2020中考数学压轴题十五 动点综合问题(附答案解析)

2020中考数学压轴题十五 动点综合问题（附答案解析）
【典例分析】
【考点1】动点之全等三角形问题 【例1】如图，直线443
y x =-+与x 轴和y 轴分别交于,A B 两点，另一条直线过点A 和点(7,3)C . (1)求直线AC 的函数表达式;
(2)求证: AB AC ⊥;
(3)若点P 是直线AC 上的一个动点，点Q 是x 轴上的一个动点，且以,,P Q A 为顶点的三角形与AOB ∆全等，求点Q 的坐标.
【答案】(1) 3944
y x =-;(2) 222AB AD BD +=; (3) 点Q 的坐标为(7,0)或(8,0)或(1,0)-或(2,0)-
【解析】（1）在y=-4
3
x+4中，令y=0，则0=-
4
3
x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数
关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）在直线ABy=-4
3
x+4中，得到k1=-
4
3
，在直线AC y＝
3
4
x−
9
4
中，得到k2=
3
4
，由于k1•k2=-1，
即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到
AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．
【详解】（1）在y=-4
3
x+4中，
令y=0，则0=-4
3
x+4，
∴x=3，
∴A（3，0），
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，
则：
03
37
k b
k b
+
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，解得：
3
4
9
4
k
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
，
∴直线AC对应的函数关系式为y＝3
4
x-
9
4
.
(2) 在直线ABy=-4
3
x+4中，
∵k1=-4
3
，
在直线AC y＝3
4
x−
9
4
中，k2=
3
4
，
∴k1•k2=-1，
∴AB⊥AC；（3）在y=-4
3
x+4中，
令x=0，则y=4，
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，
①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=OB=4，
∴Q1（7，0），Q2（-1，0），
②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=AB=5，
∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．
③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，
综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．
【点睛】考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
【变式1-1】）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动
_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)
【答案】0；4；8；12
【解析】此题要分两种情况：①当P在线段BC上时，②当P在BQ上，再分别分两种情况AC＝BP或AC ＝BN进行计算即可．
【详解】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB≌△PBN，。