很多人眼睛壹跳壹跳/ "这混蛋/" 连冰凌王都抪下去咯/这太打击人咯/它们求壹滴抪可得/但人家就当确定水/随手就装の满满の/ 为 咯（正文第壹壹五八部分又壹种圣水） 第壹壹五九部分老疯子雕塑 "圣水啊/" 很多人到哀嚎/着马开喝几口/吐几口/甚至还到其中用来洗咯壹把脸/这让它们恨の咬牙切齿/ "混蛋啊/它居然如此对待圣水/" "这可确定圣水啊/我们得到
高中数学北师大版 必修一 对数的运算性质 课件
(3)根据对数的定义，你能用 , 表示 ( > 0, 且 ≠ 1; > 0; > 0,
且 ≠ 1)吗？
设 = ，则 = ，于是 = .
根据性质③得 = ，即
=
= + −
= 2 +
1
2
−
1
.
3
① () = + ;
②
= − ;
③ = ( ∈ ).
方法小结
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直
接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以
10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.
活动3：
(1)利用计算工具求2, 3的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用2, 3的值求2 3的值吗？
积的乘方：
r
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
这样，就得到了对数的一个运算性质：
① () = + .
于是，
1
2
= 1 − 2 = (4.8 + 1.5 × 9.0) − (4.8 + 1.5 × 8.0) = 1.5.
1
利用计算工具可得，
2
= 101.5 ≈ 32.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却
且 ≠ 1)吗？
设 = ，则 = ，于是 = .
根据性质③得 = ，即
=
= + −
= 2 +
1
2
−
1
.
3
① () = + ;
②
= − ;
③ = ( ∈ ).
方法小结
利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直
接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以
10或为底的对数，就能方便地求出这些对数.
活动3：
(1)利用计算工具求2, 3的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用2, 3的值求2 3的值吗？
积的乘方：
r
设 = , =
∵ = + ,
∴ = + .
根据对数与指数间的关系可得：
= , = , () = + = + .
这样，就得到了对数的一个运算性质：
① () = + .
于是，
1
2
= 1 − 2 = (4.8 + 1.5 × 9.0) − (4.8 + 1.5 × 8.0) = 1.5.
1
利用计算工具可得，
2
= 101.5 ≈ 32.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却
高中数学北师大必修ⅰ对数函数的性质课件(与“函数”有关文档共10张)
32B， 对数函数关系式、定义域、值域；
5对 对数式
数形结合、转化的数学思想.
……应 对数函数与指数函数的关系
关2、f:B 像这样的两个函数叫做互为反函数 x.log2 y
会求指数函数的反函数、对数函数的反函数.
系A也是
x 为,函 对 应数 ，,y 0 ,
关系
为
一一映射x→y
第3页，共10页。
应的关系.可见，对于任意的 y0, ，在 R 中都有唯一
的数 x 满足 y a x .
即 x loga y 也是函数
第4页，共10页。
对数函数
就yxy
(xa0lo,aga1y)xlogay
.是如，当的叫果函自作做把数变自对量变数.这量函个，数函那，数么这就里是 a0,a1y0
第5页，共10页。
y loga x (a0,a1)
我们把函数 y loga x (a0,a1)叫做对数函数，
a 叫做对数函数的底数。
y lg x 为常用对数函数；y ln x 为自然对数函数.
与
y y l a o x g a a x a 0 , a 0 , 1 a 1
指对互
.
数为 指数函数反函数是对数函函数反，对数函数的反函数是指数函数.
指数函数反函数是对数函数，对数函数的反函数是指数函数.
对数函数与指数函数的关系；
x 是自变量，y 是 x 2、f:B A也是函数，对应关系为
2、对数函数与指数函数的关系
刻2、画对的数是函同数一与不对指变数量函之数间的的关关系系，
的函数；
R 0, 定义域是 ，值域是 指数函数反函同数是对数函数，对数函数的反函数是指数函数.
数函
第7页，共10页。
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 对数函数y=log2的图象和性质
- > ,
由 f(x-1)>f(1),得
- > ,
解得 x>2,∴x 的取值范围是(2,+∞).
(2)∵≤x≤,∴≤2x-1≤4,
∴log2≤log2(2x-1)≤log24,
∴-1≤log2(2x-1)≤2,
故函数 y=log2(2x-1)在区间
,
上的最小值为-1,最大值为 2.
y=log2x的定义域(0,+∞)是y=2x的值域,而y=log2x的值域R恰好
是y=2x的定义域.
(3)对数函数y=log2x与指数函数y=2x的单调性一致, 是增函数.
2.函数y=log2x的图象与性质
图象
图象特征
过点(1,0)
函数图象都在 y 轴右边
性质
x=1 时,y=0
零和负数没有对数
当 x>1 时,图象位于 x 轴上方;当
一条件.
正解:设t=log2x(x≥4),则t≥2,于是y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥2,由二
次函数的图象(图略)可得当t=2时,y取得最小值6,无最大值,故
函数的值域为[6,+∞).
1.对数型函数的值域问题常用函数的单调性或者换元法解决.
2.在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围.
3.2
对数函数y=log2x的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
对数函数y=log2x的图象与性质
【问题思考】
1.对数函数y=log2x与指数函数y=2x有何关系?
提示:(1)对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,它们的
由 f(x-1)>f(1),得
- > ,
解得 x>2,∴x 的取值范围是(2,+∞).
(2)∵≤x≤,∴≤2x-1≤4,
∴log2≤log2(2x-1)≤log24,
∴-1≤log2(2x-1)≤2,
故函数 y=log2(2x-1)在区间
,
上的最小值为-1,最大值为 2.
y=log2x的定义域(0,+∞)是y=2x的值域,而y=log2x的值域R恰好
是y=2x的定义域.
(3)对数函数y=log2x与指数函数y=2x的单调性一致, 是增函数.
2.函数y=log2x的图象与性质
图象
图象特征
过点(1,0)
函数图象都在 y 轴右边
性质
x=1 时,y=0
零和负数没有对数
当 x>1 时,图象位于 x 轴上方;当
一条件.
正解:设t=log2x(x≥4),则t≥2,于是y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥2,由二
次函数的图象(图略)可得当t=2时,y取得最小值6,无最大值,故
函数的值域为[6,+∞).
1.对数型函数的值域问题常用函数的单调性或者换元法解决.
2.在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围.
3.2
对数函数y=log2x的图象和性质
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
对数函数y=log2x的图象与性质
【问题思考】
1.对数函数y=log2x与指数函数y=2x有何关系?
提示:(1)对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,它们的
高中数学北师大版 必修一 对数函数y=logax的图象和性质 课件
根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜ a＜1和a＞1的情况讨论．分别选取 a 2 和 a 1 为例，在同一直角坐
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
北师大版高中数学必修一课件第三章553对数函数的图像和性质
已知函数 y＝log1(x2－ax＋a)在区间(－∞， 2)上是
2
增函数，求实数 a 的取值范围．
【解】 令 g(x)＝x2－ax＋a，则 g(x)在－∞，a2上是减函
数．∵0<12<1，∴y＝log1u 是减函数，由已知复合函数 y＝log1(x2
2
2
－ax＋a)在区间(－∞， 2)上是增函数，∴只要 g(x)在区间(－∞，
2 ) 上 单 调 递 减 ， 且 g(x)>0 ， ∴ 有
a2≥ 2，
解得 2 2≤a≤2 2＋2，∴实
g（ 2）＝（ 2）2－a· 2＋a≥0，
数 a 的取值范围是[2 2，2 2＋2]．
【方法总结】 关键是把与对数函数有关的复合函数分解成 两个初等函数，重点是求中间函数的单调性．要注意定义域对单 调区间的影响．
a>1
0<a<1
图像
(1)定义域__(_0_，__＋__∞__) _
(2)值域_R_
性质
(3)当 x＝1 时，_y_＝__0，即过定点_(_1_，__0_)
(4)当 x>1 时，_y_>_0_
(5)当 x>1 时，_y_<_0_
当 0<x<1 时，_y_<_0_
当 0<x<1 时，_y_>_0_
(6)在(0，＋∞)上是__增__函__数__ (7)在(0，＋∞)上是__减__函__数__
当 a>1 时，1a<34<a，解得 a>43；
当
0<a<1
时，a<34<1a，解得
3 0<a<4.
∴a 的取值范围